两自由度系统的振动
5-1 如图所示的系统，若运动的初始条件：,0,mm 5,0201010====x x
x t 试求系统对初始条件的响应。
解：
112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ω?ωω?ω?ω-??
=??-??
-??????????+=??????????-??????????+-=+-===++++==
==2带入可得运动微分方程：m,00,m 令代入原方程可得
-mA 有
时，1020120,
cos 5,sin 0,5,0
().x x A A A mm x x mm ?ω??===-=====有可得
ω有两个值
12p p =
=
15522x =+
255c o c 22x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标，设m m m ==21，l l l ==21，021==k k ，试求系统的固有频率和主振型。
解：设1m 沿1x 方向移动1个单位，保持
2m 不动，对2m ，1m 进行受力分析，可得：
212
2()0,
m A k
l m g =--=∑2212m g k l =-
11
12111212122
111211112()()()0
m B k
k k l m m g m m m m m g
k g k k g k l l l =-+-+=++=
+-=++∑
同理使2m 沿2x 方向移动一个单位，保持1m 不变，对2m 受力分析可得：
22
222()()*0m C k
k l m g =--=∑，
22222m g k k l =+
；
刚度矩阵为
11211222,,k k k k ??=????k ，质量距阵12,00,m m ??=????m ， 带入可得运动的微分方程为：mx kx F +=
12,00,m m ??
????
12x x ??????+11211222,,k k k k ??
????12x x ????
??=F ；
综上解得：?????
????=????
??++-=-???? ??++++)()(222221222212221
2212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g
m x g l m g l m m k x m
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程，
对1m ：
∑=0X ，0sin sin 1221111
=---k T T k
θθ
∑=0Y ，0cos cos 1
2
2
1
1
=--g m T T θθ
对2
m ： ∑
=0X ， 0sin 2
2
21
=+θT k
∑
=0Y ， 0cos 2
22=-g m T θ
设1,021==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2212,k k ，列 平衡方程，
对1m ：
∑=0X ， 0sin 2
12
=+θT k
∑=0Y ， 0cos 1
2
1
=--g m T T θ
对2
m ： ∑=0X ， 0sin 2
2
22
=--θT k k ∑=0Y ， 0cos 2
2=-g m T θ
由，
1111tan sin l =
≈θθ，2221
tan sin l =≈θθ，1cos cos 21≈≈θθ，1cos ≈θ，
21
tan sin l =
≈θθ， 解得，
22121111)(l g m l g m m k k +++=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，22
222l g
m k k +=
得作用力方程为
???
???=????????????
?????
?+
--
++++???????????
?)()()(0021212222222
212112121
t P t P x x l g m k l g m l g m l g m l g m m k x x m m l 由方程得到系统的刚度矩阵为
K =??
???
?????--l mg l
mg l mg l mg
3
系统的质量矩阵为
M =?
????
?m m 00 由频率方程
2=-M K p ，得
0322=----m p l mg l mg l mg
m p l mg
展开为0242
222224=+-g m g m lp l m p ，解出频率为
g l p )22(1-=
g l p )
22(2+=
由特征矩阵M K B 2
p -=的伴随矩阵的第一列，
?
?????????-=l mg m p l
mg adj 2)
1(B 并分别代入
二频率值，得到二阶振型为
1213mg
l V mg
p m l
=
=
-
，
2213mg
l V mg
p m l
=
=
-
????? ??+=1211)
1(A ，????? ??-=1211)1(A 系统的主振型矩阵为
????????-+=11
211
2
11A 5-3 图示的扭振系统由无质量的轴和两个圆盘组成，已知轴段的扭转刚度为k θ1及k θ2，圆盘的转动惯量为I 1、I 2，并受到扭矩M 1、M 2的作用，试写出系统运动的微分方程，并求系统的固有频率和主振型。
题5-3图
解：取 12,θθ为广义坐标，它们分别为M 1、M 2的转角。
当1θ=1，2θ=0时，1121,k k 分别表示保持系统该位置平衡，应加在M 1、M 2的力偶矩， 由刚体的平衡条件得
1101022102
k k k k k =+=-
当1θ=0，2θ=1时，1121,k k 分别表示保持系统该位置平衡，应加在M 1、M 2的力偶矩，
由刚体的平衡条件得
22022102k k k k ==-
对12,θθ取任意值时，根据达朗贝尔原理，可得系统的微分方程为
111111221222112222I k k M I k k M θθθθθθ++=++=
即
11010210221220210222
()I k k k M I k k M θθθθθθ++-=-+=
5-4 图示悬臂梁的质量不计，梁的抗弯刚度为EI ，设m m m ==21，试写出系统运动
的微分方程，并求系统的固有频率和主振型。
题5-4图
解：取为12,x x 广义坐标，根据柔度影响系数的定义，11δ表示在1m 处施加单位力（沿1x 方向）在1m 处产生的位移。按材料力学的挠度公式，则有
3
311()2324l
l EI EI δ==
22δ表示在2m 处施加单位力（沿2x 方向）在2m 处产生的位移。有
3
223l EI δ=
1221δδ=表示在2m 处施加单位力在1m 处产生的位移等于在1m 处施加单位力在2m 处
产生的位移。有
23
312211()
52424248l l l EI EI EI δδ==+=
系统的位移方程
1111111222222111122222()()
()()x F m x F m x x F m x F m x δδδδ=-+-=-+-
即有所求微分方程为
3
3111133
222250244805483l l x F m x EI EI x F m x l
l EI
EI ??
