华理复变答案5-6次作业答案

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华东理工大学

复变函数与积分变换作业本(第3册)

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第五次作业

教学内容:3.1复变函数积分概念 3.2柯西积分定理 1. 计算积分?

C

zdz Re ,其中积分路径C 为:

(1) 从原点到i +1的直线段;

(2) 从原点到点1的直线段,以及连接由点1到i +1的直线段所组成的折线。 解:

(1)直线段的参数方程为

)10()1(≤≤+=t t i z

故[]2

1)1()1(Re Re 1

i

dt i t i zdz C

+=

++=

?

? (2)从原点到点1的直线段的参数方程为

)10(≤≤=t t z

连接由点1到i +1的直线段的参数方程为

)10()1(≤≤+=t t i z

[][]i 2

1)1(Re dt Re Re 1

1

+=

++=???idt t i t zdz C

2.计算积分?+-C dz ix y x )(2

,其中C 为从原点到i +1的直线段。

解:积分曲线的方程为,,t y t x ==即10:,→+=+=t ti t iy x z ,代入原积分表达式,得

?+-C dz ix y x )(2=?'++-1

02

))((dt it t it t t

=

?

+1

2)1(dt i it =

3

13

110

3

i t i +-=

+-

3.计算积分,?C z

dz e 其中C 为从0到1再到i +1的折线 解:(1)从0到1的线段1C 方程为:,10:,→=+=x x iy x z 从1到i +1的线段2C 方程为:,10:,1→+=+=y iy iy x z 代入积分表达式中,得

?????'++=+=+1

11

)1(2

1

dy iy e dx e dz e dz e dz e iy

x

C z

C z C

z 101

1

)cos (sin 1)sin (cos y i y ei e dy y i y ei e x -+-=++=?

=11-+i

e

4.计算积分C

z zdz ?

,其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭曲

线。

解:12C C C =+,1C 表示为z x iy =+,()11,0x y -≤≤=;

2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθ

θπ=+=+≤≤,()sin cos dz i d θθθ=-+,

()()1

2

1

1

cos sin sin cos C

C C z zdz z zdz z zdz

x xdx i i d i

π

θθθθθπ-=+=+--+=?

????

5.设)(z f 在单连域D 内解析,C 为D 内任何一条正向简单闭曲线,问

[][]0)(Im )(Re ==??dz z f dz z f c

c

是否成立,如果成立,给出证明;如果不成立,举例说明。 证:未必成立。令,1:,)(==z C z z f 则)(z f 在全平面上解析,但是

[][]

)cos sin (cos Re )(Re 20

20

≠=+-==???

i d i de e dz z f i i C

πθθθθπ

π

θθ[][]

0)cos sin (sin Im )(Im 20

20

≠-=+-==??

?πθθθθπ

πθ

θ

d i d

e e dz z

f i i C

6. 观察得出下列积分的值,并说明理由。

(1)

dz

z e z z )1(25

.1+?

=;

解:0 由于被积函数在复平面上处处解析,由柯西积分定理知积分为零。

(2)

dz

z z z z 3

25

325

.1+++?

=;

解:0。由于被积函数在

5

.1≤z 内处处解析,由柯西积分定理知积分为零。

(3)

10)1ln(<<+?

=r dz z r

z

解:0 由于被积函数在复平面上处处解析,由柯西积分定理知积分为零。

(4)

dz z z ?

=-1

1,其中z

11-=那一支。

解:0 由于被积函数在复平面上处处解析,由柯西积分定理知积分为零。

7.沿下列指定曲线的正向计算积分

?

+C

z z dz

)1(2值:

(1)

1:2

C z =

; 解:原式

i

i dz i z i z z C ππ2002])(21)(211[=--=--+-=? (2)

1:2

C z i +=

; 解:

()

211111

00221C

C C C dz dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=--++?

??? 8.设)(z f 在单连通区域D 内解析,且不为零,C 为D 内任何一条简单光滑闭曲线,判断积

dz z f z f C

?

')

()

(是

解:等于零。因f (z ) 在D 内解析,故f (z ) 具有各阶导数且仍为解析函数,从而f '(z )在D 内也解析,又因在D 内f (z ) ≠ 0 ,故

)

()

(z f z f ' 在D 内解析,从而在C 上及C 的内部也解析,于是由Cauchy-Gourssat 定理,

dz z f z f C

?

