数学运算入门基础

二、整除问题

（一）整除性质

如果整数a除以整数b（不为0），除得的商正好是整数，那么就称整数a能被整数b 整除，或者称整数b能整除整数a，并称整数a是整数b的倍数，整数b是整数a的约数。

1．数字整除的特性

在数学运算试题中，通常需要考生分析某一数值能否被常见数值整除，因此，我们只有熟悉能被常见数值整除的数字的基本特征，才能快速应用到试题的解答中。

表2 能被常见数值整除的数字的基本特征

在这些整除特点中，3（或9）的整除特点是行测考试中最常考的，7（11或13）和8（或125）的整除特点较难掌握，考查的可能性较小，但并不意味着不出现，其中对7的整除特性的考查就出现在2010年的试题中。此外，以上给出了能被11整除的数字的两种特征，这两个特征都可以用来判断一个数是否能被11整除。

2．整除的扩展特征

性质1：如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被数c整除；

性质2：如果数a能被数b整除，数b又能被数c整除，那么数a也能被数c整除；

性质3：如果数a能被数b与数c的积整除，那么数a也能被数b或数c整除；

性质4：如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么数a一定能被数b与数c的乘积整除；

性质5：如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除（m≠0）；

性质6：如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除；；

【经典例题】

例1：（2010·北京应届）有大、中、小三种文件夹，大文件夹里装的文件数是小文件夹的5倍，比中文件夹多100件，小文件夹里装的文件数是中文件夹的三分之一，三种文件夹共装了多少件文件？

A．300 B．420 C．450 D．550

【答案】C

【解析一】根据题意可知，大文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的5倍，中文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的3倍，故大、中、小三个文件夹里的文件数必能被5+3+1=9整除，分析选项，显然只有C项符合。

【解析二】根据题意，设小文件夹里的文件数为x件，则大文件夹里的文件数为5x件，中文件夹里的文件数为3x件，则有5x-3x=100，解得x=50，故三种文件夹共装了50×（5+3+1）=450件文件。

例2：（2009·国考）甲乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少本?

A．75 B．87 C．174 D．67

【答案】B

【解析】根据题意，由于“甲有专业书13%”，故甲拥有的图书的数量必为100或者200（13为质数，且总数目为260），则此时乙拥有的图书的数量只能为160或者60。由于“乙

有专业书12.5%（1

8

）”，这就意味着乙拥有的图书的数量必能被8整除，故乙只能拥有160

本图书。此时甲的非专业书为（260-160）×（1-13%）=87本。

例3：（2009·浙江）甲、乙两个工程队，甲队的人数是乙队的70%。根据工程需要，现从乙队抽出40人到甲队，此时乙队比甲队多136人，则甲队原有人数是：A．504人B．620人C．630人D．720人

【答案】A

【解析一】由于“甲队的人数是乙队的70%”，故甲队原有人数必能被7整除，排除B、D项；且乙队原有人数必能被10整除，故乙队人数的尾数必为0。根据“现从乙队抽出40人到甲队”可知，此时甲队人数的尾数与原有人数的尾数相同，由于“此时乙队比甲队多136人”可知，甲队人数的尾数为0-6的尾数，即为4，分析选项，显然只有A项符合。

【解析二】根据题意，设甲队原有x人，乙队有y人，则有

70%

4040136

x y

y x

=

?

?

-=++

?

，解得

x=504。

【名师点睛】在解答试题时，可结合其他运算技巧，如尾数法、归纳法等等，从而提高解题速度。

例4：（2010·上半年联考）n为100以内的自然数，那么能令2n-1被7整除的n有多少个？

A．32 B．33 C．34 D．35

【答案】C

【解析】由于n为100以内的自然数，当n=0时，2n-1=0，能被7整除；当n=1时，2n-1=1，被7除余1；当n=2时，2n-1=3，被7除余3；当n=3时，2n-1=7，能被7整除；当n=4时，2n-1=15，被7除余1，当n=5时，2n-1=31，被7除余3……以此类推，当n取3的倍数时（除去0），能被7整除，由于101÷3=33……2，则这样的n值有33+1=34个。

【名师点睛】在解答整除问题时，通常会用到以下几点：

（1）如果A是B的n倍，则（A+B）能被（n+1）整除，（A-B）能被（n-1）整除；如果A比B多n倍，则（A+B）能被（n+2）整除；

（2）如果A、B均为整数，a与b互质，且有A=B×a

b

，则A一定能被a整除，B一定

能被b整除；

例5：（2010·北京下半年）将大米300袋、面粉210袋、食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，则该村有多少户村民？

A．7 B．9 C．13 D．23

【答案】D

【解析一】由于余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2且都为整袋，因此余下的大米、面粉和食用盐的总袋数为6的倍数，因此三项物资的总数除以村民户数所得余数是6的倍数，代入选项验证，只有D符合条件。

【解析二】根据题意，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，故余下的大米和食用盐的袋数和面粉的袋数相同，则有大米和食用盐的袋数减去面粉的袋数，即300+163- 210=253必能被村民的户数整除，分析选项，显然只有D项符合。

【名师点睛】假设整数A除以整数C的余数为a，整数B除以整数C的余数为b，则（A-a）-（B-b）必能被整数C整除；如果a=b，则（A-B）必能被整数C整除。

（二）奇数与偶数

根据能否被2整除，可将整数分为奇数和偶数两大类，其中能被2整除的数叫做偶数，用2k（k为整数）表示；不能被2整除的数叫做奇数，用2k+1表示。因为0能被2整除，所以0是偶数。

