鱼雷击舰模型解答完整版-ZG

引言

世界各国的争端越来越多地依靠信息战,而在海域战争中,鱼雷的使用更是战争中的必备武器,它具有杀人于不备特点,更有利于战争中争取海域战场上的主动权.我国海域领海也在一次次地遭到邻国,例如日本的威胁与侵占.因此,对海域的防守,势在必行. 随着各种高新技术在鱼雷上的应用，鱼雷所具有的独特作用将进一步提高，在未来的现代化海战中，鱼雷将会在攻击现代化核潜艇和常规动力潜艇、击毁敌航空母舰和其他现代化战斗舰艇、消灭运输船和警戒舰艇以及对海军基地、港口和沿岸的军事目标进行袭击等方面了挥更加重要的作用，真正成为各国海军起威慑作用和克敌制胜的“杀手锏”。而且由于现代鱼雷性能的提高，鱼雷水下攻击仍会给水面舰艇带来巨大威胁。虽然导弹武器的出现和其它海军武器发展给海军增添了新的武器装备，但由于鱼雷具有水下爆炸的独特性能和良好的破坏结果，今后鱼雷仍是一种打击水面舰艇的有效武器。可见鱼雷对敌舰的打击精度和准度方面关系到国防事业的成功与失败,因此值得我们去探讨.

摘要

本文针对鱼雷击舰这一问题，在合理的假设的基础上建立了三个模型，分别得出了问题的解。

模型一是建立参数方程用MATLAB的龙格库塔法求解数值解，并假设敌舰速度为1，则敌舰运行的路程于t大小相等，进而运用二分法修改t的取值范围，测出y=t=0.667海里，即敌舰行驶0.667海里被鱼雷击中，耗时约88.9秒。

模型二是运用解析法，建立微分方程模型，运用一定的技巧求出鱼雷的运行曲线轨迹，从而得到鱼雷运行曲线与敌舰运行曲线的交点，求出x=1,y=2/3时鱼雷与敌舰相遇，从而得出耗时约为88.889秒。

模型三是用进一步深入运用MATLAB中龙格库塔法实现常微分方程的求解，以动态图得出鱼雷和敌舰随时间t运动的关系，再现了其追击情景。得出耗时1.49分钟，即89.4秒的结果。

最后对模型进行了结果分析，模型优缺点评价和模型的推广，并推出一个适用于同类型的一般化的方程，使其再碰到同类型的情况时只需要直接代实际数字进方程就可以得到解。

一、问题再现

鱼雷击舰问题

如图所示,一敌舰在某海域内沿正北方向航行时,我方战舰恰位于敌舰正西方1海里处,我舰向敌舰发射制导鱼雷,敌舰速度为

0.45海里/分钟,鱼雷速度为敌舰速度的2倍,鱼雷的运行方向始终

指向敌舰,试问敌舰航行多远时将被击中?

二．模型假设

1海水保持静止，无流动情况。敌舰始终保持速度大小不变，沿正北方向前进。鱼雷始终以指向于敌舰，两倍于敌舰的速度追击，直至击中为止。

2，海水虽有流动，但是海水流动对鱼雷和敌舰产生相同的效果。

3鱼雷对敌舰的打击过程中,敌舰没有发现鱼雷的危险,即敌舰未作出防守的行动

4鱼雷在发射出去之后，没有发生任何技术上的故障。

5鱼雷有足够的动力达到打击敌舰的地点实施对敌舰的打击敌舰

三、模型分析

1.从题可知，敌舰和我方战舰的初始位置均已确定，初始时我方战舰位于敌舰正西方1海里处。

2.敌舰沿正北方向，以0.45海里/分钟的速度匀速前进。

3.鱼雷以两倍敌舰速度追踪，行进方向始终指向敌舰。

四.符号说明

0v :敌舰速度；v:鱼雷速度;t:时间

五.模型建立、求解

因为鱼雷和敌舰的运动都在海面上，因此可以建立2维的xoy 平面，

敌舰的运动可以用一条垂直于x 轴的直线表示，鱼雷的运动则用一条曲线表示，曲线与直线的交点表示鱼雷击中敌舰。 模型一

数学模型分析

设任意时刻t ，敌舰的坐标为（)(t X ，)(t Y ），鱼雷的坐标为

（)(t x ，)(t y ）。

鱼雷速度恒为0v ，从原点射出，且速度是横向和纵向距离的一阶导数的矢量和，则有

2

??? ??dt dx ＋2

??

