球习题精选精讲

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球面距离的计算经典范例

1.位于同一纬度线上两点的球面距离

例1 已知,B两地都位于北纬,又分别位于东经和,设地球半径为,求,B的球面距离.

分析:要求两点,B的球面距离,过,B作大圆,根据弧长公式,关键要求圆心角的大小(见图1),而要求往往首先要求弦的长,即要求两点的球面距离,往往要先求这两点的直线距离.

解作出直观图(见图2),设为球心,为北纬圈的圆心,连结,,,,.由于地轴平面.

∴与为纬度,为二面角的平面角.

∴(经度差).

△中,.

△中,由余弦定理,

△中,由余弦定理:

∴.

∴的球面距离约为.

2.位于同一经线上两点的球面距离

例2 求东经线上,纬度分别为北纬和的两地,B的球面距离.(设地球半径为).(见图3)

解经过两地的大圆就是已知经线.

,.

3.位于不同经线,不同纬线上两点的球面距离

例3 地位于北纬,东经,B地位于北纬,东经,求,B两地之间的球面距离.(见图4)

解设为球心,,分别为北纬和北纬圈的圆心,连结,,.

△中,由纬度为知,

∴,

△中,,

∴,

∴.

注意到与是异面直线,它们的公垂线为,所成的角为经度差,利用异面直线上两点间的距离公式.

(为经度差)

△中,

∴.

∴的球面距离约为.

球面距离公式的推导及应用

球面上两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这段弧长叫做两点的球面距离,常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A 、B 两点大圆的劣弧长由球心角AOB 的大小确定,一般地是先求弦长AB ,然后在等腰△AOB 中求∠AOB 。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。

地球球面上的点的位置由经度、纬度确定,我们引入有向角度概念与经度、纬度记法:规定东经为正,西经为负;北纬为正,南纬为负(如西经30o为经度α=-30o,南纬40o为纬度β=-40o ),这样简单自然,记球面上一点A 的球面坐标为A (经度α,纬度β),两标定点,清晰直观。

设地球半径为R ,球面上两点A 、B 的球面坐标为A (α1,β1),B (α2,β2),α1、α2∈[-π,π],β1、β2∈[-

2

π

2

π],如图,

设过地球O 的球面上A 处的经线与赤道交于C 点,过B 的经线与赤道交于D 点。设地球半径为R ;∠AOC=β1,∠BOD=β2,∠DOC=θ=α1-α2。

另外,以O 为原点,以OC 所在直线为X 轴,地轴所在直线ON 为Z 轴建立坐标系O-XYZ (如图)。则A (Rcos β1,0,Rsin β1),B(Rcos β2cos (α1-α2),Rcos β2sin (α1-α2),Rsin β2)

cos ∠AOB =cos 〈OA ,OB 〉=cos β1cos β2cos (α1-α2)+sin β1sin β2

∠AOB=arcos[cos β1cos β2cos (α1-α2)+sin β1sin β2] 其中反余弦的单位为弧度。

于是由弧长公式,得地球上两点球面距离公式:

?

AB =R 2arcos[cos β1

cos β2

cos (α1

-α2

)+sin β1

sin β2

] (I )

上述公式推导中只需写出A ,B 两点的球面坐标,运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论,简单明了,易于理解,公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。

由公式(I )知,求地球上两点的球面距离,不需求弦AB ,只需两点的经纬度即可。 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地,A 、B 两点的经度或纬度相同时,有: 1、β1=β2=β,则球面距离公式为:

B A

=R 2arcos[cos 2

βcos (α1

-α2

)+sin 2

β] (II )

2、α1-α2=α,则球面距离公式为:

B A

=R 2arcos (cos β1

cos β2

+sin β1

sin β2

)=R 2arcoscos (β1

-β2

) (III )

例1、 设地球半径为R ,地球上A 、B 两点都在北纬45o的纬线上,A 、B 两点的球面距离是3

πR ,A 在东经20o,求B 点的位置。

分析:α1=20o,β1=β2=45o,由公式(II )得:

3

π

R= R 2arcos[cos 2

45ocos (20o-α2

)+sin 2

45o] cos 3π=2

1 cos (20o-α2

)+21

∴cos (20o-α2)=0, 20o-α2=±90o即:α2=110o或α2=-70o

所以B 点在北纬45o,东经110o或西经70o

1.一个球的内接正方体(正方体的顶点都在球面上)的表面积为6,则球的体积为________. 由已知得正方体棱长为1,因球的直径等于正方体的对角线长,所以直径

3

2=r ,∴ 2

3=

r .球体积.π2323π

3

4π343

3=???

