广东省肇庆市端州区2015届中考数学模拟考试试题
2015年中考端州区数学模拟题
本试卷共4页，25小题，满分120分，考试时间100分钟.
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．在 1
2022
， ， ， --
四个数中，最大的数是（ ）． A. 2 B. 1
2
- C. 0 D. 2-
2．下列运算正确的是（ ）．
A ．2
325a a a += B
3=± C ．2
2
2
2x x x += D ．6
2
3
x x x ÷=
3．股市有风险，投资需谨慎．截至今年五月，我国股市开户总数约95 000 000，正向1亿挺进，95 000 000用科学记数法表示为（ ）户．
A. 6
9.510? B. 7
9.510? C. 8
9.510? D. 9
9.510?
4．在下面的汽车标志图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知三角形的两边长分别为2cm 和7cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）. A. 3cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm
6. 在平面直角坐标系下，与点Ｐ（2，3）关于x 轴或y 轴成轴对称的点是（ ）.
A. （－3，2）
B. （－2，－3）
C. （－3，－2）
D. （－2，3）
7．我市2012年平均房价为每平方米6000元．连续两年增长后，2014年均价达到每平方米8500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）.
A.6000)1(85002=+x
B.6000)1(85002=-x
C.8500)1(60002=-x
D.8500)1(60002=+x 8.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cos B ＝
2
1
，若BC=1，则AC=（ ）. A ．1 B
．．2
9．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若030OBA ∠=，则OB 的长为（ ）．
A ．4
B ．3
C ．
2 D. 10．如图在菱形ABCD 中，0110A ∠=,E,F 分别是边AB 和BC 的中点，,EP CD P FPC ⊥∠=于则（ ）． A.35° B.45° C.50° D.55°
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满24分．）
第14题
A
D
F 第16题
11．在函数y =x 的取值范围是 .
12．因式分解:2
9x -＝ .
13．不等式组30
2(1)33x x x
+>??
-+≥?的解集为 ．
14．一个扇形的圆心角为60°，半径为2，则这个扇形的面积为 （结果保留π）.
15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DC 上，若23::DE DC =， 4DF =，则BF = .
16．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积
是 cm 2
．
三、解答题(本大题共9小题，满分66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分6分）001(2015)2tan602π---
18．（本小题满分6分）
如图，已知AC 与BD 交于点O ，AO=CO ，BO=DO. 求证：AB∥CD .
19．（本小题满分6分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，3，5，7，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用画树状图或表状图列举出所有结果，并求下列事件的概率： （1）两次取出的小球标号相同；
（2）两次取出的小球的标号和是5的倍数．
20．（本题满分7分）如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC. (1) 过点D 作DE⊥AC，垂足为E （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O 的半径为4，∠BAC=60°，求DE 的长．
21．（本小题满分7分）某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修
车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.
22．（本小题满分7分）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．
(1)求证：△APB ≌△APD ；
(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ，求y 与x 的函数关系式.
23．（本题满分9分）如图，已知反比例函数x k y 1
=
的图象与一次函数 b x k y +=2的图象交于(2)(1)A B n -，1，，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求线段AO 和线段AB 的长度？（可直接用公式：已知两点
11
1222()()P x y P x y ，，，，两点距离公式为：12PP = (3) 求△AOB 的面积.
24．（本题满分9分）如图，直线AM∥BN，AE 、BE 分别平分∠MAB、∠NBA．
（1）∠AEB 的度数为 _________ ； （2）请证明（1）中你所给出的结论；
（3）过点E 任作一线段CD ，使CD 交直线AM 于点D ，交直线BN 于点C ，线段AD 、BC 、AB 三者间有何等量关系？试证明你的结论．
25. （本题满分9分）如图，抛物线
)0(2≠++=a c bx ax y 的图象过点)1,0(C ，顶点为)3,2(Q ，点D
在x 轴正半轴上，且线段OC OD =. （1）求抛物线的解析式；
（2）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ， 求证：CEQ ?∽CDO ?；
（3）在（2）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点、F 点的移动过程中，PCF ?的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，说明理由.
