幂函数

幂函数
幂函数

2.3.1幂函数

一.教学目标: 1.知识技能

(1)理解幂函数的概念;

(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用. 2.过程与方法

类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质.

3.情感、态度、价值观

(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二.重点、难点

重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点:从幂函数的图象中概括其性质 5.学法与教具

(1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ; (2)教学用具:多媒体 三.教学过程: 引入新知

阅读教材P 90的具体实例(1)~(5),思考下列问题. (1)它们的对应法则分别是什么?

(2)以上问题中的函数有什么共同特征?

让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论

答:1、(1)乘以1 (2)求平方 (3)求立方

(4)求算术平方根 (5)求-1次方

2、上述的问题涉及到的函数,都是形如:y x α

=,其中x 是自变量,α是常数.

探究新知

1.幂函数的定义

一般地,形如y x α

=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. 如112

3

4

,,y x y x y x -

===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基

本初等函数.

2.研究函数的图像

(1)y x = (2)12

y x = (3)2

y x = (4)1

y x -= (5)3

y x =

一.提问:如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

2y x =

3.幂函数性质

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:11x

=); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).

特别地,当x >1,x >1时,x ∈(0,1),2

y x =的图象都在y x =图象的下方,形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?)

当∠α<1时,x ∈(0,1),2

y x =的图象都在y x =的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大(你能说出原因吗?)

(3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.

在第一家限内,当x 向原点靠近时,图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴,当x 慢慢地变大时,图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题:

1.证明幂函数()[0,]f x =

+∞上是增函数

证:任取121,[0,),x x x ∈+∞且<2x 则

122

()()

f x f x x -

因12x x -<0

所以12()()f x f x <

,即()[0,]f x =+∞上是增函数.

思考:

我们知道,若12()

()0,1()

f x y f x f x =><若

得12()()f x f x <,你能否用这种作比的方法

来证明()[0,]f x =+∞上是增函数,利用这种方法需要注意些什么?

2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小 (1)116

6

2,

3 (2)332

2

(1),(0)x x x +> (3)222

4

4

(4),4a -

-

+

分析:利用幂函数的单调性来比较大小.

5.课堂练习

画出23

y x =的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性. 6.归纳小结:提问方式

(1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 作业:P 92 习题 2.3 第2、3 题

幂函数 优秀教案

幂函数 【教学目标】 1.知识技能 (1)理解幂函数的概念; (2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用。 2.过程与方法 类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质。 3.情感、态度、价值观 (1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。 【教学重难点】 重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点:从幂函数的图象中概括其性质 【教学过程】 一、引入新知 阅读教材的具体函数,思考下列问题。 (1)它们的对应法则分别是什么? (2)以上问题中的函数有什么共同特征? 让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论 上述的问题涉及到的函数,都是形如:y x α=,其中x 是自变量,α是常数。 二、探究新知 1.幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数。 如112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等 函数。 2.研究函数的图像 (1)y x =(2)1 2y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 提问:如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像。 教师注意引导学 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:11x =); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升)。 特别地,当x >1,x >1时,x ∈(0,1),2y x =的图象都在y x =图象的下方,形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?) 当∠α<1时,x ∈(0,1),2y x =的图象都在y x =的图象上方,形状向上凸,α越小, 2

第10章 递归效用函数

第10章递归效用函数 投资者有两种不同的规避行为:一种是对同期内风险的规避;另一种是对跨期消费波动的规避。刻画这两种行为的参数分别是相对风险规避系数和跨期替代弹性系数。然而,在经济学中普遍使用的常数相对风险规避系数型效用函数中,投资者的相对风险规避系数等于跨期替代弹性系数的倒数,两个参数具有固定的关系,因而就没有将这两种不同的规避行为区分开来。 Epstein and Zin(1989,1991)和Weil(1989,1990)在Kreps and Porteus (1978)的理论框架基础之上提出了更加灵活的递归效用函数(Recursive utility function),推广了传统的时间可分、状态可分效用函数。 递归效用函数中的相对风险规避系数和跨期替代弹性系数分别由两个独立参数刻画,不再互为倒数,从而将风险规避和跨期替代两种不同行为区分开来。递归效用函数,也称为递归偏好(Recursive preference)、广义等弹性偏