? ??==??r V 2.在赤道上,东径140°与西径130°的海面上有两点A 、B ,A 、B 的球面距离是________(设地球半径为R ). .设球心为O ,∵ A 、B 在赤道这个大圆上,∴ ∠AOB =(180°-140°)+(180°-130°)=90°,∴ 2

π

=

∠A O B ,∴ A 、B 的球面距离为

R 2

π

. 3.设正方体的全面积为2

cm 24,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( ). A .

3

4

π 3

cm B .

38 π3cm C .3

32 π3cm D .6 π 3cm A .由正方体全面积为2

cm 24,则棱长为2cm ,内切于正方体的球的直径为2cm ,则球的半径为1,其体积为π3

4

1π343=?.3cm 4.一个正方体的顶点都在球面上,其棱长为2cm ,则球的表面积为( ).

A .8π2

cm B .12π2

cm C .16π 2

cm D .20π 2

cm .B .球的直径与正方体的对角线长相等,∴

232?=R ,∴ 3=R ,球表面积π12)3(π42==?S .

)(cm 2 5.设地球半径为R ,在北纬60°圈上有A 、B 两地,它们在纬度圈上的弧长是2

πR

,则这两地的球面距离是( ).

A .

R 43 B .R 3π C .R 5

7

D .R 2

.B .如图答9-70,设北纬60°圈的圆心为O ',球心为O ,

则260cos R R B O A O =?='='?,∵ A 、B 在纬度圈上的弧长为R 2

π

则π2

12π=='∠R R B O A ,∴ A 、O '、B 三点共线,∵ OA =OB ,?='∠60AO O , ∴ △AOB 是正三角形,∴ 3π=∠A O B ,∴ A 、B 的球面距离等于R 3

π

6.一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是( ).

A .1∶33

B .1∶22

C .1∶

383 D .1∶4

2

.A .设正方体的棱长为2a ,则其内切球半径为a ,外接球半径为

a 3,二球体积比为

331)

3(1)3(π3

4

π34

3

33:==

??a a 7.球面上有A 、B 、C 三点,AB =BC =2cm ,

cm 22=AC ,球心O 到截面ABC 的距离等于球半径的一半,求球的体积.

.∵ A 、B 、C 是球面上三点,∴ OA =OB =OC .设截面圆圆心为1O ,则1OO ⊥平面ABC ,∴ C O B O A O 111==,∴ 1O 是

△ABC 的外接圆圆心. ∵ AB =BC =2,22

=AC ,∴ 222AC BC AB =+,∴ ∠ABC 是直角.

在△O AO 1中,?=∠901A OO ,21

=A O ,21R OO =,OA =R ,∴ 有2

2

22)2(R R =??

? ??+,解得382=R ,362=R ,

球体积π27

664362π343

=???? ??=?V .)cm (3

8.半径为1的球面上有三点A 、B 、C ,其中A 和B 、A 和C 的球面距离为

2π,B 和C 的球面距离为3

π

,求球心到平面ABC 的距离. 3.设球心为O ,由球面距离的定义可知2π=∠AOB ,2π=∠AOC ,3

π

=∠BOC .

∵ OA ⊥OB ,OA ⊥OC ,∴ OA ⊥平面BOC .∴ 三棱锥O -ABC 的体积12

3143

31==

??V

. 在△ABC 中,2=AB , 2=AC ,BC =1,取BC 中点M ,则AM ⊥BC ,2

1

=

MB ,2

7=AM .

设点O 到平面ABC 的距离为h ,∵

B O

C A ABC O V V --=,∴

12

321

31=???h BC AM , ∴ 721

7

3=

=

h .即点O 到平面ABC 的距离为721.