')

()

(=0 。 9. 设区域D 为右半平面,z 为D 内的圆周1=z 上的任意一点,用在D 内的任意一条曲线

C 连接原点与z ,证明:

4

1Re 02

π

ξξ=??????+?z d 证明:函数

2

1

1ε+在右半平面解析,故从0到z 沿任意曲线C 的积分与路径无关,积分路径换为先沿实轴从0到1,再沿圆周到z 点。

1222000=111i z

i d dx ie d x e η

θηε

ηε++++???

4

2cos i

d θ

π

ηη

=

+?

所以20Re 14

z d επ

ε??=?

?+??? 10.计算下列积分: (1)zdz i

i

2sin ?

-ππ;

解:

i sh z z dz z zdz i i i

i i

i

)22

1

()42sin 2(22cos 1sin 2ππππππππ

-=-=-=---?

?

(2)

?++i

dz z z 1)1()

1ln(.

解:由于被积函数在复平面上除去1-

原式=

+=++=?1)1(ln 21)1ln()1ln(21i z z d z i

221(3ln 2)ln 2848i ππ

-++

(3)

?+L

z

dz e z )1(,L 为1=z

的上半圆周.

解:1h cos 2-

(4)

L dz z z

L

,)17(2?++为11=z 到i z -=11的直线段

解:i 3

262

9--

第六次作业

教学内容:3.3复合闭路定理 3.4柯西积分公式

1.设C 为正向椭圆22149x y +=,定义()22

C f z d z εεεε-+=-? ,z 不在C 上,求()()()1,,f f i f i '''-。

解: z 在C 内部时,22

z

εεε-+-在=z ε处不解析,

()()22

222C f z d i z z z εεεπε-+==-+-? ,

()()

21

1224z f i z z i ππ==-+=;

()()

()22122z i

f i i z i ππ='=-=-+;

()4f i i π''-=

2.沿指定曲线的正向计算下列各积分。 (1)

12:,2

=--?

z C dz z e C

z

解:由Cauchy 积分公式,

22

222

ie ie dz z e z z

C

z

ππ==--?

(2)

()5

cos ,:11C

z

dz C z r z π=>-? ;

解:(1)cos z π在由:1C z r =>围成的区域内解析,

()()()

541

5

cos 2cos 4!

12

1z C z

i i

dz z z ππππ===-

-?

(3)

2:,)2

(sinz 2

=-

?

z C dz z C

解:由高阶求导公式,

0)(sin 2)2

(sinz 2

2

='=-

=

?

πππ

z C

z i dz z

3.计算积分 (1)2:,4

sin

1

12=-?z C dz z z C

π

在积分曲线内被积函数有两个奇点1±,围绕1,1-分别做两条相互外离的小闭合曲线

,,21C C 则由复合闭路定理 dz

z z

z dz z z z dz z z C C C

???

+-+-+=-21

14sin 1114sin 114sin 112

πππi z

z z z i z z ππππ24

sin 114sin

1

1

211=??

?

???-+

+=-== (2)

2

32:,1

2

=

-+?

i z C dz z e C

iz

解:由Cauchy 积分公式,

e i z e i i

z i z dz e dz z e i

z iz

C iz C

iz /2)/(122ππ=+=-+=+=??

(3)

a a z C a

z dz

C

=--?

:,2

2;

解1:i a a z i dz a

z a z a z dz a

z C C

ππ=+=-+=-=??

121

22 解2:

i a dz a z dz a z a a

z dz C C C

π

=+--=-???

)11(2122 (4)

2

3

:,1)4(22=

++?z C dz z z dz

C )

(; 解:因被积函数的奇点

在C 的内部, z = ±2 i 在C 的外部,故由复合闭路定理及

Cauchy 积分公式有:

???=-=++++++=++31312222221)4(1)4(1)4(i z i z C z z dz z z dz z z dz )

()()( ??

=+=

-++++-++=3

123

1

2)4(1)4(1i z i z dz i z i z z dz i z i z z )

()(

0)4(12)4(1222=-++++=-==i z i z i z z i i z z i

()(ππ

4. 设f (z )在区域D 内解析,C 为D 内的任意一条正向简单闭曲线,证明:对在D 内但不在

C 上的任意一点0z ,等式:dz z z z f dz z z z f C C

??

-=-'20

0)()

()(成立。

证明:利用Cauchy 积分公式,有

)(2)(2)

(00

z f i z f i dz z z z f z z C

'='=-'=?

