基于多尺度Fourier描述符的二维轮廓曲线匹配_周术诚

收稿日期:2008-03-25 修回日期:2009-01-12

基金项目:福建省自然科学基金资助项目(S0650005).

作者简介:周术诚(1965-),男,副教授,博士.研究方向:图形图象处理、科学计算可视化.Email:shuchzhou@https://www.360docs.net/doc/9614441198.html,.

基于多尺度Four i er 描述符的二维轮廓曲线匹配

周术诚

(福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350002)

摘要:根据破碎物体碎片拼接的需求,提出一种多尺度Fourier 描述符的二维曲线匹配方法.利用不同尺度的Gaussian 函数对轮廓曲线进行滤波后,以Fourier 变换的系数作为曲线的特征矢量,通过比较2条轮廓曲线特征矢量来判断轮廓曲线的相似性,实现曲线匹配和碎片拼接.结果表明该算法具有准确性、鲁棒性和容错性.

关键词:多尺度;Fourier 描述符;轮廓曲线;曲线匹配;碎片拼接

中图分类号:TP391.41文献标识码:A 文章编号:167125470(2009)022*******

Two d i m en si ona l curve ma tch i n g ba sed on m ultisca le four i er descr i ptors

ZHOU Shu 2cheng

(College of Computer and I nf or mati on,Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou,Fujian 350002,China )

Abstract:According t o the de mands of frag ments mosaicing,a novel 2D curve matching method based on multiscale Fourier de 2scri p t ors was p resented .Cont our curves were filtered by Gaussian functi on at different scale .The feature vect or of cont our was rep re 2sented by Fourier transfor mati on coefficients .The si m ilarity bet w een t w o cont our curves was deter m ined by comparing feature vect ors of t w o cont our curves,and cont our curve matching and frag ment mosaicing were realized .Experi m ental results showed that this ap 2p r oach was r obust,fault t olerant and effective in matching .

Key words:multiscale;Fourier descri p t or;cont our curve;curve matching;frag ment mosaicing

计算机辅助物体碎片拼接可以看作是自动求解智力拼图问题,20世纪60年代Freeman et al [1]就开始

研究七巧板的计算机求解问题.Burdea et al [2]将每个七巧板子片的轮廓分为四部分,然后对每一个子轮廓

进行匹配;W ebster et al [3]认为峡部可描述七巧板子片的全局特征,2个子片能否拼接取决于它们的正负峡部是否吻合;Goldberg et al [4]依据七巧板子片上凸部和凹部的拐点、中心点和切点3个特征点来进行匹配判断.这些方法均是以相对规则的形状为基础进行轮廓匹配和拼接,不能直接应用于非规则边界的拼

合.Kong et al [5]先计算轮廓线的近似多边形匹配程度,然后再用原始的轮廓线进行进一步验证,在2次匹

配判断中重复了许多步骤.Leit o et al [6]通过搜索碎片轮廓上一系列离散点来度量碎片之间的匹配程度,但速度较慢.

Fourier 描述符是一个对于轮廓起点和旋转都不变的量,被广泛应用于模式识别和图像分析领域.Kauooinen et al [7]的试验证明了Fourier 描述符是识别不同目标形状的最佳描述符;Mehtre et al [8]对链码、Fourier 描述符和不同矩的形状相似性检索能力进行比较,发现矩和Fourier 描述符的形状相似性检索能力最好.但是,传统的Fourier 描述方法对于不规则碎片有一定的局限性,为了满足破碎物体复原的需要,提高匹配、拼接速度和准确度,本文提出多尺度Fourier 描述符匹配的拼接技术.

