2012艺术生高考数学复习学案(三)

§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴

【考点及要求】了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充

要条件。理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。

【基础知识】

1.数的扩展：数系扩展的脉络是： → → ，用集合符号表示为 ? ? ，实际上前者是后者的真子集.

2.复数的概念及分类：⑴概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ，其中a b 与分别为它的 和 .

⑵分类：①若(,)a bi a b R +∈为实数，则 ，②若(,)a bi a b R +∈为虚数，

则 ，③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数，则 ；

⑶复数相等：若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈? ； ⑷共轭复数：(,,,)a bi c di a b c d R ++∈?与共轭 ；

3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z |）

则

⑴加法： 12()()z z a bi c di +=+++＝ ； ⑵减法： 12()()z z a bi c di -=+-+＝ ； ⑶乘法： 12()()z z a bi c di ?=+?+＝ ；

⑷乘方： m n

z z ?= ；()m n z = ；12()n

z z ?= ；

⑸除法：

12z a bi z c di +==+12z a bi z c di

+==+ ＝ ； 4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， 叫做实 轴， 叫做虚轴；实轴上的点表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 .

5.复数的模：向量OZ

的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 （或 ），

记作 （或 ），即||||z a bi =+＝ ；

复数模的性质：⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；⑵2222

||||||||z z z z z z ====?； 6. 常见的结论： ⑴4411n

n i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律：i

，i ＝i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0；

⑵2

(1)i ±= ；

11i i +=- ；11i

i

-=+ ；

⑶1,2ωω-

3设＝则＝ ；2ω＝ ；21ωω++＝ ； 【基本训练】

1．若i b i i a -=?-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则2

2

a b +等于 ． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于 ． 3．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使21z =-的θ值可能是 ． 4．

2

2)1(1)1(1i i

i i -+++-等于______________.

5．已知复数032z i =+，复数z 满足025z i z z -?=，则复数z = _______________. 6．i 是虚数单位，2

3

4

8

2348i i i i i +++++ = ____________. 【典型例题】

例1．已知：复数z =)()65()67(2

2

R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为：

⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；

练习：复数z 的实部和虚部都为整数，且满足z + z 10是实数，1 < z + z

10≤6，求复数z.

例2.计算下列各题： ⑴ 5

4)31()22(i i -+ ⑵

2007

)12(321,

32i i

i -+++- ⑶

)125)(1()

32)(32(i i i i ---+ ⑷i

i i i 2332)11(6-++-+

【课堂检测】

1．下列命题中：⑴两个复数一定不能比较大小；⑵z m ni =+，当且仅当0,0m n =≠时，

z 为虚数；⑶如果22120z z +=，则120z z ==；⑷如果123,,z z z C ∈，则221223()()0z z z z -+-≥，其中正确的的命题的个数是 ．

2．

3

321i

i ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4

)11(i +＝________； 复数z =i

-11

的共轭复数是______；

3．已知复数z =,2

321i +-

则2320081z z z z +++++= ． 4．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________. 5．设)()11()11(

)(Z n i

i i i n f n

n ∈--+-+=，则集合中的元素个数为 ．

6．已知复数1z i =+，如果i z z b

az z -=+-++11

2

2，求实数a 、b 的值.

§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵

【基础训练】

1．若复数2

(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数，则实数m 的值为 ． 2．复数z =

111-++-i

i

在复平面内所对应的点在 ． 3．若u =,2321i +-

v =,2

321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶11

1=+v

u ;⑷2u v =其中正确的命题是 ． 4．如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=，则12||z z += ． 【典型例题】

例3．设z 为虚数，z

z 1

+

=ω是实数，且21<<-ω， ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设z

z u +-=11，求证：u 为纯虚数；⑶求2

u -ω的最小值．

练习：设x 、y 是实数，且i

i y i x 315

211-=

---，求x y +的值.

例4. 若关于x 的方程2

2

(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根.

练习：关于x 的方程2

(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ，设复数

(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值．

例5．设关于x 的方程2

(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.

（1）若方程有实数根，求锐角θ和方程的实根； （2）证明：对任意()2

k k Z π

θπ≠+∈，方程无纯虚数根.

练习：已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）若方程有实根，求此实根的取值范围.

