关于坐标的曲线积分

1、计算下列对坐标的曲线积分

1）()()L

x y dx x y dy ++-?，其中L 为按逆时针方向绕椭圆22

221x y a b +=周。 解：椭圆22

221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθθ

=??=?从0变到2π 原式()()()20cos sin sin cos sin cos a b a a b b d π

θθθθθθθ+-+-?

???? 2220cos 2sin 202a b ab d π

θθθ??+=-= ???

? 2）L y dx x dy +?，其中L 是点()()()1,0,0,1,1,0A B C -为顶点的三角形边界（按逆时针方向）。

解：112:::10x t x t x t AB BC CA y t y t y =-=-=-+????

??==-=???，t 从0变到1 原式()()()11100012121t dt t t dt t dt =-+--=-=-???

3）计算曲线积分()()12cos y y

L

xy e dx y xe dy +--?，其中L 为由点()1,1A -沿抛物线2y x =到点()0,0O ，再沿x 轴到点()2,0B 的弧段。 解：原式()220

232210

122cos 21x x x e x x x e dx dx -=+-++?? 20421

3sin 23sin12sin11x x x xe e e -??=-++=-+++=+-?? 4）()1xdx ydy x y dz Γ

+++-?，其中Γ是从点()1,1,1到点()2,3,4的一段线段。 解：Γ的参数方程为11213x t y t z t =+??=+??=+?

，t 从0变到1

原式()()()()1100121231361413t t t dt t dt =

+++++=+=?? 5）ydx xdy dz Γ-+?，其中Γ是圆柱螺线2cos ,2sin ,3x t

y t z t ===从0t =到

2t π=的一段弧。

解：原式()22204sin 4cos 32t t dt ππ=

--+=-?。 2、计算(

)()

2222L x y dx y x dy -+-?，式中L 是从点()0,0O 沿21:2x L y =到点()2,2A ，

再由点A 沿2

2:2

y L x =回到点O 的闭曲线。 解：1L 的参数方程为212x t y t =???=??，t 从0到2；2L 的参数方程为212x t y t

?=???=?，t 从2到0 原式2

0440********t t dt t t dt ????=-+-= ? ???????。 3、设力F 的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依y 轴的负方向，求质量为m 的质点沿抛物线2

1x y -=从点()1,0移到()0,1时，求力F 所做的功。 解：{}2

0,F x =-，抛物线L 的参数方程为2

1x t y t ?=-?=?，t 从0到1。

()1

512223002813515L t W x dy t dt t t ??=-=

--=--=-?????? 4、设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的一段曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++?

化为关于弧长的曲线积分。 解：21,2,3dx dy dz t t dt dt dt

===

cos α==

cos β==

2

cos γ==

(

)cos cos cos Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓΓ++=++=??