大学一级高等数学试题及答案
期
末总复习题
一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r =-1。
2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为z=x 2+y 2。
3、级数1113n n n ∞
=??+ ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周2
22a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?=a π 5．交换二重积分的积分次序：??--0121),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121??
6．级数∑∞
=+1)1(1n n n 的和为1。 二、选择题
1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（B ）
A 、重合
B 、平行但不重合
C 、一般斜交
D 、垂直
2.下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（C ）
A 、2221x z +=
B 、2221y z +=
C 、2221x y +=
D 、22221x y z ++=
3.设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1)1
D x x y dxdy x y ++=++??（A ） A 、2πB 、0C 、1D 、4π
4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D
dxdy （A ）
A 、π16
B 、π4
C 、π8
D 、π2
5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（A ）
A 、216i j -+
B 、216i j --
C 、216i j +
D 、216i j -
6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（B ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、6
7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（D ）
A 、3x x y e e C =++
B 、3x x y e Ce =+
C 、3x x y Ce e =+
D 、312x x y C e C e =+
8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1n n u ∞
=∑收敛的（B ） A 、充要条件B 、必要条件C 、充分条件D 、什么也不是
三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ??-的夹角.P7
四、一平面垂直于平面0154=-+-z y x 且过原点和点()3,7,2-，求该平面方程.（参考课本P7例题）
五、设,,,22xy v y x u ue z v =-==求y
z x z dz ????,,.P19 六、求由z xyz sin =所确定的函数()y x z z ,=的偏导数
y z x z ????, 七、求旋转抛物面2222y x z +=在点
??? ?
?-2,21,10M 处的切平面和法线方程. 八、求函数())2sin(,y x xy y x f ++=在
点()0,0P 处沿从点()0,0P 到点()2,1Q 的
方向的方向导数。O
221202
142b -a b a ))((cos 2
31))((2
)301()(b - a 2
)301(a b a 0
ab
b a =∴==?+-+=∴-=-=-+=+-=-==++=+=+=∴⊥θθ ）（ 解：b a b a b a b a b a b Θ0
z y 13x 470
5B 4-A 54-1n 0
C 3B A 2-0
D 0
D Cz By Ax =++=+∴⊥=++==+++故有： ，， 又， 依题可得解：设平面方程为C Θ)2()2()2()2()()()22()()()(z du z dz 23322332222222xy y x e y
z y y x x e x z dy
xy y x e dx y y x x e xdy ydx e y x ydy xdx e xy d e y x y x d e dv ue du e dv v u xy xy xy xy xy xy xy xy v v --=??-+=??--+-+=+-+-=-+-=+=??+??= ，进而可得
变性，得解：由全微分方程的不
{}55
225115
2)0,0(51)0,0(2
)0,0(,1)0,0()2cos(2),(),2cos(),(5251PQ 21)0,0(0=?+?=?'+?'=??='='∴++='++='?
?????== 故又，上单位向量易知的方向，
，即向量解：这里的方向x x y x y x f f f
f f y x x y x f y x y y x f ιιιΘ 九、计算二重积分??D xydxdy ，其中D 是由x 轴，y 轴与单位圆122=+y x 在第一象限所
围的区域.
十、计算L
yds ??，其中L 是顶点为()0,1A ，()1,0B 和()0,0O 的三角形边界.（参考P79例2）
十一、求微分方程0sin cos cos sin =-ydy x ydx x 满足初始条件40π
==x y 的特解.P167