2011南通高考三模数学

江苏南通市

2011届高三第三次调研测试

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．若集合A={x|x＞2}，B={x|x≤3}，则A∩B= ．

2．函数y

x+cos2x的最小正周期是．

3．已知(a+i)2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a= ．

4．已知向量a与b的夹角为60o，且|a|=1，|b|=2，那么2

()

+

a b的值为．5．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．

6．若双曲线

2

21

y

x

k

-=

的焦点到渐近线的距离为k的值是．

7．若实数x，y满足

10,

0,

0,

x y

x y

x

-+

?

?

+

?

?

?

≥

≥

≤

则z=x+2y的最大值是．

8．对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：

①若(2)(2)

f f

-=，则f(x)为偶函数；

②若(2)(2)

f f

-≠，则f(x)不是偶函数；

③若(2)(2)

f f

-=，则f(x)一定不是奇函数．

其中正确命题的序号为．

9．图中是一个算法流程图，则输出的n= ．

10．已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为．

11．已知5×5数字方阵：

1112131415

2122232425

3132333435

4142434445

5152535455

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

??

?

?

?

?

?

?

??

中，

1

1

ij

j i

a

j i

?

=?

-

?

(是的整数倍)，

(不是的整数倍)．

则

54

34

22

j i

j i

a a

==

+

∑∑= ．

12．已知函数f(x)=2cos

x x

-，x∈

ππ

[]

22

-，，则满足f(x0)＞f(

3

π

)的x0的取值范围为．

13．甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7∶50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9∶00，10∶00，11∶00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11∶00时，小袁距乙地还有公里．

14．定义在[1,)

+∞上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)=1-|x-3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c= ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过

程或演算步骤．

15．(本题满分14分)

某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

(1)

(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别

求第三、四、五各组参加考核人数；

(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

1 (第16题图)

16．(本题满分14分)

如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中．

(1)若BB 1=BC ，B 1C ⊥A 1B ，证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；

(2)设D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面

B 1DE ，求11

A E

EC 的值．

17．(本题满分14分)

在△ABC 中，a 2+c 2=2b 2，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长．

(1)求证：B ≤3

π； (2)若4

B π

=，且A 为钝角，求A ．

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)

，其焦点在圆x 2+y 2=1上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使 cos sin OM OA OB θθ=+ ．

(i)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；

(ii)求OA 2+OB 2．

19．(本题满分16分)

已知数列{a n }满足：a 1=a 2=a 3=2，a n +1=a 1a 2…a n -1(n ≥3)，记

222

21212n n n b a a a a a a -=+++- (n ≥3)．

(1)求证数列{b n }为等差数列，并求其通项公式；

(2)设221

11

1n n n c b b +=++，数列

的前n 项和为S n ，求证：n

(第21-A 题图) A B P O

E

D C

· 设函数f (x )=ax 3-(a +b )x 2+bx +c ，其中a ＞0，b ，c ∈R ．

(1)若1

(3

f '=0，求函数f (x )的单调增区间；

(2)求证：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．(注：max{a ，b }表示a ，b 中的最大值)

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡

上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲 如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．

B ．选修4－2：矩阵与变换

(第21-C 题图)

已知圆C ：2

2

1x y +=在矩阵0=(0,0)0a a b b ??>>????

A 对应的变换作用下变为椭圆22

194x y +=，求a ，b 的值．

C ．选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B

(4

π

)

的圆的极坐标方程．

D ．选修4－5：不等式选讲

已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y

x z yz zx xy x y z ≥++++．

22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知函数1()ln(1),01x

f x ax x x

-=++

+≥，其中a ＞0． (1)若()f x 在x =1处取得极值，求a 的值；

(第23题图) (2)若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．

23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

过抛物线y 2=4x 上一点A (1，2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点B ，交y 轴于点D ，点C (异于点A )在抛物线

上，点E 在线段AC 上，满足AE =λ1EC ；点F 在线段BC 上，满足BF =λ2FC

，且

λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于点P ． (1)设DP PC λ= ，求λ； (2)当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．

【答案】

1. 答案：(2,3]

2. 答案：π

3. 答案：1

4. 答案：7

5. 答案

：6. 答案：8 7. 答案：2 8. 答案：② 9. 答案：11 10. 答案：3 11. 答案：-1

12. 答案：[,)23ππ--∪(,]32

ππ

13. 答案：60 14. 答案：1或2

15. 解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3； ………………………………………………4分

(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1； …………………………………8分

(3) 设上述6人为abcdef (其中第四组的两人分别为d ，e )，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab ，ac ，ad ，

ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef }

共有15种．…………………………………………………………………………10分

记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ，则事件A 所含的基本事件的种数有9种． …………………………………………………………………………………12分