【课堂小结】

【课堂检测】 1．复数

i

i

+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2．复数(m 2 – 3m – 4) + (m 2 – 5m – 6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是___________. 3．若复数z 满足|z| - z =

i

2110

-，则z = _____________. 4．若复数z 满足方程2

20z +=，则3z = _______；

5．若关于x 的一元二次实系数方程2

0x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位），则

q = ．

6．设2

86z i =+，求3

100

16z z z

--的值.

【课堂作业】

1．已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1，且z 1 + z 2 = i ，求z 1、z 2 .

2．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值.

3．已知复数z 、w 满足w = i

z

+2，(1+3i)z 为纯虚数，|w| = 52，求w.

4．已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -.

5．已知关于x 的方程x 2 – (6 +i)x + 9 + ai = 0（a ∈R ）有实数根b. （1）求实数a 、b 的值；

（2）若复数z 满足|z - a – bi| - 2|z| = 0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.

§85 复数的几何意义⑴

【考点及要求】了解复数的代数表示法及几何意义；理解复数及复数加、减运算的几何意

义，并能根据几何意义解决简单问题。

【基础知识】

1.复平面内两点间的距离公式：

两个复数 的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离；设两个复数12z z 、在复平面内对应点分别为12,Z Z d 、为点12Z Z 、间的距离，则d = ； 2.常见的复数对应点的轨迹有：已知复平面内定点12z z 、，及动点z ①方程12||||z z z z -=-表示 ； ②1||(0z z r r -=>为常数）表示 ；

③12||2(z z z a a -+-=12｜z ｜为正常数，2a>|z -z |）表示 ； ④12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z |）

表示 ； 【基础训练】

1．满足条件|z – i| = |3 + 4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 2.若关于x 的方程x 2 – mx + 2 = 0有一个虚根1 + i ，则实数m 的值为__________. 3．已知3z ai =+，且|2|2z -<，则实数a 的取值范围是_____________.

4．已知复数z 满足|z + 1| + |z – 1| = 2，则z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 5．“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”是“0a =”的 条件． 6． 若35(

,)44

ππ

θ∈，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在第_________象限.

7．ABC ?三个顶点所对应的复数1z 、2z 、3z ，复数z 满足123||||||z z z z z z -=-=-，则复数z 对应点的是ABC ?的 ．

8．非零复数12z z 、满足关系1212z z z z ｜+｜＝｜-｜，则

1

2

z z 一定是__________. 【典型例题】

例1．已知复数z 满足2z i +、

i

z -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2

()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．

练习：已知集合}{

}{

2

2

(3)(1),8,3,(1)(2)M a b i N i a b i =++-=-++，同时满足M ∩

,M N M M N ?≠Φ ，求整数a 、b ．

例2.已知四边形OABC ，顶点O 、A 、C 对应的得数为0、32i +、24i -+，试求：

⑴AO 表示的复数， BC 表示的复数；⑵对角线CA

表示的复数；⑶求B 点对应的复数．

练习：1.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ，5 + 2i ，则A 、B 、C 所构成的三角形是____________.

2.复平面内有三点A 、B 、C ，点A 对应的复数为2i +，向量对应的复数为12i +，向量BC 对应的复数是3i -，求C 点对应的复数． 【课堂检测】 1．若|z| = 1，则

2

1z z

+一定是___________. 2．如果ABC ?是锐角三角形，则复数(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于 ．

3．已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 分别对应复数0，1 + i ，3 – i. 试求： （1）和表示的复数；（2）点B 对应的复数.

§86复数的概念及几何意义⑵

【典型例题】

例3．设复数(,)z x yi x y R =+∈，在下列条件下求动点(,)Z x y 的轨迹．

⑴ |2|2z i +=; ⑵|1||1|z i z i ++=--; ⑶|5||5|8z i z i +--=;

⑷ |1|2|1|z z +=-; ⑸||||z i z i ++-=; ⑹||1||1|z z +--=;

⑺ 3z i =-; ⑻ 3cos 4sin z i θθ=+．

例4．已知z ∈C ，|z – 2| = 1，求|z + 2 + 5i|的最大值和最小值.

