中考 第6讲 因式分解
因式分解
【基础知识回顾】 一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积
【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的
形式。】
二、因式分解常用方法： 1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】 2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2= ,
②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，
找准里面a 与b 。如：x 2
-12x+14即是完全平方公式形式而x 2- x+1
2
就不符合该公式。】
3. 十字相乘法: 形如x 2＋px ＋q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a 、b 的积，并且a ＋b 恰好等
于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即x 2＋px ＋q ＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b ) ，这种方法叫做“十字相乘法分解因式”
ab q b a p =+=※
对于二次三项式c bx ax ++2
,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ?= , 21c c c ?=,
1.
且满足1221c a c a b +=,往往写成
c 2
a 2
c 1a 1
的形式,将二次三项式进行分解.
如: ))((22112
c x a c x a c bx ax ++=++
.4. 分组分解法:
分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++
（ ） ?→
←（ ）
b
a 1
1
一、因式分解的一般步骤
1、一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先
2、二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用法来分解。
3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
【重点考点例析】
【重点考点例析】
考点一：因式分解的概念
例1 （2012?安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A．m2+n B．m2-m+1 C．m2-n D．m2-2m+1
．
对应训练
1．（2012?凉山州）下列多项式能分解因式的是（）
A．x2+y2B．-x2-y2C．-x2+2xy-y2D．x2-xy+y2
考点二：因式分解
例2 （2012?天门）分解因式：3a2b+6ab2= ．
例3 （2012?广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2= ．
【例4】分解因式：－x3－2x2－x＝__________.
解析：由于多项式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.
答案：－x(x＋1)2
因式分解的一般步骤：
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；
(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
分解因式：4－a2＋2ab－b2＝__________.
对应训练
2．（2012?温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）
A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-4
3．（2012?恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）
A．a2b（a2-6a+9）B．a2b（a-3）（a+3）C．b（a2-3）2 D．a2b（a-3）2
例题4：把下列各式分解因式：
(1)a2+6a+9 (2) x2+8x+16 (3) 16x2+24x+9; (4) (a+b)2+6(a+b)+9; (5) –x2+4xy-4y2
变式练习4：分解因式
(1)49b2+a2+14ab (2)（m+n）2-4（m+n）+4 (3)-a2-10a-25 (4) 3ax2+6axy+3ay2
(5)x 4-18x 2+81 （6）4x 3y+4x 2y 2+xy
3
(7)(x 2+y 2)2-4x 2y 2
例题5：分解因式：
（1）x 2
－3x ＋2； （2）x 2
＋4x －12；（3）x 4＋5x 2－6 4）x 2＋xy －12y 2
（5）2x 2+x-6 (6)4x 2-x-3 (7) 4x 2
+7x+3
变 式练习5分解因式 （1）x 2＋x －12； （2）x 2—4x －5； （3）x 2＋2x －15；
（4）x 2－9xy －36y 2 （5）a 2－ab －12b 2 (6) 2
1252x x --
(7)
22568x xy y +-
例题6把下列各式分解因式 。(1)、2105ax ay by bx -+-． ． (2)、2222()()ab c d a b cd ---．
考点三：因式分解的应用
例6．（2012?随州）设a 2
+2a-1=0，b 4
-2b 2
-1=0，且1-ab 2
≠0，则(2231ab b a a
+-+)5
= ．
对应训练 4．（2012?苏州）若a=2，a+b=3，则a 2+ab= ．
、因式分解
【例1】 分解因式：－x 3－2x 2－x ＝__________.
解析：由于多项式中有公因式－x ，先提公因式再用公式法．－x 3－2x 2－x ＝－x (x 2＋2x ＋1)＝－x (x ＋1)2. 答案：－x (x ＋1)2
因式分解的一般步骤： (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式； (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；
(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
分解因式：4－a 2＋2ab －b 2＝__________.
1．把代数式mx 2
－my 2
分解因式，下列结果正确的是( )．
A ．m (x ＋y )2
B ．m (x －y )2
C ．m (x ＋2y )2
D ．m (x ＋y )(x －y )
2．给出3个整式：x2,2x＋1，x2－2x.
