第四节 矩阵方程
第四节 矩阵方程
一、矩阵方程的变换
矩阵方程是由矩阵运算表达式通过相等关系构成的方程，如B AX =，其中A ，B 为已知矩阵，由方程求未知矩阵X
可以通过对方程的变换求解矩阵方程，基本方法为：将矩阵方程中的未知矩阵变换到方程的左边，将其它已知矩阵全部变换方程的右边，从而得到未知矩阵关于已知矩阵的表达式，然后通过矩阵运算求得未知矩阵。
在对矩阵方程进行变换时，包含如下三种情况的处理：
(1) 当方程不包含未知矩阵X 与其它矩阵的乘法时，可通过移项和数值除法完成方程的变换，变换方法与标量方程的变换完全相同。如方程B X A =+，可变换为A B X -=；方
程O AB X =+3（O 为零矩阵），可变换为AB X 3
1-= (2) 当方程中包含了未知矩阵X 与其它矩阵的乘积时，如B AX =，就需要利用逆矩阵来消除X 上的乘积项，变换的过程为：
方程两边同时左乘1-A ，则方程不变，得：B A AX A 11--=
由E A A =-1，得：B A EX 1-=
由X EX =，得：B A X 1-=
在变换时需注意与其它矩阵相乘的方向（左乘或右乘），如对方程B XA =，需采用如下变换过程：
方程两边同时左乘1-A ，得：11--=BA XAA
由E AA =-1，得：1-=BA XE
由X XE =，得：1-=BA X
上述两个方程由于X 与A 相乘的方向不同，最后得到的结果会不同。
(3) 当方程中同时包含X 的矩阵乘积项和X 的数乘项（或独立项）时，则需要在数乘项中补充一个单位矩阵，再通过分配率将X 提取为一项，然后做进一步的变换。如方程B X AX =+2，可变换如下：
由X EX =，将X 2变换为EX 2，得：B EX AX =+2
由矩阵乘法的分配率C B A BC AC )(+=+，得：B X E A =+)2(
通过逆矩阵变换得：B E A X 1)2(-+=
在上述变换中需要注意E 的补充位置及X 的提取方向，如方程B X XA =+2，需采用如下变换过程：
由X XE =及)(B A AB k k =，将X 2变换为)2(E X ，得：B E X XA =+2
由矩阵乘法的分配率)(B A C CB CA +=+，得：B E A X =+)2(
通过逆矩阵变换得：1)2(-+=E A B X
需要注意的是，在变换中如果使用了逆矩阵，则只有在逆矩阵存在（原矩阵可逆）的情
况下，变换过程才能有效，如果原矩阵不可逆，则变换的结果无效。通常不需要对原矩阵是否可能预先进行检测，在按变换结果进行计算的过程中，如果逆矩阵无法求得，则表明矩阵方程存在多重解（不是无解），无法通过方程变换的方法求得结果。
例1 将如下矩阵方程，变换为关于未知矩阵X 的表达式。
（1）O X B A =+-223 （2）B AX X =-2 （3）C AXB =
解：（1） O X B A =+-223
? A B O X 322-+= 得，A B X 2
3-= （2）B AX X =-2
? B AX EX =-2
? B X A E =-)2(
? B A E X A E A E 11)2()2()2(---=--
得，B A E X 1)2(--=
（3）C AXB =
? 1111----=CB A AXBB A （方程两边同时左乘1-A ，并同时右乘1-B ）
? 11--=CB A EXE
得，11--=CB A X
二、 矩阵方程求解举例
例2 有：E X E A 6)(1=--，且
??????????=7/10004/10002/1A
求X
解：E X E A 6)(1=--
? E E A X E A E A 11111)(6)()(------=--
得，11)(6---=E A X
在R 语言中进行运算： > A <- diag(c(1/2,1/4,1/7))
> E <- diag(1,3)
> X <- 6*solve( solve(A)-E )
> X
[,1] [,2] [,3]
[1,] 6 0 0
[2,] 0 2 0
[3,] 0 0 1
得，????
??????=100020006X 例3 已知??????????---=101111010A ，????