1　多尺度分析

碎片信息在采集以及曲面轮廓提取过程中均含有噪声,因此先对提取的曲面轮廓进行去噪处理.设轮廓曲线为r (t )=(x (t ),y (t )),其中t 为弧长参数.Gaussian 函数:G (t,σ)=

1σ2πexp (-t 22σ2.根据卷积运算公式[9],分别将x (t )和y (t )与Gaussian 函数G (t,σ)作卷积运算,可得:

福建农林大学学报(自然科学版)

第38卷第2期Journal of Fujian Agriculture and Forestry University (Natural Science Editi on )2009年3月

X (t,σ)=x (t )3G (t,σ)=

∫+∞-∞x (u )1σ2πexp -(t -u )22σ2d u (1)Y (t,σ)=y (t )3G (t,σ)=∫+∞

-∞y (u )1σ2πexp -(t -u )

22σ2

d u (2)由于卷积运算是一种加权和运算,如果步长取1,则式(1)、式(2)可以写成:

X (t,σ)=x (t )3G (t,σ)=∑+∞-∞x (u )1σ2π

exp -(t -u )22σ2Δu (3)Y (t,σ)=y (t )3G (t,σ)=∑+∞-∞y (u )1σ2πexp -(t -u )22σ2Δu (4)

轮廓曲线与高斯函数进行卷积运算后,相当于对轮廓曲线进行滤波平滑处理.高斯函数的分布参数σ的大小反映了函数的宽度,随着σ变大,可以滤除更多的噪声,但轮廓上保留的细节信息逐渐减少.因此,可根据σ的不同取值,在多尺度下描述轮廓曲线.在实际应用中,σ的最佳值应在能够去除噪声的同时保留较多的细节信息.

2　Four ier 轮廓描述符

曲面轮廓可以用一条以轮廓长度为周期的曲线表示,这个周期函数可以展开成Fourier 级数.Forier 级数中的一系列系数与轮廓曲线的形状密切相关,一条轮廓曲线展开成的Fourier 级数中的所有系数称为曲线形状的Fourier 描述符(FD s ).

二维轮廓曲线与一定分布参数的Gaussian 函数作卷积运算后,得到1条较光滑的曲线,对该曲线重采样,得到N 个等间距的离散点.设二维轮廓曲线由N 个等间距的离散点集P ={p (0),p (1),…,p (N -1)}构成,为了保证描述符具有平移不变性,点集中每一个点用相对于轮廓曲线质心(x c ,y c )的极坐标表示,则点p (n )可表示为p (n )=(x n -x c )+j (y n -y c ),n =0,1,…,N -1.对于一条轮廓曲线,我们将它看成是以曲线长度为周期的函数,则p (n )=p (N +n ),轮廓曲线的离散Fou rier 变换表示为:

P (k )=

∑N -1n =0p (n )e -j 2πkn /N =∑N -1

n =0((x n -x c )+j (y n -y c ))exp -j 2πkn N (5)

其中k =0,1,…,N -1.Fourier 逆变换为:

p (n )=1N ∑N -1k =0P (k )exp j 2πkn N (6)

其中n =0,1,…,N -1.Fourier 变换系数{P (k )|k =0,1,…,N -1}构成轮廓曲线的Fourier 描述符,Fourier 描述符通过Fourier 逆变换可以重构轮廓曲线.

在一定条件下,Fourier 描述符具有平移、旋转、缩放、起始点不变等特性[10].通常描述符的低频分量即

可描述目标形状,而高频分量描述了轮廓的一些细节信息和噪声.由于Fourier 变换是可逆的线性变换,所有Fourier 系数描述的信号不会损失和增加,但是计算量大、速度慢.在实际应用的匹配运算中,往往只需要描述符的一个子集,即只需要使用能描述轮廓概貌的低频分量,而忽略高频分量.

在实际应用中,可以根据精度的要求选择合适的描述符子集.假设只用前M 个Fourier 描述符,Fourier 描述符P (k )在k >M -1时为0,因此,轮廓曲线可以用如下近似形式重构:

p ^(n )=1N ∑M -1k =0P (k )exp j 2πkn N

(7)其中,n =0,1,…,N -1.虽然只用了M 项来重构轮廓曲线,但是n 的取值范围仍然是从0到N -1.也就是说在近似边界中含有同样数量的点,但是并没有使用所有的项来重建每条轮廓.如果边界上点的数量很大,M 通常为2的整数次幂,这样可以利用FFT 加快该边界描述符的计算速度.