球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系:r R d =-22

,(计算公式)

(3)球的截面是圆面:

球的大圆:球面被经过球心的平面截得的圆。

9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半经为r 的一个球,此时,水面恰好与球相切,求取出

球后水面的高度。

解:如图所示,圆锥轴截面为正三角形ABP ,设球心为O ,PC 为圆锥的高,取出球后,水面为EF ,其高度为PH ,连结OC 、OA 。

则OC

r OA r AB r PC r ====,,,2233 ∴V BC PC r P ABC -==1

3323ππ2

∵V r 球

=433π。∵V r 球=433π, ∴V V V r P EF P ABC 锥锥球--=-=53

3π 又∵

PH PC V V P EF P ABC 335

9

==--锥锥 ∴PH PC r PH r 3

3335

9

1515=

==,∴。 故取出球后水面高为153r 。 10. 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上,设地球的半径为R ,求A 、B 两点的球面距离。 分析:要求A 、B 两点间球面距离,要把它放到△AOB 中去分析,只要求得∠AOB 的度数,AB 的长度,就可求球面距离。

解:设北纬45°圈的圆心为O',地球中心 为O ,则∠AO'B=160°-70°=90°

∠OBO'=45°,OB=R ∴O R AB R AO AB 'B =

O'A =

2

2

,,连结、= 则AO BO AB R AOB ====,∴∠°60 ∴AB R R ?==162132ππ 故A 、B 两点间球面的距离为1

3

πR 。

11.已知地球的半径为 ,球面上 两点都在北纬45°圈上,它们的球面距离为 , 点在东经30°上,求

点的位置及

两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度. 分析:求点 的位置,如图就是求

的大小,只需求出弦

的长度.对于

应把它放在

中求解,根据球面距离概念计算即可.

解:如图,设球心为

,北纬45°圈的中心为

由 两点的球面距离为

,所以

= ,

为等边三角形.于是

由 ,

.即 =.

又点在东经30°上,故的位置在东经120°,北纬45°或者西经60°,北纬45°.

两点在其纬线圈上所对应的劣弧.

说明:此题主要目的在于明确经度和纬度概念,及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案.

12.自半径为的球面上一点,引球的三条两两垂直的弦,求的值.分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联.

解:以

为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长

方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.

=.

说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.

*例7.把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离.

分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2.

解:由题意,四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点,则正四面体的高.

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1

,故第四个球的最高点与桌面的距离为

13. 一个球的半径为R,A、B是球面上的两个点,如果A、B沿球面的最短距离为

1 3πR,求过、两点的平面到球心的最大距离。

A B

解:

AB R O

(设球心为)

球面=

1

3

π∴∠==

AOB

R

R

1

3

3

ππ

要使O到平面ABO’的距离最长(O’为过AB的圆的圆心),只须过A、B的小圆最小,即AB=2r

在中,

?O OB OB R

'=

∴=?=

则OO OB R

'cos30

3

2

即所求最大距离为

3

2

R

14. 设A、B是地球北纬60o圈上两点,点A、B的经度分别是东经40o和西经20o,求A、B两点的球面距离。

解:设O’为北纬60o圈所在圆圆心,r为半径,地球半径为R

在中,,,

?AO O AO O AO R AOO

'''

∠=?=∠=?

9030

∴==

O A r R '12又 ∠=?+?=?AO B '402060 ∴==AB r R 12

∴∠=在中,?AOB AOB 214arcsin 于是⌒球面AB R =21

4arcsin

小结:

1?在小圆中求的长AB 2?∠解三角形,求AOB AOB

3?=用弧长公式,求⌒

球面l R AB θ

15. 求棱长为a 的正四面体内切球的体积。

解:设正四面体ABCD 高为AO’=h ,内切球心为O ,半径为r

则2O B a a '==23323

3

在中,Rt AO B AO AB BO a a a ?'''(

)=

-=-=2222336

3

V V ABCD O BCD =-42

即2134314612Sh S r r h a =?== ∴==V r a 内切球43621633

ππ

C

注:正四面体外接球与内切球半径之比为3:1。

16. 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ,若PA 、PB 、PC 两两垂直,且PA=PB=PC=a ,求这个球的体积和表面积。 解:设过P 、A 、B 三点的圆为圆O 1

【关于“球”的常见问题】

问题: 地球半径为R ,A 、B 两地都在北纬45°线上,且A 、B 的球面距离为

,求A 、B 两地经度的差.