??????--=350211B ，有X B AX =+，求X 解：X B AX =+
? B X AX -=-
? B EX AX -=-
? B X E A -=-)(
? B E A X E A E A 11)()()(----=--
得，B E A X 1)(---= 在R 语言中进行运算：
> A <- matrix(c(0,1,0, -1,1,1, -1,0,-1),3,3,T) > B <- matrix(c(1,2,5, -1,0,-3),3,2) > E <- diag(1,3)
> X <- -solve(A-E)%*%B
> X
[,1] [,2]
[1,] 3 -1
[2,] 2 0
[3,] 1 -1
得，????
??????--=110213X
第3章 矩阵及其运算
第3章 矩阵及其运算 3.1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等 变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1 3.2.1 重要定义 定义3.1 由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为 ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2122221 11211 简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相 同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1 无意义.
n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在 运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵， 又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0?，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的 元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =n m ij a ?)(，则A -n m ij a ?-=)(称为A 的负矩阵. 若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记 为||A 或A Det . 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '. 若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵. 若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩 阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(. 定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则 称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B . 对于方阵A n m ij a ?=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵 *A ????????????=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111 称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义3.3 设有矩阵A ，如果： （1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.
矩阵数值算法
计算实习报告 一 实习目的 （1）了解矩阵特征值与相应特征向量求解的意义，理解幂法和反幂法的原理， 能编制此算法的程序，并能求解实际问题。 （2）通过对比非线性方程的迭代法，理解线性方程组迭代解法的原理，学会编 写Jacobi 迭代法程序，并能求解中小型非线性方程组。初始点对收敛性质及收 敛速度的影响。 （3）理解 QR 法计算矩阵特征值与特征向量的原理，能编制此算法的程序，并 用于实际问题的求解。 二 问题定义及题目分析 1. 分别用幂法和幂法加速技术求矩阵 2.5 2.5 3.00.50.0 5.0 2.0 2.00.50.5 4.0 2.52.5 2.5 5.0 3.5-?? ?- ?= ?-- ?--?? A 的主特征值和特征向量． 2. 对于实对称矩阵n n ?∈A R ，用Jacobi 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部 特征值． 1515 4 1141144114114?-?? ?-- ? ?- ?= ? ?- ?-- ? ?-??A 3. 对于实矩阵n n ?∈A R ，用QR 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部特征值: 111 21 113,4,5,62311111n n n n n n ? ???? ?????==+? ????? ??+??A 三 概要设计 （1） 幂法用于求按模最大的特征值及其对应的特征向量的一种数值算法，
它要求矩阵 A 的特征值有如下关系： 12n ...λλλ>≥≥ ，对于相应 的特征向量。其算法如下： Step 0：初始化数据0,, 1.A z k = Step 1：计算1k k y A z +=。 Step 2：令 k k m y ∞=。 Step 3：令 k k k z y m = ；如果1k k m m +≈或1k k z z +≈，则 goto Step 4；否则 ， k = k + 1 ，goto Step 1。 Step 4：输出结果 算法说明与要求 输入参数为实数矩阵、初始向量、误差限与最大迭代次数。输出 参数为特征值及相对应的特征向量。注意初始向量不能为“0”向量。 （2） 迭代法的原理 如果能将方程 Ax =b 改写成等价形式：x=Bx+f 。如果B 满足：ρ(B )<1，则对于任意初始向量 x (0) ，由迭代 x ( k + 1) = Bx (k ) + f 产生的序列均收敛到方程组的精确解。迭代法中两种最有名的迭代法就是Jacobi 迭代法，它的迭代矩阵 B 为： 1()J D L U -=-+,1 f D b -= 其中，D 为系数矩阵 A 的对角元所组成对角矩阵，L 为系数矩阵 A 的对角元下方所有元素所组成的下三角矩阵，U 为系数矩阵 A 的对角元上方所有元素所组成的上三角矩阵。 算法如下： Step 0：初始化数据 00,,,,k A b x δ=和ε。 Step 1：计算D,L,U,J 或G, 得到迭代矩阵B. Step 2：:1k k =+ 0x B x f * =+ 0x x = 如果0x x δ-<或()f x ε≤，goto Step 3?否则 goto Step ２。 Step 3：输出结果。 程序说明与要求
矩阵方程的解法
