高中数学完整讲义——三角函数3.三角恒等变换
高中数学讲义
题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【例1】cos79cos34sin79sin34
+=（）。
A 1
2
B 1
C
D
【例2】已知
4
cos
5
α=-，(,)
2
π
απ
∈，则cos()
4
π
α
-=（）。
A
B
C
D
【例3】在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)
A =，(cos20,sin20)
B =，则||
AB的值是（）
A 1
2
B
C D 1
【例4】
若sin sin1
αβ
-=-
1
cos cos
2
αβ
-=-，则cos()
αβ
-=（）A
1
2
B
1
2
-
C
D
【例5】已知
3
sin(30)
5
α
+=，60150
α
<<，则cosα=（）
A
B
C
D
【例6】sin15cos15
+=（）。
A 1
2
B
C
D
典例分析
板块三.三角恒等变换
高中数学讲义 【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。 A
1725 B 35 C 725 D 15
【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2
πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
【例9】 已知向量(cos75,sin75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）
A
12 B C D 1
【例10】 已知34
παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ） A 2
B 2-
C 1
D 1-
【例11】
sin163sin 223sin 253sin 313+=（ ）。
A 12-
B 12
C D
【例12】 已知1tan 41tan αα-=++tan()4
πα-=（ ）。
A 4+
B 4
C 4-
D 4-+
【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4
πα+=（ ） A
1318 B 1322 C 322 D 16
高中数学讲义
【例14】已知sin cos
θθ
-=(0)
2
π
θ
≤≤，则sin cos
θθ
+=（）
A B
2
3
C
1
3
D 1
【例15】在ABC中，sin cos
A A
+的取值范围是（）
A (1,
- B ( C (2] D (1,1]
-
【例16】sin70sin30cos70cos30
a=+，cos71cos30sin71sin30
b=+，则,a b的大小关系是。
【例17】若cos cos cos0
αβγ
++=，sin sin sin0
αβγ
++=，则cos()
αβ
-=。
【例18】
=。
【例19】3cos4sin5cos()
x x xα
+=+，则sinα=；cosα=。
【例20】
sin7cos15sin8
cos7sin15sin8
+
-
的值为。
【例21】函数cos cos()
3
y x x
π
=++的最大值是。
【例22】已知(0,)
2
π
α∈，且
3
sin
5
α=)
4
π
α-的值。
【例23】证明：
3
cos()sin
2
π
θθ
-=-
高中数学讲义 【例24】 若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，求cos β的值。
【例25】 设1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3
αβ+=，求cos()αβ-的值。 【例26】 已知,αβ都是锐角，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，求cos β的值。
【例27】 若3sin sin 5x y +=，4cos cos 5
x y +=，求cos()x y -的值。
【例28】 定义10200cos()cos()cos()n n θθθθθθ-+-+
+-为集合12{,,,}n θθθ相对于常数0θ的“余
弦平均数”，求集合22{,0,}33
ππ-
相对于于常数0θ的“余弦平均数”。
【例29】 已知4cos 5θ=-，(,)2πθπ∈，求sin()3
πθ+的值。
【例30】 已知tan()34π
α+=，求tan α的值。
【例31】 已知324π
πβα<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5
αβ+=-，求sin 2α的值。
【例32】 已知,(0,)αβπ∈且1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，求2αβ-的值。
【例33】 已知2sin()3αβ+=，3sin()4
αβ-=，求tan tan αβ的值。
高中数学讲义
【例34】已
知函数cos
y x x
+，R
x∈（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由sin()
R
y x x
=∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
【例35】函数2