解答:分析:如图,O 为球心,O 1为北纬45°小圆的圆心,知A 、B 的球面距离,就可求得∠AOB 的弧度数,进而求得线段AB 的长,在ΔAO 1B 中,∠AO 1B 的大小就是A 、B 两地的经度差.

解 设O 1是北纬45°圈的中心,∵A、B 都在此圈上,∴O 1A =O 1B = R.∵A、B 的球面距离为 ,

∴∠AOB= = = ,ΔAOB 为等边三角形. AB =R ,在ΔAO 1B 中,∵O 1A 2+O 1B 2

R 2

+

R 2=R 2=AB 2

∴∠AO 1B =90°.∴A、B 两地的经度差是90°.

评析:注意搞清纬度和经度的问题,球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.

问题:已知圆锥的母亲长为l ,母线对圆锥底面的倾角为θ,在这个圆锥内有一内切球,球内又有一个内接的正方体,求这个内接正方体的体积.

解答:

解 设球半径为R ,以内接正方体对角面为轴截面,如图.连接OA ,∠OAD= ,R =OD =AD2tan ,VA =l,AD =lcos θ,∴R=

lcos θtan ,又设正方体棱长为x ,则3x 2=EG 2=4R 2

,x =

R.∴V 正方体= (lcos θtan

)3

.

问题:如图,过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ,(1)求证:PA 2

+PB 2

+PC 2

为定值;(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值.

解答:分析:先选其中两条弦PA 、PB ,设其确定的平面截球得⊙O 1,AB 是⊙O 1的直径,连PO 1并延长交⊙O 1于D ,PADB 是矩形,PD 2

=AB 2

=PA 2

+PB 2

,然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了.

解 (1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1,∵PA⊥PB,

∴AB 是⊙O 1的直径,连PO 1并延长交⊙O 1于D ,则PADB 是矩形,PD 2

=PA 2

+PB 2

.

设O为球心,则OO1⊥平面⊙O1,∵PC⊥⊙O1平面,∴OO1∥PC,因此过PC、PD的平面经过球心O,截球得大圆,又PC⊥PD.∴CD是球的直径.故 PA2+PB2+PC2=PD2+PC2=CD2=4R2定值.

(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z,则三棱锥P—ABC的体积V=xyz,

V2=x2y2z2≤ ( )3=2 =R6.∴V≤ R3.即 V最大=R3.

评析:定值问题可用特殊情况先“探求”,如本题(1)若先考虑PAB是大圆,探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.

球面上任一点对球的直径所张的角等于90°,这应记作很重要的性质.

问题:求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.

解答:解如图,作AH⊥底面BCD于H,则AH=a,设内切球的球心为O,半径为r,O点与A、B、C、D相连,得四个锥体,

设底面为S,则每个侧面积为S,有42 2Sr=S2AH,∴r=AH=a,设外接球心为O,半径R,过A点作球的半径交底面

ΔCD于H,则H为圆BCD的圆心,求得BH=a,AH=a,由相交弦定理得a3(2R- a)=( a)2.解得R= a.

问题:球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )

A.4

B.2

C.2

D.

解答:解设球半径为R,小圆半径为r,则2πr=4π,∴r=2.如图,设三点A、B、C,O为球心,∠AOB=∠BOC=∠COA=,又∵OA =OB∴ΔAOB是等边三角形同理,ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形,得ΔABC为等边三角形.

边长等于球半径R,r为ΔABC的外接圆半径. r=AB=R R=r=2 ∴应选B.

问题:已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球表面积是( )

A. π

B. π

C.4π

D. π

解答:解如图,过ABC三点的截面圆的圆心是O′,球心是O,连结AO′、OO′,则OO′⊥AO′.ΔABC中,AB=BC=CA=2,故

ΔABC为正三角形.∴AO′=32=设球半径为R,则OA=R,OO′=

在RtΔOAO′中,OA2=O′O2+O′A2,即R2=+( )2∴R=∴球面面积为4πR2=π∴应选A.