ππ;

又由高阶导数公式

)(2)(!

12)(000

z f i z f i

dz z z z f z z C

'='=-'=?

ππ

故所证等式成立。

5.设()f z 在1z ≤上解析且()01f =,试求:

()11122z f z z dz i z z π=????±+ ????

???? 。 解:()()()()221112111

222z z z f z f z f z z dz dz i z z i z z ππ==??+??????±+=± ???????????

??

()()()2

201z f z f z ='??=±+??

()()()2

221z z f z z f z =??'=±?++??

()20f '=±

复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 计算下列复数 (1 (2 答案 (1 (2)(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()() z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有 对于复数 ,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:

大学物理实验课后题答案

近代物理 1. 是否可以测摆动一次的时间作周期值?为什么? 答:不可以。因为一次测量随机误差较大,多次测量可减少随机误差。 2. 将一半径小于下圆盘半径的圆盘,放在下圆盘上,并使中心一致,讨论此时三线摆的周期和空载时的周期相比是增大、减小还是不一定?说明理由。 答:当两个圆盘的质量为均匀分布时,与空载时比较,摆动周期将会减小。因为此时若把两盘看成为一个半径等于原下盘的圆盘时,其转动惯量I0小于质量与此相等的同直径的圆盘,根据公式(3-1-5),摆动周期T0将会减小。 3. 三线摆在摆动中受空气阻尼,振幅越来越小,它的周期是否会变化?对测量结果影响大吗?为什么? 答:周期减小,对测量结果影响不大,因为本实验测量的时间比较短。 实验2 金属丝弹性模量的测量 1. 光杠杆有什么优点,怎样提高光杠杆测量的灵敏度? 答:优点是:可以测量微小长度变化量。提高放大倍数即适当地增大标尺距离D或适当地减小光杠杆前后脚的垂直距离b,可以提高灵敏度,因为光杠杆的放大倍数为2D/b。 2. 何谓视差,怎样判断与消除视差? 答:眼睛对着目镜上、下移动,若望远镜十字叉丝的水平线与标尺的刻度有相对位移,这种现象叫视差,细调调焦手轮可消除视差。 3. 为什么要用逐差法处理实验数据? 答:逐差法是实验数据处理的一种基本方法,实质就是充分利用实验所得的数据,减少随机误差,具有对数据取平均的效果。因为对有些实验数据,若简单的取各次测量的平均值,中间各测量值将全部消掉,只剩始末两个读数,实际等于单次测量。为了保持多次测量的优越性,一般对这种自变量等间隔变化的情况,常把数据分成两组,两组逐次求差再算这个差的平均值。 实验三,随即误差的统计规律 1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别? 答:对某一物理量在相同条件下做n次重复测量,得到一系列测量值,找出它的最大值和最小值,然后确定一个区间,使其包含全部测量数据,将区间分成若干小区间,统计测量结果出现在各小区间的频数M,以测量数据为横坐标,以频数M为纵坐标,划出各小区间及其对应的频数高度,则可得到一个矩形图,即统计直方图。 如果测量次数愈多,区间愈分愈小,则统计直方图将逐渐接近一条光滑的曲线,当n趋向于无穷大时的分布称为正态分布,分布曲线为正态分布曲线。 2. 如果所测得的一组数据,其离散程度比表中数据大,也就是即S(x)比较大,则所得到的周期平均值是否也会差异很大? 答:(不会有很大差距,根据随机误差的统计规律的特点规律,我们知道当测量次数比较大时,对测量数据取和求平均,正负误差几乎相互抵消,各误差的代数和趋于零。 实验四电热法测量热功当量 1. 该实验所必须的实验条件与采用的实验基本方法各是什么?系统误差的来源可能有哪些? 答:实验条件是系统与外界没有较大的热交换,并且系统(即水)应尽可能处于准静态变化过程。实验方法是电热法。系统误差的最主要来源是系统的热量散失,而终温修正往往不能完全弥补热量散失对测量的影响。其他来源可能有①水的温度不均匀,用局部温度代替整体

中南大学复变函数考试试卷(A)及答案

中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式:闭卷 专业年级:教改信息班 总分100分,占总评成绩70 % 注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上 一、单项选择题(15分,每小题3分) 1. 下列方程中,表示直线的是( )。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2. 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在( )处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3. 下列命题中,不正确的是( )。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4. 下列级数绝对收敛的是( )。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5. 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=,那么()() Res ,0f z =( )。

()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题(15分,每空3分) 1.()Ln 1i -的主值为 。 2.函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3. ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4. 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5. 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三.(10分)求解析函数f z u iv ()=+,已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四.(20分)求下列积分的值 1. () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2. ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五.(15分)若函数()z ?在点解析,试分析在下列情形: 1.为函数()f z 的m 阶零点; 2.为函数()f z 的m 阶极点; 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六.(15分)试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七.(10分)已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=?