??????????????=- ?????????????????????????
∴其柔度矩阵为
3111221221181613116l EI δδδδ??
????=????????
????Δ=
∴系统的特征矩阵为
3213n
l EI p αλ==令且
2
0(
)()()816m m m ααλαλ=∴--=L
12128L m m p p α
λλα∴=
=∴==
且矩阵的伴随矩阵为
(1)(2)
--16-1681111414m m m m ααλααλ?
?????
??
-????????
??∴==????-??
??A A
系统的主振型为且
解：系统的质量矩阵
M=?
????
?m m 00。 首先仅在质量m 1
处施加竖直单位力Q=1，则m 1
产生的位移是：δ
11；m 2
产生的
位移是：δ21。画出m 1
的受
力图，如图（1）。
21
23
11
()21''()
211'()2211()46l M x x l v x EI l v x x c EI l v x x c x d EI =
-=-=-+=-++
0x =时,'v =0,所以1c =0；v ，所以1d =0。 2l
x =
时，
31124l EI δ=； 以为θ非常小，所以有sin 'v θθ≈=，
3
21115sin 248l l EI δδθ=+=
再在2m 上施加单位力，则1m 处产生的位移为12δ，2m
处产生的位移为22δ。画出2m 的
受力图如图（2）。
22
23
22
()1
''()11'()2111()26M x l x
v l x EI v lx x c EI v lx x c x d EI =-=
-=-+=-++
0x =时，'0v =，所以20c =；0v =，所以20d =。 2l
x =
时，312545l EI δ= x l =时，3
221648l EI δ=
于是可以写出柔度矩阵
32551648l EI
???=
????
系统的特征矩阵
2322102515161480p ml L M I p EI p ??
??????=?-=-??????????
令3
48ml EI α=，21p λ=，则有
25516L αλαααλ-??=??-?? 频率方程，0L =得
2
(2)(16)250αλαλα---= 求出各根117.6λα= 20.4
λα=
于是得到固有频率
1p =
2
10.p =为求系统的主振型，先求adjL
16552adjL αλαααλ--??=?
?--?? 将1λ，2λ分别代入第一列，则各阶主振型为
(1)0.321A ??=???? (2) 3.121A -??=??
??
5-5 如图所示，拉紧的无质量弦上附着两个质量m 1与m 2，假定质量作横向微振动时弦中拉力F T 不变，设m m m ==21，试写出系统运动的微分方程，并求系统的固有频率和主振型。
题5-5图
解：在竖直方向以m 1为坐标原点建立y 坐标（正方向竖直向下）。
令m 1有单位位移
1y =1，而2m 保持不动，1112k k 分别表示保持系统在该位置平衡，应在
12m m 施加的力，由刚体12m m 的平衡条件得11212/,/t t k F l k F l ==-。
再令
2
m 有单位们移
2
y =1，同理可得
1222/,2/t t k F l k F l =-=。
因此，可得到刚度矩阵
111221222///2/t t t t F l F l k
k K F l F l k k -????== ?
?-???? 可写出系统运动的微分方程为..
0M x Kx +=，
整理后得
..122//00/2/00t t t t F l F l m x x F l F l m -??????
+= ? ? ?-??????