Fourier 描述符与形状的尺度、方向和曲线的起始点p (0)位置有关.为了识别具有旋转、平移和尺度不变性的形状,需要对Fourier 描述子进行归一化.

设P (k )为曲线的Fourier 变换系数,如果曲线平移为α,缩放为r ,旋转角度为θ,归一化公式可表示为:

7

12　第2期周术诚:基于多尺度Fourier 描述符的二维轮廓曲线匹配

P ′(k )=r ?exp (j θ)?exp (-j 2πk α/N )?P (k )(8)在基于轮廓形状匹配的物体拼接过程中,由于受数据采集设备及碎片缺损等因素的影响,提取的轮廓曲线与实际期望的轮廓曲线存在一定的差距.因此,在实际处理中,一条轮廓线与另外一条轮廓线往往不完全相同,即使相邻的2块碎片的轮廓也可能不完全匹配.所以,在完成匹配处理的过程中,把每条轮廓曲线分成很多子段(子轮廓线),再用这些子段来进行相似性度量,并根据相似性的程度判断轮廓曲线段是否匹配.为了完成匹配运算,先给出特征点和特征段的选择方法.

物体在破碎和轮廓线提取时的噪声使得轮廓线不规则,在分段时要选择特征变化明显的点作为区分不同匹配子线段的点.在一条曲线上,拐点两侧的曲线方向有明显的变化.因此,我们选择局部曲率极大点作为轮廓曲线的特征点,2个特征点之间的线段即可作为一条匹配处理的特征曲线段.

因此,在实际应用中,对于一任意轮廓曲线的某一特征段,选择某一合适的起点,对轮廓曲线进行多尺度平滑处理后再作Fourier 变换;计算相应的Fourier 轮廓描述符后,对Fourier 轮廓描述符执行相应步骤实现归一化处理,使轮廓有一个标准的大小、方向和起点.

3　相似性和匹配计算

相似性计算在形状匹配技术中是一个关键步骤,为了判断2条轮廓曲线的某一子段是否匹配,必须按照某种相似度量准则来衡量2条曲线段特征的相似性.对于曲线P ,由式(5)计算可知,由Fourier 变换得到的轮廓曲线的Fourier 描述符是一个复数,但是可以将其实部和虚部分开,式(5)等价于:

P (k )=P x (k )+jP y (k )

(9)其中

P x (k )=Re

∑N -1

n =0((x n -x c )+j (y n -y c ))exp -j 2πkn N (10)

P y (k )=I m ∑N -1n =0((x n -x c )+j (y n -y c ))exp -j 2πkn N

(11)

则各点的特征矢量可以定义为:

ξP (k )=[P x (k )P y (k )](12)由式(12)可以看出,特征矢量由每一个点在X 、Y 坐标的Fourier 描述符2个分量构成.一段轮廓曲线的特征矢量定义为:

ξP =[ξP (0)ξP (1)…ξP (N -1)]

(13)式中N 为曲线上采样点的个数.

设2段轮廓曲线子段分别表示为P 和Q,则2条曲线P 和Q 的特征矢量可以表示为:

ξP =[ξP (0)ξP (1)…ξP (N -1)]

(14)ξQ =[ξQ (0)ξQ (1)…ξQ (M -1)]

(15)式(14)和式(15)中的N 、M 分别为2条曲线上采样点的数目.如果2段轮廓曲线子段匹配,则其各点的特征矢量相等或相似.在此,我们定义2点的相似性距离为:

D (ξP (i ),ξQ (j ))=‖ξP (i )-ξQ (j )‖

(16)其中‖?‖为定义在2点之间的某种距离范数(本文采用欧氏距离),式(16)可以写成:

D (ξP (i ),ξQ (j ))=‖ξP (i )-ξQ (j )‖=(P x (i )-Q x (j ))2+(P y (i )-Q y (j ))2(17)

在实际应用中,相似性判断要根据碎片的不同情况设置一个容许的误差值δ,如果2点之间的距离小于δ,则认为2点相等或相似.在实际处理时,对于2块碎片,为了判断它们是否能够拼接,对2块碎片的轮廓曲线进行点对点匹配计算时,2条轮廓曲线的搜索方向应相反.