矩阵方程的解法 本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩 阵的最佳逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程 有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。矩阵方程问 题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。不 同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程 问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析， 勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛、约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题、有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富、其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题、求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是 当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。对于本文所研究的AX= B、这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些 约束解和最小二乘解的问题。自从针对工程应用领域提出了行对
称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。设表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A的秩,表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即=,显然有成立。表示n阶正交矩阵全体。本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B,求实行对称方阵X，使得AX=B。问题2 给定，求，使得。其中为问题1的解集。问题3 给定矩阵,求实行对称方阵X，使得=B。 定义设A = ()，若A满足，则称A为n *m行对称矩阵、所有n *m行对称矩阵的全体记为。考查满足的矩阵A，不难发现A 是关于行具有某种对称性的矩阵，即当阶数n为奇数时，以将行为对称线，矩阵A的行关于该线对称；当阶数n为偶数时，在行与行间做一条直线，则A的行关于该直线对称。或简单的说，将A 进行上下翻转后矩阵不变，我们就称这种矩阵为行对称矩阵。为了更好的了解行对称矩阵，我们介绍一下行对称矩阵的性质：（1）当n=2k时，=、（2）当n=2k+1时，=定义设A=，r(A)=r,的大于零的特征值为。则称为A的奇异值。定义设矩阵A ，若矩阵X满足如下四个Penrose方程：
矩阵链算法
/************************ Matrix Chain Multiplication ***************************/ /************************ 作者：Hugo ***************************/ /************************ 最后修改日期：2015.09.10 ***************************/ /************************ 最后修改人：Hugo ***************************/ using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; using System.Text.RegularExpressions; using System.Collections; namespace Matrix { class Program { public static int nummulti = 0; static ArrayList list1 = new ArrayList();//定义计算式存储列表 static ArrayList listrow = new ArrayList();//定义矩阵行数存储列表 static ArrayList listcolumn = new ArrayList();//定义矩阵列数存储列表 static void Main(string[] args) { /****************************************************************************** *****************/ //从键盘上获取矩阵 int nummatrix = Int32.Parse(Console.ReadLine()); int countmat = 0; for (countmat = 0; countmat < nummatrix; countmat++) { string s = Console.ReadLine(); string[] str = s.Split(' ');//把输入的一行字符按空格拆分 listrow.Add(Int32.Parse(str[1]));//行数存储到矩阵行数存储列表 listcolumn.Add(Int32.Parse(str[2]));//列数存储到矩阵列数存储列表
秩约束矩阵方程中若干问题的研究
秩约束矩阵方程中若干问题的研究 【摘要】：1.秩约束下矩阵方程的极秩和秩约束条件下矩阵方程的最小二乘解首先我们给出秩约束条件r(X)=k下r(A-BX)的极小值；其次给出秩约束条件r(x)=k,X≥0下r(A-BXBH)的极小值,其中A∈Cm×m 是Hermite矩阵,B∈Cm×n,r(B)=b；最后给出秩约束条件r(C-AXB)=min下‖C-AXB‖F=min的解,其中A∈Cm×n,B∈Cp×q,C∈Cm×q给定。2.若干矩阵广义逆的表示.首先利用矩阵A的秩为r的子矩阵Aα,*(A*,β)给出矩阵A的{2｝-逆的表示;其次,给出矩阵A的κ-阶子式给出Moore-Penrose逆、群逆的表示,其中κ≥(A)；最后我们应用广义奇异值分解给出一类秩约束条件下矩阵和的Moore-penrose逆的表示。3.EP和加权EP矩阵的刻画.设A∈Cm×m,我们称A是EP矩阵,若R(A)=R(AH).A是EP矩阵当且仅当r[AAH]=r(A).我们首先罗列出已有文献中关于EP矩阵的等价关系,并利用矩阵Moore-Penrose逆、群逆和秩等式r(A)=r(A2)等给出EP矩阵的若干新的刻画,最后,我们给出加权EP矩阵的若干刻画。【关键词】：秩等式EP矩阵分块矩阵广义逆 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2011
【分类号】：O151.21 【目录】：摘要6-7Abstract7-8目录8-10第一章引言10-161.1研究背景和现状10-111.2本文的主要工作111.3预备知识11-16第二章秩约束矩阵方程的极大、极小秩16-382.1秩约束下A-BX的极小秩17-242.2秩约束下A-BXB~H的极小秩24-332.3秩约束下[A,X]-[B,C]的极小秩33-38第三章秩约束下矩阵方程的最小二乘解38-543.1秩约束下矩阵方程AXB=C的最小二乘解38-473.2秩约束下矩阵方程BXB~H=A的最小二乘解47-54第四章若干矩阵广义逆的表示54-704.1矩阵{2}-逆的表示54-634.2矩阵Moore-Penrose逆的表示63-664.3秩约束矩阵和的Moore-Penrose逆的表示66-70第五章EP和加权EP矩阵的刻画70-965.1主要引理70-725.2EP矩阵72-795.3加权EP矩阵79-96附录A96-98附录B98-100参考文献100-108在校期间发表/待发表文章目录108-109致谢109 本论文购买请联系页眉网站。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)
