2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案

2014年全国初中数学联赛决赛试题

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441

111211

()()()3x y x y x y

+

+=--，则x y +的可能的值有 【 】

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 【 】 A ．

47 B ．59 C ．916 D ．12

25

3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知

3BP =，1PE =，则AE ＝ 【 】

A B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】

A ．

12 B ．25 C ．23 D ．3

4

5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足331

18x x

+

=，则1{}{}x x += 【 】

A ．12

B ．3

C ．1

(32

- D ．1

6．在△ABC 中，90C ∠=?，60A ∠=?，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=? ,则BE 的长为 【 】

A ．4-

B ．2

C ．1

1)2

D 1

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，

111

1a b c b c a c a b

++=+-+-+-，则

abc =____．

2．使得不等式

981715

n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=?，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．

4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2

b a

c =，则b = ．

三、（本题满分20分）设实数,a b 满足2

2

(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求

2

211

a b

+的值．

四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且

满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．

五、（本题满分25分）

设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足333

3n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P . （1）试判断1，2，3是否具有性质P ；

（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？

F

B

2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441

111211

()()()3x y x y x y

+

+=--，则x y +的可能的值有 【 】

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 【答】 C.

由已知等式得2244

224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.

若32()xy x y =-，则(32)(32)4

x y +-

=-.又,x y 为整数，可求得12,

x y =-??=?，

或21.x y =-??=?

，

所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个.

2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 【 】

791625

【答】 A.

21

222()2()()4

t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++

212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734

()477x =--+，

易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4

7

.

3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知

3BP =，1PE =，则AE ＝ 【 】

A ．

2

B C D 【答】 B .

因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，

又2BC BD =，所以BD =

DP =.

又易知△

AEP ∽△BDP ，所以

AE PE

BD DP

=

，从而可得

PE AE BD DP =

?== 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】

A ．

12 B ．25 C ．23 D ．3

4

【答】 B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.

因此，所求概率为

82205

=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33

1

18x x +

=，则1{}{}x x

+= 【 】

22

【答】 D . 设1x a x +

=，则32223211111

()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x

+=++-=++-=-，所以2

(3)18a a -=，因式分解得2

(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.

由13x x +

=

解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1

{}{}x x

+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=?，60A ∠=?，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=? ,则BE 的长为 【 】

A

．4- B

．2 C

．1

1)2

D

1

【答】 A.

过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-

，)DE x =

-，1DF AC ==，

故

2221(1)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<

，故可得

2x =

故24BE x ==-

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，

111

1a b c b c a c a b

++=+-+-+-，则

abc =____．

【答】 0. 由题意知

111

1121212c a b

++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---

整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715

n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得

7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189

k n +≥，所以

A

211871

9872

k k n n n +-=-≥-=

，所以144n ≤. 当144n =时，由78

89

k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127.

故满足条件的正整数n 的最大值为144.

3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=?，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．

【答】48?.

由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=?，

所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=?， 从而可得30PCA ∠=?.

又108BPC ∠=?，所以12PBE ∠=?，从而24ABD ∠=?. 所以902466BAD ∠=?-?=?，

11

()(6630)1822

PAE BAD CAE ∠=∠-∠=?-?=?，

所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=?+?=?

4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ． 【答】36.

设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，

11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有

2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设22

11,a m c n ==，则1b m

n =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.

又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22

()111d m n mn ++=.

注意到2222

12127m n mn ++≥++?=，所以1d =或3d =.

若1d =，则22

111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，

不符合题意，故舍去.

若3d =，则22

37m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时

27,36,48a b c ===，符合题意.

D

因此，所求的36b =.

三、（本题满分20分）设实数,a b 满足2

2

(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求

2

211

a b

+的值． 解 由已知条件可得22

2

()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.

设a b x +=，ab y =，则有2

2

40x y +=，8x y +=， …………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ………10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两

根，但这个方程的判别式2

(2)24200?=--=-<，没有实数

根； ………… … 15分

若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2

(6)8280?=--=>，它有实数根.所以

2222222222211()262282

a b a b ab a b a b a b ++--?+====. ………20分 四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．

证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.

………5分 又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以B D C A B D ∠=∠=∠

，………… ….10分 所以△ECD ∽△DAF ， …… …15分

所以ED CD AB DF AF AF

==

. ………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故

DFE AFB ∠=∠.…………… ………25分 五、（本题满分25分）

设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3

3

3

3n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .

F

B

（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；

（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？

解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-???，所以1具有性质P ； 取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-???，所以2具有性质

P ；…………………5分

若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得3

3()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从

而

可

得

3

3|()x y z ++，故3|(x y z ++，于是有

39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质

P . ……………………10分

（2）记3

3

3

(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则

33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++

＝3

()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++

2221

()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+- ①

……………………15分

不妨设x y z ≥≥，

如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分

又若3

3|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则3

3|()x y z ++，从而

3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.