? ??dt dy ＝()20v ……………………………………………..（5） 由于鱼雷始终对准敌舰，则鱼雷的速度向量平行于敌舰与鱼雷位置的差向量，即

dt

dx

＝λ（X －x ） λ＞0 (6)

dt

dy

＝λ（Y －y ） 故由（5）、（6）可得

(λ（X －x ）2)＋(λ（Y －y ）2)＝()20v ……………… .（7） 由（7）式可解得

λ＝

2

2

)

()(y Y x X v -+- (8)

由题目已知乙舰以最大速度0v 沿直线x ＝1运动，为便于分析，我们可暂且令0v ＝1，则鱼雷速度v ＝02v ＝2，敌舰的坐标可重新表示为

)(t X ＝1……………………….. （9） )(t Y ＝0v t ＝t

t ＝0时，鱼雷位于原点，则鱼雷坐标的初始值可确定

)0(x ＝0……………………………………………….. （10） )0(y ＝0

因此，由（6）、（8）、（9）、（10）式可知鱼雷运动轨迹的参数方程为

dt dx

＝)1()

()1(222x y t x --+- dt dy ＝)()

()1(2

22y t y t x --+- 在计算机上用MATLAB 求解

解鱼雷运动轨迹的参数方程

因为假设0v ＝1，所以敌舰所处位置为（1，t ）。

建立m-文件eq2.m 如下：

function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1);

dy(1)=2*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); dy(2)=2*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);

取t0=0，tf=2，建立主程序

[t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]);

Y=0:0.01:2; plot(1,Y ,'-')

hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*')

如图，在x=1，y≈0.667左右相交。接着，我们运用二分法修改tf的值

[t,y]=ode45('eq2',[0 0.667],[0 0]);

Y=0:0.01:2;

plot(1,Y,'-')

hold on

plot(y(:,1),y(:,2),'*')

即鱼雷与敌舰相遇地点为（1,0.667），所以相遇所耗时间 t ≈88.9秒

模型二

O

x

Y

P

B

O Q

C

设鱼雷航行曲线为y(x)y =.在时刻t ,鱼雷的坐标为P(x,y),敌舰的坐标为t),v Q(01.因鱼雷始终对准敌舰,所以有x

y

t v PC CQ dx dy --=

=10 (1)

因弧长OP 为2t v 0,故t v dx dx

dy

x

0022)(1=+? (2)

由(1)、(2)消去t 得y dx dx

dy

dx dy x x -+=-?02)(121)1(

两边对x 求导,得

dx dy dx dy dx

y d x dx dy -+=-+-222)(121)1( 2

2

2)(1)1(21dx dy x dx

y d +-=,初始条件为0)0(,00(='=y )y .方程的通解为 221

23

211))1()1(31(c x x c c y +---=代入初始条件得3

2

,121==c c ,所以鱼雷的

航行曲线为21

23)1()1(3132x x y ---+=,当x =1时, 3

2

=y 海里,即当敌舰航

行0.667海里时将被鱼雷击中。所用时间为t=45

.032?

?