在行测考试数学运算部分，常用到的奇数与偶数的性质有以下几个：

（1）当两个数字相加减，且数字的奇偶性相同时，得到的和值或者差值为偶数，反之，则为奇数；

如：奇数±奇数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±偶数=偶数。

（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数；

（3）在整数的加减运算中，偶数的个数不改变结果的奇偶性，奇数的个数将会影响结果的奇偶性；

如：奇数+偶数+偶数+……+偶数-奇数=偶数；奇数+偶数+偶数+……+偶数-奇数+奇数=奇数。

即：当奇数的个数为奇数个时，加减运算后得到的结果为奇数，当奇数的个数为偶数个时，加减运算后得到的结果为偶数。

（4）在整数的乘法运算中，若乘数全部为奇数时，得到的结果为奇数，若乘数有一个或多个偶数时，得到的结果就为偶数；

如：奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数×奇数×……×奇数×偶数=偶数。

（5）多次方运算后（指数为正整数），不影响数值的奇偶性。

【经典例题】

例1：（2008·国考）若x、y、z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z，则下列表达式是正奇数的是：

A．yz-x B．（x-y）（y-z）C．x-yz D．x（y+z）

【答案】B

【解析】根据题意，由于x、y、z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z，因此x、y、z 的奇偶性有两种可能：（1）x、y、z为奇数、偶数、奇数，那么根据数字的奇偶性质，可排除C项；（2）x、y、z为偶数、奇数、偶数，那么根据数字的奇偶性质，可排除A、D两项。从而得到答案选B。

【名师点睛】由于x、y、z是三个连续的负整数，且连续两个整数的差必为1或者-1，同时x＞y＞z，故x-y=y-z=1。

例2：（2007·浙江）同时扔出A、B两颗骰子（其六个面上的数字都为1，2，3，4，5，6），问两颗骰子出现的数字的积为偶数的情形有几种？

A．27种B．24种C．32种D．54种

【答案】A

【解析】根据奇数与偶数的乘法运算性质，要使得两颗骰子出现的数字的积为偶数，可分为两种情况：（1）A出现的数字为奇数且B出现的数字为偶数，A出现奇数的可能性为3种，而B出现偶数的可能性亦有3种，所以积为偶数的有3×3=9种；（2）A出现的数字为偶数，有3种可能性，则此时B出现任意数都满足条件，共有6种情况，所以积为偶数的有3×6=18种。从而有积为偶数的情形共有9+18=27种。

（三）质数与合数

如果一个大于1的正整数，除了1和它本身，不再有别的约数，那么这个正整数就被称为质数，或者素数。如果一个正整数除了1和它本身，还有其他的约数，那么这个正整数被称为合数。

在行测考试数量关系部分，常用到的数字质合性有以下几点：

（1）0和1既不是质数，也不是合数；

（2）在自然数的范围内，最小的质数是2，2也是唯一的偶质数，最小的合数是4。

在近几年，经常会考查考生对100以内的中质数和大质数的敏感程度，因此考生需要记住100以内的25个质数，并保持足够的敏感度，为了便于考生记忆，我们将这25个质数分类列于下表中。

表3 100以内质数表

【经典例题】

例1：（2008·河北）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】A

【解析】根据题意，由于N的个位数与十位数均是质数，故组成N的数字只能是2、3、5、7，由这四个数字组成的两位数为质数的有23、37、53、73，共4个。

例2：（2008·云南）有7个不同的质数，它们的和是58，其中最小的质数是多少？

A．2 B．3 C．5 D．7

【答案】A

【解析】根据题意可知，7个不同的质数的和为58，是偶数，依据数字的奇偶性可知，如果7个质数均为奇数，则它们的和应为奇数，这与题意矛盾，故这7个质数中必含有偶数。质数中唯一的偶数为2，且2是最小的质数，因此，这7个质数中最小的质数为2。

【名师点睛】奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数。

（四）公约数与公倍数

如果一个自然数a能被自然数b（b≠0）整除，则称自然数a为自然数b的倍数，自然数b为自然数a的约数。

几个自然数公有的约数，称为这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。几个自然数公有的倍数，称为这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。

在求解几个自然数的最大公约数时，通常采用短除法求解，即先用共同的因数连续去除，直到所得到的商互质为止，然后把所有的因数连乘起来就得到这几个数的最大公约数；求解几个自然数的最小公倍数时，可先将这几个自然数分解质因数，然后将所有的质因数相乘（相同的质因数只需乘一次即可），得到的数值即为这几个数的最小公倍数。

在求解最大公约数或者最小公倍数时，考生需要注意以下几点：

（1）两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积，这就是说，求两个数的最小公倍数时，可以先求出两个数的最大公约数，再用这两个数的最大公约数去除这两个数的积，所得的商就是这两个数的最小公倍数；

（2）两个数的最小公倍数和最大公约数的和或差也是最大公约数的整数倍；

（3）互为质数的几个数的最大公约数是1。

【经典例题】

例1：（2008·国考）甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？

A．10月18日B．10月14日C．11月18日D．11月14日【思路点拨】“每隔n天去一次”意味着“每n+1天去一次”，要使得四人相遇，题目转化为求解5+1=6，11+1=12，17+1=18，29+1=30的最小公倍数的问题。

【答案】D

【解析】由于6、12、18、30的最小公倍数为180，即180天后四个人会在图书馆再次相遇。180天大概为六个月左右，可排除A、B两项；由于5月、7月、8月、10月有31天，故四人相遇的日期必在11月18日之前（实际上在11月14日），排除C项。从而可得答案选D。

例2：已知自然数A、B满足以下两个条件：（1）A、B不互质；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？

A．20 B．25 C．30 D．35

【答案】B

【解析】由于A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数，且A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，故35必然是两数最大公约数的倍数。由于35=1×5×7，且A、B不互质，则A、B的最大公约数可能是5或7。如果A、B的最大公约数是5，则最小公倍数是35-5=30，由于两数不互质，故有A=10、B=15或A=5、B=30；如果A、B的最大公约数是7，