(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；
(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？
第三部分：课后巩固
【聚焦中考】
1．（2012?济宁）下列式子变形是因式分解的是（）
A．x2-5x+6=x（x-5）+6 B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）
C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6 D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）
2．（2012?临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= ．
3．（2012?潍坊）分解因式：x3-4x2-12x= ．
4．（2012?威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= ．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012?无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（）
A．（x-1）（x-2）B．x2C．（x+1）2D．（x-2）2
2．（2012?呼和浩特）下列各因式分解正确的是（）
A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）B．x2+2x-1=（x-1）2
C．4x2-4x+1=（2x-1）2D．x2-4x=x（x+2）（x-2）
3．（2012?台湾）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
4．（2012?西宁）下列分解因式正确的是（）
A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）
C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2
5．（2012?温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）
A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-4
二、填空题
6．（2012?湘潭）因式分解：m2-mn= ．
7．（2012?桂林）分解因式：4x2-2x= ．
8．（2012?沈阳）分解因式：m2-6m+9= ．
9．（2012?黔西南州）分解因式：a4-16a2= ．
10．（2012?北海）因式分解：-m2+n2= ．
11．（2012?北京）分解因式：mn2+6mn+9m= ．
12．（2012?益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．13．（2012?宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2= ．
14．（2012?绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．
15．（2012?宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为．16．（2012?广东）分解因式：2x2-10x= ．
17．（2012?黄石）分解因式：x2+x-2= ．
18．（2012?黑河）因式分解：27x2-3y2= ．
19．（2012?六盘水）分解因式：2x2+4x+2= ．
20．（2012?南充）分解因式：x2-4x-12= ．
21．（2012?哈尔滨）把多项式a 3-2a 2+a 分解因式的结果是 ． 22．（2012?广州）分解因式：a 3-8a= ．
23．（2012?广西）分解因式：2xy-4x 2= ． 24．（2012?大庆）分解因式：ab-ac+bc-b 2= ． 三、解答题
25．（2012?扬州）（1）计算：9-（-1）2+（-2012）0 （2）因式分解：m 3n-9mn ．
第二部分：讲义 第四讲 因式分解
【基础知识回顾】 一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积
【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的
形式。】
二、因式分解常用方法： 1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】 2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2= ,
②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，
找准里面a 与b 。如：x 2
-12x+14即是完全平方公式形式而x 2- x+1
2
就不符合该公式。】
3. 十字相乘法: 形如x 2＋px ＋q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a 、b 的积，并且a ＋b 恰好等
于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即x 2＋px ＋q ＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b ) ，这种方法叫做“十字相乘法分解因式”
ab q b a p =+=※
对于二次三项式c bx ax ++2
,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ?= , 21c c c ?=,
1.
（ ） ?→
←（ ）
b
a 1
1
且满足1221c a c a b +=,往往写成
c 2
a 2
c 1a 1 的形式,将二次三项式进行分解.
如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++
.4. 分组分解法:
分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++
二、 因式分解的一般步骤
4、 一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先
5、 二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用 法来分解。
6、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】 【重点考点例析】
考点一：因式分解的概念
例1 （2012?安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A ．m 2+n B ．m 2-m+1 C ．m 2-n D ．m 2-2m+1
思路分析：根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A 、m 2+n 不能分解因式，故本选项错误； B 、m 2-m+1不能分解因式，故本选项错误； C 、m 2-n 不能分解因式，故本选项错误； D 、m 2-2m+1是完全平方式，故本选项正确． 故选D ．
点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键． 对应训练 1．（2012?凉山州）下列多项式能分解因式的是（ ）
A ．x 2+y 2
B ．-x 2-y 2
C ．-x 2+2xy-y 2
D ．x 2-xy+y 2 1．C
考点二：因式分解
例2 （2012?天门）分解因式：3a 2b+6ab 2= ．
思路分析：首先观察可得此题的公因式为：3ab ，然后提取公因式即可求得答案． 解：3a 2b+6ab 2=3ab （a+2b ）． 故答案为：3ab （a+2b ）．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
例3 （2012?广元）分解因式：3m 3-18m 2n+27mn 2= ．
思路分析：先提取公因式3m ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解：3m 3-18m 2n+27mn 2 =3m （m 2-6mn+9n 2） =3m （m-3n ）2．
故答案为：3m （m-3n ）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