好(Generalized isoelastic preference)、随机微分效用(Stochastic differential utility)和非期望效用函数(Non-expected utility function)。Tallarini(2000)的风险敏感偏好(Risk-Sensitive Preference)也是一种特殊的递归效用函数,其中的跨期替代弹性系数等于1。 引入递归效用函数的主要作用在于,通过分解投资者的跨期替代和风险规避两种不同的行为,从而可以建立更加灵活的资产定价模型。如果所有的资产收益率都服从独立同分布的正态分布,那么资产的溢价等于相对风险规避系数乘以资产的消费风险(Weil,1989)。因此,可以采用足够大的相对风险规避系数来解释股票溢价之谜,而没有遭遇无风险利率之谜(卢卡斯,2003)。

高一数学指对幂函数习题(含答案与解析)

指对幂函数试卷四 一、选择题 1.设的大小关系是、、,则,,c b a c b a 243.03.03log 4log -=== 0的x 的集合是 . 3. )2log (2)9(log )(91-==-f f x x f a ,则满足函数的值是_____. ? 4.函数 1e 1e +-=x x y 的反函数的定义域是_________.

指数对数幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算.? 2.理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点. 3.理解对数的概念及其运算性质.? 4.重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理。 5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质。 6.知道指数函数 与对数函数互为反函数(a>0,a≠1)。 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2。分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论,我们约定a>0,n,m∈N *,且m n 为既约分数,分数指数幂可如下定义: 1n n a a =()m n m m n n a a a == -1 m n m n a a = 3.运算法则 当a >0,b>0时有: (1)n m n m a a a +=?; (2)()mn n m a a =; (3)()0≠>=-a n m a a a n m n m ,; (4)()m m m b a ab =。 要点诠释: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算; (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换。如2442)4()4(-≠-; (3)幂指数不能随便约分。如2 142)4()4(-≠-。 要点二、根式的概念和运算法则 1.n 次方根的定义: 若xn =y (n ∈N * ,n〉1,y ∈R ),则x 称为y的n次方根,即x=n y . n 为奇数时, y 的奇次方根有一个,是负数,记为n y ;零的奇次方根为零,记为00=n ; n 为偶数时,正数y 的偶次方根有两个,记为n y ±;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,00n =。 2.两个等式 (1)当1n >且*n N ∈时,n n a a =;

指数函数对数函数幂函数练习题大全答案

一、选择题(每小题 4分,共 计40分) 1.下列各式中成立的一项是 () A .71 7 7)(m n m n =B . 3 3 39=C .4 343 3)(y x y x +=+D .31243)3(-=- 2.化简)3 1 ()3)((65 613 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 () A .a 9- B .a - C .a 6 D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确... 的是 () A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 1 ) 2()5(--+-=x x y () A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 () A .)1,1(- B .),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.已知2 )(x x e e x f --=,则下列正确的是 ()

指数对数幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算. 2.理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点. 3.理解对数的概念及其运算性质. 4.重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6.知道指数函数 与对数函数互为反函数(a >0,a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论,我们约定a>0,n ,m ∈N *,且 m n 为既约分数,分数指数幂可如下定义: 3.运算法则 当a >0,b >0时有: (1)n m n m a a a +=?; (2)()mn n m a a =; (3)()0≠>=-a n m a a a n m n m ,; (4)()m m m b a ab =. 要点诠释: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算; (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-; (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1.n 次方根的定义: 若x n =y(n ∈N * ,n>1,y ∈R),则x 称为y 的n 次方根,即x=n y . n 为奇数时, y 的奇次方根有一个,是负数,记为n y ;零的奇次方根为零,记为00=n ; n 为偶数时,正数y 的偶次方根有两个,记为n y ±;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为00n =. 2.两个等式 (1)当1n >且*n N ∈时, ()n n a a =; (2)???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释: ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成||a 的形式,这样能避免出现错误. ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的;无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数(如 ),先要化成假分数(如15/4),

指对幂函数经典练习题

高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数,则有 ( ) A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3x y -= B .3-=x y C .32x y = D .13-=x y 3、1.指数式b c =a (b >0,b ≠1)所对应的对数式是 ( ) A .log c a =b B .log c b =a C .log a b =c D .log b a =c 4、若210,5100==b a ,则b a +2= ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ,那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 ( ) A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0>x 时,函数x a y )8(2-=的值恒大于1,则实数a 的取值范围是_ _____.