练习：1．已知复数z 满足|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为 ． 2．已知复数(2)(,)z x yi x y R =-+∈的模为3，则1

2

++x y 的最大值和最小值分别为 ．

例5．设复数1(,,0)z x yi x y R y =+∈≠，2cos sin ()z i R ααα=+∈，且2

112z z R +∈，

1z 在复平面上所对应的点在直线y x =上，求12||z z -的取值范围．

例6．已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足方程||||6z z ++-=， ⑴．求动点(,)P x y 的轨迹方程；

⑵．试问是否存在直线l ，使l 与动点(,)P x y 的轨迹交于不同的两点M N 与，且线段MN 恰被直线1

2

x =-平分？若存在，求出直线l 的斜率取值范围；若不存在，请说明理由；

【课堂小结】 【课堂检测】

1.已知|z 1| = 1，|z 2| = 1，|z 1 + z 2| =

3，求|z 1 – z 2|.

2.复平面内有A B C 、、三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA

对应的复数为12i +，向量BC

对应的复数是3i -，求C 点对应的复数.

3.复数1z 满足1222123(,z z iz ai a R z z ?+=+∈为的共轭复数），且其对应的点在第二象

限，求a 的取值范围.

§87命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴

【考点及要求】了解四种命题的形式及相互之间的关系;理解必要条件、充分条件与充要

条件的意义，会分析四种命题的相互关系．

【基础知识】

1.原命题：若p q 则；逆命题为： ；否命题为： ；逆否命题为： ；

2. 四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；四种命题中真命题或假命题的个数必为 个．

3. 充分条件与必要条件：

⑴如果,p q p q ?则是的 ，q p 是 ； ⑵如果,p q q p ??，则p 是q ；

⑶如果 ，p q 则是的充分而不必要条件； ⑷如果 ， p q 则是的必要而不充分条件； ⑸如果 ，p q 则是的既不充分也不必要条件；

【基础训练】

1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈” 的 条件．

2．设原命题“若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1”则原命题与其逆命题的真假情况是 .

3．命题：“若a 2

+b 2

=0（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是 . 4.设a ∈R ，则a>1是

a

1

<1 的 条件． 5．若a 与c b -都是非零向量，则“c a b a ?=?”是“a ⊥（c b -）”的

条件

6.一次函数n

x n m y 1

+-

=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 .

7．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件.

8．用充分、必要条件填空：①x ≠1且y ≠2是x+y ≠3的 ②x ≠1或y ≠2是x+y ≠3的 ． 【典型例题】

例1．填空：

⑴B A ?是(A ∩C )?(B ∩C )成立的 条件．

⑵在空间四点中，无三点共线是四点共面的 条件．

⑶“在△ABC 中，A ＝60°，且 co s B ＋co s C ＝1”是“△ABC 是等边三角形”的 条件． ⑷设集合A ＝{长方体}，B ＝{正四棱柱}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 条件. ⑸一元二次方程2

210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 . ⑹命题甲:0122

>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<

⑺已知0>h ，设命题甲为：两个实数b a ,满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数b a , 满足h a <-1且h b <-1，那么甲是乙的 条件.

⑻给出下列命题①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，

“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ” ；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______________. 【课堂检测】

1.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 条件．

2. 以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，

||||PA PB k -=

，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，

O 为坐标原点，若1(),2

OP OA OB =+

则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的

两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线

221259x y -=与椭圆2

2135

x y +=有相同的焦点。其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

3.设γβα，，为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:（1）若

；，则，βαγβγα//⊥⊥（2）若；则βαββαα//,//,//,,n m n m ??（3）；则若βαβα//,,//l l ?（4）.//,//,,,n m l n m l 则若γαγγββα=?=?=?

其中真命题的个数是______________.