对应训练 2．（2012?温州）把a 2-4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ） A ．a （a-4） B ．（a+2）（a-2） C ．a （a+2）（a-2） D ．（a-2）2-4 2．A ． 3．（2012?恩施州）a 4b-6a 3b+9a 2b 分解因式得正确结果为（ ） A ．a 2b （a 2-6a+9） B ．a2b （a-3）（a+3） C ．b （a 2-3）2 D ．a 2b （a-3）2 3．D
例题4：把下列各式分解因式：
(1)a 2
+6a+9 (2) x 2
+8x+16 (3) 16x 2
+24x+9; (4) (a+b)2
+6(a+b)+9; (5) –x 2
+4xy-4y
2
变式练习4：分解因式
(1)49b 2
+a 2
+14ab (2)（m+n ）2
-4（m+n ）+4 (3)-a 2
-10a-25 (4) 3ax 2
+6axy+3ay 2
(5)x 4
-18x 2
+81（6）4x 3
y+4x 2y 2
+xy
3
(7)(x 2+y 2)2-4x 2y 2
例题5：分解因式：
（1）x 2
－3x ＋2； （2）x 2
＋4x －12；（3）x 4＋5x 2－6 4）x 2＋xy －12y 2
（5）2x 2+x-6 (6)4x 2-x-3 (7) 4x 2
+7x+3
变 式练习5分解因式 （1）x 2＋x －12； （2）x 2—4x －5； （3）x 2＋2x －15；
（4）x 2－9xy －36y 2 （5）a 2－ab －12b 2 (6) 2
1252x x --
(7)
22568x xy y +-
例题6把下列各式分解因式 。(1)、2105ax ay by bx -+-． ． (2)、
2222()()ab c d a b cd ---．
考点三：因式分解的应用
例6．（2012?随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则(
2231
ab b a
a
+-+
)5= ．
考点：因式分解的应用；分式的化简求值．
分析：根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．
解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，
∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，
化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，
若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0，因此a+b2=0，即b2=-a，
∴(
2231 ab b a
a
+-+
)5
=(
231 a a a
a
---+
)5
=-(
221 a a
a
+-
)5
=(121
a
a
--
)5
=（-2）5
=-32．
故答案为-32．
点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．
对应训练
4．（2012?苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= ．
4．6
、因式分解
【例1】分解因式：－x3－2x2－x＝__________.
解析：由于多项式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.
答案：－x(x＋1)2
因式分解的一般步骤：
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；
(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
分解因式：4－a2＋2ab－b2＝__________.
1．把代数式mx2－my2分解因式，下列结果正确的是()．
A．m(x＋y)2B．m(x－y)2 C．m(x＋2y)2D．m(x＋y)(x－y)
2．给出3个整式：x2,2x＋1，x2－2x.
(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；
(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？
第三部分：课后巩固
【聚焦中考】
1．（2012?济宁）下列式子变形是因式分解的是（）
A．x2-5x+6=x（x-5）+6 B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）
C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6 D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）
1．B．
2．（2012?临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= ．
2．a（1-3b）2．
3．（2012?潍坊）分解因式：x3-4x2-12x= ．
考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．
分析：首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．
解答：解：x3-4x2-12x
=x（x2-4x-12）
=x（x+2）（x-6）．
故答案为：x（x+2）（x-6）．
点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．
4．（2012?威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：先提取公因式3y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解答：解：3x2y+12xy2+12y3，
=3y（x2+4xy+4y2），
=3y（x+2y）2．
故答案为：3y（x+2y）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012?无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（）
A．（x-1）（x-2）B．x2C．（x+1）2D．（x-2）2
1．D
2．（2012?呼和浩特）下列各因式分解正确的是（）
A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）B．x2+2x-1=（x-1）2
C．4x2-4x+1=（2x-1）2D．x2-4x=x（x+2）（x-2）
2．C
3．（2012?台湾）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
3．A
4．（2012?西宁）下列分解因式正确的是（）
A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）
C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2
考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
专题：计算题．
分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、3x2-6x=3x（x-2），故本选项错误；
B、-a2+b2=（b+a）（b-a），故本选项正确；
C、4x2-y2=（2x+y）（2x-y），故本选项错误；
D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．5．（2012?温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）
A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-4 考点：因式分解-提公因式法．
分析：直接提取公因式a即可．
解答：解：a2-4a=a（a-4），
故选：A．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
二、填空题
6．（2012?湘潭）因式分解：m2-mn= ．
6．m（m-n）
7．（2012?桂林）分解因式：4x2-2x= ．
7．2x（2x-1）
8．（2012?沈阳）分解因式：m2-6m+9= ．
8．（x-3）2．
9．（2012?黔西南州）分解因式：a4-16a2= ．
9．a2（a+4）（a-4）．
10．（2012?北海）因式分解：-m2+n2= ．
10．（n+m）（n-m）
11．（2012?北京）分解因式：mn2+6mn+9m= ．
11．m（n+3）2．
12．（2012?益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．
12．解：答案不唯一，如x2-3
=x2-（3）2
=（x+3）（x-3）．
故可填x2-3．
