2014年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题及答案

2014 年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准

一. 选择题 (每小题 6 分, 共 36 分)

1. 在平面直角坐标系中, 方程 x 2

+ 2x sin(xy ) + 1 = 0 所表示的图形是

(A). 直线

(B). 抛物线

(C). 一个点

(D). 以上都不对

解: 易知 x = ?1 且 sin xy = 1, 从而该方程所表示的图形由点列 (?1; 2k

? 2 ),

k ∈ Z 构成. 选 (D).

2. 圆柱的底面半径为 r , 高为 h , 体积为 2, 表面积为 24, 则 1

r + h 1

的值是 (A). 6

(B). 8

(C). 12 (D). 24

解: 由条件可知 r 2

h = 2, 2 r 2

+ 2 rh = 24, 两式相比即得 1

r + h 1

= 6. 选 (A). 3. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 并且对任意正整数 n 成立 S n +2 = 4S n + 3, 则 a 2 的值是

(A). 2

(B). 6

(C). 2 或 6

(D). 2 或 ?6

解: 设公比为 q . 由于 qS n = q (a 1 + a 2 + ·

· · + a n ) = a 2 + a 3 + · · · + a n +1, 所以 S n +1 = qS n + a 1. 进而 S n +2 = q (qS n + a 1) + a 1 = q 2

S n + a 1(q + 1). 与已知条件

比较可知 q 2

= 4, a 1(q + 1) = 3. 所以 q = 2, a 1 = 1, 或 q = ?2, a 1 = ?3.

相应地, a 2 = 2 或 6. 选 (C).

4. 若关于 x 的不等式 4x + x 1

≥ 4 在区间 [1; 2] 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是

a

(A). (

0; 34

]

(B). (

1; 34

]

(C). [

1; 34

]

(D).

[16

7 ; 34

]

解: 取 x = 1, 得 4/a ≥ 3, 可知 0 < a ≤ 4/3, a 是正数. 这样原不等式变为

4x

a ≤

; ?x ∈ [1; 2]:

4 ? 1/x

从而只需求函数 f (x ) = 4x /(4 ? 1/x ) 在区间 [1; 2] 的最小值. 易知 f ′

(x ) = 8x (2x ? 1)/(4x ? 1)2

在 [1; 2] 上恒为正数, 即 f (x ) 在 [1; 2] 上单调增, 故 f (x ) 的

最小值为 f (1) = 4/3. 选 (A).

5. 直线 l 在平面 上. 直线 m 平行于平面 , 并与直线 l 异面. 动点 P 在平面上,

且到 l 和 m 的距离相等. 则 P 点的轨迹是 (A). 直线

(B). 椭圆

(C). 抛物线 (D). 双曲线

解: 设 m 在平面 上的投影为 m ′

, m ′

交 l 于 O 点. 在平面 上, 以 O 为原点, l 为 y 轴建立直角坐标系, 则可设 m ′

的方程为 y = kx . 又设 P 点的坐标为 (x; y ),

参考答案与评分标准第 1 页

√

则 P 到 l 的距离为 |x|; 它到 m ′

的距离为 |y ? kx|/ 1 + k 2

, 从而 P 到 m 的距离平方等于

(y ?

kx )2

+ a 2;

1 + k

2

其中 a 为直线 m 到平面 的距离. 因此, P 点的轨迹方程是

(y ?

kx )2

+ a 2 = x 2:

1 + k

2

可见轨迹是双曲线. 选 (D).

6. 如果 △ABC 中, tan A , tan B , tan C 都是整数, 且 A > B > C , 则以下说法错误的是 (A). A < 80?

(B). B < 60

? (C). C < 50? (D). A > 65

?

解: 由于 A > B > C , 所以 B , C 都是锐角, tan B , tan C 都是正整数, 这样

tan A = ? tan(B + C ) = tan B + tan C

> 0;

tan B tan C ? 1 可见 A 也是锐角. 这时, tan C ≥ 1, tan B ≥ 2, tan A ≥ 3. 我们有

tan A + tan B = tan C ≥ 1; tan A tan B ? 1

即 (tan A ? 1)(tan B ? 1) ≤ 2. 但是 tan A ? 1 ≥ 2, tan B ? 1 ≥ 1, 比较可知只可能 tan A = 3, tan B = 2, tan C = 1. 因此, C = 45?

, 选项 (C) 正确.

由 tan B > √

3 可知 B > 60?

, 选项 (B) 是错误的. 至于选项 (A) 和 (D), 由 √

tan 75?

= 2 +

3 > tan A 可知 A < 75?, 选项 (A) 正确; 由 A + B = 135?

和

A >

B 可知 A > 65?

