2014年高考浙江理科数学试题及答案(精校版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学（理科）

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U C A =（ ）

A. ?

B. {2}

C. {5}

D. {2,5} 2. 已知i 是虚数单位，,a b R ∈,则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是( )

A. 902

cm B. 1292

cm

C. 1322

cm D. 1382

cm

4. 为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数

y x =的图像（ ）

A. 向右平移4π 个单位

B. 向左平移4π

个单位

C. 向右平移12π个单位

D. 向左平移12

π

个单位

5.在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1f f f f +++= （ ）

A. 45

B. 60

C. 120

D. 210

6. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） A.3c ≤ B.36c <≤ C.69c <≤ D. 9c >

7. 在同一直角坐标系中，函数()(0)a

f x x x =≥，()lo

g a g x x = 的图像可能是（ ）

8. 记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?

A ．min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤

B. min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥

C. 2222

max{||,||}||||a b a b a b +-≤+

D. 2222

max{||,||}||||a b a b a b +-≥+

9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙

盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.

（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则 ( )

A.1212,()()p p E E ξξ><

B. 1212,()()p p E E ξξ<>

C. 1212,()()p p E E ξξ>>

D. 1212,()()p p E E ξξ<< 10. 设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31

()|sin 2|3f x x π=

，99

i a i =，,2,1,0=i 99, ，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++- ，1,2,3k = 则 ( )

A.123I I I <<

B. 213I I I <<

C. 132I I I <<

D. 321I I I <<

二. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.

12. 随机变量ξ的取值为0,1,2，若1

(0)5

P ξ==

，()1E ξ=，则()D ξ=________.

13.当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤??

--≤??≥?

时，14ax y ≤+≤恒成立，

则实数a 的取值范围是________.

14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.

15.设函数22,0(),0

x x x f x x x ?+

=?-≥??若(())2f f a ≤，则实数a 的取

值范围是______

16.设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线

122

22=-b

y a x （0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B.若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则

该双曲线的离心率是__________

17、如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15AB m =

，

25AC m =，30BCM ∠=?,则tan θ的最大值是 (仰角θ 为直线AP 与平面

ABC 所成角)

19.（本题满分14分）

已知数列{}n a 和{}n b 满足123(*)n b

n a a a a n N =∈ .若{}n a 为等比数列，且

1322,6a b b ==+ (Ⅰ) 求n a 与n b ；

(Ⅱ) 设11

(*)n n n

c n N a b =-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S ,

（i ）求n S ；

（ii ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥.

如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ,90CDE BED ∠=∠=?，

2AB CD ==,1DE BE ==,AC =

(Ⅰ) 证明：DE ⊥平面ACD ;

(Ⅱ) 求二面角B AD E --的大小.

21(本题满分15分)

如图，设椭圆C:)0(122

22>>=+b a b

y a x 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P

在第一象限.

(Ⅰ) 已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；

(Ⅱ) 若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.

已知函数()33().f x x x a a R =+-∈

(Ⅰ) 若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -； (Ⅱ) 设,b R ∈若()2

4f x b +≤????对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围.

2014年高考浙江理科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【解析】2{|5}A x N x =∈≥={|x N x ∈≥，{|2{2}U C A x N x =∈≤<= 【答案】B

2.【解析】当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，2()2a bi i +=

即2

2

22a b abi i -+= ，则22022a b ab ?-=?=? 解得11a b =??=? 或1

1a b =-??=-?

【答案】A

3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：1

246234363334352341382S =??+??+?+?+?+?+???= . 【答案】D

4.【解析】sin 3cos 3)4

y x x x π

=+=+)]12

x π

+

而3)2

y x x π

==+

)]6

x π

+

由3()3()6

12

x x π

π

+

→+

，即12x x π

→-

故只需将y x =的图象向右平移12

π

个单位. 故选C

【答案】C

5.【解析】令x y = ，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10

(1)x + 展开

式中3

x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=7

10120C =，故选C

【答案】C

6.【解析】由(1)(2)(3)f f f

-=-=-得184212793a b c a b c

a b c a b c

-+-+=-+-+??-+-+=-+-+? 解得

611

a b =??

=? ，所以32

()611f x x x x c =+++ ,由

0(1)3f <-≤

得

016113c <-+-+≤ ，即69c <≤，故选C

【答案】C

7.【解析】函数()(0)a

f x x x =≥，()lo

g a g x x =分别的幂函数与对数函数

答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a

f x x x =≥中1a > ，

()log a g x x =中01a << ，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，

()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a

f x x x =≥中01a <<，()lo

g a g x x =中01a <<，符合. 故选D

【答案】D

8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +- 与min{||,||}a b

的大小

不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-

所对的角大于或等于90? ，由余弦定

理知2222

max{||,||}||||a b a b a b +-≥+ ，

（或2222

222

2||||2(||||)max{||,||}||||22

a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+ ）.