? ??≈1.48148分

钟=88.889秒。

y 与x 的曲线关系图（横坐标x 纵坐标y ） （注：此模型用MA TLAB 的验证结果见附录）

模型三

微分方程的建立：

function dxy=zhuiji(t,xy) v0=0.45; v1=2*v0;

k=(v0*t-xy(2))/(1-xy(1));

x 单位：海里

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y 单位：海里

dxy=[v1/sqrt(k^2+1); v1*k/sqrt(k^2+1)];

用ode45求解模型：

%微分方程模型

%ode求解追击模型

v0=0.45;

v1=2*v0;

[t1,i1]=ode45(@zhuiji,[0;1.55],[0;0]);

% plot(i1(:,1),i1(:,2));

m=size(t1);

m=m(1);

hold on

for tt=2:m

axis([0,1,0,2/3])

plot(i1(tt-1:tt,1),i1(tt-1:tt,2));

plot(i1(tt,1),i1(tt,2),'o');

plot(1,v0*t1(tt),'+');

plot([i1(tt,1) 1],[i1(tt,2) v0*t1(tt)],'r--.')

pause(.5);

end

hold off

运行结果如下两图：

等时间间隔的改进：

v0=0.45;

v1=2*v0;

[t1,i1]=ode45(@zhuiji,[0;1.49],[0;0]); t2=0:0.05:1.5;

m=length(t2);

x=spline(t1,i1(:,1),t2);

y=spline(t1,i1(:,2),t2);

hold on

for tt=2:m

axis([0,1.5,0,2/3])

plot(x(tt-1:tt),y(tt-1:tt));

plot(x(tt),y(tt),'o');

plot(1,v0*t2(tt),'+');

plot([x(tt) 1],[y(tt) v0*t2(tt)],'r--.')

pause(.5);

end

hold off

结果如下两图所示

六、结果分析

三个模型的结果都相近，模型一交点为（1,0.667），时间是88.9秒；模型二交点为（1,2/3），时间为88.889秒；模型三交点为（1.0157,0.6717），时间是89.4秒。由于模型一和模型三运用的是MATLAB中的ODE45，其本身精度是中精度。而模型二是解析解，故解就是假设情况下的理论值。

七、模型评价、推广

模型一以MATLAB为平台，利用常微分的数值解法得到了以个近似解。虽然能省去繁琐的微分方程的计算，节省时间，但因为是近似解，在需要高精度值的场合下不适宜使用。

模型二通过一定的技巧，对微分方程组求解，得出y关于x的函数方程，即鱼雷的行进曲线。能够得出理想情况下(即海水保持静止，舰船保持沿着y方向匀速前进，鱼雷始终以大小不变，方向指向舰船的速度追击)的理论值。此方法优点在于计算得出的值准确，但是计算量大，费时，而且因为是人亲自去算，也更容易出现计算上的错误。

模型三有一个很大的优点，就是能动态再现鱼雷和敌舰的运动情况，找出其相遇点和耗时。但是因为其算法的选择本身只有中精度，所以精度是其一个软肋。

在本题引出的模型的基础上，我们可以将此模型进行推广，从而适用于一系列的可以转化为如下图所示的模型。现在我们对推广的模型进行数学模型建立，并得出一般解。

推广：

由A 速度对B 的关系可得出：

x

a y

t v dx dy --=0……………………………………………………………………….(1) 又AP 弧长：

t v dx y x

00

2')(1β=+?

(2)

0,0,0'

===y y x 时

移项可得

2''

''

2'''2

'''''0

2''

02

'0'1)(6)()6.........(......................................................................)(1)()(1)()5()

5..(............................................................)(1)()4..(................................................................................)(1)3.......(................................................................................)(P x a dx

dP

dx

dP dx y d y y P y x a y y y y x a y x dx y y x a y t v dx y t v y x a y x x +=-=

==+=-?+=+--+=+-??????=+=+-?

?β

βββββββ）式转化为：

所以（则令求导：

式左右两边均对所以

）：代入（时把可得：）式左右两边分别积分对（β

β

β

β1

1'122ln ln 80,0,0)

8.......(......................................................................)

ln()1ln(7)

7...(..........................................................................................)(1a a

C y P y x C x a P P x a dx

P

dP

======+--

=++-=+?