则最小公倍数是35-7=28，此时有A=7、B=28。所以A+B的最小值为10+15=25。

三、余数问题

（一）余数的概念与性质

对任意整数a、b，b＞0，存在唯一的整数q、r，使a=b×q+r，其中0≤r＜b，此时称为带余除法定理，其中称r为被除数a对除数b的余数。

在近几年的行测考试中，对余数的考查通常有以下几点：

（1）被除数不一定小于除数，但余数一定小于除数；

（2）在解题时会融合其他数字性质，如整除特性等，从而提高解题的速度。

【经典例题】

例1：（2007·北京）一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。问：被除数、除数、商以及余数之和是多少？

A．98 B．107 C．114 D．125

【答案】D

【解析】根据题意可知，被除数为两位数，除数为一位数，余数为8，由于余数一定小于除数，故除数只能为9；商值为两位数，若为11，则被除数为11×9+8>100，不符合题意，故商值只能为10，此时被除数为10×9+8=98，符合题意。从而有被除数、除数、商以及余数之和为98+9+10+8=125。

例2：（2010·浙江）某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少61人，男会员的人数比女会员的3倍多2人，问该俱乐部共有会员多少人？

A．475 B．478 C．480 D．482

【答案】D

【解析一】由于“女会员的人数比男会员的一半少61人”，即该俱乐部的会员人数加上61是3的倍数，即能被3整除；由于61除以3余1，故俱乐部的人数除以3余2，分析选项，只有D项符合。

【解析二】根据题意，设俱乐部中女会员有x人，男会员有y人，则有

1

61

2

32

x y

x y

?

=-

?

?

?+=

?

，

解得x=120，故该俱乐部共有会员120+120×3+2人，根据首尾数法可知，该值的尾数为0+0×3+2的尾数，即为2。

【名师点睛】一个数能被3整除，则这个数的各个数字之和能被3整除；一个数除以3的余数等于这个数各个数字之和除以3的余数。

（二）同余的概念与性质

假设m是一个给定的大于1的正整数，如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a、b对模m同余。如510和288这两个数，被37除所得的余数相同，那么称510和288对于模37同余。在行测考试中，常用到的同余的性质有以下几点：

表4 常用同余性质

【经典例题】

例1：（2010年·新疆）二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈连续报数。如果报2和200的是同一个人，那么共有多少个小朋友？

A．22 B．24 C．27 D．28

【答案】A

【解析】根据题意，由于报2和200的是同一个人，这就意味着2与200对小朋友的个数同余，则200-2=198必能被小朋友的个数整除，分析选项，只有A项符合。

例2：已知A商店有1瓶可乐，B商店有22瓶可乐，……，I商店里面99瓶可乐，要将这些可乐平均分给6个商店，则最后还剩下几瓶可乐？

A．2 B．3 C．4 D．5

【思路点拨】根据题意，A商店到I商店共有可乐11+22+33+……+88+99瓶，要平均分给6个商店，则问题转化为求11+22+33+……+88+99除以6的余数。

【答案】D

【解析】（1）由于6能被6整除，所以66能被6整除；（2）由于5被6除余5，所以55被6除余5；（3）由于4被6除余4，所以44除6余4；（4）由于9、3被6除余3，所以99、33被6除余3；（5）由于8被6除余2，故88被6除余2；（6）由于7、1被6除余1，所以77、11被6除余1；（7）值得注意的是，由于22=4<6，故22被6除余4。从而有11+22+33+……+88+99与1+4+3+4+5+0+1+2+3=23被6除同余，所以平均分给6个商店之后还剩下23÷6=3……5瓶。

【名师点睛】在使用同余的可乘方性时，需要注意乘方运算后的数值与除数的大小关系，如果乘方后的数值小于除数，则进行乘方运算后的数值与原数值不同余。

（三）中国剩余定理

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数。”这个问题就是著名的“孙子问题”，在国际上被称为“中国剩余定理”。

在行测考试中，一般考查的是特殊的中国剩余定理试题，针对此种情况，我们给出了特殊中国剩余定理问题的核心口诀和解释，以帮助考生理解和记忆。

核心口诀：“余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数作周期。”

余同：一个数除以几个不同的数，得到的余数相同。

此时该数可以用除数的最小公倍数加上这个相同的余数——余同取余。

例题：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，余数相同且为1，故这个数的通式可表示为60n+1（n为整数）。

和同：一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同。

此时该数可以用除数的最小公倍数加上这个相同的和数——和同加和。

例题：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，由于4+3=5+2=6+1=7，和值相同为7，故这个数值的通式可表示为60n+7（n为整数）。

差同：一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同。

此时该数可以用除数的最小公倍数减去这个相同的差数——差同减差。

例题：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，由于4-1=5-2=6-3=3，差值相同为3，故这个数的通式可表示为60n-3（n为整数）。

【经典例题】

例1：（2010·湖北）自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的三位数有几个？

A．8 B．9 C．15 D．16

【答案】C

【解析】根据题意，自然数N除以6、5、4的余数相同，且为3，根据“余同取余，最小公倍数做周期”可知，自然数N可表示为60n+3（n为整数），由100≤60n+3≤999得，1＜n＜17，从而有n=2、3、…、16，即符合条件的三位数有15个。

例2：（2006·国考）一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：

A．5个B．6个C．7个D．8个

【答案】A

【解析】由于5+2=4+3=7，和值相同，且4、5的最小公倍数为20，根据“和同加和，最小公倍数做周期”，故满足“除以5余2，除以4余3”条件的数可表示为20n+7，即该数值除以20余7，又因为该数“除以9余7”，余数相同，且9、20的最小公倍数为180，根据“余同取余，最小公倍数做周期”，故满足题意的数可表示为180n+7（n为整数），且有100≤180n+7≤999，即1≤n≤5，n=1、2、3、4、5，共5个。

