3 南通市教研室2012年高考全真模拟试卷三(数学)

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三

试题Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．

. 1． 已知向量a

(12)=，，b (32)=-，，则()?-a a b =

▲ ．

2． 若直线y x b =-+为函数1y x

=的一条切线，则实数b = ▲ ．

3． 若使“1x ≥”与“x a ≥”恰有一个成立的x 的取值范围为{}10x x <≤，则实数a 的值是 ▲ ． 4． 已知点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB

的长度大于1的概率为 ▲ ．

5． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作

频率分布直方图，其中[64.566.5，）这组所对应的矩形的高为 ▲ ． 6． 已知ππ2

θ≤≤，且(

)sin π

1

62

θ=-，则cos θ= ▲ ． 7． 某圆锥的侧面展开图是半径为1cm 的半圆，则该圆锥的体积是 ▲ cm 3． 8． 对于定义在R 上的函数()f x ，下列正确的命题的序号是

▲ ． ①若

(2)(1)

f f >，则()f x 是R 上的单调增函数；②若

(2)(1)

f f >，则

()

f x 不是R 上的单调

减函数； ③若

()f x 在区间(]0-∞，、()

0+∞，上都是单调增函数，则()

f x 一定是R 上的单调增函数．

9． 给出下列等式：

π

22c o s 4

=，

π

222c o s 8

+

=

，

π

2222cos

16

+

+

=， ……

请从中归纳出第n ()n ∈*

N 个等式：2

222n +???+=

个 ▲ ．

10．已知电流(A )I 随时间(s )t 变化的关系式是sin [0)I A t t ω=∈+∞，，，设100π5A ω==，，

则电流

(A )I 首次达到峰值时t

的值为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0 2)A ，，(2 0)B -，

，(1 0)C ，，分别以△ABC 的边A B A C

、向

外作正方形ABEF 与AC G H ，则直线FH 的一般式方程为 ▲ ．

12．设x y ∈、(22)-，，且1xy =-，则函数

22

49

49x y

+--的最小值为 ▲ ．

13．已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆2

2

1

169

y

x +=的公共点都各

只有一个，那么该定圆的方程为 ▲ ．

14．已知λ为非零常数，数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，且20123a =，则1a = ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

已知sin sin 1cos cos 3αβαβ+=+=, ．

（1）求()cos αβ-的值； （2）求()cos αβ+的值．

16．（本题满分14分）

如图，在正四棱锥P ABC D -中，点M 为棱AB 的 中点，点N 为棱PC 上的点.

（1）若PN N C =，求证：//M N 平面PAD ；

（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假.

若为真，请证明；若为假，请举反例.

A

B

C

O

y

x

E

F

G

H

（第11题图）

D

N

（第16题）

P

A

B

C

M Q

17．（本题满分15分）

在平面直角坐标系xOy 中，设点( ) (0)A a b ab ≠，，点B 为直线l ：y bx =与抛物线C ：

2

1

x y ab

=

异于原点的另一交点．

（1）若a =1，b =2，求点B 的坐标；

（2）若点A 在椭圆2

214

x y +=上，求证：点B 落在双曲线22441x y -=上；

（3）若点B 始终落在曲线22()y c x d =-（其中c d 、为常数，且0c ≠）上，问动点A 的轨迹落

在哪种二次曲线上？并说明理由．

18．（本题满分15分）

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一

层1111EFGH E F G H -转动α，如图乙，设α的对边长为x ． （1）试用α表示x ；

（2）求魔方增加的表面积的最大值．

19．（本题满分16分）

设各项均为非负数的数列{

}n a 的为前n 项和n n S na λ=（1a ≠2a ，λ∈R ）． （1）求实数λ的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式（用2n a , 表示）．

E F

G

H

1E

1F

（图甲）

1G

1H

α

E '

F '

G

G '

E

N M

x F

H

（图乙） H '

（3）证明：当2m l p +=（m l p ∈*

N , , ）时，2m l p S S S ?≤．

20．（本题满分16分）

记定义在[]1 1-，上的函数2()f x x px q =++（p ，q ∈

R ）的最大值、最小值分别为M 、N ，又记()h p M N =-．

（1）当02p ≤≤时，求M 、N （用p 、q 表示），并证明()1h p ≥； （2）直接写出()h p 的解析式（不需给出演算步骤）；

（3）在所有形如题设的函数()f x 中，求出所有这样的()f x 使得()f x 的最大值为最小．

试题Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．

．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．（几何证明选讲）

如图，AT 为单位圆O 的切线，过切点T 引O A 的垂线TH ，H 为垂足． 求证：A O O H ?为定值．

B ．（矩阵与变换）

已知矩阵1

22

1-??=?

