2006西部赛试题

第一天

2006年11月4日 8：00～12：00 江西 鹰潭

一．设n 是给定的正整数，2n ≥，12,,,(0,1)n a a a ∈ . 求

1

n

i =∑

的最大值，这里11n a a +=．

（朱华伟供题） 二．求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a ，b ，c ，d ，都存在a ，b ，c ，d 的一个排列p ，q ，r ，s ，使得方程

22()()0x px q x rx s ++++=

有4个互不相同的实数根． （冯志刚供题）

三．如图，在△PBC 中，60PBC ∠=?，过点P 作△PBC 的外接圆ω的切线， 与CB 的延长线交于点A . 点D 和E 分别在线段P A 和圆ω上，使得90DBE ∠=?，PD ＝P E . 连接BE ，与PC 相交于点F . 已知AF ，BP ，CD 三线共点．

（1） 求证：BF 是PBC ∠的角平分线； （2） 求tan PCB ∠的值． （熊斌供题）

四．设正整数a 不是完全平方数，求证：对每一个正整数n ，

2

n

n S =

+++

的值都是无理数．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数． （陶平生供题）

第二天

2006年11月5日 8：00～12：00 江西 鹰潭

五．设{}1,,1S n n n n =-+都可以表示为两个正整数的平方和．证明：若n S ∈，则2n S ∈．

（王建伟供题）

六．如图，AB 是圆O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作圆O 的割线，与圆O 交于D ，E 两点，OF 是△BOD 的外接圆O 1的直径，连接CF 并延长交圆1O 于点G ．求证：O ，A ，E ，G 四点共圆． （边红平供题）

七．设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数．证明：如果cos(1)k θ-和

cos k θ都是有理数，那么存在正整数n k >，使得cos(1)n θ-和cos n θ都是有理数．

（李伟固供题）

八．给定正整数(2)n ≥，求X 的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集12,,,n B B B ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：

（1）Y n =；

（2）对1,2,,i n = ，都有1i Y B ≤ ． 这里A 表示有限集合A 的元素个数． （冷岗松供题）

A

解 答

第六届中国西部数学奥林匹克

第一天

2006年11月4日 8：00～12：00 江西 鹰潭

一．设n 是给定的正整数，n ≥2，12,,,(0,1)n a a a ∈ . 求

1

n

i =∑

的最大值，这里11n a a +=．

解 由AM －GM 不等式，得

),

3(6

1

2)21(61

22

1212121)1(2

)1(132

13

261646

1+-?=+-+?

≤????

-=-++++i i i i i i i i a a a a a a a a

所以

,

2

3612)3(612)

1(33

2113

21

6

1n n a a a a n

i i i n

i i i =??=+-?≤-∑∑

=+=+

等号成立当且仅当2

1

21=

===n a a a .故y 的最大值是3

2

n

.

二．求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a ，b ，c ，d ，都存在a ，b ，c ，d 的一个排列p ，q ，r ，s ，使得方程

22()()0x px q x rx s ++++=

有4个互不相同的实数根．

解 所求最小正实数4=k .

一方面，若4

02=++q px x 的判别式0444442=-≤-<-=?k k q k q p ，该方程无实数根.所以，4≥k .

另一方面，设d c b a ,,,是不小于4的4个不同实数，不妨设d c b a <<<≤4，考察方程 ,02=++a dx x （1） 和

02=++b cx x .

（2）

首先，0)(44,0)(4422>->->->-b c b c a d a d ，故（1）、（2）都有两个不同实根. 其次，若（1）与（2）有公共实根β，则???=++=++,

0,022b c a d ββββ两式相减，得0>--=c d a b β，

这时，02>++a d ββ，矛盾.所以，（1）与（2）没有公共实根，从而4=k 符合要求. 综上，问题的答案为4=k .