四、数字重组

数字重组问题是公务员考试数学运算部分常考题型之一，侧重考查考生对数字基本特性的掌握程度，通常此类问题都比较灵活，试题整体难度不大，但是常用的方法，如：代入法等都不再适用，因此，掌握此类问题解答的方法就显得尤为重要。根据数字重组常见题型的不同，解题方法可分为以下两种：

（1）分解质因数，找到解题的突破口

如果一个质数是某个数字的约数，那么就称这个质数是这个数的质因数。把一个合数用几个质数相乘的形式表示就称为分解质因数。通过分解质因数可以分析数字的特征，从而得到解题的突破口。

（2）找到分类点，分析分类标准，得到最终结果

数字重组问题中通常会有一类题型，试题中暗含着一定的分类方法，解题时需要找出试题的分类点，考生需要通过分析分类标准，才能计算每一类分类标准中含有的情况数，从而

最终得到正确结果。此类试题的突破点是正确提取试题的分类标准，从而快速排除交叉点。

【经典例题】

例1：（2008·国考）编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5，共3个数字），问这本书一共有多少页？

A．117 B．126 C．127 D．189

【思路点拨】解答本题的关键点是要明确页码所用数字的分类点：（1）用一个数字的页码，如4；（2）用两个数字的页码，如34；（3）用三个数字的页码，如134。

【答案】B

【解析一】根据各个选项可知，这本书的最大页码必为三个数，故这本书各个页码包含的数字个数有三类：一个数、两个数和三个数；（1）一个数，即1~9，共9个数字；（2）两个数，即10~99，共（99-10+1）×2=180个数字；（3）三个数，共有数字270-9-180=89个，即有89÷3=27页。所以这本书的最大页码为99+27=126页。

【解析二】根据题意及选项可知，这本书的页码在100~200之间，假如每个页码均为三个数字，如1可认为是001，则共用去270+9×2+（99-10+1）=378个数字，故这本书共有378÷3=126页。

例2：（2007·国考）把144张卡片平均分成若干盒，每盒在10张到40张之间，则共有（）种不同的分法。

A．4 B．5 C．6 D．7

【思路点拨】对于这道题目，如果按照题意直接解题，思路不好展开，但是从质因数方面考虑，便能轻松地简化问题。

【答案】B

【解析】将144分解质因数有144=2×2×2×2×3×3，从而有144的约数有2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72，在10到40之间的约数是12、16、18、24、36，共5个，故有5种不同的分法。

例3：（2011·浙江）一个三位数的各位数字之和是16。其中十位数字比个位数字小3。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？

A．169 B．358 C．469 D．736

【答案】B

【解析一】根据题意，设原来的三位数的百位数、十位数与个位数分别为x、y、z，则原来的三位数为100x+10y+z，新的三位数为100z+10y+x，从而有100x+10y+z+495=100z+ 10y+x，整理得z-x=5，排除A、D项；由于原三位数的各位数字之和是16，分析选项，排除C项。

【解析二】根据题意，由于三位数的各位数字之和为16，排除C项，由于新的三位数比原三位数大495，故三位数的个位数与百位数奇偶性不同，排除A项，且原三位数的百位数要小于个位数，排除D项。

五、数列求和

所谓数列，指的是按照一定次序排列的一列数值。在行测考试中，经常遇到求和问题的数列大多是等差数列和等比数列。由于等差数列与等比数列具有一定的相似性，我们将这两种数列的常考点列在下表中，以供考生对比复习。

表5 等差数列和等比数列的常考点对比

在解答等差数列求和问题时，还需要注意以下几点：

（1）若三个数a 、A 、b 组成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A 2a b +=

； （2）在等差数列{a n }中，当项数n 为奇数时，有12n n S a n

+=

；当项数n 为偶数时，有1222n n n S a a n

++=

。 对于既非等差数列也非等比数列的数列求和时，可以采用以下解题方法：

（1）分组求和法 将数列适当拆分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将和值合并即可；

（2）裂项相消法 一般应用在通项如A n n d ?+（）

的分式数列求和问题中； （3）利用项与项之间的关系 一般地，当给出第（n +1）项和第n 项的计算关系式时，可以通过对此关系式的化简整理，然后再进行求和。

【经典真题】

例1：（2009·国考）学校用从A 到Z 的顺序给班级编号，再按照班级号码在后面加01、02、03、…的顺序给学生编号，已知从A ～K 每个班级是按照15的数量依次递增1人，之后依次递减2人，那么第256名同学的编号是多少?

A ．M12

B ．N11

C ．N10

D ．M13

【答案】D

【解析】根据题意，从A~K 共11个班级，每个班级人数递增1人，依据等差数列通项公式有K 班学生有15+11-1=25人，由求和公式可知从A 到K 班共有1525112

+?（）=220人。则K 班之后有学生256-220=36人，此时L 班有25-2=23人，剩余的36-23=13人在M 班，且第256名学生编号为M13。

例2：（2008·国考）小华在练习自然数求和，从1开始，数着数着他发现自己重复数了一个数。在这种情况下，他将所数的全部数求平均，结果为7.4，请问他重复的那个数是：