?--??A ，515??

=??-??

B 满足=A X B ，求矩阵X ． O

A

H

T

（第21—A 题）

C ．（极坐标与参数方程）

将参数方程1(e e )cos

2

1(e e )sin

2

t t t t x y θθ--?=+???=-?，，（θ

为参数，t 为常数）化为普通方程（结果可保留e ）．

D ．（不等式选讲）

已知正实数a b c ，，成等比数列，求证：2222()a b c a b c ++>-+．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．

22．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所

抽取的n 件产品中不合格品的个数． （1）若2n =，求X 的概率分布；

（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．（参考数据：990199.50≈）

23．设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．

（1）若d =3，试判断()

1

m

x x

+的展开式中是否含有常数项？并说明理由；

（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，()

1

m

x x

+的展开式中均不含常数项．

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三

参考答案

1. 4；

2. 2±；

3. 0；

4. 13

； 5. 15

； 6. 1-； 7.

3π

24

； 8. ②；

9. 1

2cos n +π2

； 10. 1200； 11. 4140x y +-=； 12. 125

； 13. 22

25x y +=； 14. 3．

答案解析

1．()(12)(40)4a a b ==?-?=，，；

2. 由211y x

'=-=-得1x =±，故切点为(1 1)，或(1 1)--，

，代入y x b =-+得2b =±； 3. 易得0a =；

4. “劣弧AB 的长度大于1”的概率等于13

；

5. 落在区间[64.56

6.5，）的数据依次为65，66，66，65，共4个，则矩形的高等于

4110==66.5-64.55

频率组距；

6. 法 1 由ππ2

θ≤≤得π53

6

6

θππ-≤≤，且

(

)

s i n π162

θ=-

，所以π52

6

6

θππ<-≤，则

(

)

c o s 3π

62

θ=--

，

此时()

cos cos 33ππ

111662222

θ

θ==-??-

+?-?=-???

?；

法2由ππ2

θ≤≤得π53

6

6

θππ-≤≤，且

(

)

s i n π1

62

θ=-

，所以π56

6

θπ-=，则

c o s c o s 1θ=

=π-；

7.

设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则由2πr =π得12

r =，()

2

2

3112

2

h =

-

=

，所以

该圆锥

体积()

2

33132V π

1

=π??

=

2

24

； 8. 对于①：不符合单调增函数的定义；②正确；对于③：注意在0x =处，若函数()f x 不连续时

该命题就不一定正确；

9. 易得第n ()n ∈*

N 个等式：2

222n +???+=

个1

2cos n +π2

； 10. 易得周期2150

T π==200π

，则函数sin [0)

I

A t t ?=∈+∞，，首次达到峰值时14

200

T t ==；

11. 易得(2 4) (2 3)F H -，，，，则直线FH 的方程为4140x y +-=； 12. 易得

()()()()

()

()

2

2

2

2

22

2

2

2

2

4994729449

49493794y

x x

y x y

x y x y

-+--++==

-----+，设2294t x y =+，则

2

2

294t x y ?≥

12=（当且仅当2

2

94x y

=时等号成立），则原式723512

137375

t t t -==

+--≥（当且仅当12

t =时等号

成立）； 13.

易得椭圆2

2

1169

y x

+=的外切矩形的四个顶点()4 3±±，必在该定圆上，则该定圆必是该外

切矩形

的外接圆，方程为2225x y +=，可以验证过该圆上除点()4 3±±，的任意一点也均可作两条相互

垂直的直线与椭圆2

2

1169

y

x +=的交点都各只有一个；

14. 因为数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，所以()()()2

11222n n n a a a λλλ-++=++且

2

11n n n a a a -+=，

得112n n n a a a -+=+，故数列{}n a 也为等差数列，不难得数列{}n a 为非零常数列，则

120123a a ==．

15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力．

（1）因为sin sin 1αβ+=①，

c o s c o s 3αβ+

=

②，

②2+①2得2222sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 4ααββααββ+++++=，（3分） 即2+2()cos 4αβ-=， 所以()cos 1αβ-=；（6分）

（2）②2-①2得2222cos sin 2cos cos 2sin sin cos sin 2αααβαβββ-+-+-= 即cos 22cos()cos 22ααββ+++=，（8分）

故[][]cos ()()2cos()cos ()()2αβαβαβαβαβ++-++++--=，（12分） 化简得cos()cos()cos()1αβαβαβ+-++=， 由（1）得1cos()2