幂函数知识点总结与练习题

幂函数 (1)幂函数的定义: 一般地,函数y x α =叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限,图象无限接近x 轴与y 轴. ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q p α= (其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p y x =是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α =∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下 方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上

方,若1x >,其图象在直线y x =下方. 幂函数练习题 一、选择题: 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ( ) A .y x =43 B .y x =32 C .y x =-2 D .y x =-14 2.函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 ( ) A . 4 1 B .1- C .4 D .4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3 x y -= B .3 -=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是 ( ) A . B . C . D . 5.下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 ( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函数 C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 8.如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A .102431<<<<<αααα B .104321<<<<<αααα 1α 4α 2α

高一数学《幂函数》公开课优秀教案(表格式,经典、完美)

高一数学《幂函数》公开课教案 ★课程标准:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数12 1 3 2 ,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象, 了解它们的变化情况. 一、教学目标: 1.了解幂函数概念,会用描点法画幂函数图象,通过具体实例研究幂函数的图象和性质,并会简单应用. 2.通过对幂函数的学习,使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 3.通过引导学生主动参与作图、分析图象,培养学生的探索精神,并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律,感受数学的对称美、和谐美. 二、教学重点:通过五个具体的幂函数认识概念,研究性质,体会图象的变化规律. 三、教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 四、教学用具:实物投影仪等多媒体 五、教学过程: (一)创设情境 ①如果某人购买了每千克1 元的蔬菜w 千克,那么他需要付的钱数p (元)关于购 买的蔬菜量w (千克)的函数解析式为_____________. ②如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积S 关于a 的函数解析式为___________. ③如果正方体的边长为a ,那么正方体的体积V 关于a 的函数解析式为___________. ④如果正方形场地面积为S ,那么正方形的边长a 关于s 的函数解析式为_________. ⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km ,那么他骑车的速度v 关于t 的函数解析式为_________. 问题1.观察这些函数解析式,它们有什么共同的结构特征吗? 【设计意图】从特殊到一般,将实际问题转化为数学问题,经历一次发现之旅. (二)引入新知 幂函数的定义:一般地,函数α x y =叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 幂函数是一种特殊的基本初等函数. 问题2.请同学们举出一些具体的幂函数. 从引例和同学们刚才举的例子中,我们可以发现,幂指数α可以是正数、负数,也可以是0. (三)探究建构 2 1 21 2.(22)23m y m m x n m n -=+-+-若是幂函数,求、.

指对幂函数经典练习题(高三一轮)

幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数,则有 ( ) A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3x y -= B .3-=x y C .32x y = D .13 -=x y 3、1.指数式b c =a (b >0,b ≠1)所对应的对数式是 ( ) A .log c a =b B .log c b =a C .log a b =c D .log b a =c 4、若210,5100==b a ,则 b a +2= ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ,那么等式y xy y x 243 2-=成立的条件是 ( ) A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0>x 时,函数x a y )8(2-=的值恒大于1,则实数a 的取值范围是_ _____. 13、函数1241++=+x x y 的值域是 .14、设1052==b a ,则=+b a 11 。 15、函数11 +=-x a y )10(≠>a a 且的图象必经过定点 . 16、若43-->a a )1,0(≠>a a ,则a 的取值范围是 . 17、函数f (x )=|lg x |,则f ( 41),f (3 1),f (2)的大小关系是

指数、对数及幂函数知识点小结及习题

指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则:(1)r s r s a a a +=; (2)() s r rs a a =; (3)()r r r ab a b =; (4)m n m n a a =; (5)m n n m a a - = (6),||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数: 【基础过关】 类型一:指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则,注意分数指数幂与根式的互化,在根式运算或根 指数函数 01 图 象 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 单调性 单调递减 单调递增

式与指数式混合运算时,将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ,16=mn a ,则m 的值为………………………………………………( ) A .3 B .4 C .3 a D .6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ,求:413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=,求(1)1 12 2 x x - +=________________(2)332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=,其中1,0x y ><,则y y x x --=______________ 类型二:指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域,注意到负数没有偶次方根;此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中,满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、

指对幂函数知识点总结

〖2.1〗指数函数 [2.1.1】指数与指数幂的运算 (1) 根式的概念 ① 如果x " = aa R, x ? R, n 1 ,且n N .,那么x 叫做a 的n 次方 根.当 n 是奇数时,a 的n 次方根用符号:a 表示;当n 是偶数时, 正数a 的正的n 次方根用符号 蔦表示,负的n 次方根用符号一蔦 表示;0的n 次方根是0 ;负数a 没有n 次方根. ② 式子蔦叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当 n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,a_0 . ③根式的性质:(n .a)n =a ;当口为奇数时,n -a n =a ;当n 为偶 (2) 分数指数幂的概念 m ① 正数的正分数指数幂的意义是: a 下「n /(a 0, m, n ?N ,且 n 1). 0 的正分数指数幂等于0. ② 正数的负分数指数幂的意义是: a n =([)n (丄)m (a 〉0,m,门邛十且nn1) . 0 的负分数指数幂没有 a , a 意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r a $ = a r s (a 0,r, s R) ③(ab)r =a r b r (a 0,b 0,r R) 【2.1.2】指数函数及其性质 数时, Wa (a —0) (a : ②(a r )s = a rs (a 0,r,s R)

(4)指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若a?N(a 0,且a=1),贝卩x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做底数,N叫做真数.