解：令1x =1，2x =0
11k =2T F sin θ=2T F tan θ=2T F 1l =2T
F l (θ→0) 21
T F k l =-
令211,0x x ==
同理得
222
T F k l =12T F k l =-
图5——
5
所以系统运动的微分方程为：
111222200020T
T T T F F m x x l l m x x F F l l ??-
??????????
+=??????????????????
??-????
1211111122122122
n n 2
n
2
212x ,x 12l T
T
1l
2l
3T
2l l 3T 3T
21l 123T 1021101ml 1
L=M-011201p 3T p ml 1=3T p 2-L=L 02-32-δδδδδδαλαλααλαλαλαα
αλ∴+=?=
===??∴?
=
????
??????
∴?=-????????????
=??∴?=?=?==????∴解：取为广义坐标。
对球的进行受力分析。同理可得，，令，（）且121122p p 2-L 2-13A 11A 1
αλ
αααλλαλα==
???
???
?
?=?=??
??
??=?=??
-??
（）（）
的伴随矩阵为
解：系统的质量矩阵M=?
?????m m 00。
首先仅在质量m 1
处施加竖直单位力Q=1，则m 1
产生的位移是：δ
11；m 2产生的位移是：δ
21
。
画出m 1
的受力图，如图（1）。
11
21
2222(2)1
232222111T
T
T
F F l
l
l F L p adjL L M I p
A δδδαλαααλαλαααλ+==
-??=?
?-??
=
--??=?
?--??
=?-
=-??
=??
??由受力平衡得： 11211
T T F F l l δδ
+= 1123T l F δ= 213T l F δ=
同理，2m 受单位力时，得
123T l F δ=
2223T l
F δ=
于是可以写出柔度矩阵
21123T
l F ???=
????
系统的特征矩阵
2221021112130T p ml L M I p F p ??
?
?????=?-=-???
??????
?
令
3T ml F α=， 2
1p λ=则有： 22L αλαααλ-??=?
?-?? 频率方程，
0L =得
22(2)0αλα--=
求出各根
1λα= 23λα=
于是得到固有频率
1p =
2p =
为求系统的主振型，先求adjL 22adjL αλ
αααλ--??=?
?--??
将1λ，2λ分别代入第一列，则各阶主振型为 (1)
11A ??=??-?? (2)11A -??=????
5-6 图中刚性杆的质量不计，按图示坐标建立微分方程，试求出系统固有频率和主振型。
解：
当m 下降单位长度时，根据系统受力平衡和m 所受力矩为零得：
11212120220k k k k kl k l k l -+++=??
++=? 解的112154k k
k k =??=-? 同理得221254k k
k k =??
=-?
系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为
题5-6图
002m M m ??=???? 5445k
k K k k -??=??-?
? 由..0M x Kx +=得微分方程 ..11..2205400450x x m k k m k k x x ??
-????????
??+=??????????-??????????
系统的特征矩阵为
2254452k p m k B k k p m ??--=??--?? 由频率方程
22
540452k p m k k k p m --=-- 得 2
4221590k k p p m m ????-+= ? ?????
解得
21 6.85k p m = 2
20.65
k p m =
固有频率为
1p =
20.8p =特征矩阵的伴随矩阵
2252445k p m k adjB k k p m ??--=??--?? 将固有频率值代入，得主振型()
110.4625A ??=????，
()211.0875A ??=??-?? 或由公式求固有频率和主振型
令
11115k k a m m =
=，12114k k b m m =-=，21222k k c m m =-=，222252k k d m m ==
则
21,2
2
2a d a d p +-??=
???2
11a p b ν-=
2
2
1a p b
ν-=
把数据代入以后的结果是:
12120.921, 2.171p p νν====-
5-7 试求图示系统的固有频率和主振型。已知m m m 2221==。
5-8 刚杆AB 长l ，质量不计。其一端B 铰连接，另一端刚连一质量为m 的物体A ；其下连接弹簧常量为k 的弹簧，并挂有质量为m 的物体D ，杆AB 中点用弹簧常量为k 的弹簧拉住，使杆在水平位置平衡，试求系统的固有频率。
题5-8图
解：
x 1,0==D A x : k k k k -==2111,; x 0,1==D A x : k 012=+k 2211222l k
l k l k =+
解得k
k k k 45,2212=
-=
..111..22200504k k m x x m x k k x -????
???????
?+=????????-?
????????
?
