2016内蒙古建筑职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

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[时间：45分钟分值：100分]

基础热身

1．直线a∥平面α，则a平行于平面α内的()

A．一条确定的直线 B．任意一条直线

C．所有的直线 D．无穷多条平行直线

2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()

A．一定平行 B．不平行

C．平行或相交 D．平行或在平面内

3．下列说法正确的是()

A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

B．若直线l在平面α外，则l∥α

C．若直线a∥b，b?平面α，则a∥α

D．若直线a∥b，b?平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线

4．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()

A．b与α内的一条直线不相交

B．b与α内的两条直线不相交

C．b与α内的无数条直线不相交

D．b与α内的任何一条直线都不相交

能力提升

5．如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置关系是()

A．两两相交于三条交线

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B ．两个平面互相平行，另一平面与它们相交

C ．两两相交于同一条直线

D ．B 中情况或C 中情况都可能发生

6．已知直线l 、m ，平面α，且m ?α，则“l ∥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

7．设m ，n 表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α

B ．若m ?α，n ?β，m ∥β，n ∥α，则α∥β

C ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥β

D ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ?β，则n ∥β

8．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )

A ．16

B ．24或24

5

C ．14

D ．20

9．如图K39－1，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )

A ．EH ∥FG

B ．四边形EFGH 是矩形

C ．Ω是棱柱

D ．Ω是棱台

K39－1

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K39－2

10．如图K39－2，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．

11．给出下列命题：

①一条直线平行于一个平面，这条直线就与这个平面内的任何直线不相交；

②过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行；

③过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行；

④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行；

⑤a和b是异面直线，则经过b存在唯一的平面与a平行．

则其中正确命题的序号为________．

12．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

13．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真

命题的序号是________．

①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；

②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；

③已知α，β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；

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④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．

14．(10分)如图K39－3所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，其棱长为1.

(1)求证：平面AB1C∥平面A1C1D；

(2)求平面AB1C与平面A1C1D间的距离．

图K39－3

15．(13分)如图K39－4所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．

(1)求证：PA∥平面EFG；

(2)求三棱锥P－EFG的体积．

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图K39－4

难点突破

16．(12分)一个多面体的直观图和三视图如图K39－5(其中M，N分别是AF，BC 中点)．

(1)求证：MN∥平面CDEF；

(2)求多面体A－CDEF的体积．

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图K39－5

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参考答案

【基础热身】

1．D [解析] 过a 作平面β与α相交，则a 与交线平行，这样的β可以作无数个，则交线就有无数条，且所有的交线与a 平行，所以正确选项为D.

2．D [解析] 直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.

3．D [解析] A 中l 可以在平面α内，B 中l 可以与α相交，C 中a 可以在平面α内，正确选项为D.

4．D [解析] 任意性使得b 与α无公共点，由定义得正确选项为D. 【能力提升】

5．D [解析] 在B 、C 两种情况下作图计数，知正确选项为D.

6．D [解析] 由l ∥m 可知，l ∥α或l ?α；l ∥α且m ?α，则l ∥m 或l 与m 异面，故选D.

7．D [解析] A 选项不正确，n 还有可能在平面α内，B 选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C 选项不正确，n 也有可能在平面β内，选项D 正确．

8．B [解析] 根据题意可出现以下如图两种情况，由面面平行的性质定理，得AB ∥CD ，则

PA AC ＝PB BD ，可求出BD 的长分别为245或24.

9．D [解析] 因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，所以EH ∥B 1C 1.又EH ?平面BCC 1B 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1，又EH ?平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BCC 1B 1＝FG ，所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥B 1C 1，所以选项A 、C 正确；因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，EH ∥A 1D 1，所以EH ⊥平面ABB 1A 1，又EF ?平面ABB 1A 1，故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D.

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10．平行四边形 [解析] 由α∥β∥γ，平面ACF ∩β＝BG ，平面ACF ∩γ＝CF ，可得BG ∥CF ，同理有HE ∥CF ，所以BG ∥HE .同理BH ∥GE ，所以四边形BGEH 为平行四边形．

11．①⑤ [解析] ①显然正确，如果直线与平面内的一条直线相交，则直线与平面相交，与直线与平面平行矛盾；②不正确，过平面外一点有一个平面与平面平行，而在这个平面内有无数条直线与平面平行；③不正确，过直线外一点有一条直线与已知直线平行，而过直线外一点与直线平行的平面却有无数个；④不正确，这条直线可能在该平面内；⑤正确，过b 上一点作一直线与a 平行，此时该直线与b 相交可确定一平面，且与a 平行，且唯一．

12．6 [解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．

13．② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可以异面，故为假命题．

14．[解答] (1)证法一：

?

????AA 1∥BB 1

AA 1＝BB 1

BB 1

∥CC 1

BB 1

＝CC 1

?AA 1

綊CC 1

?AA 1

C 1

C 为平行四边形 ?

???

??AC ∥A 1C 1?AC ∥平面A 1C 1D 同理AB 1∥平面A 1C 1D

AC ∩AB 1＝A

?平面AB 1

C ∥平面A 1

C 1

D . 证法二：易知AA 1和CC 1确定一个平面AC 1，于是，

?

???

?平面AC 1∩平面A 1C 1＝A 1C 1，平面AC 1∩平面AC ＝AC ，平面A 1C 1∥平面AC

?A 1

C 1

∥AC

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同理

?

???

??A 1C 1∥平面AB 1C ，A 1D ∥平面AB 1C ，A 1C 1∩A 1D ＝A 1

?平面AB 1

C ∥平面A 1

C 1

D . 证法三：连接BD 1，BD ，

?

???

?AC ⊥BD ，

D 1D ⊥平面AC ?

?

??

?

?BD 1⊥AC ，

同理BD 1

⊥AB 1

，AC ∩AB 1

＝A ?

?

???

?BD 1⊥平面AB 1C ，

同理BD 1⊥平面A 1C 1D ?平面AB 1C ∥平面A 1C 1D .

(2)设BD 1∩平面AB 1C ＝E ，BD 1∩平面A 1C 1D ＝F ，BD ∩AC ＝O . 由(1)证法三可知，线段EF 的长就是这两个平行平面的距离． 连接EO ，DF ，∴OE ∥DF ，E 是BF 的中点，得BE ＝EF ， 同理，D 1F ＝FE ，∴EF ＝1

3BD 1， ∵BD 1＝3，

∴EF ＝33，即平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离为3

3. 15．[解答] (1)证明：如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH ， ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD ， ∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD ， ∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面， ∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH ， ∵PA ?平面EFG ，FH ?平面EFG ，∴PA ∥平面EFG .

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(2)∵PD ⊥平面ABCD ，CG ?平面ABCD ， ∴PD ⊥CG .又∵CG ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ， ∴GC ⊥平面PCD ，

∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝1

2CD ＝1， ∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝1

2.

又GC ＝1

2BC ＝1，

∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13×12×1＝1

6. 【难点突破】

16．[解答] (1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，

DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.

取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF ，又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，

∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .

(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE －BCF 为直三棱柱， ∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝2，

∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.

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