探索三角函数的解法以一题多解为例

一题多解是激发学生兴趣、开拓思路、培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法.一题多解的构思方法是：从数学基本知识方面构思；从数学基本方法方面构思；从初等数学中的代数、立体几何、解析几何、三角函数等的横向综合沟通方面构思,等等.如2010年普通高等学校招生全国统一考试的文、理科数学(17)题：

ABC ?中,D 为边BC 上的一点,33=BD ,135sin =

B ,5

cos =∠ADC ,求AD . 对这道高考题,可以采用如下多种解法求解：

分析1 根据图一,先求出BAD ∠sin ,再利用正弦定理求AD . 解法1 由题意可得1312cos =

B ,5

sin =∠ADC . 从而 )sin(sin B ADC BAD -∠=∠

B AD

C B ADC sin cos cos sin ∠-∠=

135

53131254?-?=

由正弦定理得 BAD BD B AD ∠=sin sin , 所以BAD

B BD AD ∠?=sin sin 2565

3313533=?

. 分析2 联立正弦定理与余弦定理构造一个关于AD 的方程，并从中解出AD .

解法2 由题意可得1312cos =B ,5

sin =∠ADC . 从而54sin sin =∠=∠ADC ADB .

由正弦定理得B AD ADB AB sin sin =∠, 所以AD AB 25

. 又由余弦定理知13

2cos 222=?-+=

BD AB AD BD AB B ，将AD AB 2552=代入此式,可得： 088481251029600270272=+-AD AD

求解该一元二次方程, 得25=AD .

分析3 过D 作AB 的垂线，垂足为F (见图二), 先求出BAD ∠sin ，再由直角三角形ADF 解出AD .

解法3 过D 作AB 的垂线，垂足为F ,则

16513533sin =?

==B BD DF . 又)sin(sin B ADC BAD -∠=∠

B AD

C B ADC sin cos cos sin ∠-∠=

6533=

, 所以25sin =∠=

BAD

AD . 分析4 过D 作AB 的垂线，垂足为F (见图二),利用诱导公式求出ADF ∠cos ,再根据直角三角形ADF 求出AD .

解法4 过D 作AB 的垂线，垂足为F , 则

13165

13533sin =?==B BD DF .

而且135

3313165cos ===∠BD DF BDF ,

1312

cos )2sin(sin ==-=∠B B BDF π,

sin =∠ADC ,

=∠ADF cos )cos(ADC BDF ∠-∠-π

=)cos(ADC BDF ∠+∠- ADC BDF ADC BDF ∠∠+∠∠-=sin sin cos cos 6533=

，从而25cos =∠=

ADF

AD . 分析5 过A 作BC 的垂线AE ,垂足为E (见图三),在直角三角形ADE 中设x AD =，得出AE ,BE 的长度的表示式,然后在直角三角形ABE 中利用勾股定理.

解法5 过A 作BC 的垂线AE ,垂足为E .设x AD =,则由54

sin =∠ADC 可得

x AE 54=

, x DE 53=. 这样 x BE 5

33+=, =AB 22)5

33()54(x x ++. 再由22)5

333()54(5

4sin x x x AB

B ++==

, 得25=x . 分析6 过A 作BC 的垂线AE (见图三),在ADE ?Rt 中利用5

cos =∠ADC 设三边的长分别为:x AD x DE x AE 5,3,4===；同时在ABE ?Rt 中利用BE

B =tan 求解x . 解法6 过A 作B

C 的垂线AE ,垂足为E .

由53

cos =

∠ADC ,可设x AD x DE x AE 5,3,4===. 125tan ,135sin =∴=B B . 即=+x x 333412

，解得5=x . 从而25555=?==x AD .

分析7 过D 作AB 的垂线DF ,过A 作BC 的垂线AE (见图四),这样便可以构造两个相似三角形，然后借助“相似三角形的对应边成比例”这一性质求解AD .

解法7 过D 作AB 的垂线DF ,垂足为F ;过A 作BC 的垂线AE ,垂足为E . 则BDF ?与BAE ?相似, 这样BF

DF AE =. 又53

cos =

∠ADC ,可设x AD x DE x AE 5,3,4===. 由135sin =B 得:13533?=DF ,13

33?=BF .

因此

123333313

5334?

x , 解得5=x . 从而25=AD .

（图一）（图二）

（图三）（图四）

从上面的多种解法我们注意到解法6和解法7比较简单,数学问题形式多样,由于思维定势产生的负效应,学生解题时往往墨守成规,而思维灵活性的培养在解题教学中主要表现为一题多解.因此,在教学及学习过程中应注重一题多解.一题多解以其思维的发散性,探求问题的多方向性、多层次性、多侧面性,解法转化的灵活性,使数学解题的方法五彩缤纷,各具特色.在教学及学习中运用一题多解,是学好数学的一种良好方法.运用一题多解,总结各种解法,有利于学生的知识系统化、深刻化;运用一题多解,有利于培养良好的数学思维品质;运用一题多解,有利于学生寻求规律,更好地学会求解数学问题;运用一题多解,有利于开发学生的智力及培养思考问题的能力.

参考文献：

[1] 程观航,数学教学的几点体会[J];安徽教育;1980年03期. [2] 苏晓改,也谈一题多解[J], 黑龙江科技信息,2011年03期. [3] 赵伟伟,运用“一题多解、多变”培养学生发散性思维力[J], 科技信息,2010年31期. [4] 范超华,由数学解题谈数学教育[J], 科技信息, 2010年19期.

[5] 严彬, 用一题多解提高学生的分析能力[J], 长沙大学学报, 2010年02期.

附：

作者姓名：李艳，性别：女，出生年（1977－），工作单位：甘肃省兰州市第六十五中学，通讯地址：甘肃省兰州市第六十五中学，邮编730070，

研究方向：数学教学研究，

电话：139********，

投稿日期：2011.7.14