13．（2012?宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2= ．
13．3（m-n）2
14．（2012?绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．
14．ab（a-b）2．
15．（2012?宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为．15．解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，
∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，
∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，
13xy-26x=0，
13x（y-2）=0，
∵x≠0，
∴y-2=0，
∴y=2；
故答案为：2．
16．（2012?广东）分解因式：2x2-10x= ．
考点：因式分解-提公因式法．
分析：首先确定公因式是2x，然后提公因式即可．
解答：解：原式=2x（x-5）．
故答案是：2x（x-5）．
点评：本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键．
17．（2012?黄石）分解因式：x2+x-2= ．
考点：因式分解-十字相乘法等．
专题：探究型．
分析：因为（-1）×2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可．
解答：解：∵（-1）×2=-2，2-1=1，
∴x2+x-2=（x-1）（x+2）．
故答案为：（x-1）（x+2）．
点评：本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
18．（2012?黑河）因式分解：27x2-3y2= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提公因式3，然后利用平方差公式分解．
解答：解：原式=3（9x2-y2）=3（3x+y）（3x-y）．
故答案是：3（3x+y）（3x-y）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止
19．（2012?六盘水）分解因式：2x2+4x+2= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解答：解：2x2+4x+2
=2（x2+2x+1）
=2（x+1）2．
故答案为：2（x+1）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
20．（2012?南充）分解因式：x2-4x-12= ．
考点：因式分解-十字相乘法等．
专题：计算题．
分析：因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．
解答：解：x2-4x-12=（x-6）（x+2）．
故答案为（x-6）（x+2）．
点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
21．（2012?哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式
解答：解：a3-2a2+a
=a（a2-2a+1）
=a（a-1）2．
故答案为：a（a-1）2．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．22．（2012?广州）分解因式：a3-8a= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：常规题型．
分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：a3-8a，
=a（a2-8），
=a（a+22）（a-22）．
故答案为：a（a+22）（a-22）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
23．（2012?广西）分解因式：2xy-4x2= ．
考点：因式分解-提公因式法．
分析：利用提取公因式法分解即可，公因式的确定方法是：公因式的系数是各项的系数的最大公约数，字母是各项中共同含有的字母，并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数．
解答：解：原式=2x（y-2x）．
故答案是：2x（y-2x）．
点评：本题考查了利用提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．
24．（2012?大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2= ．
考点：因式分解-分组分解法．
分析：首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可．
解答：解：ab-ac+bc-b2
=（ab-ac）+（bc-b2）
=a（b-c）-b（b-c）
=（b-c）（a-b）．
故答案是：（b-c）（a-b）．
点评：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
三、解答题
25．（2012?扬州）（1）计算：9-（-1）2+（-2012）0
（2）因式分解：m3n-9mn．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；实数的运算；零指数幂．
专题：常规题型．
分析：（1）根据算术平方根的定义，乘方的定义，以及任何非0数的0次幂等于1解答；
（2）先提取公因式mn，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：（1）9-（-1）2+（-2012）0
=3-1+1
=3；
（2）m3n-9mn
=mn（m2-9）
=mn（m+3）（m-3）
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
第6讲.因式分解的概念和基本方法.尖子班.学生版
定义示例剖析 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又 叫分解因式． () 21 a a a a +=+；() 232 4222 x x x x +=+ ()()2 322 36332131 a b a b ab ab a a ab a ++=++=+ 实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的变形． 因式分解与整式乘法是相反方向的变 形． () ma mb mc m a b c ????→ ++++ ←???? 因式分解 整式乘法 多项式????→ ←???? 因式分解 整式乘法 整式乘积 分解因式的注意事项： 1、结果一定是乘积的形式； 2、每一个因式都是整式； 3、相同的因式的积要写成幂的形式. 4、没有大括号和中括号； 5、每个因式中不能含有同类项，如果有需 要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； 6、单项式因式写在多项式因式的前面； 7、每个因式第一项系数一般不为负； 8、若不特别说明，分解因式的结果必须是 每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 如： 1 11 x x x ?? +=+ ? ?? 不是因式分解 21(1)(1) x x x -=+-是因式分解()()22 x y x y x y +-=-不是因式分解 () 23232 x x x x +-=+-不是因式分解 模块一因式分解的概念知识导航 知识互联网 1
2 【例1】 ⑴下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. 223()33ab a b a b ab +=+ B. 2222421x x x x ?? +=+ ?? ? C. 224(2)(2)a b a b a b -=+- D. 23633(2)x xy x x x y -+=- ⑵一次课堂练习，小胖同学做了如下4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题是（ ） A. () 321x x x x -=- B. ()2 222x xy y x y -+=- C. ()22x y xy xy x y -=- D. ()()22x y x y x y -=+- 【例2】 ⑴一个多项式分解因式的结果是33(2)(2)b b +-，那么这个多项式是（ ） A ．64b - B ．64b - C ．64b + D ．64b -- ⑵如果多项式235x mx --分解因式为()()57x x -+，则m 的值为（ ） A 、2- B 、2 C 、12 D 、12- ⑶若多项式2x ax b ++可因式分解为()()12x x +-，求a b +的值 . 定 义 示例剖析 如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因式分解。 确定公因式的方法： 1、系数——取多项式各项系数的最大公约数； 2、字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 注意事项： 逐一检查 一次提净 切勿漏一 注意符号 如：()ma mb mc m a b c ++=++ () 32222+2abc a b a b ab ab c a ab -+-=-- () 22242221ab a bc ab ab b ac -+=-+ 易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项. 知识导航 模块二 提公因式法 夯实基础