()2cos sin()2sin sin2sin cos cos
f x a x x a x a x x
βββ
=+-+的定义域是R，值域是[2,2]
-，在区间
5
[,]
1212
ππ
-上是单调递减函数，且0
a>，[0,2]
βπ
∈。（1）求()
f x的周
期；（2）求常数a和角β的值。
【例36】已知,
αβ
都是锐角，且sinα=
sinβ=αβ
+。
【例37】
求tan()tan()tan()tan()
6666
ππππ
θθθθ
-++-+的值。
【例38】已知
5
sin()
413
x
π
-=，0
4
x
π
<<，求
cos2
cos()
4
x
x
π
+
的值。
【例39】求证：tan()tan()tan()tan()tan()tan()
x y y z z x x y y z z x
---=-+-+-。
【例40】已知
3
sin()sin
35
π
αα
+-=，0
2
π
α
-<<，求cosα的值。
【例41】已知tanα与tanβ是方程2330
x x
--=的两根，
求22
sin()3sin()cos()3cos()
αβαβαβαβ
+-++-+的值。
高中数学讲义
【例42】 已知向量(cos ,a m θ=，(1,sin )b n θ=+，且a b ⊥（1）若1m n ==，
求sin()6πθ-的值；（2）若m =，且(0,)2
πθ∈，求实数n 的取值范围。
题型二：二倍角的正弦、余弦、正切公式
【例43】 下列各式中，值为12
的是（ ）。 A sin15cos15
B 22cos 151-
C
D 2tan 22.51tan 22.5-
【例44】 已知(,0)2x π
∈-，4cos 5
x =，则tan 2x =（ ）。 A
724 B 724- C 247 D 247
- 【例45】
22cos 75sin 75cos75cos15++的值为（ ）
A
B 32
C 54
D 1 【例46】 函数2sin (sin cos )y x x x =+的最大值为（ ）
A 1
B 1
C
D 2
【例47】 是二次方程21(tan )10tan x x θθ
-++=的一个根，tan 1θ<，则tan 2θ=（ ）
A
B C D
【例48】 函数()sin 2f x x x =的最小正周期是（ ）。
A π
B 2π
C 4π
D 8
π 【例49】 已知3sin()45x π-=，则cos(2)2
x π-的值为（ ）。 A
1925 B 1625 C 1425 D 725
高中数学讲义
【例50】若tan2
α=，则
1
sin2
2
α=（）
A
1
2
B
2
3
C
2
5
D 1
【例51】如果
1
sin2
4
α=且(,)
42
ππ
α∈，那么cos sin
αα
-=（）
A B
3
4
- C
3
4
D
【例52】若
2
2sin1
2
()2tan
sin cos
22
f
θ
θθ
θθ
-
=+，则()
8
f
π
=（）
A 0
B 2
C 2-
D 4-
【例53】已知
1
cos()cos()
444
ππ
θθ
+-=，则44
sin cos
θθ
+的值等于_______。
【例54】
sin cos1
2cos sin3
αα
αα
+
=
-
，则tan2α=_________。
【例55】化简2
cos 75的值是_______。
【例56】已
知tan()
3
π
α-=，则tanα=_________；
22
sin cos
3cos2sin
αα
αα
=
-
_________。【例57】已知
3
sin cos
10
x x=，求4sin()sin()
44
x x
ππ
-+的值
【例58】求证：（1）
2
2tan
sin2
1tan
x
x
x
=
+
；（2）
2
2
1tan
cos2
1tan
x
x
x
-
=
+
。
【例59】已知
3
cos
5
α=
，cosβ=且,(0,)
2
π
αβ∈，求tan2()
αβ
-的值。
高中数学讲义 【例60】 求22sin 20cos 50sin 20cos50++的值。
【例61】 已知sin cos sin cos αααα-=，求sin 2α的值。
【例62】 已知44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--。（1）求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[0,]2π
上的最大值和最小值。
【例63】 设2sin 2sin 2cos cos21,(0,)2π
ααααα+-=∈。求sin ,tan αα的值。
【例64】 已知33cos()()4522πππαα+=≤<，求cos(2)4
πα+的值。
【例65】 已
知sin cos )θθθπ+=<<，求cos 2θ的值。
【例66】 求函数66sin cos y x x =+的最小正周期。
【例67】
求227()4sin cos ()424
f x x x x x x ππ=+-≤≤的最小值，并求出取得最小值时x 的值。
【例68】 化简4221
2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+
-+。
【例69】 若4cos(45)(225315)5x x -=-<<，求2sin 2sin 1tan x x x
-+的值。
高中数学讲义
【例70】已知矩形ABCD的长AB a
=，宽AD b
=，试求其外接矩形EFGH面积的最大值与对角线长的最大值.