GE矩阵法及其使用方法介绍 一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司（GE）于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 二、方格分析计算方法介绍： GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业 单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要 对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战 略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），
每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力）和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务（或产品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素（可能需要根据各公司情况作出一些增减）。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等，关键是不能遗漏重要因素，也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始，纵览这张表（使用同一组经理）， 并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似，则对其影响做总体评估，若一因素对不同竞争者有不同影响，可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准（1=毫无吸引力，2=没有吸引力，3=中性影响，4=有吸引力，5=极有吸引力）。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定（1=极度竞争劣势，2=竞争劣势，3=同竞争对手持平，4=竞争优势，5=极度竞争优势），在这一部分，应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。 具体的方法是：- 确定内外部影响的因素，并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数（五级）- 最后，用权重乘以级数，得出每个因素的加权数，并汇总，得到整个产业吸引力的加权值 下面分别用折线图和表格两种形式来表示。
矩阵方程的解法
两类矩阵方程的行对称矩阵解 及AX=B的最佳逼近 摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义 逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳 逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T 有行 AXA B 对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。 矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的 解的问题。不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为 线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束 矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B 是研究最透彻的一类问题. 求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小
二乘解。对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国 内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。 自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。 本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程 T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解 得出了有解时的充要条件及解的表达式。 设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示 次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0 101n n ?? ? ? ?? ? ,显然有1 ,T n n n n J J J J -==成立。*n n OR 表示n 阶正交矩阵全体。 本文要讨论以下问题： 问题1 给定矩阵A,B ∈*m n ,求实行对称方阵X ，使得AX=B 。
动态规划矩阵连乘算法
问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,A n，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数
((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小 化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4： 5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。 当i=j时，A[i:j]=A i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n 当i nxn方阵对应行列式的值 第二步，选中A4单元格，在“插入”菜单中选中“函数”菜单项： 第三步，在打开的“函数”对话框中，选中“MDETERM”函数如图2，并按“确定”按钮： 第四步，在弹出的对话框中输入矩阵所在的地址，按确定即得到行列式的值。 矩阵求和 已知 第二步，在A5单元格中输入公式：=A1+El，按回车，这时A5中显示数字7； 第三步，选中A5单元格，移动鼠标至其右下角，鼠标形状变为黑色十字时，按下鼠标左键往右拖至C5，B5和C5中分别显示一3．3。同样的方法选中A5：C5，往下拖至A7：C7，便得到A+B的值。 矩阵求逆 第一步，在A1：C3中输入矩阵A； 第二步。选中A5：C7，“插入”→“函数”→“MINVERSE”→“确定”： 第三步，在“array”项中输入A1：C3，按F2，同时按CTRL+SHIFF+ENTER即可如图6。 