(完整版)因式分解练习题(公式法)
因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+
题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--
第三讲 因式分解
第三讲 因式分解 【基础知识回顾】 一、因式分解的定义： 1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。 2、因式分解与整式乘法是 过程，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】 二、因式分解常用方法： 1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。 【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】 2、运用公式法： 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a 2-b 2= , ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。 【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点， 找准里面的a 与b 。如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12 就不符合该公式的形式。】 三、因式分解的一般步骤 1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。 2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。 3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【重点考点例析】 对应训练 1．（2013?河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．a （x-y ）=ax-ay B ．x 2+2x+1=x （x+2）+1 C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3 D ．x 3-x=x （x+1）（x-1） 考点二：因式分解 例2 （2013?无锡）分解因式：2x 2-4x= ． 思路分析：首先找出多项式的公因式2x ，然后提取公因式法因式分解即可． 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 例3 （2013?南昌）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2-xy+x=x （x-y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a-b ）2 C ．x 2-2x+4=（x-1）2+3 D ．ax 2-9=a （x+3）（x-3） 点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． （ ） （ ）
华师大版-数学-八年级上册-因式分解法 重难点突破
初中-数学-打印版 因式分解法重难点突破 一、会用因式分解法解特殊的一元二次方程 突破建议 1．首先注重课堂的引入，从实际问题出发，贴近学生的生活，激发学生的学习兴趣．2．对于方程的解法给孩子们思考的空间，让他们从已有的知识出发，用配 方法和公式法寻求方程的解，教师不要过于主观的马上给出因式分解法，剥夺了孩子思考的空间，使学习过于被动． 3．引导孩子观察方程的结构，从如果，则有或的结论得到启发，主动 思考解决问题的过程，利用提取公因式的方法可以将方程化为两个一次项的乘积为零的形式． 4．通过一系列的相互联系的问题串，将学生零散的思维系统化，通过例题的进一步训练，学生加深对方法的理解，归纳出因式分解法解一元二次方程的一般步骤，突破难点． 二、学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程 突破建议 例解下列方程： （1）；（2） . 解析：题目（1）学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的 形式． 题目（2）的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构． 在解题的过程中，通过对例题的完成，加深学生对解方程方法的理解： 1．学生能够体会到解一元二次方程的方法是不唯一的． 2．配方法和公式法适用于所有的方程，而因式分解法对并不适用于所有的方程． 3．遇到方程应该注意观察方程的结构，选择合理的方法，降低计算量，提高准确性．4．虽然方法不同，但是三种方法的基本思想都是降次． 初中-数学-打印版
(完整版)整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法 【知识点归纳】 1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数) 2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数) 3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数) 4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。 5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。 7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形： （a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ， a 2+ b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。 【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数 式234a -+2221 2(3)4b a b --的值 【例2】已知两个多项式A 和B ， 43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？ 【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 . 【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值. 【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ； （2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ． 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．
因式分解公式法、十字相乘法教师版
2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
七年级数学下册 3.1 多项式的因式分解《因式分解》重点难点解读素材 (新版)湘教版