, 选项 (D) 正确. 综上可知, 本题答案为 (B).

二. 填空题 (每小题 9 分, 共 54 分)

1. 若正实数 a , b 满足 log 8 a + log 4 b 2 = 5 和 log 8 b + log 4 a 2

= 7, 则 log 4 a + log 8 b 的值是 .

解: 令 a = 2x , b = 2y

, 则 x /3 + y = 5, y /3 + x = 7, 从而解得 x = 6, y = 3. 因此 log 4 a + log 8 b = x /2 + y /3 = 4 .

2. 设 x = sin 2

+ sin( + 2 ) sin( + ), 当 = 67 时, x 的小数点后第一位数字

2014

3

3

的是

.

解: 由于

√

+ 2

1

+ 3 ;

sin

(

3 )

=1?2 sin

√ 2 cos

sin (

+

) = sin + cos ;

3 2 2 参考答案与评分标准第 2 页

这两式相乘得 sin( + 23 ) sin( + 3 ) = 34 cos 2 ? 14 sin 2 . 因此 x = 3

4 , 小数点后第一位数字是 7 .

3. 数列 {a n } 满足 a n +1 = a n + a n ?1, n ≥ 2. 若 a 7 = 8, 则 a 1 + a 2 + · · · + a 10 等

于 .

解: 由条件可知 a 7 = 8a 2 + 5a 1, 所以 a 1 + a 2 + · · · + a 10 = 88a 2 + 55a 1 = 11a 7 = 88 .

√

4. 若 a = 1 + i, b = 2 + i, c = 3 + i, x = 1

2 (?1 +

3 i), 则 |a + bx + cx 2

| 的值是

.

解: 注意 x 满足 x 2

+ x + 1 = 0, 从而 x 3

= 1, |x| = 1, xx = 1. 又注意 a , b , c 的 虚部相等, 结合 x 2

+ x + 1 = 0 可知, 只需针对 a = 1, b = 2, c = 3 进行计算即可.

这时我们有

|a + bx + cx 2|2

= (a + bx + cx 2

)(a + bx + cx 2

)

= a 2

+ b 2

+ c 2

+ ab (x + x ) + bc (xx 2

+ xx 2

) + ac (x 2

+ x 2

) = a 2

+ b 2

+ c 2

? ab ? bc ? ca:

√

将 a = 1, b = 2, c = 3 代入, 得 |a + bx + cx 2|2

= 3, 故本题答案为

3 .

5. 将集合 {2x + 2y + 2z

| x; y; z ∈ N ; x < y < z} 中的数从小到大排列, 第 100 个是 (用数字作答).

解: 使得 0

≤ x < y < z ≤ n 的 (x; y; z ) 组合共有 C n 3+1 个. 注意 C 93

= 84 <

100 < 120 = C 103

, 因此第 100 个数满足 z = 9. 使得 0 ≤ x < y ≤ m 的 (x; y ) 组 合共有 C m 2

+1 个, 注意 C 93

+ C 62

= 99, 因此第 100 个数满足 y = 6, x = 0. 即第

100 个数是 29 + 26 + 20

= 577.

6. 函数 f (x ) 满足 f (x ) = x ? 3; x ≥ 1000;

则 f (84) 的值是

.

f (f (x + 5)); x < 1000:

解: 记 f

(n )

(x ) = f (f ( f (x ) · · · )), 其中等号右端有 n 个 f . 那么

· · ·

f (84) = f (f (89)) = · · · = f

(184)

(999) = f (185)

(1004) = f

(184)

(1001) = f

(183)

(998) =

f

(184)

(1003) = f

(183)

(1000) = f

(182)

(997) = f

(183)

(1002) = f

(182)

(999):

注意从 f (184)

(999) 到 f

(182)

(999) 这个过程中, f 的个数减少了 2. 同样的推理

可知 f (182)

(999) = f

(180)

(999) = · · · = f

(2)

(999). 继续此过程, 就有

f (2)

(999) = f (3)

(1004) = f (2)

(1001) = f (998) = f (2)

(1003) = f (1000) = 997:

参考答案与评分标准第 3 页

因此本题答案为

997 .

三. 解答题 (每小题 20 分, 共 60 分. 每小题只设 0 分, 5 分, 10 分, 15 分, 20 分五档)

1. A , B 2 + y = 1 , O , ?→ ·

??→ .

设

是椭圆 x 2

2

上两个动点

是坐标原点 且 OA OB = 0 又设 P 点在 AB 上, 且 OP ⊥ AB .

求 |OP | 的值.

:

:

?→ · ??→ ,

,

?