)

1(2)1(21200)12........(..........1)(1211)(121)

11.(............................................................)()(21109)

10.......(............................................................)(1-9)9........(............................................................)(11

1

1

1111

1

21

1

2ββ

βββ

βββ

βββββ

ββ

βββββ

ββ+-

-=?==++-++----=????

?????---=--=+-=++-

----

a a C y x C x a a

x a a y x a a x a a P x a a

P P x a a P P ）：代入（时把）可得：

）和（有（数：）式左右两边分别求倒对（

所以，对一般情况下

???

???

?+--=++-++----=-)1(2)1(21

)(1211)(12111ββββββββββββββa a C C x a a x a a

y

八、参考文献

《高等数学》第六版上、下册 同济大学数学系 编 《MATLAB 基础与应用教程》 蔡旭晖 刘卫国 蔡立燕 编 《数学建模于数学实验》第二版 赵静 但琦 编 《高等数学竞赛与提高》 毛京中 编

九、附录

Matlab程序代码为：

x=[0:0.01:1]

>> y=2./3-(1-x).^(1./2)+(1./3)*(1-x).^(3./2)

%由微分方程的到y与x的函数关系式

>> t=60.*(2./3-(1./2).*(1-x).^(1./2)-(1./6).*(1-x).^(3./2))./0.45 %由微分方程得到t与x的关系式。t单位s