《因式分解》重点难点解读 分解因式与前面学习的整式和后一章的分式联系极为密切，它是在整式运算的基础上进行的，它的理论根据是多项式乘法的逆变形下面对这章知识进行归纳和总结，以期对同学们的学习有所帮助． 一．知识结构 二．正确理解分解因式的概念 1．定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 2．注意事项： 要正确理解分解因式的概念，必须注意以下几点： （1）分解因式的对象必须是多项式，如把25a bc 分解成5a abc 就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式；再如：把 211x -分解为11(1)(1)x x +-也不是分解因式，因为211x -是分式，不是整式． （2）分解因式的结果必须是积的形式，如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式． （3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：221(1)x x x x -=-就不是分解因式，因为21(1)x x -是分式，不是整式． 三．搞清分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如： ()m a b c ++ ma mb mc ++因此，我们可以利用整式乘法来检验分解 因式的结果是否正确． 四．注意掌握分解因式的一般方法 1．提公因式法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法． 分解因式 整式乘法
这种方法实质上是逆用乘法分配律． 要正确应用提公因式法，必须注意以下几点： （1）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下： 首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数； 其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式 222291812x y x y x y z -+，各项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母是,,x y z ，x 的指数取最低的２，y 的指数取最低的１因此公因式是2 3x y ． （2）如果多项式首项是“－”号，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的；在提出“－”号时，多项式的各项都要变号，如： 2222279(279)x y xy x y xy -+=--=9(3)xy x y --． （3）当某项全部提出后，剩下的是1，而不是0，如：2 (1)m mn m m m n +-=+-，而不能发生2()m mn m m m n +-=+的错误． 2．运用公式法 把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫运用公式法． （1）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 运用平方差公式，应注意： ①熟记公式特征：公式的右边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方． ②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 22()()[()()][()()]2(2)4x y x y x y x y x y x y x y xy --+=-++--+=-=-（其中x y -相当于公式中的a ，x y +相当于公式中的b ）． （2）完全平方公式 2222()a ab b a b ±+=±，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 运用平方差公式，应注意： ①熟记公式特征：右边是两数和（或差）的平方，左边是前平方（2a ）、后平方（2b ）、二倍之积在中央（ab 2±）． ②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 222()4()4[()2](2)x y x y x y x y ---+=--=--，（其中x y -相当于公式中的a ，2相当于公式中的b ）．
6因式分解
1、因式分解 一、提问 问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法． 问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值． 二、联想 1．ma+mb+mc=（）（）； 2．x2－4=（）（）； 3．x2－2xy+y2=（）2． 【总结】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 三、探究 （1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解： ①（x+1）（x－1）=x2－1； ②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2； ③7x－7=7（x－1）． （2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立． ①9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）； ②x2－4xy+（_______）=（x－_______）2． 四、小结 1．什么叫因式分解？ 2．因式分解与整式运算有何区别？ （1）在刚学因式分解时，?非常重要的一点：能否正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系． （2）判断多项式是否为因式分解，需要注意：①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算，而是把多项式由一种形式变成另一种形式；②一个多项式的变形是不是因式分解，关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积．整式可以是单项式，也可以是多项式．（3）?因式分解是一种恒等变形，因式分解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形，检验因式分解的结果是否正确，可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等，相同因式之积应写成幂的形式．
2、提公因式法 一、复习 下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1 t （2t3－3t2+t）； （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my； （5）x2－2xy+y2=（x－y）2． 问题： 1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？ 2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？ 请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【归纳】 【总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 二、探究 【提问】多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？ 【总结】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂． 三、范例 【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．
第9讲 因式分解(一)
第九讲 因式分解（一） 知识模块一、因式分解的概念 知识梳理： 因式分解m 因式分解整式乘积+1=x (1+ 1 x )不是因式分解 例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ．3ab (a +b )=3a 2b +3ab 2 B ．2x 2+4x =2x 2(1+ 2x ) C ．a 2?4b 2=(a +2b )( a ?2 b ) D ．3x 2?6xy +3x =3x (x ?2y )+3x 例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b 3+2)(2?b 3)，那么这个多项式是（ ） A ．b 6?4 B ．4?b 6 C ．b 6+4 D ．?b 6?4 （2）若多项式x 2+ax +b 可因式分解为(x +1)(x ?2)，求a +b 的值为 。 知识模块二、提公因式法