A ．2

B ．6

C ．8

D ．10

【思路点拨】假设小华对n 个自然数求和，则这n 个自然数之和为7.4n ，必为一自然数，这就意味着n 的尾数只能是0或者5。

【答案】B

【解析】如果n =5，则这5个自然数的平均数必小于5<7.4，显然不符合题意；如果n =10，

则这10个自然数和的最大值必小于等于2

991?+）（+9=54<7.4×10，错误；如果n =15，则这

15个自然数和的最大值必大于214141?+）（=105<7.4×15，小于等于2

14141?+）（+14=119> 7.4×15，故重复的数字为7.4×15-2

14141?+）（=111-105=6。 六、日期年龄

（一）日期问题

闰年的判定口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰，三千二百年再不闰。

非100倍数的年份中，能被4整除的年份是闰年；100倍数的年份中，能被400整除的年份是闰年，如1900、2100、2200、2300、……不是闰年，2000年是一个千禧闰年。值得注意的是能被400整除的年份中3200年不是闰年。

大小月的判定：1、3、5、7、8、10、12月，每月有31天，被称为大月，除2月外，其余月份每月有30天，被称为小月，值得注意的是闰年的2月有29天，平年有28天。

星期数的判定：一周有7天，过7的整数倍天，星期数不变。过一个平年，星期数推后一天；过一个闰年，星期数推后两天。

【经典例题】

例1：（2009·浙江）已知2008年的元旦是星期二，问2009年元旦是星期几？

A ．星期二

B ．星期三

C ．星期四

D ．星期五

【答案】C

【解析】由于2008年到2009年是一闰年，因此星期数需要推后两天，故2009年元旦是星期四。

【名师点睛】每过一年，有七个大月，由于（31-28）×7是7的整数倍，所以大月不会改变星期数，还有四个小月，（30-28）×4=7+1，所以小月把星期数推后一天。若是平年，2月有28天，（28-28）×1为零，所以不会改变星期数，若是闰年，2月有29天，（29-28）×1，把星期数推后一天。

例2：（2010·新疆）某单位实行五天工作制，即星期一到星期五上班，星期六和星期日休息，现已知某月有31天，且该单位职工小王在家休息了9天（该月没有其他节日），则这个月的6号可能是下列四天中的哪一天？

A ．星期五

B ．星期四

C ．星期三

D ．星期一

【答案】A

【解析】根据题意，小王在家休息了9天，则本月为9个休息日，而每月最少有287×2=8个休息日（每月的天数最少为28天），则其中一个休息日应该在1号或者31号。如果休息日是1号，则1号应为星期日，此时6号为星期五，选A 项；如果休息日是31号，则31号应为星期六，此时6号为星期二，选项中无此答案。

（二）年龄问题

年龄问题是行测考试的常见题型，它的核心是两个年龄的差值是个不变量，而两个年龄之间的倍数关系却随着时间的改变而改变。在解答年龄问题时，常用的方法有代入法、列表法和列方程法。具体如下：

（1）代入法 将选项所给的年龄代入验证，此方法在试题简单时，比较实用；

（2）列表法 将试题中涉及的人和不同阶段的年龄对应列表，如下表所示：

表6 不同年龄段的年龄对应表

其中表中对应位置的差相等，即a -x =b -y ，m -a =n -b ，m -x =n -y ，x -y =a -b =m -n 等，在解题时利用这些等式中的两个或几个就可以求得所需的年龄值；

（3）列方程法 根据题意，设出不同人现在的年龄，比如将甲、乙现在的年龄设为x 和y ，根据“经过相同年份，年龄差相等”列方程，求解现在的年龄。

【经典例题】

例1：（2008·国考）5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y 表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄？

A ．6y ＋5

B ．53y ＋10

C ．103y -

D ．3y －5

【答案】A

【解析】根据题意，设乙当前年龄为x ，则可列表如下：

根据“5年前甲的年龄是乙的三倍”可知，2

=3×（x -5），化简得x =6y +5。 例2：（2010·国考）一位长寿老人生于19世纪90年代，有一年他发现自己年龄的平方刚好等于当年的年份。问这位老人出生于哪一年?

A ．1894年

B ．1892年

C ．1898年

D ．1896年

【答案】B

【解析】根据题意，该长寿老人在某一年的年龄平方数刚好等于当年的年份，根据常识该年应在20世纪，若老人此时40岁，则该年应为1600年，不符合题意，若老人此时45岁，则该年应为2025年，老人的出生年份为2025-45=1980年，不符合题意；故老人的年龄应为40~45岁之间。

假设老人当年的年龄为x 岁，则老人出生年份为x 2-x =x （x -1），故老人的出生年份可能为41×40，42×41、43×42、44×43，由于43×42=1806，远低于19世纪90年代，不符合题意，显然其出生的年份只能为44×43，根据首尾数法可知，该值的尾数为2，故这位老人出生于1892年。

七、排列组合

在近几年的行测考试中，加法原理和乘法原理是应用于排列组合问题和概率问题最常用、最基本的两个原理。

加法原理：完成一件事有n 种不同的途径，而每种途径又有M i 种方法，那么完成这件

事共有N种方法，且N=M1+M2+……+M n。

乘法原理：完成一件事有n个步骤，其中每步又有M i种方法，那么完成这件事情共有N种方法，且N=M1×M2×……×M n。

所谓排列是指，从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素排成一列（即排序），所有不同的排列个数称为从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素的排列数，记作P m

n

，其中

P m

n

=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

所谓组合是指，从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素拼成一组（即不排序），所

有不同的组合个数称为从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素的组合数，记作C m

n

，其

中

P!11

C

P!!!

m

m n

n m

m

n n n n m

m n m m

--+

===

-

（）（）

（）

，且有C m

n

=C n m

n

-。

通过对近几年的行测考试试题的分析可以发现，排列组合问题的解题方法通常有以下几

种：

表7 排列组合问题中常用解题方法

【经典例题】

例1：（2011·国考）甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男、女各半。现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员的比重不得低于一半，且每个科室至少选1人。问有多少种不同的选法？