2015年中考端州区数学模拟题
参考答案与评分说明
二、填空题（本题共
6小题，每小题4分，共24分）
三、解答题(本大题共9小题，满分66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分6分）001(2015)2tan602π---
001(2015)2tan 6021
(42)
1
= (62)
π
-
-+-解:分
分
18．（本小题满分6分）
如图，已知AC 与BD 交于点O,AO=CO,BO=DO.求证：AB∥CD 证明：∵AC 交BD 于O ……………… 1分 ∴∠AOB＝∠COD ………………2分
∵AO ＝CO ，BO ＝DO ……………3分 ∴△AOB≌△COD………………4分 ∴∠A＝∠C ……………………5分 ∴AB∥CD………………………6分
19．（本小题满分6分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，3，5，7，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用画树状图或表状图列举出所有结果，并求下列事件的概率： （1）两次取出的小球标号相同；
=．
20．（本题满分7分）如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC. (1) 过点D 作DE⊥AC，垂足为E （不写作法，保留作图痕迹） （2）若⊙O 的半径为4，∠BAC=60°，求DE 的长．
解：(1) 如图所示(不写作法，保留作图痕迹)………2分
（2）连接AD ．
∵AB 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ∴∠ADB=∠AD C=90°． ∵DC=BD，
∴AB=AC．………3分 ∵∠BAC=60°，
∴△ABC 是等边三角形．………………4分 ∴BC=AB=8，∠C=∠CAB=60°
∴BD=DC=4． ………………5分 又∵DE⊥AC，∴DE=DC?sinC=4?sin60°=4×
=2
．………7分
21．（本小题满分7分）某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。
解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时.........1分
由题意得，
60
155.11515=-x x ........ ..... .....................4分 解得x=20 .................................5分 经检验，x=20是原方程的解，并且x=20，1.5x=30都符合题意。........6分 答：抢修车的的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时。 .........7分
22．（本小题满分7分）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．
(1)求证：△APB ≌△APD ；
(1)...................1.....................3...ABCD DAP BAP DAP BAP AB AD DAP BAP AP AP DAP BAP (2)(1)ABCD AF FP BC BP ∴∠∴∠=∠??=??
∠=∠??=?
∴???∴∴??∴= 证明：
四边形是菱形AB=AD,AC 平分DAB
分在和中
分由得四边形是菱形AD//BC,AD=BC
AFP CBP.............4分............................5122. (63)
,22,33
2
, (73)
DF FA FP AF BP BC (1)PB =PD =x PF y y y x x x =∴===∴=== 分分由知y 与x 的函数关系式是y 分
(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ．求y 与x 的函数关系式；
23．（9分）如图，已知反比例函数x
k y 1
=
的图象与一次函数b x k y +=2的图象交于(2)(1
)A B n -，1，，两点．
(1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求线段AO 和线段AB 的长度？（可直接引用的公式：已知两点11
1222()()P x y P x y ，，，，
两点距离公式为：12PP =
(3) 求△AOB 的面积 解：(1)①∵x k y 1=
经过(2)A ，1， ∴112
k
=，k 1=2，……………1分 ∴反比例函数关系式为2
y x
= ∵A （ 1,n -）在2
y x
=
上， ∴2n =- ……………………2分 ② ∵2n =- ∴B 点的坐标为(1,2)--.
又∵y =k 2x +b 经过A 、B 两点， ∴22
21
2k b k b +=??-+=-?……………3分
解得: 21
1
k b =??
=-?，∴一次函数的关系式为1y x =- …………4分
(2)由两点距离公式可得: AO =5分
AB = ………………………………6分
(3)∵直线AB 的解析式为y=x-1，
设直线AB 与x 轴交于点C ，当y=0时，x=1…………7分 ∴OC=1，
∴2
3
12121211121=+=??+??=
+=???BOC AOC AOB S S S . ……9分
24．（本题满分9分）如图，直线AM∥BN，AE 、BE 分别平分∠MAB、∠NBA． （1）∠AEB 的度数为 _________ ； （2）请证明（1）中你所给出的结论；
（3）过点E 任作一线段CD ，使CD 交直线AM 于点D ，交直线BN 于点C ，线段AD 、BC 、AB 三者间有何等量关系？试证明你的结论．
∴BE=FE（“三线合一”定理），易证△EBC≌△
25. （本题满分9分）如图，抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象过点)1,0(C ，顶点为)3,2(Q 点D 在x 轴正半轴上，且线段OC OD =
（1）求直线CD 的解析式和抛物线的解析式；
（2）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ， 求证：CEQ ?∽CDO ?；
（3）在（2）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点、F 点的移动过程中，PCF ?的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，说明理由。 解：因为抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（2，3），且过（0,1），
代入顶点式：2()y a x h k
=-+ ………1分
得3)2(2+-=x a y ，把C(0,1)代入得21-=a …………2分
21
(2)32y x =--+
∴抛物线解析式为：122
12
++-
=x x y ……3分
(2)由C(0,1),OC=OD 得D(1,0),
所以△OCD 为等腰三角形，∠ODC ＝45° ……4分 当直线CD 绕点C 逆时针旋转45°后所得直线与x 轴平行. 从而知点E 的纵坐标为1，代入解析式求得E(4,1). 过顶点Q(2,3)作QN ⊥CE 于点N ，
则由QC ＝QE 得点N 坐标是(2,1). …………5分
则有线段CN=QN=NE ，即得∠CQE=Rt ∠，所以△CQE 为等腰Rt △.
∴△CEQ ∽△CDO ……………………………………………………………6分
(3) 存在. ……………………………………………………………………7分
延长CQ 至A ，使CQ=QA ；延长CO 至B ，使CO=OB ；
连接AB 分别交QE 、OD 于P 、F 两点，此时△PCF 周长最小. ………8分
∵△PCA 与△FCB 均为等腰三角形，从而有：PC=PA ，FC=FB ，所以△PCF 的周长等于线段AB 的长. 过点A 作AG ⊥y 轴于点G,易求得点A 坐标为(4,5)，从而有AG=4，GB=6.
在Rt △ABG 中，22BG AG AB +=，
∴PCF ?周长最小值=132642222=+=+BG AG …9分