例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z =4xy2( )+4xy2( ) =4xy2( + ). （2）因式分解：?14abc?7ab+49ab2c= 。 例4．（1）因式分解：2a(b+c)?3(b+c) =( )? (b+c)? ( )? (b+c) =( ? )? (b+c) （2）因式分解：3x(a?b)?6y(b?a)= ； （3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)?x?y= ； （4）因式分解：x(a?b)2n+y(b?a)2n+1= ； 知识模块三、公式法 知识梳理 公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。（1）平方差公式：a2?b2=(a+b)(a?b)； （2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2?2ab+b2=(a?b)2； （3）完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3；a3?3a2b+3ab2?b3=(a?b)3；（4）立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)； （5）立方差公式：a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2)。 例5．（1）因式分解：4a2?9 =( )2?( )2 =( + ) ( ? ) （2）因式分解：?a2+4ab?4b2 =?( ) =?[( )2?2( )?( )+( )2] =?( )2； （3）因式分解：?x3?2x2?x= ；
因式分解重难点
《因式分解》 一、教学分析 1．教学内容分析 因式分解是人教版初中《数学》八年级第15章的第4节。因式分解与上一节整式的乘除和下一章分式联系极为密切，它是因数分解的延伸和推广，是多项式乘法的逆运算，在分式通分和约分，一元二次方程和函数中有广泛的应用．本节的提公因式法是最常用，最基本也是最重要的分解方法之一，是后继学习其他分解方法的基础。因此，本节起着承上启下的作用。 2、教学对象分析 学生已有整式的乘除、因数分解等知识的基础，通过观察类比得到因式分解意义，通过与电子白板的整合教学，相互合作交流，归纳确定公因式的步骤及提公因式的分解方法。在积极倡导下，学生通过动脑、动手、动口，亲身经历体验数学学习的过程。根据由具体到一般的思维方式，符合学生的认知规律。 3、教学环境分析 充分地运用媒体、加大了一堂课的教学容量，极大提高了学生的学习兴趣，提高教学效率。通过与电子白板的整合，可以很好地体现教师在教学过程中的思路和策略。 二、教学目标 （1）初步了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形. （2）会找公因式. （3）会用提取公因式法分解因式. （4）体会数学知识之间是相互联系的，是可以相互转化的. （5）进一步培养学生观察、分析、归纳的能力.并向学生渗透对比的数学思想方法． 三、教学重点、难点 重点：因式分解的概念，提公因式法. 难点：因式分解与整式乘法的相互关系，确定公因式. 理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整节因式分解的灵魂，提公因式法是因式分解最基本最常用的方法。难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，利用它们之间的关系进行因式分解的思想。理由是学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍新概念的形成。公因式的确定，学生往往不能正确确定公因式，数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都有的字母，并取它们的最低次幂。
《公式法因式分解》教学设计
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
9.6因式分解之分组分解法
§9.6因式分解之分组分解法————研究课 学习目标 1. 理解分组分解法的概念和意义； 2. 掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法； 3. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法. 学习重点 1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法； 2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解. 自主学习 一. 创设情境 我们已经学习了在分解因式中，根据项数的不同，可以选择不同的分解方法，如， ，当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目： 分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac . 二．探索尝试 1.把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？ 归纳： . 三．例题举偶. 把下列多项式分解因式： 1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc 2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+- 3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +-- 4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律 1.合理分组（2+2型）； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 五．课外延伸 1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ） A ．1种 B .2种 C .3种 D .4种 2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ） 3．填空： （1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( ) （2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( ) （3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( ) 4．把下列各式分解因式 （4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn )2().() 2().(222222bc c b a C bc b c a A ------) 2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+
因式分解难题解析
因式分解难题解析 詹码论坛站长 在因式分解时，有时会用到以下两个公式： n n n-1n-2n-2n-1 a-b=(a-b)(a+a b++ab+b) m m m-1m-2m-2m-1 a+b=(a+b)(a-a b+-b a+b)(m 为奇数） 下面精选了十个实例进行讲解。 01 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2 分析： 一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。 一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2 = x3-xy2-xz2+yz2 +x2z-2xyz+y2z =x(x2-y2)-z2(x-y)+z(x2-2xy+y2) =x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2 =(x-y)(x2+xy-z2+zx-zy) 此题若不进行科学分组会很困难。 02 22 +-++- 282143 x xy y x y 分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。 解： x y 常数项 1 4 -1 1 - 2 3
22282143x xy y x y +-++-=(x+4y-1)(x-2y+3) 注意：先看前三项，是否与x 、y 两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后再看x 、常数项是否与x 的系数相配，最后看y 、常数项是否与y 的系数相配。 作业： ① 12233+++-b a ab b a 提示：先分组再变形最后用十字相乘法。 2222222 2 2 2 2 2 ()()1()()()1()()()1(1)(1) ab a b a b ab a b a b a b a ab ab b a b a ab ab b =-+++=+-+++=-++++=-+++原式 难度较大。 ② 22xy y x y ++-- 提示：x 2的系数看成0，然后再用双十字相乘法。 x y 1 1 －2 0 1 1 原式＝（x ＋y －2）（y ＋1） 也可用分组法，以x 为主元。 03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 分析： 这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。 瞧瞧 括号里 的 b+c 、 c-a 、a+b ，看看这3项是否有某种联系 前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。 所以，这个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第3项会是不坏的注意。 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 作业： ① 3 356x x --
