22.3.4用一元二次方程解有关传播问题、循环问题、数字问题教学案
22.3.4《用一元二次方程解有关传播问题、循环问题、数字问题》教学案
年级：九学科：数学主备人：关雯清
教学目标：
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实
世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
教学重点：列一元二次方程解有关传播问题、数字问题的应用题
教学难点：发现传播问题、数字问题中的等量关系
教学过程
一、温故互查：
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
二、设问导读：
问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
问题2、要组织一次排球赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
问题3、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的 3倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。
三、自学检测：
1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、
支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
2、小张发信息，收到信息的人再将此信息发给其他人，经过两轮发信息后，共有７２人
收到信息，每轮发信息中，平均一个人发给多少人？
3、有一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互
换后再乘以原数得736，求原来两位数．
四、巩固练习：
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了
182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）
A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182
C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=182×2
2．一个小组若干人，新年互相发送祝福短信，若全组共发送祝福短信72条，则这个小组共（）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
3.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
4、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十
位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
五、拓展延伸：
甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
变式：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因3人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有27人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过2天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
变式：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因a人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，每天平均一个人传染了b人，第一轮后，传染了（）人，共有（）人患病，第二轮后，传染了（）人，
共有（）人患病。整理得：
课堂小结：
传播问题：(1)n
±=（a 表示传染之前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n
a x A
表示传的天数或轮数，A 表示最终的总人数）
循环问题公式：
１、若两队之间只进行一场比赛（单循环）：
２、若两队之间只进行两场比赛（双循环）：
作业：
1、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
2、参加一次商品交易会的每两家之间都签订了一份合同,所有公司共签订了45份合同,
有多少家公司参加商品交易会?
3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被
感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
课后反思：
一元二次方程的应用(流感传染问题)
一元二次方程的应用之流感传染问题 （教学设计） 教学目标 知识目标： 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 情感目标： 1、使学生体会到数学来源于生活，服务于生活的数学思想。 2、使学生通过解决实际问题的过程感知探究学习的乐趣！ 学情分析 1、本节课是继解一元二次方程后的第一课时，因此学生对应用恰当的方法解 一元二次方程还存在一定的问题，教学过程中要继续加强练习。 2、学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，适合自主探究、合作交流 的数学学习方式。 3、九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观 能动性。适合由特殊到一般的探究方式。 重点难点 ?重点：列方程解应用题. ?难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量（简称关系式）；会根据所设的的未知数，列出相应的方程。 教学过程 初步感知能用一元二次方程解决怎样的实际问题
请同学们尝试探究完成这样一个问题： 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个？ 1、教师分析引导： 开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的 每个人又传染了x个人，用代数式示，第二轮后共有_______人患了流感． 2、学生合作交流解析过程。 3、教师检查学生探究情况。 针对探究与应用 请同学们根据探究1的解析思路尝试解决这个实际问题： 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支? 1、学生独立尝试（有问题可以合作交流） 2、学生展示探究结果（个别同学板演） 3、教师强调补充学生解析过程中的问题。 完成堂内作业
一元二次方程应用题(2)——面积、趣味问题
一元二次方程应用题（二）——面积、趣味问题 复习回顾： 1、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。 2、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)^2＝193.6， 即(1+x)^2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 3、关山超市销售某种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元?定价为多少元时能获得最大利润，最大利润是多少？新知学习： 四、面积变形 例1、一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为18m ^2，则花边多宽? 设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长为 m, 练习：在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？ 例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。 【探究问题1】用长度为14米的铁丝网围成一个面积为12米2的长方形小花圃。请结合实际情景和具体情况，设计出你的方案（按100：1的比例画出你所设计的方案示意图） 学生自己设计可行方案，就一些典型的情形进行讨论交流。可能出现的情况：若长方形小花圃四周都用铁丝网围成（如图1）； 若一边靠墙围（如图2）； x 解：设截去正方形的边长厘米， 则图中虚线部分长等于______厘米， 宽等于_________厘米
配方法解一元二次方程导学案[1]
配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.