所以93()155P A ==，故2人中至少有一名是第四组的概率为3

5

． ……………14分

16. 解：(1)因为BB 1=BC ，所以侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1．……3分

又因为B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1=B ，所以BC 1⊥平面A 1BC 1， …………………5分 又B 1C ?平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 ．……………………………7分 (2)设B 1D 交BC 1于点F ，连结EF ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF ．

因为A 1B //平面B 1DE ， A 1B ?平面A 1BC 1，所以A 1B //EF ． …………………11分

所以11A E EC ＝1

BF FC ．

又因为1BF FC ＝

1112BD B C =，所以11A E EC ＝1

2

． ………………………………………14分

17. 解：(1)由余弦定理，得222

cos 24a c b a c B ac ac +-+==

22． ……………………………………3分 因22a c ac +2≥，1

cos 2B ∴≥．………………………………………………………6分

由0＜B ＜π，得 3

B π

≤，命题得证． ……………………………………………7分

(2)由正弦定理，得222sin +sin =2sin A C B ． …………………………………………10分

因4

B π

=，故22sin B =1，于是22sin =cos A C ．……………………………………12分

因为A 为钝角，所以3sin =cos =cos()=sin()44

A C A A π

π--．

所以()4

A A π

+-=π(=4A A π-，不合，舍) ．解得5=8A π． …………………14分

18. 解：(1)依题意，得 c =1．于是，a

b =1． ……………………………………2分

所以所求椭圆的方程为2

212

x y +=． ………………………………………………4分

(2) (i)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y +=①，2

2

22

12

x y +=②． 又设M (x ，y )，因cos sin OM OA OB θθ=+ ，故1212cos sin ,

cos sin .x x x y y y θθθθ=+??=+? …………7分

因M 在椭圆上，故

2

21212(cos sin )(cos sin )12x x y y θθθθ+++=． 整理得22

222

2121212

12()cos ()sin 2()cos sin 1222

x x x x y y y y θθθθ+++++=． 将①②代入上式，并注意cos sin 0θθ≠，得 121202

x x

y y +=．

所以，12121

2

OA OB y y k k x x ==-为定值． ………………………………………………10分

(ii)222

2222222121212121212()()(1)(1)1()222x x x x y y y y y y y y =-=?=--=-++，故22

121y y +=． 又22

221212

()()222

x x y y +++=，故22

122x x +=． 所以，OA 2+OB 2=2222

1122x y x y +++=3． …………………………………………16分

19. 解：(1)方法一 当n ≥3时，因222

212

12n n n b a a a a a a -=+++- ①， 故2222

1121121n n n n n b a a a a a a a a -++=++++- ②． ……………………………………2分 ②-①，得 b n -1-b n -2=21121(1)n n n a a a a a ++-- =2

111(1)(1)n n n a a a +++-+-=1，为常数， 所以，数列{b n }为等差数列． …………………………………………………………5分

因 b 1=22212

3123a a a a a a ++-=4，故 b n =n +3． ……………………………………8分 方法二 当n ≥3时，a 1a 2…a n =1+a n +1，a 1a 2…a n a n +1=1+a n +2，

将上两式相除并变形，得 2

1211n n n a a a +++=-+

．……………………………………2分 于是，当n ∈N *时，

222

122122n n n b a a a a a a ++=+++- 222

12

35432122(1)(1)n n n a a a a a a a a a a +++=+++-+++-+- 22212

3343(1)(1)n n a a a a a n a ++=+++-+--+ 410n a =+-．

又a 4=a 1a 2a 3-1=7，故b n =n +3(n ∈N *)．

所以数列{b n }为等差数列，且b n =n +3． ………………………………………………8分

(2) 方法一 因 n c 22111(3)(4)n n =++++2

22

((3)(4)1)(3)(4)n n n n +++=++，…………………12分

故

(3)(4)1(3)(4)n n n n +++=++11(3)(4)n n =+++11

134n n =+-

++． 所以 111111(1)(1)(1)455634n S n n =+-++-+++-++ 11

44

n n =+-

+， ………15分 即 n ＜S n ＜n +1． ………………………………………………………………………16分

方法二 因22

11

11(3)(4)n c n n =+

+>++

，n S n >．……………………10分 221111

11(3)(4)(2)(3)(3)(4)

n c n n n n n n =+

+<++++++++

=11124n n +

-++<112n ++<2

1(1)2

n ++，

1

1

2

n

+

+

，于是

1

(1)1

2

n

S n n

n

<+<+

+

．……………………………………16分20.解：(1)由

1

()