在轮廓曲线匹配计算过程中,在选择其中1条轮廓曲线作为模板曲线后,通过搜索相应的曲线段数据库中的每段曲线,经过相似性计算,查找其它曲线是否有与模板曲线匹配的线段.在匹配处理时,假设从数据库中任取1条曲线P 作为模板曲线,随后从数据库中任取1条其它曲线段Q 作为测试线段,则可通过相似性计算完成2条曲线段是否匹配的判断.曲线段匹配搜索算法可描述如下.

8

12福建农林大学学报(自然科学版)第38卷　

STEP1:从2段曲线的起始点开始计算各点的Fourier 描述符,并用描述符计算特征矢量,设置2段曲线的起点为当前点.

STEP2:计算2条曲线段当前点之间的距离,如果2点之间的距离小于或等于容许误差δ,则认为2点相等,分别记录2点的位置,转STEP3;否则,2点之间的距离大于容许误差δ,转STEP4.

STEP3:如果没有处理完线段上所有的点,按搜索方向分别将2段曲线上当前点的下一点设置为当前点,转STEP2;否则,已经处理完所有碎片的轮廓曲线,转STEP5.

STEP4:没有处理完测试曲线上所有点,将测试曲线当前点的下一点置为当前点,转STEP2.

STEP5:匹配结束.

在处理大量碎片的拼接时,完成2块碎片的拼接后,将拼接后的物体当作1个新的模板;把新模板的外围轮廓线当成新的模板曲线与其它碎片的轮廓曲线进行相似性比较,完成它与其它碎片的拼接,直到处理完所有的碎片.

4　结论

以破碎陶瓷为研究对象,利用图像分割技术、轮廓提取和边界跟踪技术得到碎片的二维轮廓曲线,其轮廓曲线经Fourier 变换后得到轮廓描述符;根据轮廓描述符计算轮廓曲线的特征向量,通过相似性和匹配计算实现曲线匹配.图1表示物体碎片和轮廓匹配情况,其中图1c 表示2块碎片的匹配拼接情况.多块碎片的拼接可以根据1块碎片轮廓曲线找到所有与之匹配的线段后再逐块拼接.图1d 表示5块碎片拼接的结果

.

a .物体碎片;

b .轮廓;

c .2块碎片轮廓匹配和拼接;

d .5块碎片轮廓匹配和拼接.

图1　轮廓匹配和拼接

Fig .1　Cont our matching and mosaicing

利用本文提出的多尺度Fourier 描述符的二维轮廓曲线匹配技术,能够判断不同碎片的轮廓曲线的相似性,准确拼接二维碎片;通过选择合适的尺度滤波去除了大部分的噪声,保留了大部分轮廓的细节信息,同时,按照精度的要求只用Fourier 系数的子集,减少了匹配过程中所需比较的点的数目.因此,该算法比通常Fourier 描述符的轮廓曲线匹配算法的计算量小、速度快.该算法在相似性计算时设置一定的容许误

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12　第2期周术诚:基于多尺度Fourier 描述符的二维轮廓曲线匹配

福建农林大学学报(自然科学版)第38卷　

差,试验结果表明,该算法能够识别不同形状的轮廓曲线,并且能够较好地拼接相邻碎片,具有一定的鲁棒性和容错性.该方法可以进一步推广到三维曲面轮廓曲线的匹配和拼接.

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(责任编辑:叶济蓉) 022