说明因为R=OA>O′A>AB=1,所以球面积S=4πR2>4π.从而选A.

问题:长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是( )

A.20 π

B.25 π

C.50π

D.200π

解答:解正方体的对角线为l,球的半径为R,则l=2R.得:l2=4R2=32+42+52=50从而 S球=4πR2=50π∴应选C.

问题:在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球的表面积是 .

解答:解由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,正方体的对角线长就是球的直径,连结过点C的一条对

角线CD,则CD过球心O,对角线CD= a.∴S球表面积=4π2( a)2=3πa2.

问题:圆柱形容器的内壁底半径为5cm,两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器内的水面将下

降 cm.

解答:分析:球的体积等于它在容器中排开水的体积.解设取出小球后,容器水平面将下降hcm,两小球体积为V球=23 π3523h,V1

= V球即 25πh=π∴h=cm.∴应填.

问题:湖结冰时,一个球漂在其上,取出后(未弄破冰),冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴,求该球的半径.

解答:解设球的半径为R,依题意知截面圆的半径r=12,球心与截面的距离为d=R-8,由截面性质得:r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2.

得R=13 ∴该球半径为13cm.

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高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 (1)若=)(x f 10,则x= ;(2))(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象(请使用直尺) (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A , 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法(3)13)2(2++=-x x x f D P C P A P B

待定系数法 (4)已知()x f 是一次函数,且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 (复合函数的解析式)---代入法 (5)已知1)(2-=x x f ,1)(+=x x g ,求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习:1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ,求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数,且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+,求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ,)()2(x f x g =+,求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-,(3,0),且(0)3h =-,求()h x ;

抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数 概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量 表示原自变量x 的代数式,从而求出 ()f x , 这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1:已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+= --∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法:在已知 (())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求 ()f x .此解法简洁,还能进一步复习代换法。 例2:已知 33 11()f x x x x +=+,求 ()f x 解:∵ 22211111 ()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+ ≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1) 3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++,则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

(完整版)正弦定理练习题经典

正弦定理练习题 1.在△ABC 中,A =45°,B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( ) A .1 B.12 C .2 D.14 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( ) A .45°或135° B .135° C .45° D .以上答案都不对 5.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( ) A. 6 B .2 C. 3 D. 2 6.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A .1∶5∶6 B .6∶5∶1 C .6∶1∶5 D .不确定 7.在△ABC 中,若cos A cos B =b a ,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 8.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3 ,则A =________. 9.在△ABC 中,已知a =433 ,b =4,A =30°,则sin B =________. 10.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 11.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解. 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 (1)b=39,c=54,? =120C 有________组解 (2)a=20,b=11,?=30B 有________组解 (3)b=26,c=15,?=30C 有________组解 (4)a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin B sin A = 6. 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin B sin A =4 6. 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )

幂函数经典例题

例1、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 C.当幂指数α取1,3,1 2 时,幂函数y=xα是增函数 D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A 不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα (α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;而当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x 1 5 (7+3t-2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0,+ ∞)上为增函数,求实数t的值. 分析关于幂函数y=xα(α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设p q (|p|、|q|互 质),当q为偶数时,p必为奇数,y=x p q 是非奇非偶函数;当q是奇数时,y= x p q 的奇偶性与p的值相对应. 解∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1, ∴t=-1,1或0. 当t=0时,f(x)=x 7 5 是奇函数; 当t=-1时,f(x)=x 2 5 是偶函数; 当t=1时,f(x)=x 8 5 是偶函数,且 2 5 和 8 5 都大于0,在(0,+∞)上为增函数.

故t =1且f (x )=x 85或t =-1且f (x )=x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视. 例3、如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则( ) A .-11 D .n <-1,m >1 解析 在(0,1)内取同一值x 0,作直线x =x 0,与各图象有交点,则“点低指数大”.如图,0x 1 3,求x 的取值范围. 错解 由于x 2 ≥0,x 1 3∈R ,则由x 2>x 1 3 ,可得x ∈R . 错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征,尤其是y =x α 在 α>1和0<α<1两种情况下图象的分布. 正解 作出函数y=x2和y=3 1x 的图象(如右图所示),易得x<0或x>1. 例5、函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )

指数函数习题精选精讲

指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____. 分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-,∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25) x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2 (25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14 x > .∴x 的取值范围是1 4 ?? + ??? , ∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解:由题意可得2 16 0x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 令2 6x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2 061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数的值域是[)01, .