αβ+=. （14分）

16．命题立意：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、

推理论证能力．

【证明】（1）延长C M ，DA 交于点Q ，连结PQ ，

因为点N 为线段PC 上的点， 且PN N C =，

所以点N 为线段PC 的中点，

又点M 为线段AB 的中点， 所以//MN PQ ，（3分）

又M N ?平面PAD ， PQ ?平面PAD ，

所以//M N 平面PAD .（6分）

（2）（1）的逆命题为：若//M N 平面PAD ，

则PN N C =（真命题），（8分）

下证之： 因为//M N 平面PAD ， M N ?平面PQC ，

D

N

（第16题图）

P

A B C

M Q

平面P A D 平面PQC PQ =， 所以//MN PQ ，（12分）

在PQC ?中，点M 为线段AB 的中点，点N 为线段PC 上的点， 所以，点N 为线段PC 的中点.（14分）

17．命题立意：本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解与探

究能力．

解：（1）由y bx =与则21x y ab

=联立方程组得()

1

b B a a ，， 又a =1，b =2，则()1 2B ，；

（3分） （2）将( ) (0)A a b ab ≠，代入椭圆

2

214x y +=得2

214

a

b +=， 将()1

b B a a

，代入()

()

2

2

2

222114444

41b

b x y a a

a

--=-=?=，即证；（7分） （3）将()1

b B a a

，代入2

2()y c x d =-（其中c d 、为常数，0c ≠）得()

()2

12b c

d a a

=-，()0c ≠，

① 若0d =，则22b ca =，()0c ≠，所以点A 的轨迹落在抛物线上；（9分）

若0d ≠，则

()

2

2

21

21124a d b c d

d

-

+=()0c ≠， ②若12

cd =，则点A 的轨迹落在圆上；（11分）

③若0cd >，且12

cd ≠，则点A 的轨迹落在椭圆上；（13分）

④若0cd <，则点A 的轨迹落在双曲线上.（15分）

18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）由题意得3sin tan x x

x αα

+

+=， 解得()

3sin 0 1sin cos x ααααπ=

∈++2

，，，（6分） （2）魔方增加的表面积为2

8tan x S α

=?，

由（1）得()

2

72sin cos 0 (1sin cos )

S αααααπ

=

∈2++，，，（10分） 令()

(sin cos 2sin 1 t t αααπ?=+=+∈2?4，，， 则()

(

)(

)2

2

3612

2

3613611087221

(1)

21t S t t -=

=-

?-=-+++≤（当且仅当2

t =

即απ=4

时等号成立），

答：当απ=4

时，魔方增加的表面积最大为108722-．（15分）

19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知识，考

查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．

解：（1）当1n =时，11a a λ=，所以1λ=或10a =，（2分）

若1λ=，则n n S na =，取2n =得1222a a a +=，即12a a =，这与1a ≠2a 矛盾； 所以10a =，取2n =得1222a a a λ+=，又1a ≠2a ，故20a ≠，所以12

λ=，（4

分）

（2）记12

n n S na =①，

则111(1)2

n n S n a --=- ()2n ≥②，

①-②得111(1)2

2

n n n a na n a -=-- ()2n ≥，又数列{}n a 各项均为非负数，且

10

a =，

所以1

1

2n n a n a n --=-()3n ≥，（6分）

则

354234

1

23411222

n n a a a a n a a a a n --???

=

??????-，即()21n a a n =-()3n ≥， 当1n =或2n =时，()21n a a n =-也适合， 所以()21n a a n =-；（10分）

（3）因为()21n a a n =-，所以2(1)2

n n n S a -= ()20a ≠，

又2m l p +=（m l p ∈*

N , , ）

则[]

{}2

2

2

2(1)(1)(1)

4

p m n a S S S p p m m l l -=----

[]{}2

2

2(

1)

(1)(1)

4

a p p m m l l =

----

()

2

2

2

2(1)(1)422

a m l

m l

m l

m l ??????

++

=-

---?

????

?

????

(

)

2

2

2(1)(1)

4a

m l m l

m l m l ??----???

?

≥（当且仅当m l =时等号成立）

(

)

2

2

2(1)(1)

4a

m l m l

m l m l ??

-

---???

?

=

(

)

2

2

21

(1)(1)

4

a m l

m l m l ?

?

----???

?

=

()2

22

4

a m l m l m l ??+

-?

?