A．67 B．63 C．53 D．51

【思路点拨】根据题意，“要求女职员的比重不得低于一半”，且选出的总人数为4人，故女职员的人数不得低于4×50%=2人。

【答案】D

【解析一】直接法。要求女职员的人数不得低于2人，故存在三类情况：（1）女职员人数为4人，共有1种选法；（2）女职员人数为3人，共有13

44

C C=16种选法；（3）女职员人

数为2人时，若两人不在一个部门，有112

224

C C C=24种选法，若两人在一个部门，有2+2×

1

122C C =10种选法，

共有24+10=34种选法。因此，满足条件的选法共有1+16+34=51种选法。 【解析二】间接法。从两个科室8名职员中选出4名参加培训，共有48C =70种选法。

若选出的全部是男职员，共有1种选法；若选出男职员有3人，共有1

344C C =16种选法；若

选出的2名男职员和2名女职员均在同一个部门，则有2种选法。因此，满足条件的选法共有70-1-16-2=51种不同的选法。

例2：（2010·国考）某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?

A ．7

B ．9

C ．10

D ．12

【答案】C

【解析】根据题意，该单位共订阅30份学习材料，则每个部门的材料数可能的分布情况有（9，9，12）、（9，10，11）、（10，10，10），共三种。若采用（9，9，12）的发放方法

发放，共有13

C =3种；若采用（9，10，11）的发放方法发放，共有1132C C =6种；若采用（10，10，10）的发放方法发放，共有1种。依据加法原理可知，共有3+6+1=10种不同的发放方法。

例3：（2008·国考）一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

A ．20

B ．12

C ．6

D ．4

【思路点拨】由于要保持3个节目的相对顺序不变，则需采用“插空法”解答。

【答案】A

【解析】根据题意，需要分两步来插入这2个新节目。第一步，插入第一个新节目，由于3个节目形成4个空位，则共有1

4C =4种方法；第二步，插入第二个新节目，由于4个节

目形成5个空位，则共有15C =5种方法。根据乘法原理可知，共有4×

5=20种方法。 例4：（2010·湖北）有颜色不同的五盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏、四盏或五盏，并按一定次序挂在灯杆上表示不同的信号，这些颜色不同的灯共可表示多少种不同的信号？

A ．240

B ．300

C ．320

D ．325

【答案】D

【解析】根据题意，由于不同盏数不同颜色表示不同信号，则可分类讨论。第一类，使用一盏灯，共可表示15P =5种信号；第二类，使用两盏灯，共可表示2

5P =20种信号；第三类，使用三盏灯，共可表示35P =60种信号；第四类，使用四盏灯，共可表示45P =120种信号；第五类，使用五盏灯，共可表示55P =120种信号。依据加法原理可知，共可表示5+20+60+120+ 120=325种信号。

例5：（2010·广东）春节前单位慰问困难职工，将10份相同的慰问品分给6名职工，每名职工至少要分得1份慰问品，分配方法共有：

A ．84种

B ．126种

C ．210种

D ．252种

【思路点拨】根据题干，要将10份相同的慰问品分给6名职工，实质是将一个整体分成6部分，因此，可应用插板法。

【答案】B

【解析】根据题意，10份慰问品可形成9个空，故只需插入5个板就可分成6部分，共有59C =126种分配方法。

【名师点睛】在解答排列组合试题时，首先要明确的是采用乘法原理还是加法原理，然后运用排列组合公式计算。乘法原理就是分几个步骤，而加法原理是分几种途径。在解题时一般既会用到乘法原理又会用到加法原理，因此，考生必须能准确区分乘法原理和加法原理。

八、概率问题

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的概率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）。计算公式可表示为：

P A 符合要求的可能结果数（事件的概率）所有可能的结果总数

此外，在行测考试中，还会经常遇到条件概率问题。所谓条件概率是指在事件A 发生（P （A ）>0）的前提下，事件B 发生的概率等于事件A 、B 同时发生的概率与事件A 发生的概率之商，即P （B ∣A ）=P A B P A （）（）

。 在解答此类问题时，通常采用以下解题步骤：第一步，列出所有的可能的结果总数；第二步，列出符合要求的可能结果的数目；第三步，用符合要求的可能结果数除以所有可能的结果数。

【经典例题】

例1：（2009·国考）当第29届奥运会于北京时间2008年8月8日20时正式开幕时，全世界和北京同一天的国家占：

A ．12以下

B ．12

C ．12以上

D ．全部

【答案】C

【解析】根据常识可知，北京处于东八区，用+8表示，当北京时间为晚八点时，格林威治时间正好处于正午12点，理论上，全球均为8月8号，但是还有特殊的国家存在，如：汤加，其为+13区，此时已经处于8月9日，故全世界和北京处于同一天的国家占12

以上。 例2：（2010·贵州）一个办公室有2男3女共5个职员，从中随机挑选出2个人参加培训，那么至少有一个男职员参加培训的可能性有多大？

A ．60%

B ．70%

C ．75%

D ．80%

【答案】B

【解析】根据题意，从5个职员中随机挑选出2个人参加培训有2

5C =10种情况，如果其中至少有1人为男职员的情况，共有25C -23C （2人均为女职员）=7种情况，故至少有一

个男职员的可能性为710

=70%。 例3：（2009·浙江）小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？

A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

【思路点拨】根据题意，由于其中一颗是牛奶味，要求出另一颗也是牛奶味的概率的问题是条件概率问题，可依据味的概率

其中至少一颗糖是牛奶率两颗糖均为牛奶味的概计算， 【答案】C

【解析】根据题意，两颗糖均为牛奶味的概率为2224

C 1C 6=，其中至少一颗糖是牛奶味的概率=1-两颗糖均不是牛奶味的概率=1-22

24C 151C 66

=-=，故另一颗糖也是牛奶味的概率为151665

÷=。 专项练习

1．某单位有工作人员48人，其中女性占总人数的37.5%，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的40%，问调来几名女性？

A ．1人

B ．2人

C ．3人

D ．4人

2．5个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少不同种方法？

A ．120

B ．24

C ．60

D ．30

3．小华4年后年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍，小华和小丽今年的年龄分别是多少岁？

A ．10 18

B ．4 12

C ．5 13

D ．6 14

4．四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那到菜。问共有几种不同的尝法？

A ．6种

B ．9种

C ．12种

D ．15种

5．学生在操场上列队做操，只知人数在90~110之间。如果排成3排则不多不少；排成5排则少2人；排成7排则少4人；则学生人数是多少人?