由
M
P K 2
-＝0知
题5-7图
221
24
5
m p k k
k m p k ----=0
228659m mk
mk p ±=
P m k
p m k 342.0,46.121
== 解：给杆AB 一单位转角，则有
0B
m
=∑，
则11022l l
k k l l k ??+??-=，所以
2
1154
l k =
对物体D 有 210k kl +=，所以21k kl =- 给物体D 一单位位移，则
对物体D 有220k k
-=，得22k k =
又1221k k kl ==-
所以刚度矩阵为
254kl kl K kl k ??-??=??
-?? 所以2112250040x m x kl kl x m x kl k ??
-????????+=??????????????-?
?
由
20
K p M -=即
2
22504
kl p m kl
kl k p m --=--
∴系统的固有频率为
12p p ==
5-9 两根相同的重为W 的杆，在中简铰支，杆长为2a 。两杆的端点以弹簧k 和k 1联接如图。试求这一系统的固有频率及主振型。
题5-9图
5-10 一刚性圆盘质量为M ，半径为R 。圆盘轴心上铰联一根长为l 的臂，臂端带有一个质量为m 的摆锤，如题5-10图所示。求摆锤自由振动时的固有频率。
广义坐标为x 1和x 2，它们完整地确定了系统的位置，并且对任意约束都是独立的。
2
221212
222212
12121221212121x m x M x M x m MR x M T +??? ??+1=
+??? ??+=θ
因 θR x =
2
122
)(22)cos 1(x x l mg mgl mgl U -??
? ??=??? ??=-=φ
φ
令1x q i =，用拉格朗日方程
)22(2)(21)(d d 12111
1x x l mg x U x M x M x T t +-??? ??=??+=??
?
???????? ??
于是可得到运动方程：
0)(23211=-???
??+x x l mg x m
令2x q i =，用拉格朗日方程
)22(2)()(d d 12222x x l mg x U x M x
T t -???
??=??=???
???????? ?? 可得运动方程为
)(122=-??? ??+x x l mg x m
假定t X x t X x ωωsin ,sin 2211==，就可求解这个运动方程组。
00
23221221=?
?????-??? ??+????????? ??-=??????-+????????? ??-??? ??ωωm l mg X l mg X l mg X M l mg X
因此，可得频率方程
题5-10图
0232324=???
?
????? ??+??? ??-??? ??M m l g M ωω
可以得到ω = 0或l g
M m )3/21(+=
ω
且M m
X X 3221-=。
5-11 题5-11 (a) 图所示两层刚架式框架。各层楼面质量分别为m 1=m ，m 2=2m ；各层
的侧移刚度k
h EI k i ==324（该层柱子上，下两端发生单位相对位移时，该层各柱剪力之和），试分析其自由振动。设横梁变形略去不计。
解：（1）求刚度矩阵[K ]和质量矩阵[M ]
在各楼层处附加水平链杆，并分别使各层产生一单位位移。由各层的剪力平衡条件，可求得各刚度影响系数，其数值分别如图5-11(b)、(c)所示。得刚度矩阵为
????
??
??--=21
11
][k K
(a)
质量矩阵为
????
??
??=???
???
??=21
][21
m m m M
(b)
（2）频率分析 引入符号
2ωηk m =
(c)
则由式(3-12)知
221
11|][][|2
=----=
-η
ηωM K (d)
展开上述频率方程，得
01422=+-ηη
(e)
解得式(e)的两个根为
题5-11图
?
???
???=+==-
=707.122
1293.022
121ηη
(f)
将式(f)代入式(c)，可得两个自振频率
?
?
??
??
?====
m k m k m k m k 401.6650.22211ηωηω
(g)
（3）振型分析 由振幅方程(3-11)得
{}0)2()1(221
11=???
???????????????----χχηη
)
2,1()
1(21)
1()2(=-==
j j j j j ηχχρ
707
.022
)1(21707
.022
)1(212211-=-=-=
==-=ηρηρ
两个振型的大致形状如图5-11(a)、(b)所示。
题5-11图
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
两自由度系统有阻尼受迫振动
6□ 6-1 两自由度系统有阻尼受迫振动 图6－1 两自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-2 图6－2 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2）
虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号 两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-3过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的某一选项（共7项），可使示波器显示相 应的内容。 电压表 ：选择“1号点”，显示1号传感器的输出电压。选择“2号点”， 显示2号传感器的输出电压。 频率计 ：显示加速度信号的频率。 李萨玉图 ：观察1号加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭 信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 将频率计当前的读数和1号、2号传感器当前的输出电压 同时拾取到测试数据表格中。“幅值1”为1号传感器的输出电压，“幅 值2”为2号传感器的输出电压。若重复拾取某一频率的数据，则当 前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取频率计当前的 读数和1＃、2＃传感器当前的输出电压。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图6 －3）。
图6－3
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-4一、实验目的 ? 了解和掌握两自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现 象。 ? 理解两自由度系统固有振型的物理概念。 ? 巩固基本振动测试设备的操作与使用。 二、实验仪器 ? 两自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图6－1将综合实验台装配成两自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图6－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“两自由度系统有阻 尼受迫振动”实验操作界面（图6－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放大 器的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（用
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
0727第三章 两自由度系统振动(讲)
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
第三章两自由度系统振动
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=， ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在
于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
[整理]matlab二自由度系统振动.