.

| |

2

= (1 + k 2)a 2

,

解

方法一 由 OA OB = 0 不妨设 A (a; ka ) B ( kb; b ) 这样 OA |OB|2 = (1 + k 2)b 2

.

由 A , B 在椭圆上, 有

a 2

k 2b 2

+ k 2a

2

= 1;

+ b 2

= 1:

2 2

因此 a 2

= 1/(k 2

+ 1/2), b 2

= 1/(1 + k 2

/2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)

现在, 在 Rt △OAB 中, |OP |2

= |OA|2

|OB|2

/|AB|2

, 所以

|OP |2 =

(1 + k 2)a 2b 2

1 + k 2

2

=

=

:

a 2 +

b 2

(1 + k 2/2) + (k 2

+ 1/2) 3

√

因此 |OP | = 36

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)

方法二: 不妨设 OA 与 x 轴正向的夹角为 , OB 与 x 轴正向的夹角为 + 2 . 这样,

可进一步设 A (a cos ; a sin ), B (?b sin ; b cos ). 代入椭圆方程可得

a

2(1

2 cos

2

+ sin 2

)

= 1; b 2(12 sin 2 +

cos

2

) = 1:

= 1

2 + 1 = 3

2 , 也即

a 2 + b

2

= 3 :

a 2b

2

2

在 Rt △OAB 中, |OP | · |AB| = |OA| · |OB|, 因此 |OP |2

= a 2b 2

/(a 2

+ b 2

) = 2/3. 这样

√

|OP | = 36

.

2. 在四面体 ABCD 内部有一点 O , 满足 OA = OB = OC = 4, OD = 1, 求四面体 ABCD 体积的最大值.

解: 首先, 固定 A , B , C , O 四点时, 要使 ABCD 的体积最大, 则 D 点到平面 ABC 的 距离应最大. 但 D 点在以 O 为球心, 1 为半径的球面上运动, 故取最大值时, OD ⊥ 平

面 ABC .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)

参考答案与评分标准第 4 页

设 O 在平面 ABC 的投影点为 E , 且 |OE| = x . 那么, D 到 ABC 的距离为 1 + x . 而

EA = EB = EC =

√

, 可知 △ABC 的面积 ≤

√

(16 ? x 2

). (注: 这里用到,

16 ? x 2

3 3

4

若 A , B , C 是半径为 R 的圆上三点, 则 △ABC 的面积 ≤

√

R 2

.) 3 3

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)

因此, ABCD 的体积 ≤ √

(16 ? x 2)(1 + x ). 考虑函数 f (x ) = (16 ? x 2

)(1 + x ), 3

4

x ∈ (0; 4), 易知

f ′

(x ) = ?3x 2

? 2x + 16;

可见 f (x ) 在 (0; 3) 上有唯一的临界点 x = 2. f (x ) 在 (0; 3) 的最大值为 f (2) = 36. 从而所求最大值为 9√

3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)

3. 设函数 f (x ) = 1 ? e ?x . (1) 证明: 当 x > 0 时, f (x ) > x +1x

; (2) 数列 {a n } 满足 a 1 = 1, a n e

?a n +1

= f (a n ), 证明: 数列 {a n } 递减且 a n < 21

n .

解: (1) 待证式等价于 e ?x < x +11

, 即 ?x < ? ln(x + 1). 令 h (x ) = x ? ln(x + 1), 则 h ′

(x ) = 1 ? x +11

, 可见 h (x ) 在 [0; ∞) 上单调增, 因此当 x > 0 时, h (x ) > h (0) = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5 分) , 则 a n +1 = g (a n ). 要证明 {a n } 递减, 只需证明当 x > 0 时,

事实上, g (x ) < x 等价于 ln((1 ? e ?x

)/x ) > ?x , 也即

1 ? e ?x > x e ?x

;

注意 f (x ) = 1 ? e ?x

, 可见上式也等价于 f (x ) > x (1 ? f (x )), 即 f (x ) > x /(x + 1), 这 由 (1) 即证.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)

要证明 a n < 21n , 只需证明当 x > 0 时, g (x ) < x

2 . 这等价于

1 ?

e ?x

> e ?x /2;

x

也即 e

x /2

? e

?x /2

> x . 为证此式, 令 F (x ) = e x /2 ? e ?x /2 ? x , 则 F ′(x ) = 12 (e x /2

+

e ?x /2

) ? 1 ≥ 0, 且等号成立当且仅当 e x /2

= e ?x /2

= 1, 即 x = 0. 因此 F (x ) 在 [0; ∞)

上单调增, F (x ) > F (0) = 0. 于是 e x /2

? e

?x /2

> x 得证.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)

.

参考答案与评分标准第 5 页