解三角形高考典型例题汇编

《解三角形》 一、 正弦定理:sin sin sin a b c A B C ===2R 推论:(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中,若,则= 2. 在△中,a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中,若满足,,,则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ,b=2,sinB+cosB ,则A=? 5.【2017全国文11】△ABC 中,sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,c ,则C =? 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是? 二、余弦定理:222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中,如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =,求cos C 的值 2. 在△ABC 中,若则A= 3. 【2012上海高考】在中,若,则的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? (A )3π4 (B )π3 (C )π4 (D )π6

指数函数、对数函数、幂函数练习题大全

一、选择题(每小题4分,共计40分) 1.下列各式中成立的一项是 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B . 33 39= C .4 343 3 )(y x y x +=+ D .31243)3(-=- 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 9- B .a - C .a 6 D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确... 的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0 ,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.已知2 )(x x e e x f --=,则下列正确的是 ( ) A .奇函数,在R 上为增函数 B .偶函数,在R 上为增函数 C .奇函数,在R 上为减函数 D .偶函数,在R 上为减函数

指数函数习题精选精讲

指数函数习题精选精讲

指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨. 1.比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____. 分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则3 21x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵22 25(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14x >.∴x 的取值范围是14??+ ??? ,∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 令26x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴206 1x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数的值域是[)01, .

《正弦定理和余弦定理》典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一:正弦定理的应用: 例1.已知在ABC ?中,10c =,45A =,30C =,解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边a ,然后用三角形内角和求出角B ,最后用正弦定理求出边b . 解析:sin sin a c A C =, ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ?= == ∴ 180()105B A C =-+=, 又sin sin b c B C =, ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ?= ===?= 总结升华: 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题; 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式. 举一反三: 【变式1】在?ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9a cm =,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理,0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中,已知075B =,0 60C =,5c =,求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=, 根据正弦定理5sin 45sin 60 o o a =,∴56a =【变式3】在?ABC 中,已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2.在3,60,1ABC b B c ?= ==中,,求:a 和A ,C . 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角C ,然后用三角形内角和求出角A ,最后用正弦定理求出边a .

指对幂函数经典练习题

高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数,则有 ( ) A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3x y -= B .3-=x y C .32x y = D .13-=x y 3、1.指数式b c =a (b >0,b ≠1)所对应的对数式是 ( ) A .log c a =b B .log c b =a C .log a b =c D .log b a =c 4、若210,5100==b a ,则b a +2= ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ,那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 ( ) A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0>x 时,函数x a y )8(2-=的值恒大于1,则实数a 的取值范围是_ _____.

数学练习题抽象函数(含答案)

数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ,x ≠0)对任意的非零实数1 x ,2x ,恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶 性。 2 已知定义在[-2,2]上的偶函数,f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )

6. 设f (x )是定义R 在上的函数,对任意x ,y ∈R ,有 f (x+y )+f (x-y )=2f (x )f (y )且f (0)≠0. (1)求证f (0)=1;(2)求证:y=f (x )为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b , 当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1)若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2)若f (k ) 293()3 --+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成 立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.

正弦定理典型例题与知识点

正弦定理 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论: A a sin = B b sin =C c sin =2R (R 为△ABC 外接圆半径) 4.正弦定理解三角形 1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角; 2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。 3)已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(多解情况) ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA≤) ( b a 锐角一解无解 b a 1、已知中,,,则角等于 ( D) A . B . C . D .

2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若sin A=,b=sin B,则a等于 ( D ) A.3B.C. D.

