线性代数A卷试卷+答案
《线性代数》期末考试题A 题
一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1、设1D =
351
2
，
2D =3
45
5
102
，则D =12
D D O O
=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =
116
，且=B ()1
-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A -2E O =，若其中E 是单位阵，那么
1
A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,
2,
3α=，
()31,3,
t α=线性相关，
则t=_____________。 二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）
1、若方程1321360
2
2
1
4
x x x
x -+-=---成立，则x 是
（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为
（A ）()3
3
2
2
3
3A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22
A B A+B =A B --；
（C ）()()2
A E=A E A+E --； （D ）()2
2
2
AB =A B
3、设A 为可逆n 阶方阵，则()
*
*
A
=
（A ）A E ； （B ）A ； （C ）n
A
A ； （D ）2
n A
A -；
4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵
（A ）1
000
2??
???； （B ）1
0001001
1??
? ? ??
?
；
（C ）0111
0100
1-?? ?
- ?
??
?； （D ）0
100
0210
0??
?- ? ??
?
； 5、下列命题正确的是
（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，
，m α 线性无关；
（B ）向量组1,α2α， ，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α， ，m α线性相关；
（C ）向量组1,α2α， ，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α， ，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。 6、1,α2α， ，m α和1β，2β， ，m β为两个n 维向量组，且 1α=2β+3β+ +m β 2α=1β+3β+ +m β
m α=1β+2β+ +1m β-
则下列结论正确的是
（A ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ< （B ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ> （C ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ= （D ）无法判定
7、设A 为n 阶实对称方阵且为正交矩阵，则有
（A ）A=E （B ）A 相似于E （C ）2A E = （D ）A 合同于E
8、若1234,,,ηηηη是线性方程组A X O =的基础解系，则1η+2η+3η+4η是A X O =的 （A ）解向量 （B ）基础解系 （C ）通解； （D ）A 的行向量；
9、1,λ 2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1X 和2X 分别是对应于1λ和2λ的特征向量，当1,k 2k 满足什么条件时，1122X k X k X =+必是矩阵A 的特征向量。
（A ）10k =且20k =； （B ）10k ≠，20k ≠ （C ）120k k ≠ （D ）10k ≠而20k = 10、下列哪一个二次型的矩阵是1101
300
0-??
?
?-??????
（A ）22121222(,)23f x x x x x x =-+； （B ）22121122(,)3f x x x x x x =-+;
(C)221231222(,,)23f x x x x x x x =-+; (D)22123112232(,,)3f x x x x x x x x x =--+; 三、计算题（每小题9分，共63分）
1、设3阶矩阵，23=23A αγγ??????????， 23B=βγγ??
??
??????
，其中23αβγγ，，，均是3维行向量，且已知
行列式A =18，B =2，求A+B 2、解矩阵方程AX +B=X ，其中 0
10A=1
111
1????-????--?? ，1
1205
3B -??
??=?
???-??
3、设有三维列向量组 11=11λα+??
????????
， 21=
11αλ??
??
+??????
， 31=11αλ????????+??，2
0=βλλ??
????
????
λ为何值时：
（1）β可由1 α，2α，3α线性表示，且表示式是唯一的； （2）β不能由1 α，2α，3α线性表示；
（3）β可由1 α，2α，3α线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。
4、已知四元非齐次线性方程组AX=β满足()3R A =，123γγγ，，是AX=β的三个解向量，其中
12
2402γγ?? ?- ?+= ? ???， 231034γγ??
? ?+= ? ???
求AX=β的通解。 5、已知A=B ，且11A=11
1a a
b b
??
?
?
??????
，0
00B=0100
2??
????????
求a , b
6、齐次线性方程组 123123122303402a 0x x x x x x x x x -+=??
??-+=????
-++=??
中当a 为何值时，有非零解，并求出通解。
7、用正交变换法化二次型222123123121323(,,)444444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准型，并求出正交变换。 四、证明题（7分）
设A 为m ×n 矩阵，B 为n 阶矩阵，已知()n R A = 证明：若A B =O ，则B =O
《线性代数》期末考试题A 题参考答案与评分标准
一、填空题
1、-10；
2、81；
3、-4，-6，-12；
4、()132
A E -； 5、5；
二、单项选择题(每小题2分，共20分)
1、22
3
3
++A+B =3=124αβαβ
γγγγ （2分）
=23
12αγγ+2312βγγ （4分）
=23
2αγγ+23
12βγγ （7分） =2×18+12×2=60 （9分） 2、()AX+B X E A X B =?-= （2分）
1
10
1
01301
2
E A --=-=≠ （3分） ()
1
X E A B -=- （5分）
()
1
2
113
213011E A -??