利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑
块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：
第5章--两自由度系统的振动
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
20 习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值1 2.41 =+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 36022 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.03604)1(02 2 2 2 == +-= λ ζλ 2 2 2 122tg λ ζλωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 ===+η 489 .3π2797 .0ln 8 .1ln == == ==d d d d d T p T n T nT ηη 又 2 2 n p p n d -= 有 579.32 2 2 =+=n d n p n p p 45 .51255 .1298 .0374.0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045.0838 .0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838 .0579.332 2 2 2=== -??= ==??+-= ===== = ααζωλB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
21 质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n = =1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 2 22()sin sin()sin() st Q W W k x w e w t x g g W Q x kx w e w t g g kg Q x x w e w t W W ππ-σ+- = +=++ = + 所以： 2n kg P W Q h w e W = = ， 又因为st st W W k k =σ= σ即 22() st st B w e B W g w = σ-σ将结果代入： Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωc o s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比
:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向
振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块，加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波，见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际
单自由度系统
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
两自由度系统的振动
5-1 如图所示的系统，若运动的初始条件：,0,mm 5,0201010====x x x t 试求系统对初始条件的响应。 解： 112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ω?ωω?ω?ω-?? =??-?? -??????????+=??????????-??????????+-=+-===++++== ==2带入可得运动微分方程：m,00,m 令代入原方程可得 -mA 有 时，1020120, cos 5,sin 0,5,0 ().x x A A A mm x x mm ?ω??===-=====有可得 ω有两个值 12p p = = 15522x =+ 255c o c 22x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标，设m m m ==21，l l l ==21，021==k k ，试求系统的固有频率和主振型。
解：设1m 沿1x 方向移动1个单位，保持 2m 不动，对2m ，1m 进行受力分析，可得： 212 2()0, m A k l m g =--=∑2212m g k l =- 11 12111212122 111211112()()()0 m B k k k l m m g m m m m m g k g k k g k l l l =-+-+=++= +-=++∑ 同理使2m 沿2x 方向移动一个单位，保持1m 不变，对2m 受力分析可得： 22 222()()*0m C k k l m g =--=∑， 22222m g k k l =+ ； 刚度矩阵为 11211222,,k k k k ??=????k ，质量距阵12,00,m m ??=????m ， 带入可得运动的微分方程为：mx kx F += 12,00,m m ?? ???? 12x x ??????+11211222,,k k k k ?? ????12x x ???? ??=F ； 综上解得：????? ????=???? ??++-=-???? ??++++)()(222221222212221 2212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g m x g l m g l m m k x m 利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程， 对1m ： ∑=0X ，0sin sin 1221111 =---k T T k θθ ∑=0Y ，0cos cos 1 2 2 1 1 =--g m T T θθ 对2 m ： ∑ =0X ， 0sin 2 2 21 =+θT k ∑ =0Y ， 0cos 2 22=-g m T θ
两自由度(无阻尼强迫振动)系统
如图所示两自由度（无阻尼强迫振动）系统，证明在强迫振动共振时系统的运动为主振动。 证： 振动微分方程为 t F x k x k k x m ωsin )(12212111=-++? ? t F x k k x k x m ωsin )(22231222=++-? ? 引入符号 121m k k a += ，12m k b =，22m k c =，22 3m k k d += 111m F f = ，2 22m F f = 则振动微分方程简化为 t f bx ax x ωsin 1211=-+? ? t f dx cx x ωsin 2212=+-? ? 现令 t B x ωsin 11= , t B x ωsin 22= 代入简化的振动方程，得 1212)(f bB B a =--ω 2221)(f B d cB =-+-ω 解之得 2 12 2 2112)()(bf f d f a cf B B +--+=ωω (1) 自由振动时，振动微分方程为 0)(2212111=-++? ?x k x k k x m 0)(2231222=++-? ?x k k x k x m x1 x2 F1sinwt F2sinwt