2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
因式分解法解一元二次方程导学案(教师版)
24、2因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、会灵活选择合适的方法求解一元二次方程 学习重点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 学习难点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、根据方程特征选择适当的方法解一元二次方程 温故而知新 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 (1) x2-x (2) x2-4 (3) x2-2x+1 (4) x2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为零。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程 （1）x(x-1)=0 （2）(x-3)(x-5)=0 （3） (x+1)(x-4)=0 5、思考：试试这个吧！（要求群学） 解方程：x2=3x
闪亮登场 1、试一试 （群学）试着用上面的方法求解一元二次方程 x 2 =3x （请一名同学上台演示，必须说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义（投影) 先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。 3、总结因式分解的步骤 （学生总结） （投影展示）【右化零，左分解，两因式，各求解】 4、把关练习（师傅把关） (1)x(x-2)+x-2=0 (2)(x －1)(x ＋2)=2(x ＋2) (3)5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 (4)x 2-12x+35=0 5、找找茬 （对学） 有一个很爱动脑筋的同学，又发现了一种更简洁的解法，大家看一看，这样行吗？ x 2 =4x 解：方程同除以x ，得 x=4
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案
3.4用因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 学习过程 一、课前预习： （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、课内探究 1、自主学习： 思考下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2、合作交流： 先自己完成，后小组对照答案，改正错误 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式 解：（1） （2）移项，得
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳
实际问题与一元二次方程题型归纳总结 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。 （1）审：审清题意，弄清已知量与未知量； （2）找：找出等量关系； （3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （4）列：列出一元二次方程； （5）解：求出所列方程的解； （6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （7）答：作答。 二、典型题型 1. 数字问题 例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。 例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。 练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。 2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（） A. 25 B. 36 C. 25 或36 D. -25 或-36 2. 传播问题：公式：（a+x）n=M 其中a 为传染源（一般a=1），n 为传染轮数，M 为最后得病总人数 例3 、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？ 3. 相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题1 n（n-1），双循环问题n（n-1）. 2 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有多少个队参加比赛？ （2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90 场比赛，共有多少个队参加比赛？ 66，请问参加例5 、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握 手会议的人数共有多少人？ 例6 、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1 件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（） A. x x 1 182 B. x x 1 182 C. 2x x 1 182 D. x x 1 182 2 练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？ 2、参加一次聚会的每两人都握了一次手, 所有人共握手15 次, 有多少人参加聚会? 3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
公式法解一元二次方程导学案
公式法解一元二次方程导学案 主备人： 组长： 包科领导： 学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 学习重点： 求根公式的推导，公式的正确使用 学习难点： 求根公式的推导 预 习 案 1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能 否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解： 移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况： （1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得： 即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。 （3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取
任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 探 究 案 一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0， 当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。 （2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。 当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。 （4） 一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的 判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根 三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写） （1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：
用一元二次方程解决传播问题含答案
用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B) A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100 B．x(1＋x)＝100 C．1＋x＋x2＝100 D．x2＝100 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得 1＋x＋x2＝111. 解得x1＝10，x2＝－11(舍去)． 答：每个支干长出10个小分支．
知识点2 握手问题 4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28． 整理，得x 2－x －56＝0． 解得x 1＝8，x 2＝－7． 合乎实际意义的解为x ＝8． 答：应邀请8支球队参赛． 6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值． 解：由题意，得12n(n －1)＝45. 解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)． 答：n 等于10.
作业用一元二次方程解决传播问题
