无穷级数(全)

无穷级数

1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞

=1

n n

u

, 其中n u 称为级数的一般项.

2、部分和: 级数∑∞

=1

n n

u

的前n 项和 ∑==

n

k k

n u

S 1

称为级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和.

3、收敛的定义: 如果级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和数列}{n S 有极限S ,

即S S n n =∞

→lim ,则称级数

∑∞

=1

n n

u

收敛.S 称为级数

∑∞

=1

n n

u

的和, 并

写成： ++++=321u u u S ∑∞

==1

n n

u

.如果}{n S 没有极限, 则

称级数

∑∞

=1

n n

u

发散.

4、常数项级数收敛的必要条件：若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，则必有

0lim =∞

→n n u ，反之若0lim ≠∞

→n n u ，则级数一定发散

5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：

∑∞

=0

n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于

q

a -11

1q ≥ 发散

当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：

∑∞

=1

n P n 1

1p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；

③常数级数：

∑∞

=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.

6、级数收敛的性质 以下假设∑∞

=1n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

收敛于S 与T , 则

①∑∑∞=∞

==1

1n n n n

u u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞

=∞

=∞=±=±1

1

1)(n n n n n n n

v u v u

.

③

∑∞

=1

n n

u

收敛?对任意的非负整数m ,有

∑∞

+=1

m n n

u

收敛.

即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若

S u

n n

=∑∞

=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数

S n n

=∑∞

=1

σ

. 反之不然.

7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界

②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.

③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：

设

∑∞=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 均为正项级数,若L v u n

n

n =∞→lim

，则

(1)当L=0时,若

∑∞

=1

n n

v

收敛,则

∑∞

=1

n n

u

也收敛；

(2)当L=+∞时,若∑∞

=1n n

v

发散,则∑∞

=1

n n

u

也发散.

(3)当0

∑∞=1

n n

v

与

∑∞

=1

n n

u

有相同敛散性.

④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：

设

∑∞

=1

n n u 为正项级数,若ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

,

则(1)1<ρ时, 级数

∑∞

=1n n

u

收敛；

(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞

=1

n n

u

发散；

(3)1=ρ时, 级数

∑∞

=1

n n

u

可能收敛也可能发散.

⑤其他常用方法

(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：

ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设s

n n V 1

=

（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法

题目中()

c n U t

n +=ln ，就设t

n n V 1=

作商取极限，需要用L ，

hospital 定理

8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设

∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 为交错级数, 若满足

(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞

→n n u , 则 ∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 收敛,

9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞

=1n n

u ：∑∞

=1||n n

u 收敛；

②条件收敛的级数∑∞

=1n n u

：

∑∞

=1||n n

u

发散, 但∑∞

=1n n u 收敛.

③

∑∞

=1

||n n

u

收敛 ? ∑∞

=1n n u 收敛. 反之不然.

④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数

∑∞

=1

n n

u

条件收敛，则其所有正项或者负项构成的

级数均为发散的.

10、函数项级数

①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则

++++=∑∞

=)()()()(2

1

1

x u x u x u x u n

n n

称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.

②收敛域

(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞

=10

)(n n

x u 收敛；

(2) 发散点I x ∈0——

∑∞

=10

)(n n

x u 发散；

(3) 收敛域D —— ∑∞

=1)(n n

x u 的所有收敛点的全体D ；

(4) 发散域G ——

∑∞

=1

)(n n x u 的所有发散点的全体G .

（5）解题方法：已知级数

∑∞

=1

)(n n

x u

，求其收敛域.

ⅰ用比值法算出大致收敛域：

）（的式子关于x 1

Q x lim

==+∞→n

n n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2

b

-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数

∑∞

=1

)(n n

x u

中，算出∑∞

=1

)(n n a u 与∑∞

=1

)(n n b u 的

敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数

∑∞

=1)(n n

x u

的收敛域

③和函数)(x S —— ∑∞

==1)()(n n

x u x S , D x ∈.

解题方法：已知级数

∑∞

=1

)(n n

x u

，求其和函数.

ⅰ求出其收敛域；

ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式

q

a -11

算出和函数的导数或者原函数的表达式；

ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.

【注】已知级数

∑∞

=1

)(n n

x u

，求∑∞

=1

n n V 的和

ⅰ-ⅳ步骤同上

ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.

11、函数项级数的展开式.

(1) f (x ) = e x

= ∑∞

=0!

n n

n x , x ∈(-∞, +∞);

(2) f (x ) = sin x = ∑∞

=++-01

2!

)12()1(n n n x

n ,x ∈(-∞, + ∞);

(3) f (x ) = cos x = ∑∞

=-02!)2()1(n n

n x n ,x ∈(-∞, + ∞);

(4) 1

1

()1n n f x x x ∞

===-∑ ,x ∈(-1, 1);

(5) 1

1

()()1n n f x x x ∞

===-+∑ ,x ∈(-1, 1);

(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞

=+-1

1)1(n n

n x n , x ∈(-1, 1]。

[注]：

①在求函数展开式的时候要先写原始公式，不要忘记收敛域 ②求x-n 的展开式的时候，把题目中的函数配成1+（x-n ）的形式，然后常数提成1

③函数展开式的收敛半径是提完常数后，常数所加的那一堆关于x 的式子