沪教版( 上海)七年级第一学期第六讲 因式分解(二)
知识点1 十字相乘法 1.什么是二次三项式 多项式2ax bx c ++,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为 常数项.例如：223x x --和256x x ++都是关于x 的二次三项式. 在多项式2268x xy y -+中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看 作常数，就是关于y 的二次三项式. 在多项式22273a b ab -+中，把ab 看作一个整体，即22()7()3ab ab -+，就是关于ab 的二次三项式.同样，多项式2()7()12x y x y ++++，把x y +看作一个整体，就是关于x y +的二次三项式. 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依据和意义 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则. 如在多项式乘法中有：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++ 如果二次三项式2x px q ++能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a b +为一次 项系数p ，那么它就可以运用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++分解因式. 例如232x x ++中常数项是2，可以分解为21?，而且2+1=3，恰好是一次项的系数， 所以232(2)(1)x x x x ++=++. 在对多项式232x x ++分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解， 2x 分解为x x ?，常数项分解为21?，把它们用交叉线来表示： 按十字交叉相乘，它们积的和是23x x x +=. 所以2 32(2)(1)x x x x ++=++. 一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++ 可以用十字交叉线表示为： 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘 +1 +2 x x +b +a x x 第六讲 因式分解（二） 知识要点
七年级因式分解专题复习
《因式分解综合训练》例题精讲与同步练习 因式分解综合训练 一、 本节的重点是因式分解的综合训练，重点和难点均在于四种因式分解方法的灵活运用。四种方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x 2+（p +q ）x +pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。 1. 因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相 乘法④最后考虑分组分解法 2. 三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式； 四项或四项以上的式子通常用分组分解法。 3. 因式分解一定要彻底，不可半途而废。 4. 因式分解最终结果一定要进行整理： 如果有同类项，应当合并； 如果在相同因式，如：（x +y ）（x +y ）（x －y ）应当写成（x +y ）2（x －y ）； 如果有中括号应当去掉中括号…… 总之应当满足最简原则！ 二、例题分析（例题较难，练习题会相对容易些） 例2 分解因式：－2x 3+4x 2－10x 解：原式=－2x （x 2－2x +5） 此题中公因式为－2x ，因此括号中所有项均要变号 例3 分解因式：－7（m －n ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 解：原式=7（n －m ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 =7（n －m ）2[])(43)(m n m n --+- 这里易误把公因式当成（n －m ）2 =7（n －m ）2（－3n +3m +3） 这里产生了新的公因式：－3 =－21（n －m ）2（n －m －1） 例4 分解因式：－x 2－4y 2+4xy 解：原式=－（x 2－4xy +4y 2） 注意因式分解的思维顺序：先提公因式 =－（x －2y ）2 例5 分解因式：－3x 7+24x 5－48x 3 解：原式= －3x 3（x 4－8x 2+16） 先提公因式 = －3x 3（x 2－4）2 x 4－8x 2+16可用完全平方公式分解 = －3x 3[]2 )2)(2(-+x x x 2－4还可以用平方差继续分解 = －3x 3（x +2）2（x －2）2 例6 分解因式：9m 2－6m +1－n 2 解：原式=（9m 2－6m +1）－n 2 =（3m －1）2－n 2 =（3m +n －1）（3m －n －1） 例7 ax 2+ay 2－2axy －az 2 解：原式=a （x 2+y 2－2xy －z 2） 先提公因式 = a [（x 2+y 2－2xy ）－z 2] 四项式用分组分解法进行分解 =a [（x －y ）2－z 2] = a （x －y +z ）（x －y －z ）
学而思初二数学秋季班第6讲.因式分解的高端方法及恒等变形.提高班.教师版
1 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 小人物与大人物 满分晋级 漫画释义 6 因式分解的高端 方法及恒等变形 代数式11级 因式分解的高端方法及 恒等变形 代数式10级 因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法
2 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时， 应用换元法能够起到简化计算的作用． 【引例】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 令248x x u ++=， 原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++ ∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++ 典题精练 思路导航 例题精讲 知识互联网 题型一：换元法
3 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 【例1】 分解因式： ⑴()() 22353x x x x -----； ⑵()()2 2 1212x x x x ++++-； ⑶()()()()135715x x x x +++++． 【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则 原式()()113y y =-+- ()()22y y =-+ ()()2262x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则 原式()23y y =-- 223y y =-- ()()13y y =+- ()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+-； ⑵令21x x y ++=，则 原式()112y y =+- 212y y =+- ()()34y y =-+ ()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++． 备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++???????? ()()228781515x x x x =+++++， 设2 87x x y ++=，则 原式()815y y =++ ()()281535y y y y =++=++ ()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++． 【例2】 分解因式： ⑴()()()()461413119x x x x x ----+