=

0≥（当且仅当m l =时等号成立） 所以2m l p S S S ?≤.（16分）

20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活运用数形结合思想、

分类讨论思想进行推理论证的综合能力．

解：（1）当02p ≤≤时，函数2()f x x px q =++的对称轴为[]1 02

p x =-∈-，，

所以(1)1 M f p q ==++，()2

24

p

p

N f q =-=-

，

此时，()2

()112p

h p M N =-=

+≥；

（3分） （2）由（1）同理可得，()()

2

2

2 2 1 20 2

()102 22 2p p p p h p p

p p p --???--<

>?≤≤≤，

，，，，，，

，（6分）

（3）记max ()f x λ=，下证：12

λ≥，且inf 12

λ=，所求函数21()2

f x x =-，（8分）

①若12

p -

>，即2

p >时，则{}m ax (1) (1)f f λ=-，

， 所以2(1)(1)(1)(1)24f f f f p λ---=>≥+≥，即122

λ>≥；（10分）

②若12

p -

≤，即2

p ≤时，则()

max (1) (1) 2p

f f f λ?

?

=--????

，

，， o

1

若1

2

q -≤时，则()2

124

2

p

p

f q q -

=

--≥≥

， 所以12λ≥（当且仅当p = 0，12

q =时等号成立）；（12分）

o 2 若12

q >-时，则(1)(1)(1)(1)221f f f f q ->-+=+>+，

所以(1) (1)f f -，中至少有一个大于12，即1

2

λ>，（14分）

由o 1o 2得，12λ≥，且inf 12λ=，此时21()2

f x x =-，

综上所述，所有形如题设的函数21()2

f x x =-即为所求.（16分）

21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．

证明：因为AT 为圆O 的切线，TH 为O A 的垂线，

所以ATH TO H ∠=∠，（3分）

故直角三角形ATO 相似于直角三角形T H O ，（6分） 则O H O T O T

O A

=，即21AO OH OT ?==，即证.（10分）

B ．命题立意：本题主要考查矩阵的乘法，考查运算求解能力．

解：设X a b ??

=????，

由1252115a b -??????=??????---??????得25 215 a b a b -=??--=-?，，（7分） 解得7 1 a b =??=?，，此时71X ??

=????

.（10分）

C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．

解：当t =0时，y =0，x =cos θ，即y =0，且11x -≤≤；（2分）

当t ≠0时，cos sin 11(e e )(e e )2

2

t

t t

t y

x

θθ--=

=

+-，，

所以

2

2

22111(e e )(e e )4

4

t

t t

t y

x

--+

=+-.（10

分）

D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．

证明：因为正实数a b c ，，成等比数列，所以2b ac =，

即有22a c ac b +=≥（当且仅当a c =时等号成立），（4分）

则[][]22222()()2()2()20a b c a b c b a c ac b a c b b ++--+=+-=+->≥， 即证2222()a b c a b c ++>-+.（10分）

22．命题立意：本题主要考查概率分布等基础知识，考查运算求解能力．

一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所抽取的n 件产品中不合格品的个数．

（1）若2n =，求X 的概率分布；

（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．（参考数据：990199.50≈） 解：（1）当2n =时，~(2 3 100)X H ，，， 则2

3972

100C C 1(0)1650

C

P X ==

=

，11

3972100

C C 97(1)1650

C

P X ==

=

，02

3972100

C C 1552(2)1650

C

P X ==

=

，

所以，X 的概率分布为：

（5分）

（2）1X =的概率为

X 0 1 2

P 1

1650 97

1650

1552

1650

11

397100

C C (99)(100)

(1)323400

C

n n n n n P X ---==

=

，199n ≤≤，且* n ∈N （7分）

记函数()(99)(100)f n n n n =--，

则由2

()339899000f n n n '=-+=得1 2

19999013

n ±=，， 由参考数据990199.50≈知133.17n ≈或299.50n ≈， 而(33)(34)336667346566660f f -=??-??=>，

结合函数()f n 的图象性质可知，当33n =时，1X =的概率取得最大

值．（10分）

23．命题立意：本题主要考查二项式定理，考查探究与推理论证的综合能力． （1）解：因为{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，所以32n a n =-．（2分） 假设(

)1

m

x x +的展开式中的第r +1项为常数项（r ∈N ）

， ()32

11C C r

m r

r m r

r

r m

m

T x

x x --+==?，于是302

m r -=. 设32m n =-()*

n ∈N ，则有3322n r -=，即423

r n =-，这与r ∈N 矛盾.

所以假设不成立，即()

1

m

x x

+的展开式中不含常数项. （5分）

（2）证明：由题设知a n =1(1)n d +-，设m =1(1)n d +-，

由（1）知，要使对于一切m ，()

1

m

x x

+的展开式中均不含常数项，

必须有：对于*n ∈N ，满足31(1)2

n d r +--=0的r 无自然数解，

即22(1)3

3

d r n =-+?N . （8分）

当d =3k ()*

k ∈N

时，222(1)2(1)333

d r n k n =

-+=-+?N .

故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，()

1

m

x x +的展开式中均不含常数

项．（10分）