高一数学幂函数知识点总结

高一数学幂函数知识点总结 函数是高中数学中比较重要的一项知识,学好函数可以提高自己的数学知识水平。下面就让小编给大家分享一些高一数学幂函数知识点总结吧,希望能对你有帮助! 高一数学幂函数知识点总结篇一一、一次函数定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。 即:y=kx(k为常数,k0) 二、一次函数的性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1.作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴

和y轴的交点) 2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k,b与函数图像所在象限: 当k0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b0时,直线必通过一、二象限; 当b=0时,直线通过原点 当b0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 这时,当k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。

指对幂函数测试题(含有详解答案)

1.函数)1,0(≠>-=a a a a y x 的图像可能是( ) A. B. C. D. 2.设11 {3,2,1,,1,2,3}23 α∈----,则使幂y=x a 为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α值的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3若函数()l o g (01) a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为( ) A 、 4 B 、2 C 、14 D 、12 4.若函数2 3()(23)m f x m x -=+是幂函数,则m 的值为 ( ) A .1- B .0 C .1 D .2 5.函数x a a a x f ?+-=)33()(2是指数函数 ,则a 的值是( ) A.1=a 或2=a B.1=a C.2=a D.0>a 或1≠a 6.幂函数2 131 1 2x y ,x y ,x y ,x y - -== ==在第一象限内的图象依次是图中的曲线( ) A. 2134,,,C C C C B. 2314C ,C ,C ,C C. 4123C ,C ,C ,C D. 3241C ,C ,C ,C 7.函数lg x y x =的图象大致是 8已知(10)x f x =,则(5)f = ( ) A 、5 10 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg 5 9.已知函数()20 30 x x x f x x log ,,?>=?≤?, 则14f f ???? ? ?????的值是 A .9 B . 19 C .9- D .1 9 -

10、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,则S T 是( ) A 、? B 、T C 、S D 、有限集 11.若幂函数() 3 222 33-+++=m m x m m y 的图像不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是 ( ) A .2-=m B .1-=m C .12-=-=m m 或 D .13-≤≤-m 12.函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 的图像恒过定点A ,若点A 在直线 1-=+n y m x 上,且0,>n m ,则n m +3的最小值为 ( )A. 13 B. 16 C.2611+. D. 28. 13.如果幂函数()f x x α=的图象经过点,则(4)f 的值等于_____________ 14.函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点 15、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值范围是 ______. 16.函数 的递增区间是______. 17.已知函数f ( x ) = 3x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =λ·3ax – 4x 的定义域为[0,1]。 (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若函数g ( x )在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围。 18. 将函数)1(log )(2+=x x f 的图像向左平移1个单位,再将图像上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数 )(x g y =的图像.(1)求函数)(x g y =的解析式和定义域; (2)求函数)()1()(x g x f x F y --==的最大值. 19.已知函数22()log (23)f x ax x a =+-, 当1a =-时,求该函数的定义域和值域; 20.函数y =lg(3-4x +x 2)的定义域为M ,当x ∈M 时,求f (x )=2x +2-3×4x 的最值. 21.已知幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点,且关于y 轴对称,求m 的值,并画出它的图象. 22.设函数22()log (4)log (2)f x x x =?, 1 44 x ≤≤, (1)若x t 2log =,求t 取值范围; (2)求()f x 的最值,并给出最值时对应的x 的值。

2017幂函数知识总结

幂 函 数 复 习 一、幂函数定义:形如 )(R x y ∈=αα的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数。 注意:幂函数与指数函数有何不同? 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置. 观察图:

归纳:幂函数图像在第一象限的分布情况如下: 二、幂函数的性质 归纳:幂函数在第一象限的性质: 0>α,图像过定点(0,0)(1,1),在区间(+∞,0)上单调递增。 0<α,图像过定点(1,1),在区间(+∞,0)上单调递减。 探究:整数m,n 的奇偶与幂函数n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系?