同理解得主振型为 2 12 2 2112122222)()()()(bf f p d f p a cf f p d cf bf f p a p d c b p a i i i i i i i +--+=-=-=-=-=ν (i=1,2) (2) 由（1）、（2）两式比较可知：当i p =ω时（i=1,2） i i B B ν=)( 1 2 即在系统共振时，系统的振型为主振型，系统的振动为主振动。 李小龙 2017-3-26
第8讲 多自由度受迫振动教案
系统对简谐力激励的响应 设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励，系统受迫振动方程： t i e ω0 F KX X M =+ ω：外部激励的频率； 0F ：广义激励力的幅值列阵T n F F F ][002010??=F 设稳态解：t i e ωX X =，T n X X X ][21 ??=X 代入作用力方程，得：() 02F X M K =-ω 记()1]2[--=M K H ωω，多自由度系统的幅频响应矩阵 0HF X =，t i e ω0HF X = 简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。 工程中：() M K 2ω-称为阻抗矩阵，()12][--=M K H ωω导纳矩阵。 因此H ij 的物理意义为仅沿j 坐标作用频率为w 的单位幅度简谐力时， 沿 i 坐标所引起的受迫振动的复振幅 ()1 2 ][--=M K H ωωM K M K 2 2)(ωω--= adj 由于 H 含有1 2--M K ω，系统的特征方程02=-M K ω 因此，当外部激励频率ω接近系统的任意一个固有频率时，都会使受迫振动的振幅无限增大，引起共振。 动力吸振器 许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这种振动有时可以采用动力吸振器 若忽略主系统阻尼，主系统固有频率：1 1 1m k = ω，为抑制主系统的振动，
在主系统上附加一个弹簧-质量系统，动力吸振器的无阻尼固有频率： 2 2 2m k = ω 通过调节动力吸振器的参数大小，以达到抑制主系统振动的目的。 系统的强迫振动方程： ?? ? ???=????????????--++????????????--+????????????0sin 0002122221212121t F x x k k k k k x x c c c c x x m m ω 当吸振器阻尼为零时，利用直接法t ωsin X X = 稳态响应振幅： ?????????? ??----+=??????-001 222222 12121F m k k k m k k x x ωω?? ? ???-?=22220)(k m k F ωω M K 2)(ωω-=?：系统的特征多项式 2 2 2222121))(()(k m k m k k ---+=?ωωω 212221221421)(k k m k m k m k m m +++-=ωω 当2 2 m k = ω时，外部激励频率等于吸振器的固有频率，主系统不再振动，01=x 。 此时22 )(k -=?ω，吸振器振幅2 2k F x - =，主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡。 吸振器参数 k 2、m 2 一般选为：μ==1 2 12m m k k ，使吸振器的固有频率和主系统的固有频率相等。
两自由度系统的振动
x 1 ax 1 bx 2 x 2 cx 1 dx 2 显然此时 m 2 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 第5章两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问 题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自 由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两 自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以 由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移 z 及平板的 转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问 题就被简化为一个两自由度的系统。 图 21-1 5.1双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩 擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标 X 1、X 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用 X 1、X 2 何 表示。两物体在水平方向的受力图如图 5-2(b)所示, 由牛顿第二定律得 图5-2两自由度的弹簧质量系统 m 1x 1 (k 1 k 2)x 1 k 2x 2 0 m 2x 2 k 2 x 1 k 2x 2 0 (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程 。习惯上写成下列形式 (5-2) k 1 k 2 k 2 k 2 m 1
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程 (5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 x i A i sin( pt ) x 2 A 2 sin( pt ) 或写成以下的矩阵形式 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 a p 2 b A i 0 c d p 2 A 2 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式 (5-5)的系数行列式等于零，即 2 a p 2 b (p 2) p 2 c d p 展开后为 p 4 (a d) p 2 ad be 0 的两个特征根为 (ad bc) (5-7) 由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质， 与运动的初始条件无关， 因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率P 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的 振幅比 (5-3) x i X 2 A i sin( pt ) A 2 (5-4) (5-5) (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率 p 满足的条件, 通常称为频率分程或特征方程。 它是p 2的二次代数方程，它 2 a d 2 bc