1. 在ABC ?中,若sin 2sin 2A B =,则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中,C= 2 π ,则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中,C= 2 π ,∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ,∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时,B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中,10 10 3B cos ,21A tan == ,则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中,已知2a b c =+,2 sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。 解:由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得:sin 2a A R =,sin 2b B R =, sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得:2()222a b c R R R =?,即:2 a bc =。 又已知2a b c =+,所以224()a b c =+,所以24()bc b c =+,即2()0b c -=, 因而b c =。故由2a b c =+得:22a b b b =+=,a b =。所以a b c ==,△ABC 为等边三角形。 6.在ABC ?中, b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c =2,b =6,B =120°,则 a 等于 ( ) A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 ( )

幂函数练习题及答案

幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A .y x =43? B.y x =32 C .y x =-2 ? D.y x =- 14 2.函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ) A. 4 1 ?B.1-?C.4 D.4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是? ?( ) A.3 x y -=?B.3 -=x y ? C.3 2x y =?D.13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ) A. B. C. D . 5.下列命题中正确的是? ? ( ) A.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? ( ) A.关于原点对称 B.关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D .是偶函数又是减函数 8.函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( )

A .]6,(--∞ ? B .),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A.102431<<<<<αααα B.104321<<<<<αααα C.134210αααα<<<<< D .142310αααα<<<<< 10. 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<,则 )2( 21x x f +,2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?B. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C . )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分). 11.函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12.的解析式是?? . 13.9 42 --=a a x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 14.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限,不过原点,则n m k ,,的奇偶性为 . 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤(共76分) . 15.(12分)比较下列各组中两个值大小 (1)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与;()与-- 1α 3α 4α 2α

高中函数习题及详细解析

求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对任意x≠0,f(x)=x*f(1/x);(2)对所有的x≠-y且xy≠0,有f(x)+f(y)=1+f(x+y) 解:首先,令g(x)=f(x)-1,把条件写成 g(x+y)=g(x)+g(y) (1) g(x)+1=xg(1/x)+x (2) (1)称为Cauchy函数方程,一般来讲是需要额外条件(诸如连续性、单调性之类)才能得到g 是线性函数,对于这个问题而言,(2)就是所谓的额外条件,所以不再需要连续性的条件。首先,在(2)当中取x=-1得到g(-1)=-1。 再对(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1),所以g(-x)=-g(x),即g是奇函数。 将(2)变形为 g(x)-x=x[g(1/x)-1/x] (3) 如果存在a>0使得g(a)>a,那么g(1/a)>1/a,利用奇函数的性质,g(-a)=-g(a)<-a,继续在(3)中取x=-a得到g(-1/a)>-1/a,这样g(1/a)=-g(-1/a)<1/a,矛盾。同理可以证明不存在a>0使得g(a)0时只能有g(a)=a。再利用奇函数的性质得a<0时也有g(a)=a,即(1)和(2)只有唯一解g(x)=x。 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0。求: (1)求f(0); (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明; (3)解不等式f(a-4)+f(2a+1)<0。 解:(1)函数f(x)为R上的奇函数,下面证明: 令y=x=0,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0, 令y=-x,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(x)+f(-x),即0=f(x)+f(-x), 所以f(-x)=-f(x), 又f(x)定义域为R,关于原点对称, 所以f(x)为奇函数; (2)任取x1,x2,且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1), 因为x>0时,f(x)>0,且x2-x1>0, 所以f(x2-x1)>0,即f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1), 所以f(x)为R上的增函数, f(a-4)+f(2a+1)<0?f(2a+1)<-f(a-4)=f(4-a), 由f(x)为增函数得,2a+1<4-a,解得a<1. 所以不等式的解集为{a|a<1}. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是() 解:由已知条件f(x)为R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2有: f(x)为最小正周期为T=2的周期函数 f(x)的图像草图如下 直线y=x+a表示的是斜率k=1的一组平行直线

初中函数习题精选(附答案)