A ．102

B ．98

C ．104

D ．108

6．有一个自然数“x ”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“x ”除以12的余数是多少？

A ．1

B ．5

C ．9

D ．11

7．现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？

A ．5次

B ．6次

C ．7次

D ．8次

8．教室里有若干学生，走了10名女生后，男生人数是女生的2倍，又走了9名男生后，女生人数是男生的5倍，则最初教室里有（ ）人。

A．15 B．20 C．25 D．30

9．某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都有从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少？

A．2 B．60 C．240 D．298

10．一道多项选择题有A、B、C、D、E五个备选项，要求从中选出2个或2个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对这道题的概率是：

A．

1

15

B．

1

21

C．

1

26

D．

1

31

标准答案与解析

1．B 解析：根据题意，调来几名女性之后该单位的工作人员总人数必能被5整除，这就意味着总人数的尾数为0或5，同时也意味着调来的女性的人数的尾数为2或7，分析选项，只有B项符合。

2．B 解析：需要考虑5个人的左右位置，故共有5

5

P÷5=24种不同种方法。

3．C 解析：根据题意可知，3年后两人的年龄和为3的倍数，又因为3年后两人的年龄和=今年两人的年龄和+6，所以今年两人的年龄和为3的倍数，分析选项，显然只有C 项符合。

4．B 解析：根据题意，假设四位厨师分别为甲、乙、丙、丁，四道菜分别为A、B、C、D

以上也将是唯一的分配方式。

5．D 解析：根据题意可知，学生人数是3的倍数，且其加2是5的倍数，加4是7的倍数。四个选项中只有108满足该条件。

6．D 解析：该值加1后能同时被3和4整除，即加1后能被12整除，故被12除的余数为11。

7．B 解析：要保证每枚硬币反面朝上，则每枚硬币翻转的次数必为奇数，从而6枚硬币翻转的总次数为偶数，排除A、C项。要使所翻转的次数最少，每次不动的那枚硬币一定不同，即每枚硬币的翻转几率相同，故总次数能被6整除。

8．C 解析：由“走了10名女生后，男生人数是女生的2倍”可知，教室总人数减去10之后能被3整除，分析选项只有C项符合。

9．B 解析：根据题意，最后剩下的240人在总厂工作了30天，完成工作量240×30=7200。

因此总厂派往分厂工作的人的工作量为8070-7200=870。总厂派到分厂的工人人数必

能整除870，且为30的倍数，分析选项，只有B 项符合。

10．C 解析：每个选项均有选与不选两种情况，故所有选项共形成25=32种情况，去掉只

选0个选项和1个选项的情况，即32-1-5=26种情况，那么猜对这道题的概率是26

1。 二、列方程法

列方程法，是将题干中的某些未知量或者待求解量设为未知数，根据题干中的等量关系列出等式进而求解的方法。列方程法是数学运算部分最基础的方法之一。根据设置的未知数与列出的方程的个数，可将方程分为常规方程和不定方程两种。常规方程是未知数的个数与方程数相等，不定方程是未知数的个数多于方程的个数。常规方程和不定方程有着不同的解题方法，以下将会具体讲解。

（一）常规方程

常规方程比较简单，一般设置待求解值为未知数，之后根据题干中的等量关系来列方程，主要应用在行程问题、比例问题等等。采用此种方法的关键是要正确分析、找出问题中的数量关系，进而找到等量关系。在解题或者寻找等量关系时，可以通过列表（如年龄问题等）、画图（如行程问题等）等比较直观的方式来理清题干的数量关系。

采用列方程法解题时，通常按照以下步骤解答：

（1）理出题干中的数量关系，设置合理的未知数；

（2）准确迅速地找出题干中的等量关系，列出方程式或者方程组；

（3）采用等式的相关性质，解得未知数。

【经典例题】

例1：（2009·国考）甲、乙两人卖相同数目的萝卜，其中甲打算卖1元2个，乙打算卖1元3个，后来甲、乙一起以2元5个的价钱把萝卜卖了出去，结果比预期的收入少了4元钱。问：甲、乙两人共有萝卜多少个?

A ．420

B ．120

C ．360

D ．240

【答案】D

【解析】根据题意，设甲、乙两人均有x 个萝卜，依据实际收入比预期收入少了4元这一等量关系可得x x 3121+45

22=?-x ，解得x =120。故甲、乙两人共有240个萝卜。 例2：（2010·广东）某单位一次业务考试有52人参加，共考5道题，每道题做错的人数如下：第一题4人，第二题6人，第三题10人，第四题20人，第五题39人。已知每人至少做对1道题，做对1道题的共7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和做对3道题的人数一样多，那么做对4道题的有：

A ．30人

B ．31人

C ．32人

D ．33人

【思路点拨】根据题意，由于做对2、3、4道题的均未知且做对2道题和3道题的人数相同，故涉及到两个未知量，从而需要寻找到两个等量关系，其一，参加考试的总人数一定；其二，做题的总人次一定。值得注意的是做题的总人次=做对题目的总人次+做错题目的总人次=参加考试的人数×单份试题题量。

【答案】B

【解析】根据题意，设做对4道题的有x 人，做对2和3道题的均有y 人，且做错题的总题次为4+6+10+20+39=79题次，依据参加的总人数相同和做题的总题次一定这两个等量

关系可得7852172345579525y y x y y x ++++=??