复变函数习题解答(第6章)

p269第六章习题(一) [ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ] 7.从 Ceiz /√zdz出发,其中C是如图所示之周线(√z沿正实轴取正值),证明:(0, +)cosx/√xdx= (0, +)sinx/√xdx=√(/2). 【解】| C(R)eiz /√zdz| C(R)| eiz |/R1/2 ds = [0,/2]| ei(cos+isin) |/R1/2 ·R d Ri = [0,/2]| e Rsin |R1/2 d

R R1/2 [0,/2]e Rsin d. 由sin2/([0,/2] ),故R1/2 [0,/2]e Rsin d R1/2 [0,/2]e(2R/) d C r ri = (/(2R1/2 ))(1–e R )/(2R1/2

所以,| C(R)eiz /√zdz|0 (asR+).rR而由| C(r)eiz /√zdz|(/(2r1/2 ))(1–e r ) 知| C(r)eiz /√zdz|0 (asr0+ ). 当r0+ ,R+时, [r,R]eiz /√zdz= [r,R]eix /√xdx= [r,R](cosx+isinx)/√xdx

(0, +)cosx/√xdx+i (0, +)sinx/√xdx. [ri,Ri]eiz /√zdz= [r,R]ei(iy) /√(iy)idy= [r,R]e y ei/4 /√ydy. = (1 +i)/√2 · [r,R]e y /√ydy= 2(1 +i)/√2 · [√r,√R]e u^2 du (1 +i)√2 · (0, +)e u^2 du= (1 +i)√2 ·√/2 = (1 +i)√(/2).由Cauchy积分定理, Ceiz

华理大物实验答案(误差与有效数字,基本测量)

误差与有效数字练习题答案 1.有甲、乙、丙、丁四人,用螺旋测微计测量一个铜球的直径,各人所得的结果表达如下:d 甲 =(1.2832±0.0003)cm ,d 乙 =(1.283±0.0003)cm ,d 丙 =(1.28±0.0003)cm ,d 丁 =(1.3±0.0003)cm ,问哪个人表达得正确?其他人错在哪里? 答:甲对。其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。 2.一学生用精密天平称一物体的质量m ,数据如下表所示 : Δ仪 =0.0002g 请计算这一测量的算术平均值,测量标准误差及相对误差,写出结果表达式。 3.61232i m m g n ∑ = = A 类分量: (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=?= B 类分量: 0.6830.6830.0002 0.00 u g =?= ?=仪 合成不确定度:0.000182U g ====0.00018g 取0.00018g ,测量结果为: (3.612320.00018) m U g ±=± ( P=0.683 ) 相对误差: 0.00018 0.005%3.61232 U E m = == 3.用米尺测量一物体的长度,测得的数值为 试求其算术平均值,A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差,写出结果表达式。 cm n L L i 965.98=∑= , A 类分量: (0.6831S t n =-?0.006=0.0064cm B 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =?=?=仪 合成不确定度: 0.035U cm ====0.04cm 相对误差: %04.096 .9804.0=== L U E ( P=0.683 )

复变函数试题汇总

复变函数试题汇总

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《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析. ( ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ) 3 . 若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点,则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f (z )在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f (z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- (3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i(2 )1 -+(3)(sin cos) r i θθ + (4)(cos sin) r i θθ -(5)1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解:(1)2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