5矩阵转置 第一步，在Al：C3中输入矩阵A，并选中； 第二步，“编辑”→“复制”； 第三步，选中A5，“编辑”→“选择性粘贴”→“转置”→确定”。 矩阵求秩 6．1矩阵秩的概念 定义设A是mxn矩阵，从A中任取k行k列(k≤min(m，n))，由这些行、列相交处的元素按原来的次序所构成的阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子行列式，简称k阶子式。 定义矩阵A的所有不为零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩，记作r(A)，即r(A)=r。 6．2矩阵秩的数学求法 6．2．1行列式法：即定义从矩阵的最高阶子式算起，计算出不等于零的子式的最高阶数r，此r即为该矩阵的秩。 6．2．2行初等变换法：用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，此阶梯形矩阵非零行的行数r就是该矩阵的秩。 6．3利用EXCEL求矩阵秩 方法一，根据矩阵秩的定义，可以求所有不为零子式的最高阶数。 求矩阵A的秩． 显然A是4x4矩阵，4为其所有子式的最高阶数。先求IAI的值，若｜A｜不为零，则矩 几类约束矩阵方程问题的理论与计算 【摘要】：约束矩阵方程问题是指在一定的约束矩阵集合中求矩阵方程(组)的解.其研究是近年来数值代数研究领域的重要课题.本文研究以下几类特殊约束矩阵方程问题的理论与计算.1.两类线性约束矩阵方程问题及其最佳逼近问题的迭代算法提出了求线性矩阵方程组：A1XB1=C1,A2XB2=C2的(最小二乘)双对称解的迭代算法；从算子角度,将十余种常见的矩阵结构约束(如对称、中心对称、自反等)划归为一类特殊的算子约束.针对一般形式的线性矩阵方程组,提出了求这一类特定算子约束(最小二乘)解的迭代算法.在不计舍入误差的前提下,所提出的算法均可在有限步内获得上述线性矩阵方程(组)相应的约束(最小二乘)解,并可解决其最佳逼近问题.2.非线性矩阵方程：Xs+A*X-1A=Q的Hermitian正定解深入研究了非线性矩阵方程：Xs+A*X-tA=Q(s,t为正整数)的定解理论和数值算法.利用矩阵分解原理给出了方程存在Hermitian正定解的两个充分必要条件.给出了方程仅有两个解的充分条件及解的计算公式.研究了AQ(?)=Q(?)A情形下,方程可解的必要条件和解的特性.分析了固定点迭代算法的收敛性,给出了单调收敛条件.此外还考虑了s≥1,0t≤1或0s≤1,t≥1的情形,给出了方程存在Hermitian正定解的充分条件和必要条件.探讨了解的特性,并提出了计算其极端解的免逆迭代算法.3.非线性矩阵方程：Xs-A*X-1A=Q的Hermitian正定解研究了非线性矩阵方程：Xs-A*X-1A=Q(s,t为正整数)的Hermitian正定解.证明了解的存在性. 给出了方程存在唯一解的充分条件.获得了解范围的最新估计.进行了解的扰动分析,导出了一般解和唯一解的扰动界.4.非对称代数Riccati 方程的极小非负解分析了当非对称代数Riccati方程的四个系数矩阵构成一个非奇异M-矩阵或奇异不可约M-矩阵时,方程极小非负解的敏感性.基于不变子空间的扰动性质,导出了极小非负解在任意酉不变范数意义下的扰动界,并获得了条件数的显式表达式.5.TLS问题和LS 问题解的相关量比较在TLS问题和LS问题解残量的比较基础上,在更一般情形下,对TLS问题和LS问题解的加权残量进行了比较.导出了TLS解、改进的LS解及普通LS解加权残量之间的误差界,进一步完善了已有的相关结果.【关键词】：线性矩阵方程双对称矩阵算子约束解非线性矩阵方程Hermitian正定解非对称代数Riccati方程TLS 问题LS问题加权残量 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2010 【分类号】：O241.6 【目录】：摘要6-8Abstract8-10目录10-12主要符号对照表12-13第一章前言13-171.1研究背景13-141.2研究现状14-151.3本文的主要工作15-17第二章两类线性约束矩阵方程问题的迭代算法17-662.1矩 clear all; %A=LU矩阵三角分解法 n=input('输入方矩阵的维数: '); for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input('依次输入矩阵元素：'); end end %输入一个n阶方形矩阵 for j=1:n L(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 end for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end %U的第一行 for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end %L的第一列 for k=2:n for j=k:n sum1=0; for m=1:k-1 sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j); end %求和 U(k,j)=A(k,j)-sum1; end for i=k+1:n sum2=0; for m=1:k-1 sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k); end %求和 L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k); end end L %输出下三角矩阵L U %输出上三角矩阵U 运行结果：（示例） 输入方矩阵的维数: 4 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 3 依次输入矩阵元素：0 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素：-1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 5 依次输入矩阵元素：9 A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。 矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵 福州大学数学与计算机科学学院 《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2） i<=k using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; //自己写的一个关于矩阵各种计算的算法，还有行列式的各种算法 //简单的几步，，，嘿嘿嘿，特意分享下 namespace Task1 { class JuZhen { public double[,] arr; //矩阵的成员变量 private int row, col; public double sum = 0.0; public JuZhen() { } public JuZhen(int a, int b) { row = a; col = b; } /*public void setRC(int a, int b) { row = a; col = b; } public int getR() { return row; } public