得到数据如下表：

时间T （s) 鱼雷的横标x

（海里）

鱼雷的纵坐标

y（海里）

-0.0000 0.0000 -0.0000

0.6667 0.0100 0.0000

1.3334 0.0200 0.0001

2.0001 0.0300 0.0002

2.6668 0.0400 0.0004

3.3337 0.0500 0.0006

4.0006 0.0600 0.0009

4.6677 0.0700 0.0013

5.3348 0.0800 0.0016

6.0022 0.0900 0.0021

6.6697 0.1000 0.0026

7.3374 0.1100 0.0031

8.0053 0.1200 0.0038

8.6734 0.1300 0.0044

9.3419 0.1400 0.0051

10.0106 0.1500 0.0059

10.6796 0.1600 0.0068

11.3490 0.1700 0.0077

12.0187 0.1800 0.0086

12.6889 0.1900 0.0097

13.3595 0.2000 0.0108

14.0305 0.2100 0.0119

14.7021 0.2200 0.0131

15.3742 0.2300 0.0144

16.0468 0.2400 0.0157

16.7201 0.2500 0.0171

17.3940 0.2600 0.0186

18.0686 0.2700 0.0202

18.7439 0.2800 0.0218

19.4200 0.2900 0.0235

20.0968 0.3000 0.0252

21.4532 0.3200 0.0290

22.1328 0.3300 0.0309

22.8134 0.3400 0.0330

23.4950 0.3500 0.0351

24.1778 0.3600 0.0373

24.8617 0.3700 0.0396

25.5469 0.3800 0.0420

26.2333 0.3900 0.0445

26.9212 0.4000 0.0470

27.6104 0.4100 0.0496

28.3012 0.4200 0.0523

28.9935 0.4300 0.0551

29.6876 0.4400 0.0580

30.3833 0.4500 0.0610

31.0809 0.4600 0.0641

31.7805 0.4700 0.0673

32.4820 0.4800 0.0705

33.1857 0.4900 0.0739

33.8917 0.5000 0.0774

34.6000 0.5100 0.0810

35.3108 0.5200 0.0847

36.0242 0.5300 0.0885

36.7403 0.5400 0.0924

37.4593 0.5500 0.0965

38.1814 0.5600 0.1006

38.9066 0.5700 0.1049

39.6353 0.5800 0.1093

40.3674 0.5900 0.1139

41.1034 0.6000 0.1185

41.8432 0.6100 0.1234

42.5873 0.6200 0.1283

43.3358 0.6300 0.1334

44.0889 0.6400 0.1387

44.8470 0.6500 0.1441

45.6103 0.6600 0.1497

46.3791 0.6700 0.1554

47.1539 0.6800 0.1613

47.9349 0.6900 0.1674

48.7226 0.7000 0.1737

49.5174 0.7100 0.1802

50.3197 0.7200 0.1869

51.1302 0.7300 0.1938 51.9493 0.7400 0.2010

53.6162 0.7600 0.2160

54.4655 0.7700 0.2239

55.3264 0.7800 0.2320

56.1998 0.7900 0.2405

57.0870 0.8000 0.2493

57.9891 0.8100 0.2584

58.9076 0.8200 0.2679

59.8439 0.8300 0.2777

60.8000 0.8400 0.2880

61.7780 0.8500 0.2987

62.7804 0.8600 0.3100

63.8103 0.8700 0.3217

64.8711 0.8800 0.3341

65.9673 0.8900 0.3472

67.1043 0.9000 0.3610

68.2889 0.9100 0.3757

69.5299 0.9200 0.3914

70.8390 0.9300 0.4083

72.2324 0.9400 0.4266

73.7333 0.9500 0.4468

75.3778 0.9600 0.4693

77.2264 0.9700 0.4952

79.3979 0.9800 0.5262

82.2000 0.9900 0.5670

88.8889 1.0000 0.6667

>> x=[0:0.01:1]

%取x从0到1逐渐增加。间隔0.01

x =

Columns 1 through 8

0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 Columns 9 through 16

0.0800 0.0900 0.1000 0.1100 0.1200 0.1300 0.1400 0.1500 Columns 17 through 24

0.1600 0.1700 0.1800 0.1900 0.2000 0.2100 0.2200 0.2300

Columns 25 through 32

0.2400 0.2500 0.2600 0.2700 0.2800 0.2900 0.3000 0.3100 Columns 33 through 40

0.3200 0.3300 0.3400 0.3500 0.3600 0.3700 0.3800 0.3900 Columns 41 through 48

0.4000 0.4100 0.4200 0.4300 0.4400 0.4500 0.4600 0.4700 Columns 49 through 56

0.4800 0.4900 0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500 Columns 57 through 64

0.5600 0.5700 0.5800 0.5900 0.6000 0.6100 0.6200 0.6300 Columns 65 through 72

0.6400 0.6500 0.6600 0.6700 0.6800 0.6900 0.7000 0.7100 Columns 73 through 80

0.7200 0.7300 0.7400 0.7500 0.7600 0.7700 0.7800 0.7900 Columns 81 through 88

0.8000 0.8100 0.8200 0.8300 0.8400 0.8500 0.8600 0.8700 Columns 89 through 96

0.8800 0.8900 0.9000 0.9100 0.9200 0.9300 0.9400 0.9500 Columns 97 through 101

0.9600 0.9700 0.9800 0.9900 1.0000

>> y=2./3-(1-x).^(1./2)+(1./3)*(1-x).^(3./2)

%由微分方程的到y与x的函数关系式

Columns 1 through 8

-0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0006 0.0009 0.0013 Columns 9 through 16

0.0016 0.0021 0.0026 0.0031 0.0038 0.0044 0.0051 0.0059 Columns 17 through 24

0.0068 0.0077 0.0086 0.0097 0.0108 0.0119 0.0131 0.0144 Columns 25 through 32

0.0157 0.0171 0.0186 0.0202 0.0218 0.0235 0.0252 0.0271 Columns 33 through 40

0.0290 0.0309 0.0330 0.0351 0.0373 0.0396 0.0420 0.0445 Columns 41 through 48

0.0470 0.0496 0.0523 0.0551 0.0580 0.0610 0.0641 0.0673 Columns 49 through 56

0.0705 0.0739 0.0774 0.0810 0.0847 0.0885 0.0924 0.0965 Columns 57 through 64

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