作业用一元二次方程解 决传播问题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1 传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( ) A．10只 B．11只 C．12只 D．13只 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支． 知识点2 握手问题 4．“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己
的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是( ) A．x(x＋1)＝210 B．x(x－1)＝210 C．2x(x－1)＝210 D.1 2 x(x－1)＝210 5．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( ) A．x(x－1)＝10 B.x（x－1） 2 ＝10 C．x(x＋1)＝10 D.x（x＋1） 2 ＝10 6．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，若共要比赛110场，则共有________个队参加比赛( ) A．8 B．9 C．10 D．11 7．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值． 知识点3 数字问题 8．两个连续偶数的和为6，积为8，则这两个连续偶数是________．
用配方法解一元二次方程(1)导学案
3.2用配方法解一元二次方程（1）导学案 一、学习目标 知识与技能： 1、会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程； 2、会用因式分解法解简单的一元二次方程。 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用。 4、使学生经历探索解一元二次方程的过程。 过程与方法： 在具体问题中感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义。 感情态度与价值观： 在共同探究问题中学会学习，树立自信心。 二、学习重点 掌握直接开平方法，渗透转化思想。 三、学习难点 是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。 四、学习过程 （一）复习练习： 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。 （1）（2） （3） 2、要求学生复述平方根的意义。 （1）文字语言表示：如果一个数的平方等于，这个数叫的平方根。 （2）用式子表示：若，则叫做的平方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 （3） 4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。 （二）学习过程
活动一：自主探究，合作交流 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4；（2）x2－1＝0; 活动二：探索新知 概括 对于第（1）个方程，有这样的解法： 方程x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以 , 即x= 2. 这种方法叫做直接开平方法. 对于第（2）个方程，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 （x－1）（x＋1）＝0， 必有x－1＝0，或x＋1＝0, 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1. 这种方法叫做因式分解法. 思考 （1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？ （2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？ 活动三：运用新知解决问题 做一做： 试用两种方法解方程x2－900＝0. 活动四、挑战自我 解下列方程： （1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0 ; （3）x2＝169；（4）45－x2＝0； （5）12y2－25＝0；（6）4x2+16＝0 五、归纳总结，形成知识网络 通过这节课的学习你有哪些收获？ 六、作业布置 课本81页练习题1、2
实际问题与一元二次方程 习题
22.3 实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题． 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题． 重难点关键 1．重点：用“倍数关系”建立数学模型 2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题1：列方程解应用题 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）： 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，?星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？ 老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x 或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式． 解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张． 则 0.5(0.2)200 0.40.61300 x y x y +-= ? ? += ? 解得 1000( 1500( x y = ? ? = ? 股) 股) 答：（略） 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
因式分解法解一元二次方程__导学案
因式分解法解一元二次方程 导学案 陈店中学周长耀 【温故知新】 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 ①x 2-x ②x 2-4 ③x 2-2x+1 ④x 2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为 。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程 ① x(x-1)=0 ② (x+4)(x-4)=0 ③ (x-3)(x+5)=0 5、思考：试试这个吧！解方程：x 2=3x 【闪亮登场】 1、试着用上面的方法求解一元二次方程x 2=3x （说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义 先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。 3、经典例题 ① x(x-2)+x-2=0 ② (2x －1)2=(x ＋2)2 ③ 5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 ④ 4x 2+12x+9=0 ⑤ x 2-3x-18=0 4、总结因式分解的步骤 【右化零，左分解，两因式，各求解】 5、找找茬 ① (x-3)2=4(x-3) 解：方程两边同除以x-3，得 x=4 ② (x-2)(x+3)=-6 解：x-2=0或x+3=0 ∴x 1=2，x 2=-3 6、再试身手 课本40页练习第1题 【百舸争流】 1、用适合的方法解下列一元二次方程 ① x 2 -2x=99
②x2 -x-1=0 ③ x2-x-6=0 2、谈谈如何选择合适的方法解一元二次方程，三种方法的优缺点 可以作这么一个形象的比方，如同在陆地上去某地，骑自行车是最普通的选择，就是别上坡太多；步行一定可以到达，但有时费时费力；倘若交通方便，乘出租车是一个不错的选择。 配方法（自行车）公式法（步行）因式分解法（出租车） 易于因式分解的，可用因式分解法，易于配成完成平方式的，可选择配方法，不易于配方和因式分解的，可用公式法。 3、用适当的方法解下列一元二次方程 ①3x(x+1)+4(x+1)=0 ②x2-2x-3=0 ③x2-4x-96=0 ④x2-x-3=0 【超越自我】 试解答下列问题 ①x2-3x-4=0 ②x3-3x2-4x=0 ③(x+5)2-3(x+5)-4=0 ④x4-3x2-4=0 【小结作业】 课本43页第6、8、9题
《 一元二次方程的解法》导学案