§88命题的四种形式及充分条件与必要条件⑵

【典型例题】

例2．已知c>0，设P ：函数y=c x 在R 上单调递减，Q ：不等式x+|x －2c|>1的解集为R ，

如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．

练习：设有两个命题： ①关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立；②函数f （x ）

=－(5－2a)x 是减函数．若命题有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 例3．（对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：

①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的个数是 ．

练习：有下列四个命题：

①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的个数是 ． 例4．求证：关于x 的方程2

20x ax b ++=有两均小于2的实数根的充分不必要条件是

24a b ≥≤且。

证明：

练习：已知0,0>>b a ，试求对任意1>x ，不等式b x x

ax >-+1

恒成立的充要条件

【课堂检测】

1．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的

条件

2. 判断命题“若0>m ，则02=-+m x x 有实数根”的逆否命题的真假；

【课堂作业】

1．已知函数12c o s 32)4

(

s i n 4)(2

--+=x x x f π

，条件2

4

:

π

π

≤

≤x p ，条件

2|)(:|<-m x f q ，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。

2. 设有两个命题：（1）关于x 的不等式0422

>++ax x 对一切R x ∈恒成立；（2）函数

x a x f )25()(--=是减函数，若命题有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围。

§89逻辑连接词及全称、存在量词⑴

【考点及要求】了解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义，学会用它们正确表示相关的

数学命题；常用的全称、存在量词及全称、存在性命题的基本形式，对全称、存在性命题的否定。

【基础知识】

1.常见词语的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、所有的、至多n 个、任意两个、或、且”的否定分别是： 2

全称性命题. 【基础训练】

1.指出命题“23≤”的形式是 ， 判定它的真假为 。写出该命题的否定为 .

2.写出命题“x R ?∈， 2

410ax x ++>”的否定形式 .

3. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2

＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是 __ _______________．

4. 判断下列命题的真假：

⑴01,2

>++∈?x x R x ； ⑵7

1

4131,

22++∈?x x Q x 是有理数；

⑶βαβαβαsin sin )sin(,,+=+∈?R ； ⑷1023,,=-∈?∈?y x Q y Z x ； ⑸R b a ∈?,，方程0=+b ax 恰有一实数解．

【典型例题】

例1. 在下列结论中，①""p q ∧为真是""p q ∨为真的充分不必要条件；

②""p q ∧为假是""p q ∨为真的充分不必要条件； ③""p q ∨为真是""p ?为假的必要不充分条件； ④""p ?为真是""p q ∧为假的必要不充分条件；

正确的是________ _______．

练习：由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”“非p ”形式的命题中，“p 或q ”为真，

“p 且q ”为假，“非p ”为真的是 （ ） A ．p ：3是偶数，q ：4是奇数； B p ：3+2=6， q ：5＞3；

C ．p ：R Q ?， q ：Z N = ；

D p ：菱形对角线互相平分，q ：菱形对角线互相垂直 例2．写出下列命题的否定并判别真假。

（1） 全等的三角形是相似三角形。 （2） 若x,y 都是奇数，则x+y 是偶数。 （3） 若xy=0，则x=0或y=0。

（4） 至少有一个实数x ，使得sin cos x x +=

练习：对于下述命题p ，写出“非p ”形式的命题，并判断“p ”与“非p “的真假： ⑴p ：91∈A ∩B （其中全集U=N*，A={质数}，B={正奇数}）. ⑵p ：底面是正多边形的棱锥是正棱锥. ⑶p ：任意正整数都是质数或合数. ⑷p ：三角形有且仅有一个外接圆.

【课堂检测】

1．若命题“p 且q ”为假，且“非p ”为假，则_______________．

2．如果A B ?，那么A 是B 的_______________条件．

3．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的_______________条件．

4．命题“不论m 取什么实数，2

0x x m +-=必有实数根”的否定是____________________ ________________,这是一个_______命题（填“真”或“假”）

5．设命题p ：|4x －3|≤１；命题：q ：x 2－（2a+1）x+a （a+1）≤0．若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．

§90逻辑连接词及全称、存在量词⑵

【典型例题】

例3．已知两个命题p ：3是13的约数；q ：3是方程0342

=+-x x 的解．试写出这组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并判断它们的真假．

练习：写出由下述各命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题，并指出所

构成的这些复合命题的真假.

⑴p ：连续的三个整数的乘积能被2整除， q ：连续的三个整数的乘积能被3整除. ⑵p ：对角线互相垂直的四边形是菱形， q ：对角线互相平分的四边形是菱形.