3

f'=0，得a=b．…………………………………………………………1分故f(x)= ax3－2ax2+ax+c．

由()

f x

'=a(3x2－4x+1)=0，得x1=

1

3

，x2=1．…………………………………………2分

列表：

由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，

3

)及(1，+∞)．…………………………4分

(2)()

f x

'=3ax2-2(a+b)x+b=3

22

2

()

33

a b a b ab

a x

a a

++-

--．

①当1,0

33

a b a b

a a

++

≥或≤时，则()

f x

'在[0,1]上是单调函数，

所以(1)

f'≤()

f x

'≤(0)

f'，或(0)

f'≤()

f x

'≤(1)

f'，且(0)

f'+(1)

f'=a>0．

所以|()

f x

'|≤max{(0),(1)}

f f

''．………………………………………………………8分

②当01

3

a b

a

+

＜＜，即-a＜b＜2a，则

22

3

a b ab

a

+-

-≤()

f x

'≤max{(0),(1)}

f f

''．

(i) 当-a＜b≤

2

a

时，则0＜a+b≤

3

2

a

．

所以(1)

f'

22

3

a b ab

a

+-

-＝

22

22

3

a b ab

a

--

＝

22

3()

3

a a b

a

-+

≥2

1

4

a＞0．

所以|()

f x

'|≤max{(0),(1)}

f f

''．……………………………………………………12分

(ii) 当

2

a

＜b＜2a时，则()(2)

2

a

b b a

--＜0，即a2+b2－

5

2

ab＜0．

所以

22

3

a b ab

b

a

+-

-=

22

4

3

ab a b

a

--

＞

22

5

2

3

ab a b

a

--

＞0，即(0)

f'＞

22

3

a b ab

a

+-

．

所以|()

f x

'|≤max{(0),(1)}

f f

''．

综上所述：当0≤x≤1时，|()

f x

'|≤max{(0),(1)}

f f

''．……………………………16分

21 A证明：因AE=AC，AB为直径，

故∠OAC=∠OAE．…3分

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．

又∠EAC=∠PDE，

所以，∠PDE=∠POC．…10分

21 B解：设(,)

P x y为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点(,)

P x y

'''，则

x a x

y b y

'

??????

=

??????

'

??????

，即

,

.

x a x

y b y

'=

?

?

'=

?

…………………………………………………4分又因为点(,)

P x y

'''在椭圆

22

1

94

x y

+=上，所以

2222

1

94

a x

b y

+=．

由已知条件可知，221

x y

+=，所以a2=9，b2=4．

因为a>0 ，b>0，所以a=3，b=2．…………………………………………………10分

21 C 解：设(,)P ρθ是所求圆上的任意一点，…3分 则cos()4

OP OB θπ

=-，

故所求的圆的极坐标方程为)4ρθπ

=-． …………………………………10分

注：cos()4

ρθπ

=-亦正确．

21 D 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12

()x y x y yz zx z y x z +=+≥

同理可得

22

y z z x zx xy x xy yz y

++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

111

x y z yz zx xy x y z

++++≥．………10分 22. 解：(1)222

22

()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++ ． 因()f x 在1x =处取得极值，故(1)0f '=，解得a =1 (经检验)．……………………4分 (2)22

2

()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，因0,0x a >≥ ，故ax +1＞0，1+x ＞0．

当a ≥2时，在区间(0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为f (0)=1．

当0，解得x >

()0f x '<，解得x < ∴f (x )的单调减区间为，单调增区间为)+∞． 于是，f (x )在x =

(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f (x )得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ ……………………10分 注：不检验不扣分．

23. 解：(1)过点A 的切线方程为y =x +1．……1分

切线交x 轴于点B (-1，0)，交y 轴交于点D (0，1)，则D 是AB 的中点．

所以1()2

CD CA CB =+

． (1) ………………………3分

由DP PC λ= ?DP PC + =(1+λ)PC

?(1)CD CP λ=+ ． (2)

同理由 AE =λ1EC ， 得CA =(1+λ1)CE

， (3)

BF =λ2FC ， 得CB =(1+λ2)CF

． (4)

将(2)、(3)、(4)式代入(1)得 121[(1)(1)]2(1)

CP CE CF λλλ=++++ ．

(第21-C 题答图)

因为E 、P 、F 三点共线，所以

1+λ12(1+λ)+ 1+λ2

2(1+λ)

=1， 再由λ1+λ2=1，解之得λ=1

2．……………………………………………………………6分

(2)由(1)得CP =2PD ，D 是AB 的中点，所以点P 为△ABC 的重心． 所以，x =1-1+x 03，y =2+0+y 0

3

．

解得x 0=3x ，y 0=3y -2，代入y 02=4x 0得，(3y -2)2=12x ．

由于x 0≠1，故x ≠3． 所求轨迹方程为(3y -2)2=12x (x ≠3)． ………………………………………………10分