22.2一元二次方程的解法 第二课时直接开平方法和因式分解法（2）教学目标： 知识技能目标 1.通过对形如(ax+b)2＝c（其中a、b、c是常数且c≥0）的一元二次方程解法的探讨，让学生进一步熟悉直接开平方法； 2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程； 过程性目标 1.体会运用直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程； 2.进一步了解，解一元二次方程的方法虽然有所不同，但结果是一样的； 3.经历各种类型的一元二次方程，灵活选取适当的方法解一元二次方程． 情感态度目标 1.通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神； 2.让学生在实际解题中进一步体会转化的思想． 重点和难点： 合理选择直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程. 教学过程： 一、创设情境 问题如何解下列方程：(1) (x+1)2-4＝0；(2)12(2-x)2-9＝0． 对于这两个方程，你想到了哪些求解方法？你能从上一课学习的内容中得到一些启发吗？ 二、探究归纳 分析对于(1)，如果退一步解x2－4＝0，同学们都能想到运用直接开平方法求解；那么将这里的x换成x＋1，不是同样的思考方法吗？实际上，这两个方程都可以化成( )2=a的形式． 解(1)原方程可以变形为(x+1)2＝4， 直接开平方，得
x ＋1＝±2，即x ＋1＝2或 x ＋1＝－2． 所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝-3． (2)原方程可以变形为()4322=-x ， 直接开平方，得 232±=-x ，即232=-x 或232-=-x ． 所以原方程的解是232,23221+=-=x x ． 思考 你对上面两个方程还有其他解法吗？ 三、实践应用 例1 用因式分解法解方程：(1) (x +1)2-4＝0；(2)12(2-x ) 2-9＝0． 分析 对(1)左边容易分解为(x ＋1＋2)(x ＋1－2)；而对(2)左边应分解为()()3243243--+-x x .（为什么？） 解 (1)原方程左边分解因式，得(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝0. 所以x ＋3＝0，或x －1＝0． 原方程的解是x 1＝1，x 2＝－3． (2)方程左边分解因式，得3(4－2x ＋3)(4－2x －3)＝0． 所以4－2x ＋3＝0，4－2x －3＝0． 原方程的解是2 321- =x ，2322+=x ． 例2 用适当的方法解方程(1)5(3x ＋1)2＝20；(2)4(x -1)2-(x +2)2＝0． 分析 (1)变形为(3x ＋1)2＝4时，用直接开平方法来解简单；(2)把左边分解因式成[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]，再进一步化成两个一元一次方程求解． 解 (1)原方程可以变形为(3x ＋1)2＝4． 直接开平方，得 3x ＋1＝±2，即3x ＋1＝2或 3x ＋1＝－2． 所以原方程的解是1,3121-==x x ． (2)原方程左边分解因式，得[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]＝0． 整理为3x (x －4)＝0． 所以3x ＝0,或x －4＝0． 原方程的解是x 1＝0，x 2＝4． 例3 小张和小林一起解方程x (3x +2)-6(3x +2)＝0． 小张将方程左边分解因式，得(3x +2)(x -6)＝0
实际问题与一元二次方程的几种常见模型.
实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+（1+x）x=81 整理得： X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为： 1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x小分支，依题意得 1+x（x +1）=91 解得：X1=9 x2=-10(舍去) 答：每个支干长出9小分支
单（双）循环问题 1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？ 解：设共有x队参加依题意列方程得 x（x -1）=90 解得：X1=10 x2=-9(舍去) 答：共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得：X1=12 x2=-11(舍去) 答：共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得：X1=8 x2=-7(舍去) 答：应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解：有x人，依题意列方程得
十字相乘法解一元二次方程学案
补充：十字相乘法解一元二次方程（林） 第一部分：用十字相乘法因式分解 一、复习导入 1、计算 （1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答： （1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项 系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。 二、典例分析 例1：分解因式 （1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。 十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________
21.2.1 解 一元二次方程(2)导学案
万全区第三初级中学九年级(上)数学学案 姓名_______ 年级_____ 班级_____教师________ 课题 21.2.1 解 一元二次方程（2） 课时 授课时间 月 日 节 主备人 学习 目标 1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方 2、理解配方法的根据就是直接开平方。 3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解 重点 会用配方法解一元二次方程。 难点 变形形式的求解 学习过程及内容 学教记录 自主学习 1、若x 2 =a (a ≥0)，则x =_______. 若（x +1）2 =a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________. 直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。 2、解方程：（1）、2 3270x -= （2）、2 (3)25x += 3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系 （1）、26925x x ++= （2）、2 616x x += 合作探究： 1、 象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法； 配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。 2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ， 再用直接开平方法求解。 3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。 （1）、2 6x x -+ =(x - ）2； （2）、2 x + +25=(x + ）2 （3）、2 36x x -+ =3(x - ）2 （4）、2 23x x -+ =2(x - ）2 代数式 写成22 2x xy y ±+形式 x y 写成2 ()x y ±形式 28x x -+ 22244x x -??+ x 4 2(4)x - 23b b -+ 25x x ++ 23 2m m -+ 22 3 y y -+ 2x ax ++
实际问题与一元二次方程练习题
实际问题与一元二次方程类型归纳练习题 姓名：班级：座位号： 一、传播问题 例题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感 ，每轮传染中平均 一个人传染了几个人？ 分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有 (x+1)人患 了流感； ②第 二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有(x+1)(x+1)人患了流感. 则：列方程 (x+1)2=121，解得x=10或x=-12(舍)，即平均一个人传染了10个人. 再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？ 练习题： 1、某种植 物的主干长出若
干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？ 2、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有多少名同学？ 3、一个小组若干人，新年互相发送祝福短信，若全组共发送祝福短信72条，则这个小组共有多少人？ 4、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？ 5、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 二、增长率问题 例题：两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元 ，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.001) 分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1-x)2元. 依题意，得5 000(1- x)2=3 000 .