三. 如图，在△PBC 中，60PBC ∠=?，过点P 作△PBC 的外接圆ω的切线， 与CB 的延长线交于点A . 点D 和E 分别在线段P A 和圆ω上，使得90DBE ∠=?，PD ＝P E . 连接BE ，与PC 相交于点F . 已知AF ，BP ，CD 三线共点．

(1) 求证：BF 是PBC ∠的角平分线； (2) 求tan PCB ∠的值．

解（1）当BF 平分PBC ∠时，由于90DBE ∠=?，所以，BD 平分PBA ∠，于是

1PF CB AD PB BC AB

FC BA DP BC BA PB

??=??=， 所以，由Ceva 定理的逆定理知，AF ，BP ，CD 三线共点．

若还有一个角D BF ''∠满足

90D BF ''∠=?，且,,AF BP CD ''三线共

点，不妨设F '在线段PF 内，则D '在线段AD 内，于是

PF PF F C FC '<'， A D A D

P D P D

'<'，

所以

1PF CB AD PF CB AD

F C BA D P FC BA PD

''??

所以，BF 是PBC ∠的内角平分线．

（2）不妨设圆O 的半径为1，PCB α∠=，由（1）知，

30PBE EBC ∠=∠=?，

E 是 PC

的中点．因为30MPE PBE ∠=∠=?，30CPE CBE ∠=∠=?，所以由PD ＝PE 知，15PDE PED ∠=∠=?，21sin30,2cos15PE DE =???=?．

又2sin 2sin(30)BE ECB α=∠=+?，1515BED BEP α∠=∠-?=-?，所以，在直角三角形BDE 中，有

2sin(30)

cos(15)2cos15BE DE αα+?-?=

=?，

cos(15)cos15sin(30)αα-??=+?， cos cos(30)2sin(30)ααα+-?=+?，

cos cos cos30sin sin30cos ααααα+?+?=+，

1

1tan 12

αα+

=+， 所以

tan α=．

四．设正整数a 不是完全平方数，求证：对每一个正整数n ，

2

n

n S =

+

++

的值都是无理数．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．

证明：设()2

21c a c <<+，其中整数1c ≥

，则c =，且2

12a c c ≤-≤

，而

c =

=

．令

*),,k

k k k k c x y k N x y Z ==+∈∈.

则 ()(

1212......n n n S x x x y y y =+++++++ ……①

下面证明，对所有正整数n ，1

0n

n k

k T y

==

≠∑.由于

)

)(

1

1()(k k k k k k k k k x y c

c x y ay cx x cy ++++=

=

+=-+-

所以 11.

k k k k k k x ay cx y x cy ++=-??

=-?，

由11,1x c y ==可得22y c =-. 消去{}k x 得，

()2212k k k y c y a c y ++=-+-， ②

其中121,2y y c ==-.

由数学归纳法易得

2120,0k k y y -><． ③

由②和③，可得

222212122

2221212(21)()0,(21)()0,

k k k k k k k k y y c y a c y y y c y a c y ++++++-=-++-<+=--+-<

相乘得 2222210k k y y ++->，又因22

210y y ->，故212k k y y -<．

又由

22122212

212221(21)()0,(21)()0,

k k k k k k k k y y c y a c y y y c y a c y +-+--=-++->+=--+->

相乘得 222120k k y y +->，即221k k y y +<．

所以，对所有正整数n ，都有

1n n y y +< ． ④

故由③ ④得，对所有正整数n ，都有2122210,0k k k k y y y y -++<+>．因此

211232221()...()0n n n T y y y y y ---=+++++>， 21234212()()...()0n n n T y y y y y y -=++++++<，

从而对所有正整数n ，都有0n T ≠，故由①知，n S 是无理数.

第六届中国西部数学奥林匹克

第二天

2006年11月5日 8：00～12：00 江西 鹰潭

五．设{}

1,,1S n n n n =-+都可以表示为两个正整数的平方和．证明：若n S ∈，则2

n S ∈．

证明 注意到若x ，y 是整数，则由奇偶性分析知

220,1,2(mod4)x y +≡．

若n S ∈，则由上知1(mod 4)n ≡．于是可设

221,n a b a b -=+≥，

22,n c d c d =+>（c ，d 不可能相等）

， 221,n e f e f +=+≥，

其中a ，b ，c ，d ，e ，f 都是正整数．

则2

2

2

11n n +=+，22222222()()(2)n c d c d cd =+=-+，

2222222)()())((1be af bf ae f e b a n ++-=++=-．

假设b ＝a ，且f ＝e ，则2212,12n a n e -=+=，两式相减得，2

2

1e a -=，则1e a -≥，而2

2

1()()1e a e a e a =-=+->，矛盾！

故b ＝a ，f ＝e 不可能同时成立． 所以，0ae bf ->，于是2

n S ∈．

六．如图，AB 是圆O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作圆O 的割线，与圆O 交于D ，E 两点，OF 是△BOD 的外接圆O 1的直径，连接CF 并延长交圆1O 于点G ．求证：O ，A ，E ，G 四点共圆．