第四讲 函数 【例题精讲】 一、选择题 1.下列函数中,不是二次函数的是( ). (A ))32(2-=x x y (B )2 1 )21(22--=x y (C ))1)(1(21 +-= x x y (D )22)2(x x y --= 2.若y 与x 1成反比例,x 与z 1 成正比例,则y 是x 的( ) (A )正比例函数 (B )反比例函数 (C )一次函数 (D )二次函数 3.若点),(),,(),,(332211y x y x y x 都在反比例函数x y 1 - =的图象上, 并且3210x x x <<<,则下列各式中正确的是( ) (A )321y y y << (B )132y y y << (C )123y y y << (D )231y y y << 4.直线b kx y +=经过点)1,(m A 和),1(m B -,其中1>m ,则( ) (A )0,0<>b k (B )0,0>>b k (C )0,0<+-=>= -=-=x x y x x y x y x y ,其中y 随x 的增大而减小的函数有( ) (A )3个 (B )2个 (C )1个 (D )0个 二、填空题 5.抛物线1322 +-=x x y 的顶点坐标是__________. 6.已知函数c bx ax y ++=2的图象是以点(2,3)为顶点,并且经过点(3,1),求这个函数的解析式_________________. 7.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象与32 --=x y 的图象形状相同,开口方向也相同,又经过(-1,0),(0,6)两点,求这个二次函数的解析式_________________. 8.已知正比例函数x m y )12(-=的图象上两点),(),,(2211y x B y x A ,当21x x <,有 21y y >,那么m 的取值范围是______________. 9.若k 、b 是一元二次方程02 =-+q px x 的两个实数根)0(≠kb ,在一次函数b kx y +=中,y 随x 的增大而减小,则一次函数的图象一定经过第______________象限. 10.二次函数b ax x y ++=2 2的图象经过(2,3)点,并且其顶点在直线23-=x y 上,则_____________,==b a .

正弦定理知识点与典型例题

正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式:A +B +C =π;S =21ab sin C =21bc sin A ==2 1ca sin B ; sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2.三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-bb 时有一解. 也可利用正弦定理a A b B sin sin =进行讨论. 如果sinB>1,则问题无解;如果sinB =1,则问题有一解; 如果求出sinB<1,则可得B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”

幂函数的典型例题.doc

经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数,则幕函数y二___________________ . 解析:由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数, 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时,nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数; 当m = -l时,/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数,不合题意,舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华:求慕函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了;(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解:⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙,???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此,(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减,且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕,因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值,从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中,我们是利用幕函数的奇偶性,先把底数化为正数的幕解决的问题.当然,若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小,再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解:y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增,且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖, 易知0.严< 0.9心.

幂函数习题精选精讲

幂函数 函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学学习的始终,而幂函数是其中的一部分内容,这部分内容虽然少而简单,却包含了一些重要的数学思想.下面剖析几例,以拓展同学们的思维. 一、分类讨论的思想 例1 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y 轴对称,求n 的值,并画出函数的图象. 解:因为图象与y 轴无公共点,故2230n n --≤,又图象关于y 轴对称,则223n n --为偶数,由2230n n --≤,得13n -≤≤, 又因为n ∈Z ,所以0123n =±,,,. 当0n =时,2233n n --=-不是偶数; 当1n =时,2234n n --=-为偶数; 当1n =-时,2230n n --=为偶数; 当2n =时,2233n n --=-不是偶数; 当3n =时,2230n n --=为偶数; 所以n 为1-,1或3. 此时,幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=,其图象如图1所示. 二、数形结合的思想 例2 已知点(22),在幂函数()f x 的图象上,点124?? - ???,,在幂函数()g x 的图象上. 问当x 为何值时有:(1)()()f x g x >;(2)()()f x g x =;(3)()()f x g x <. 分析:由幂函数的定义,先求出()f x 与()g x 的解析式,再利用图象判断即可. 解:设()m f x x =,则由题意,得2(2)m =, ∴2m =,即2()f x x =.再令()n g x x =,则由题意,得1 (2)4n =-, ∴2n =-,即2()(0)g x x x -=≠.在同一坐标系中作出 ()f x 与()g x 的图象,如图2所示.由图象可知: (1)当1x >或1x <-时,()()f x g x >; (2)当1x =±时,()()f x g x =; (3)当11x -<<且0x ≠时,()()f x g x <. 小结:数形结合在讨论不等式时有着重要的应用,注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠. 三、转化的数学思想 例3 函数1 224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数,则实数m 的取值范围是( ) . A.(512)-, B.(51)-+,∞