用公式法解一元二次方程导学案
用公式法解一元二次方 程导学案 Hessen was revised in January 2021
用公式法解一元二次方程(1) 一、学习目标： 1.引导学生写出一元二次方程求根公式的推导过程. 2.知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 重点：说出一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程； 难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误. 二、学习过程导学 一）独学： 1、一元二次方程的一般式： ( a≠0 ), 二次项系数是，一次项系数是，常数项是。 2、把方程4x2+4x+10=1-8x化为一般形式为：，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。 3、用配方法解方程： 2x2-12x+10=0 4、说出配方法解一元二次方程的一般步骤 二）对学：小组讨论学习（合作交流） 1、一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 2、你能否用上面配方法的步骤求出ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 解：二次项系数化为1，得：， 移项，得： 配方，得： 即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac＞0，则 2 2 4 4 b ac a - ＞0 直接开平方，得：即 ∴x1= ，x2= （2）b2-4ac=0，则 2 2 4 4 b ac a - =0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两 个的实根。
（3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 3、用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○2求出b 2 -4ac 的值 ○3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2 -4ac 的值带入求根公式x=242b b ac a -±-求出x 1，x 2； 当b 2 -4ac ＜0时，方程没有实数根 三）群学： 1、不解方程，判别一元二次方程根的情况： （1）2x 2+3x-4=0 (2)5(x 2 +1)-7x=0 2、若关于一元二次方程3x 2 -3x+c=0有实数根，则方程c 的取值范围是______。 3、用公式法解下列方程： （1）x 2-4x-7=0 （2）2x 2-22x+1=0 4、课堂小结：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式__________________，根的判别式____-____________________， 当Δ＞0时，方程有________________________________， 当Δ=0时，方程有_________________________________， 当Δ≥0时，方程__________________________________， 当Δ＜0时，方程__________________________________。 三、学习内容反馈 通过本节课的学习你有什么收获你预习时的凝难解决了吗还有哪些需要帮助解决的 四、达标检测 1、关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A 、k>-1 B 、k>1 C 、k ≠0 D 、k>-1且k ≠0 2、一元二次方程y 2 ＋2y －4=0的根的情况为（ ） A 、没有实数根； B 有两个相等的实数根； C 、有两个不相等的实数根； D 、不能确定； 3、用公式法解方程 (1)2x 2-x-1=0(2) (3)4x 2 -6x=0
用公式法解一元二次方程导学案
用公式法解一元二次方程(1) 一、学习目标： 1.引导学生写出一元二次方程求根公式的推导过程. 2.知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 重点：说出一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程； 难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误. 二、学习过程导学 一）独学： 1、一元二次方程的一般式： ( a≠0 ), 二次项系数是，一次项系数是， 常数项是。 2、把方程4x2+4x+10=1-8x化为一般形式为：，二次项系数是，一次项系数是， 常数项是。 3、用配方法解方程： 2x2-12x+10=0 4、说出配方法解一元二次方程的一般步骤? 二）对学：小组讨论学习（合作交流） 1、一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 2、你能否用上面配方法的步骤求出ax2+bx+c=0（a≠0）的两根？ 解：二次项系数化为1，得：， 移项，得： 配方，得： 即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac＞0，则 2 2 4 4 b ac a - ＞0 直接开平方，得：即 ∴x1= ，x2= （2）b2-4ac=0，则 2 2 4 4 b ac a - =0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 的实根。 （3）b2-4ac＜0，则 2 2 4 4 b ac a - ＜0，此时（x+ 2 b a ）2 ＜0，而x取任何实数都不能使（x+ 2 b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 3、用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c的值，注意符号○2求出b2-4ac的值