证明 连接AD ，DG ，GA ，GO ，DB ，EA ，EO ．因为OF 是等腰△DOB 的外接圆的直径，所以OF 平分DOB ∠，即2DOB DOF ∠=∠．又

1

2

DAB DOB ∠=

∠， 所以 DAB DOF ∠=∠．

又 DGF DOF ∠=∠，所以DAB DGF ∠=∠，所以，G ，A ，C ，D 四点共圆．所以

ADC AGC ∠=∠． ①

而 2

π

+

∠=∠+∠=∠AGO OGF AGO AGC ， ②

2

ADC ADB BDC BDC π

∠=∠+∠=

+∠， ③

结合①，②，③得 AGO BDC ∠=∠． ④ 因为B ，D ，E ，A 四点共圆，所以

BDC EAO ∠=∠， ⑤

又OA ＝OE ，所以

EAO AEO ∠=∠． ⑥

由④，⑤，⑥得 AGO AEO ∠=∠，所以，O ，A ，E ，G 四点共圆．

A

七．设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数．证明：如果cos(1)k θ-和cos k θ都是有理数，那么存在正整数n k >，使得cos(1)n θ-和cos n θ都是有理数．

证明 首先，我们证明如下结论：设α是一个实数，如果cos α是有理数，那么对任意正整数m ，cos m α是有理数．

对m 用数学归纳法．

由cos α是有理数，得2

cos 22cos 1αα=-也是有理数． 设对一切)2(≥≤l l m ，cos m α是有理数，则由

αααα)1cos(cos cos 2)1cos(--?=+l l l

知α)1cos(+l 也是有理数，即当1+=l m 时命题也成立．

由上述结论，对,(1)k k αθθ=-，分别令,1m k k =+得到22

cos ,cos(1)k k θθ-都是

有理数，又2

k k >，从而命题得证．

八．给定正整数(2)n ≥，求X 的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集

12,,,n B B B ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：

（1）Y n =；

（2）对1,2,,i n = ，都有1i Y B ≤ ． 这里A 表示有限集合A 的元素个数．

解 12||m i n

-=n X . （1）当22||-=n X 时不一定存在条件的Y.事实上，令}22,,2,1{-=n X ，考虑X 的

一个划分}22,32{,},4,3{},2,1{121--===-n n B B B n .因为n Y =||，因此Y 中至少有两个元素属于同一个j B ，故此时1||>?j B Y ，矛盾.

（2）下证12||-=n X 符合题意.

记 n

i i B B 1==，z n B --=12||，则存在z 个在所有i B 中未出现的元素，记为z a a a ,,,21 .

如果1-≥n z ，则取B d d a a Y n ∈=-},,,,{11 便可.

下设1-

设在n B B B ,,,21 中仅出现1次的元素有t 个，因∑==n

i i n B 12||，则

n t z n t 2)12(2≤---+，

所以 z n t 222--≥.

故在n B B B ,,,21 中出现的次数2≥的元素至多累计出现了z z n n 22)222(2+=---次.

考虑在n B B B ,,,21 中出现一次的元素t b b b ,,,21 ，于是n B B B ,,,21 中的元素不含

t b b b ,,,21 的j B 至多有

z z

+=+12

22个. 故至少有1)1(--=+-z n z n 个j B 含有t b b b ,,,21 .

不妨设z n B B B --121,,, 分别含有t b b b ,,,21 中的元素z n b b b --121~

,,~,~ ， （如果这样)11(z n l B l --≤≤中有多个只选一个）.

因为1222)1(2-<--=+--n z n z z n ，所以必有某个元素d 不出现在z n B B B --121,,, 中

且出现在n z n B B ,, -中，记{}

d b b b a a a Y z n z ,~

,,~,~,,,,12121--= ，则Y 满足要求.