(2 )1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

大学物理实验课后答案

实验一霍尔效应及其应用 【预习思考题】 1.列出计算霍尔系数、载流子浓度n、电导率σ及迁移率μ的计算公式,并注明单位。 霍尔系数,载流子浓度,电导率,迁移率。 2.如已知霍尔样品的工作电流及磁感应强度B的方向,如何判断样品的导电类型? 以根据右手螺旋定则,从工作电流旋到磁感应强度B确定的方向为正向,若测得的霍尔电压为正,则样品为P型,反之则为N型。 3.本实验为什么要用3个换向开关? 为了在测量时消除一些霍尔效应的副效应的影响,需要在测量时改变工作电 流及磁感应强度B的方向,因此就需要2个换向开关;除了测量霍尔电压,还要测量A、C间的电位差,这是两个不同的测量位置,又需要1个换向开关。总之,一共需要3个换向开关。 【分析讨论题】 1.若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交,按式(5.2-5)测出的霍尔系数比实际值大还是小?要准确测定值应怎样进行? 若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交,则测出的霍尔系数比实际值偏小。要想准确测定,就需要保证磁感应强度B和霍尔器件平面完全正交,或者设法测量出磁感应强度B和霍尔器件平面的夹角。 2.若已知霍尔器件的性能参数,采用霍尔效应法测量一个未知磁场时,测量误差有哪些来源? 误差来源有:测量工作电流的电流表的测量误差,测量霍尔器件厚度d的长度测量仪器的测量误差,测量霍尔电压的电压表的测量误差,磁场方向与霍尔器件平面的夹角影响等。 实验二声速的测量 【预习思考题】 1. 如何调节和判断测量系统是否处于共振状态?为什么要在系统处于共振的条件下进行声速测定? 答:缓慢调节声速测试仪信号源面板上的“信号频率”旋钮,使交流毫伏表指针指示达到最大(或晶体管电压表的示值达到最大),此时系统处于共振状态,显示共振发生的信号指示灯亮,信号源面板上频率显示窗口显示共振频率。在进行声速测定时需要测定驻波波节的位置,当发射换能器S1处于共振状态时,发射的超声波能量最大。若在这样一个最佳状态移动S1至每一个波节处,媒质压缩形变最大,则产生的声压最大,接收换能器S2接收到的声压为最大,转变成电信号,晶体管电压表会显示出最大值。由数显表头读出每一个电压最大值时的位置,即对应的波节位置。因此在系统处于共振的条件下进行声速测定,可以容易和准确地测定波节的位置,提高测量的准确度。 2. 压电陶瓷超声换能器是怎样实现机械信号和电信号之间的相互转换的? 答:压电陶瓷超声换能器的重要组成部分是压电陶瓷环。压电陶瓷环由多晶结构的压电材料制成。这种材料在受到机械应力,发生机械形变时,会发生极化,同时在极化方向产生电场,这种特性称为压电效应。反之,如果在压电材料上加交

重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题(A ) 一.填空题(每小题3分,共计15分) 1. 2 3 1i -的幅角是( );2.)1(i Ln +-的主值是 ( );3. 2 11)(z z f +=,=)0() 5(f ( ); 4.0=z 是 4 sin z z z -的( )极点;5. z z f 1 )(=,=∞]),([Re z f s ( ) ; 二.选择题(每小题3分,共计15分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C ) y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(. 2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=?C z z f . (A ) 23-z ; (B )2 )1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z . 3.如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛,则级数在 (A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散. 4.下列结论正确的是( ) (A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=? C dz z f (C )如果 0)(=? C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析; (D )函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是( ). (A) 的可去奇点;为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分) (1)设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a (2).计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周:2=z ; 得分

华东理工大学概率论答案-4,5,6

华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿(第二册) 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第四次作业 一. 填空题: 1.设事件A,B 相互独立,且5.0)(,2.0)(==B P A P ,则)(B A B P ∪= 4/9 2. 设A 、B 、C 两两独立,且ABC=Φ, P(A)=P(B)=P(C)< 21, 16 9)(=∪∪C B A P 则P(C)= 0.25 3. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ∪=,则(|)P A B = 13,(|)P B A =1 2 。 4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==,(|)0.4P A B =,则()P AB = 0.2,()P A B ∪= 0.6, (|)P B A = 2 3 。 二. 选择题: 1. 设袋中有a 只黑球,b 只白球,每次从中取出一球,取后不放回,从中取两次,则第二次取出黑球的概率为( A );若已知第一次取到的球为黑球,那么第二次取到的球仍为黑球的概率为( B ) A.)(b a a + B.11?+?b a a C. )1)(() 1(?++?b a b a a a D.2 2)(b a a + 2.已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的为( B )。 A .A B 与互不相容; B .A B 与独立; C .A B ?; D .()0.4P B A =.