【答案】D 9.【解析1】11222()

m n m n

p m n m n m n +=

+?=

+++ ， 211222221233n m n m m n m n m n

C C C C p C C C +++=++ =

223323()(1)m m mn n n

m n m n -++-++- ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)

m m mn n n

m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++- ，

故12p p >

又∵1(1)n P m n ξ==+ ，1(2)m

P m n ξ==+

∴12()12n m m n

E m n m n m n

ξ+=?+?=+++ 又2

22(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-

11222(2)()(1)n m m n C C mn P C m n m n ξ+===++- 222(m 1)(3)()(1)

m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)

()123()(1)()(1)()(1)

n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=?

+?+?++-++-++-

=22334()(1)

m n m n mn

m n m n +--+++-

21()()E E ξξ-=

22334()(1)

m n m n mn m n m n +--+++-－2m n

m n ++=(1)0()(1)m m mn m n m n -+>++- 所以21()()E E ξξ> ，故选A

【答案】A 【解析2】：在解法1中取3m n == ，计算后再比较。

10.【解析】由22

112199999999i i i --????

-= ? ?

????

， 故2

111352991199()199999999999999

I ?-=

++++==

由22

11199(21)22||999999999999

i i i i i ----????--+=? ? ????? 故2150(980)98100

221992999999

I +=?

??=

(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)

3999999999999I ππππππ=-+-++-

=12574

[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->

故213I I I << ，故选B

【答案】B

【解析2】估算法：k I 的几何意义为将区间[0,1] 等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和.如图为将函数21()f x x = 的区间[0,1] 等分为4个小区间的

情

形

，

因

1()f x

在[0,1]上递增，此时110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344(1)(0)1A H A H A H A H f f +++=-=，

同理对题中给出的1I 同样有11I = ； 而2I 略小于1212?= ，3I 略小于14

433?= ，所以估算得213I I I <<

【答案】B

三. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.【解析】第一次运行结果1,2S i == 第二次运行结果4,3S i ==

第三次运行结果11,4S i == 第四次运行结果26,5S i == 第五次运行结果57,6S i ==

此时5750S => ，∴输出6i = ，【答案】6

12.【解析】设1ξ= 时的概率为p ，ξ的分布列为

由11()012(1)155E p p ξ=?+?+?--= ，解得35

p = ξ的分布列为即为

故

ξ 0 1 2

P

15

p 1

15

p -- ξ 0

1

2

P

15 35 1

5

2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-?+-?+-?= . 【答案】2

5

13.【解析】作出不等式组240101x y x y x +-≤??

--≤??≥?

所表示的

区域如图，由14ax y ≤+≤恒成立，故

3

(1,0),(2,1),(1,)2

A B C 三点坐标代入

14ax y ≤+≤，均成立得14

12143

142

a a a ?

?≤≤?

≤+≤???≤+≤? 解得312a ≤≤ ，∴实数a 的取值范围是

3[1,]2 ， 【答案】3[1,]2

【解析2】作出不等式组240101x y x y x +-≤??

--≤??≥?

所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤得，由

图分析可知，0a ≥ 且在(1,0)A 点取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1

214

a a ≥??+≤?

得312a ≤≤

，故实数a 的取值范围是3[1,]2 ， 【答案】3[1,]2

14.【解析1】不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有22

3436C A = 二是有三人各获得一张奖券，共有3424A = ，因此不同的获奖情况共有362460+= 种

【解析2】将一、二、三等奖各1张分给4个人有3

464= 种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法，因此不同的获奖情况共有64－4=60种. 【答案】60 15.【解析】由题意2

()0

()()2f a f a f a

+≤? 或2

()0

()2

f a f a ≥??

-≤? ，解得()2f a ≥-

∴当202a a a

解得a ≤

【答案】(-∞

16.【解析1】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =

和b

y x a

=- ，分别与直线l ： 30x y m -+= 联立方程组，解得，(

,)33am bm A a b a b ----,(,)33am bm

B a b a b

-++

，

设AB 中点为Q ，由||||PA PB = 得，则

3333(,)22am am bm bm

a b a b a b a b Q ---++

-+-+

即222222

3(,)99a m b m

Q a b a b ---- ，PQ 与已知直线垂直，

∴1PQ l k k =- ，即

22

2222

319139b m a b a m m a b --=---- 即得2228a b = ，即222

28()a c a =-，即2254c a =

，所以c e a ==

【解析2】不妨设1a = ，渐近线方程为22

2201x y b

-=即2220b x y -=

由222030

b x y x y m ?-=?-+=? 消去x 得2222(91)60b y b my b m --+= 设AB 中点为00(,)Q x y ，由韦达定理得：202

391b m

y b =-……① ， 又003x y m =- ，由1PQ l k k =- 得

00113y x m =-- 即得001

1323

y y m =-- 得035y m = 代入①得2233

915b m m b =-

得214b = ，所以222

15144c a b =+=+=

，所以2c =

，得2

c e c a ===

【答案】

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

即A B += ，所以C =

由a c < 得A C < ，从而cos 5

A = 故sin sin()

B A

C =+

=sinAcosC cosAsinC +=

即2

2n b

=

由00m AD m AE ?=??=?? 即1111120

20y x y ?--=??--=?? ，可取(0,1,m =

由00n AD n BD ?=??=??

即2222200y x y ?

--=??+=?

?可取(0,1n =- 于是|||cos ,|||||m n m n m n <>==