int getC() { return col; }*/ public double[,] InputArr(int x, int y) //矩阵的输入函数,用于输入函数并且将输入的函数显示出来 { arr = new double[x, y]; for (int a = 0; a < x; a++) for (int b = 0; b < y; b++) arr[a, b] = double.Parse(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入的矩阵为："); OutPrint(arr, x, y); //矩阵的显示 return arr; //返回输入的矩阵 } public void OutPrint(double[,] x, int a, int b) //矩阵的输出函数，调用此函数实现矩阵的输出 { for (int i = 0; i < a; i++) { for (int j = 0; j < b; j++) { Console.Write("{0} ", x[i, j]); } Console.WriteLine(""); //输完一行后换行 } } public double[,] QiuYuZiShi(double[,] x, int a) //求行列式的代数余子式矩阵， { double[,] temp; double[,] result = new double[a, a]; for (int i = 0; i < a; i++) //i,m两个for 循环对x矩阵遍历，求代数余子式 { for (int m = 0; m < a; m++) { temp = new double[a - 1, a - 1]; //生成余子式数组 for (int j = 0; j < a - 1; j++) //j为余子式列，i为行 for (int k = 0; k < a - 1; k++) { if(j < i && k < m) //判断构造的元素在去掉的列前面还是后面行的上面还是下面 temp[k, j] = x[k, j]; if (j < i && k >= m) temp[k, j] = x[k + 1, j]; if (j >= i && k < m) temp[k, j] = x[k, j + 1]; 算法和矩阵 安徽理（11 ）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15. 北京理4.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为A. ；B. ；C. ；D. 【解析】：循环操作4次时S的值分别为，选D。 福建理11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______。3 PRINT END 第4题图 21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设矩阵（其中a＞0，b＞0）． （I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1； （II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值． 21．（1）选修4—2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。 解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则 又，所以， 所以 故所求的逆矩阵 （II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点， 福建文5 则，又点在曲线上， 所以,,则为曲线C的方程， 又已知曲线C的方程为 又 福建文5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．3 B．11 湖南理13 C．38 D．123 B 开始 输入 开始 开始 否 是 结束 输出 开始 图2 湖南理13、若执行如图3所示的框图，输入 ，则输出的数等于。 答案： 解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则 湖南文11．若执行如图2所示的框图，输入 则输出的数等于 ． 矩阵求逆的快速算法 算法介绍 矩阵求逆在3D程序中很常见，主要应用于求Billboard矩阵。按照定义的计算方法乘法运算，严重影响了性能。在需要大量Billboard 矩阵运算时，矩阵求逆的优化能极大提高性能。这里要介绍的矩阵求逆算法称为全选主元高斯-约旦法。 高斯-约旦法（全选主元）求逆的步骤如下： 首先，对于 k 从 0 到 n - 1 作如下几步： 从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。这一步称为全选主元。 m(k, k) = 1 / m(k, k) m(k, j) = m(k, j) * m(k, k)，j = 0, 1, ..., n-1；j != k m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j)，i, j = 0, 1, ..., n-1；i, j != k m(i, k) = -m(i, k) * m(k, k)，i = 0, 1, ..., n-1；i != k 最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。 实现(4阶矩阵) float Inverse(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& rhs) { CLAYMATRIX m(rhs); DWORD is[4]; DWORD js[4]; float fDet = 1.0f; int f = 1; for (int k = 0; k < 4; k ++) { // 第一步，全选主元 float fMax = 0.0f; for (DWORD i = k; i < 4; i ++) { for (DWORD j = k; j < 4; j ++) { const float f = Abs(m(i, j)); if (f > fMax) { fMax = f; is[k] = i; js[k] = j; } } } if (Abs(fMax) < 0.0001f) return 0; if (is[k] != k) { f = -f; swap(m(k, 0), m(is[k], 0)); swap(m(k, 1), m(is[k], 1)); swap(m(k, 2), m(is[k], 2)); swap(m(k, 3), m(is[k], 3)); } if (js[k] != k) { f = -f; swap(m(0, k), m(0, js[k])); swap(m(1, k), m(1, js[k])); swap(m(2, k), m(2, js[k])); swap(m(3, k), m(3, js[k])); } // 计算行列值 fDet *= m(k, k); // 计算逆矩阵 // 第二步Excel中矩阵的运算
几类约束矩阵方程问题的理论与计算
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