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1. 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段; 解:连接自原点至i +3的直线段的参数方程为:()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至i +3; 解:连接自原点沿实轴至3的参数方程为:t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为:it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ( ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至i +3。 解:连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为:it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为:i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2. 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解:x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

华理大物实验报告

1实验名称 电桥法测中、低值电阻 一.目的和要求 1.掌握用平衡电桥法测量电阻的原理和方法; 2.学会自搭电桥,且用交换法测量电阻来减小和修正系统误差; 3.学会使用QJ-23型惠斯登电桥测量中值电阻的方法; 4.学会使用QJ-42型凯尔文双臂电桥测量低值电阻的方法; 二.实验原理 直流平衡电桥的基本电路如下图所示。 图中B A R R ,称为比率臂,Rs 为可调的标准电阻,称为比较臂,Rx 为待测电阻。在电路的对角线(称为桥路)接点BC 之间接入直流检流计,作为平衡指示器,用以比较这两点的电位。调节Rs 的大小,当检流计指零时,B ,C 两点电位相等AB AC U U =;BD CD U U = ,即B B A A R I R I =;S S X X R I R I =。因为检流计中无电流,所以X A I I =,S B I I =,得到电桥平衡条件 Rs R R Rx B A =。 三.实验仪器 直流电源,检流计,可变电阻箱,待测电阻,元器件插座板,QJ24a 型惠斯登直流电桥,QJ42型凯尔文双臂电桥,四端接线箱,螺旋测微计 四.实验方法 1.按实验原理图接好电路; 2.根据先粗调后细调的原则,用反向逐次逼近法调节,使电桥逐步趋向平衡。在调节过程中,先接上高值电阻R m ,防止过大电流损坏检流计。当电桥接近平衡时,合上K G 以提高桥路的灵敏度,进一步细调; 3.用箱式惠斯登电桥测量电阻时,所选取的比例臂应使有效数字最多。

五.数据记录与分析 (0.0010.002) S RS R m ?±+ 仪 =,其中 S R是电阻箱示值,m是所用转盘个数,RS σ ? ' = X R= X R σ= 所以 2 297.80.1 X R=±Ω, 3 1995.40.8 X R=±Ω 2.不同比例臂对测量结果的影响 3.用箱式惠斯登电桥测量电阻 4.用开尔文电桥测量低值电阻 铜棒平均直径d=3.975mm(多次测量取平均)(末读数-初读数) 电阻 2 4 R L L S d ρρ π ==,由下图中的拟合直线得出斜率00609 .0 4 2 = = d k π ρ ,则电阻率 () m k d ? Ω ? = ? ? ? = =- - 8 2 3 2 10 56 .7 4 10 975 .3 00609 .0 142 .3 4 π ρ

华理概率论06-6-B-试卷答案

华东理工大学2005–2006学年第二学期 《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.06 开课学院: 理学院 ,专业:大面积 ,考试形式:闭卷 , 所需时间:120分钟 考生姓名: 学号: 班级 任课教师 一、 填空题(每题5分,共20分) (1)设 P ( A ) = 0.5 , P ( A B ) = 0.75 , a ) 若A 与 B 独立,则 P(B) = 0.5 ; b). 若A 与B 不相容 ,则 P(B) = 0.25 。 (2)设n X X X ,,21为总体2 ~(,)N ξμσ的样本,211 1,()n n i i i i X X X U n μσ==-==∑∑, 则它们分别服从 2(,)N n μσ 和 2()n χ 分布。 (3)设随机变量,ξη相互独立,且4D D ξη=。记23,23X Y ξηξη=+=-,则 {()()(E XY EX EY -= 725 。 (4) 设随机变量ξ的密度函数为:01 (),120ax x p x b x x ≤