例 4. 已知命题P ：方程2

x mx 10++=有两个不等的负实根。命题Q ：方程

24x 4(m 2)x +1=0+-无实根。若“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，求实数m 的取值范围。

练习：已知)0(012:,0208:2

2

2

>≤-++≤--m m x x q x x p ，且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

例5．设a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac=2（b+d ）是方程x 2+ax+b=0与方程x 2

+cx+d=0中至少

有一个有实根的充分但不必要条件.

【课堂检测】

1．在下列命题中：

⑴2

,0x R x ?∈≥. ⑵x R ?∈,使得x 2

+x +1<0. ⑶若tan α= tan β,则α=β.

⑷若ac =b 2

则a 、b 、c 成等比数列； 其中真命题的序号为 .

2.已知函数f(x)与g(x)的定义域都是R ，则f(x)>g(x)恒成立的充分不必要条件 是 .

A ．?x ∈R ，f(x)>g(x) B. 存在无数个x ∈R,使得f(x)>g(x) C ．?x ∈R ，都有f(x)>g(x)+1 D. 不存在x ∈R,使f(x)≤g(x) 【课堂作业】 1.已知)0(012:,23

1

1:22>≤-+-≤--

m m x x q x p ，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.

2. 设命题P ：函数

)16

1

lg()(2a x ax x f +

-=的定义域为R ；

命题q ：不等式ax x +<+112对一切正实数均成立，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.

§91合情推理和演绎推理⑴

【考点及要求】了解合情推理的含义及其在数学发现中的作用，能利用类比和归纳等进行

简单的合情推理；了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能它们进行一些简单推理，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

【基础知识】

1. 推理一般包括合情推理和演绎推理；

2.合情推理包括 和 ；

归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 .

类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 .

3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论常用格式为：①M 是P ，② ，③S 是P ；其中①是 ，它提供了一个个一般性原理；②是 ，它指出了一个个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程． 【基本训练】

1. 前提：当n=0时，n 2-n+11=11; 当n=1时，n 2-n+11=11; 当n=2时，n 2

-n+11=13;

当n=3时，n 2-n+11=17; 归纳推理；当n=4时，n 2-n+11=23;当n=5时，n 2

-n+11=31;

11,11,13,17,23,31都是质数.

结论对于所有的自然数 的值都是质数.

2.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。

由此猜想： . 3.三角形的内角和是180度，凸四边形的内角和是360度，凸五边形的内角和是540度，……

由此猜想：凸n 边形的内角和是 .

4. 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀，所以，所有的金属受热后都 . 5．归纳推理的一般模式：S 1具有P,S 2具有P,……，S n 具有P, (S 1,S 2,…,S n 是A 类事物的对象）所以 ．

6.已知：矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和，

类比推理结论： . 【典型例题】

例1．观察,1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42

，1+3+5+7+9=25=5， ……

结论： ．

练习：1.观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：

⑴

1122= ⑵112263+= ⑶ 111326124++= ⑷ 111142612205

+++= 结论： ．

2.===

=；结论： ． 例2.在ABC ?中，a b c 、、分别是角A 、B 、C 所对的边，则cos cos a b C c B ?+?＝，类

比到空间图形：在三棱锥P ABC -中，三个侧面PAB PBC PAC 、、与底面ABC 所成的二面角分别为αβγ、、，相应的结论是 ． 练习：若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a b c 、、，则三角形的面积

1

()2S r a b c ++＝；根据类比推理的思想，若四面体内切球的半径为R ，四个面的面积为

1234S S S S 、、、，则四面体的体积为V ＝ ．

【课堂检测】 1.

221222223,,331332333

+++<<<+++ ，由此猜想： . 2.磨擦双手（S1 ）能产生热（P ），敲击石头（S2 ）能产生热（P ） ，锤击铁块（S3 ）能产生热（P ） ， ；所以，物质运动能产生热.

3. 在ABC ?中，222

111

,AB AC AD BC D AD AB AC ⊥⊥+

于点，求证：

＝，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

§92合情推理和演绎推理⑵

例3. 凸n

凸四边形有 条对角线，凸五边形有 条对角线，凸五边形有 条对角线， 凸六边形有 条对角线，比凸五边形多 条；……凸n 边形有多少条对角线？ 猜想：凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多 条对角线。

由此，凸n 边形对角线条数为 . 练习：在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；

三条直线相交，最多有几个交点？