??
-=-????-??
（7分）
2
11
13
113
212
02030115
31
1X --??????
??????
=-=????????????---??????
（9分） 3、设112233k k k βααα=++
2
1+1111111+1(+3)11+1=(+3)01
1
1+1
1
1+A λλλλ
λλλ
λ
=
=≠
0λ?≠且3λ≠-时，方程组有唯一解
即β可由1 α，2α，3α唯一线性表示， （2）当=3λ-时
()
211
012
13A
=1213011211290006---???? ?
?
--→
- ?
? ? ?-??
??
R(A)=2 ，()
R A =3 ∴无解
即当=3λ-时，β不能由1 α，2α，3α线性表示 （6分） （3）当=0λ时
()
111
01110A =111
00000111000
0????
? ?→
? ? ? ????
?
()
R (A)= R A =1<3 ∴有无穷组解
基础解系为：1110η-?? ?
= ? ?
??， 2101η-?? ?= ? ???
通解为 12112212c c X c c c c ηη--?? ?
=+= ? ???
当=0λ时 β可由1 α，2α，3α线性表示为无穷多种形式
12112
2()c c c c βααα=--++ 1c ，2c 为任意常数 （9分） 4、R(A)= 3 <4 AX= θ∴ 的基础解系含一个解 （2分）
i A γβ= （i=1，2，3）
设1223211404()()0033242ηγγγγ??????
? ? ?-- ? ? ?=+-+=-=≠ ? ? ?- ? ? ?-??????
（4分）
14
32η?? ?- ?∴= ?- ?-??
为基础解系 （6分） ()121211
1A A 22
2A γγγγβ??+=+=????
()
01212
102
1U γγ??
?-
?∴=
+= ? ???
为特解 （8分） 故A X β=的通解为0124312c c
X U c c c η+?? ?-- ?=+= ?- ?-??
c 为任意常数 （9分）
5、A B E A E B λλ∴-=-
3
2
2
2
2
1
113(2)()1
1a E A a
b
a b a b b λλλλλλλ----=---=-+--+---- （2分）
3
2
2
2
2
1
1
13(2)()1
1
a
E A a b a b a b b
λλλλλλ----=
---=-+--+----（答案页上的是
这个，我认为应该是上一个。）
3
2
0010
(1)(2)320
2
E B a
λ
λλλλλλλλλ-=--=--=-+- （4分）
3
2
2
2
2
3
2
3(2)()32a b a b λλλλλλ∴-+--+-=-+ （6分）
比较同次幂系数有
222
22()0a b a b ??
--=??-=??
(8分) 解之， 得 0a b == （9分）
6、2130111
3410112
00
3A a a --????
? ?=-→ ? ? ? ?--?
??
?
（3分）
当3a =时， ()R A =2<3 有非零解 （5分） 基础解系为111η-??
?
= ? ???
（8分）
通解为 X c η= c 为任意常数 （9分）
7、2
4
22242
(2)(8)02
2
4
E A λλλλλλ----=
---=--=--- （3分）
特征值为18λ=， 232λλ== （4分） 特征向量为1111η?? ?
= ? ?
?? ，2101η?? ?= ? ?-??，3011η??
?= ? ?-?? （6分）
正交单位化为
1111β???=???
，2101β???=??-?
，3121β-??
?
=??-?
（7分） 标准型为 222
1
23822f y y y =++ （8分）
正交变换为1
20X Y ??-
?
=
? ? ?-- ? （9分）
四、证明题（） ()12,
,,n B βββ=
()()1212,
,,,
,
,n n AB A A A A O ββββββ===
（2分）
i A βθ∴= (1,2,,i n =
∴B 的每一列向量为齐次方程组A X θ=的解 （4分） 由于()R A n = ∴A X θ=只有零解 ∴B O = （6分）