?++++?+=??，解得313

x y =??=?，因此，做对4道题的有31人。 （二）不定方程

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数，比如3x -2y =4就是不定方程。不定方程的解是不确定的，一般总有无穷多解，但是在行测考试中，会通过某些限制条件，使得最终得到唯一的解。通常来说，求解不定方程常用的方法有以下几种：

（1）估值试验法 即将某个未知数所有可能值都列出来，逐个尝试，确定哪个值满足条件；

（2）整数分离法 首先将方程变形，用其中一个未知数表示另一个未知数；其次将代数式中的整数部分分离出来；最后在一定范围内进行试验；

（3）奇偶性与整除分析法 即充分注意方程的特点，通过分析数字的奇偶性与整除特性，从而达到顺利解题的目的。

在行测考试中，不定方程解的范围往往是隐含在题意之中的，比如：两次考试都没有及格的人数是多少，隐含的意思是答案必为正整数。所以在求解不定方程时，一定要留意题目里的隐含意思，这样才能确定不定方程解的范围，从而得到正确答案。

【经典例题】

例1：（2011·国考）某单位共有A 、B 、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A 和B 两部门人员平均年龄为30岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？

A ．34

B ．36

C ．35

D ．37

【答案】C

【解析】根据题意，设该单位A 、B 、C 三个部门的人数分别为x 人、y 人、z 人，则有382430()244234()x y x y y z y z +=?+??+=?+?

，解得x :y :z =3:4:5；那么可假设A 、B 、C 三个部门的人数为3人、4人、5人，那么该单位全体人员的平均年龄为（38×3+24×4+42×5）÷（3+4+5）=35岁。

例2：（2009·国考）甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙购买同样价格的笔，其中签字笔4支，圆珠笔10支，铅笔1支，共用去43元，问：单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支共需多少钱?

A ．21

B ．11

C ．10

D ．17

【答案】C

【解析】根据题意，设甲乙购买的签字笔、圆珠笔和铅笔的单价分别为x 、y 、z 元，则有3732......(1)41043....(2)x y z x y z ++=??++=?

，（2）-（1）有x +3y =11，即2x +6y =22，代入（1）式有x +y +z =10，故单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支共需10元。

例3：（2010·浙江）工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个；工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个。问生产的螺丝比螺丝帽多几个？

A．34个B．32个C．30个D．28个【答案】A

【解析】根据题意，设工人甲生产螺丝x分钟，则生产螺丝帽（20-x）分钟，工人乙生产螺丝y分钟，则生产螺丝帽（20-y）分钟，从而有3x+9×（20-x）+2y+7×（20-y）=134，

整理得6x+5y=186。由于

1865

6

y

x

-

=，且y≤20，故有14

18、19、20。由于

1866

5

x

y

-

=，故（186-6x）必能被5整除，则（186-6x）的尾数只能为

0或者5，即6x的尾数只能为6或者1，分析x的取值范围，则x只能为16，此时y=18，故甲乙生产的螺丝比螺丝帽多3×16+2×18-9×（20-16）-7×（20-18）=34个。

【名师点睛】在解不定方程时，要有效地利用奇偶性、质合性、整除性以及首尾数法等，从而快速得到正确答案。

三、倒推顺推

所谓倒推顺推是指将题目中所给操作反向重复一遍，从而推出初始值或者是按照题目所给的操作顺次递推，从而得到最终的结果。这类题目表述比较繁琐，采用的操作方法比较单一，且由于操作次数比较多，给正向或反向操作带来了一定的困难。在解题时，考生需要特别注意，反向操作的过程要与原题所给过程一致。

使用顺推倒推法解答的题型特点非常鲜明，当题目中所给的条件要经过一系列的操作，才能得出最终结果的一般都可用该方法解决。

在解答此类试题时，可以先计算最后一次操作之前物品的量，然后重复相同的计算，依次得到各次操作之前物品的量，直到计算到所有操作之前，从而也就得到原有物品的量。

【经典例题】

例1：（2007·北京社会）李明从图书馆借来一批图书，他先给了甲5本和剩下的1

5

，

然后给了乙4本和剩下的1

4

，又给了丙3本和剩下的

1

3

，又给了丁2本和剩下的

1

2

，最后

自己还剩2本。李明共借了多少本书?

A．30 B．40 C．50 D．60

【答案】A

【解析】此题可采用倒推法解题。（1）李明借给丁之前有2×2+2=6本书；（2）借给丙

之前有6÷（1-1

3

）+3=6×

3

2

=12本书；（3）借给乙之前有12÷（1-

1

4

）+4=20本书；（3）借

给甲之前有20÷（1-1

5

）+5=30本书。故李明一共借了30本书。

例2：一位贵夫人在路上遇到一个乞讨者，她把钱袋里的一半钱再加上1美元给了他；在遇到第二名乞讨者时，贵夫人把钱袋里剩下的一半钱再加上2美元给了他；在遇到第三名乞讨者时，贵夫人把钱袋里剩下的钱的一半再加上3美元给了他；最后，她把钱包仅剩的1美元给了一个小乞讨者。那么这位夫人刚开始时钱袋里有多少美元？

A．36 B．42 C．48 D．54

【思路点拨】此题的操作较复杂，次数较多，因此可采用倒推法解题。解答此题的关键是经过三次操作之后这位夫人的钱袋中只剩下1美元。