结果:形如n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性 (1)当m ,n 都为奇数时,f (x )为奇函数,图象关于原点对称; (2)当m 为奇数n 为偶数时,f (x )为偶函数,图象关于y 轴对称; (3)当m 为偶数n 为奇数时,f (x )是非奇非偶函数,图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法: 关键先画第一象限,然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1,在第一象限为抛物线型(凹); 指数等于1,在第一象限为上升的射线; 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(凸); 指数等于0,在第一象限为水平的射线; 指数小于0,在第一象限为双曲线型; 2、幂函数),,,,(互质q p Z q p p q x y ∈==αα的图像: 3、比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小. .经典例题:

指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-.

指对幂函数知识点总结

〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n ;当n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方根用 符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. 这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为 偶数时,0a ≥. ③根式的性质 : n a =;当 n 为奇数时 , a =;当 n 为偶数时 , (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >.0的正分数指数幂 等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是 : 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的 负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③() (0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底 数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式 log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (3)常用对数与自然对数 常用对数:lg N ,即10 log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =

最新指对幂函数复习提纲

指对幂函数复习提纲 一、基础知识: 1、幂:(1)n a 叫做a 的n 次幂。 (2)运算公式:(1)m n m n a a a +=g (2)() n m mn a a = (3) m m n n a a a -= (4)()m m m ab a b = (5)()010a a =≠ (6)()1 0n n a a a -=≠ (7 )1n a = (8 ) m m n a = =(9 { a a =当n 为奇数 当n 为偶数 2、指数和指数函数的定义及性质(P91) 3、对数和对数函数的定义及性质(P95和P103) (1 (2)常用对数和自然对数 (3)运算公式 ①对数恒等式:log a y a y =②积商幂的对数:()log log log a a a MN M N =+; log a M N =log log a a M N -;log log n a a M n M =③换底公式:log log log a b a N N b = 4、反函数:(1)定义;(2)求反函数的步骤:①先求出x ②x 与y 互换③写出定义域(即原函数的值域);(3)原函数与反函数的图像关于y =x 对称,原函数过(a,b ),反函数过(b,a) 5、幂函数:定义及性质P108-P109 注:指、对数函数的增减性取决于底数a ,而幂函数的增减性取决于指数α 6、函数的应用:P112-113(注意例1和例3的取对数解指数方程的方法,例3的复利计算) 二、专题练习 1、下列函数一定是指数函数的是 ( ) A、1 2+=x y B 、3x y = C 、x y -=3 D 、x y 23?= 2、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数,则有 ( ) A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 3、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3 x y -= B .3 -=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 4、指数式b c =a (b >0,b ≠1)所对应的对数式是 A .log c a =b B .log c b =a C .log a b =c D .log b a =c 1、若210,5100==b a ,则b a +2= ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2、若0≠xy ,那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 ( ) A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0>0,下面四个等式中,正确命题的个数为 ①lg (ab )=lg a +lg b ②lg b a =lg a -lg b ③b a b a lg )lg(212= ④lg (ab )=10log 1ab A .0 B .1 C .2 D .3 8、已知x =2+1,则lo g 4(x 3-x -6)等于 A . 23 B .4 5 C .0 D . 21 9、已知m >0时10x =lg (10m )+lg m 1 ,则x 的值为 A .2 B .1 C .0 D .-1 10、若log a b ·log 3a =5,则b 等于 A .a 3 B .a 5 C .35 D .53

指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算. 2.理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点. 3.理解对数的概念及其运算性质. 4.重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6.知道指数函数与对数函数 互为反函数(a >0,a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论,我们约定a>0,n ,m ∈N * ,且 m n 为既约分数,分数指数幂可如下定义: 1 n a = m m n a == -1m n m n a a = 3.运算法则 当a >0,b >0时有: (1)n m n m a a a +=?; (2)() mn n m a a =; (3)()0≠>=-a n m a a a n m n m ,; (4)()m m m b a ab =. 要点诠释: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算; (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如 244 2)4()4(-≠-; (3)幂指数不能随便约分.如2 14 2)4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1.n 次方根的定义: 若x n =y(n ∈N * ,n>1,y ∈R),则x 称为y 的n 次方根,即x=n y . n 为奇数时, y 的奇次方根有一个,是负数,记为n y ;零的奇次方根为零,记为00=n ; n 为偶数时,正数y 的偶次方根有两个,记为;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,0=. 2.两个等式 (1)当1n >且* n N ∈时, n a =;