(A )A 与B 互不相容; (B )A 与B 相容; (C )P(AB) = P(A) P(B); (D )()()P A B P A -=。 (2)设随机变量,ξη相互独立,且3, 2.1E D ξξ==;4, 2.4E D ηη==,则 2(2)E ξη-=( A )。 (A )14.8 ; (B ) 4 ; (C )12.4 ; (D )其它 。 (3)设随机变量X ,Y 相互独立,服从相同的两点分布:111212-?? ????,则下列结论中肯定正确的是( C ): (A )X=Y ; (B )P(X=Y) = 0 ; (C )P(X=Y) = 12; (D )P(X=Y) = 1 。 (4)设(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量,U X Y V X Y =+=-独立的充要条件为( B ): (A )EX EY =; (B )2222()()EX EX EY EY -=-; (C )22EX EY =; (D )2222()()EX EX EY EY +=+。 三、(共10分)袋中有5个白球,3个红球,甲先从袋中随机取出一球后,乙再从中随机取出一球。 (1)试求“乙取出的是白球”的概率; (2)若已知“乙取出的是白球”,计算“甲取到红球”的条件概率。 解:(1)设A ={ 甲取出的是白球 };B ={ 乙取出的是白球 };则 B AB AB =+,由全概率公式(或抓阄模型), ()()()()()P B P A P B A P A P B A =+=5435587878 ?+?=。(5分) (2) 利用贝叶斯公式,得 35()()()3 87()5()()78 P A P B A P AB P A B P B P B ?====。 (5分)

复变函数第二章习题答案精编版.doc

第二章解析函数 1-6 题中: (1)只要不满足 C-R 条件,肯定不可导、不可微、不解析 (2)可导、可微的证明:求出一阶偏导u x, u y, v x, v y,只要一阶偏导存在且连续,同时满足C-R 条件。 (3)解析两种情况:第一种函数在区域内解析,只要在区域内处处可导,就处处解析;第二种情况函数在某一点解析,只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析,如果只在该点可导,而在其邻域不可导则在该点不解析。 (4)解析函数的虚部和实部是调和函数,而且实部和虚部守C-R 条件的制约,证明函数区域内解析的另一个方法为:其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件,反过来,如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导: f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析,并满足下列的条件,证明 f ( z) 必为常数。 (1)f z 0 z D 证明:因为 f ( z) 在区域上解析,所以。 令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ,即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得:u v u v x y 0, 0 。 y x 所以, u( x, y) C1(常数),v( x, y) C2(常数),即 f (z) C1 iC2为 常数。 5、证明函数在z 平面上解析,并求出其导数。 (1) e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).

证明:设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) , v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ; y u e x ( x sin y sin y y cos y) ; v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件,故函数在 z 平面上 解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、(1)由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。 , , 解: u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析,根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数,再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x , x 2 所以 (x) x ,即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ,所以当 x 0, y 1 ,时 u 1 1 1 , v c 1得 c 2 2

大学物理实验习题参考答案

习 题(参考答案) 2.指出下列测量值为几位有效数字,哪些数字是可疑数字,并计算相对不确定度。 (1) g =(9.794±0.003)m ·s 2 - 答:四位有效数字,最后一位“4”是可疑数字,%031.0%100794 .9003 .0≈?= gr U ; (2) e =(1.61210±0.00007)?10 19 - C 答:六位有效数字,最后一位“0”是可疑数字,%0043.0%10061210 .100007 .0≈?= er U ; (3) m =(9.10091±0.00004) ?10 31 -kg 答:六位有效数字,最后一位“1”是可疑数字,%00044.0%10010091 .900004 .0≈?= mr U ; (4) C =(2.9979245±0.0000003)8 10?m/s 答:八位有效数字,最后一位“5”是可疑数字 1.仪器误差为0.005mm 的螺旋测微计测量一根直径为D 的钢丝,直径的10次测量值如下表: 试计算直径的平均值、不确定度(用D 表示)和相对不确定度(用Dr 表示),并用标准形式表示测量结果。 解: 平均值 mm D D i i 054.210110 1 ==∑=

标准偏差: mm D D i i D 0029.01 10)(10 1 2 ≈--= ∑=σ 算术平均误差: m m D D i i D 0024.010 10 1 ≈-= ∑=δ 不确定度A 类分量mm U D A 0029.0==σ, 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00029.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为:%29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D 或 不确定度A 类分量mm U D A 0024.0==δ , 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00024.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为: %29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D ,%00001.0%1009979245 .20000003 .0≈?= Cr U 。 3.正确写出下列表达式 (1)km km L 310)1.01.3()1003073(?±=±= (2)kg kg M 4 10)01.064.5()13056430(?±=±= (3)kg kg M 4 10)03.032.6()0000030.00006320.0(-?±=±= (4)s m s m V /)008.0874.9(/)00834 .0873657.9(±=±= 4.试求下列间接测量值的不确定度和相对不确定度,并把答案写成标准形式。

复变函数测试题及答案-精品

第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点) ,(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为

i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( )

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