题型三：简单的三角恒等变换
【例71】化
）。
A cos1
- B cos1
C
D
【例72】tan cot
88
ππ
-的值是（）
A 1-
B 2-
C 1
D 2
【例73】若
24
sin2
25
α=
cos()
4
π
α
-的值为（）
A
1
5
B
7
5
C
1
5
± D
7
5
±
【例74】设θ在第二象限，且
31
sin()
222
θπ
+>
cos sin
22
-
）
A 1
B 1-
C 1-或1
D 不能确定
【例75】若
2
2sin1
()
sin4
f
α
α
α
-
=，则()
12
f
π
=_______。
【例76】等腰三角形的顶角的正弦值为
5
13
，则它的底角的余弦值为_________。
【例77】已知A是ABC
△的内角，且
1
sin cos
5
A A
+=，求tan A的值。
H G
F
E
D
C
B
A
高中数学讲义 【例78】 求证(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22
θθθθθθ+--+=。 【例79】 已
知函数23cos2y x x -。
（1）求函数的增区间；（2）说出此函数与sin y x =之间的关系。
【例80】 2002年8月，在北京召开了国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角
三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是125
，求22sin cos θθ-的值.
【例81】 求证：2212sin cos tan()cos sin 4
ααπααα-=--。
【例82】 已
知函数2()sin cos f x x x x =+。
（1）求25(
)6
f π的值；（2）设(0,)απ∈
，1()24f α=-，求sin α。
【例83】 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为
绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另两点,B C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点,A D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？
D C B
A O
高中数学讲义
【例84】已知
1
tan
2
α=，
1
tan
3
β=，0
2
π
α
<<，
3
2
π
πβ
<<，求αβ
+的值。
【例85】已知
2
2sin1
2
()2tan
sin cos
22
f
α
αα
αα
-
=-，求()
12
f
π
【例86】已
知函数2
()2sin sin cos(0)
f x a x x x a b a
=-++>的定义域为[0,]
2
π
，值域为[5,1]
-，求常数,a b的值。
【例87】已知半径为1，圆心角为
3
π
的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积.
【例88】已知α为锐角，且
π
tan2
4
α
??
+=
?
??
．
⑴求tanα的值；
⑵求
sin2cos sin
cos2
ααα
α
-
的值．
三角函数恒等变换(整理)
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 高考数学二轮复习：三角函数的专题(附参考答案) 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。 A ．21 B ．21- C ．41 D ．4 1- 三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：） 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： §1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 图象 定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 平方关系：sin^2α＋cos^2α＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα 直角三角形ABC中, 角A 的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, [1]三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanαtanβ-tanβ·tanγ-ta nγ·tanα) 辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 推导公式1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2 其他： 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 三角函数与三角恒等变换（知识点） 1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1180 π =弧度，1弧度180 ( )π ='5718≈. ⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211 ||22 S R Rl α= =. 2．三角函数定义： ⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的 余弦，记作cos α； y x 叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则： sin ,cos ,y x r r αα==tan y x α=. 三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线： 正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4 六组诱导公式统一为“()2 k Z α±∈” ，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos α αα =（商数关系）. 6．两角和与差的正弦、余弦、正切：① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ② cos()cos cos sin sin αβαβ αβ±=； ③ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= . 7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=； ② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα= -=-=-； ③ 2 2tan tan 21tan α αα =-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2 α α+=. （降次公式） 8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ?+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ω?=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T π ω = ，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ω π = = ，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ω?+为相位；?为初相. 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 《三角函数恒等变换》知识归纳与整理 一、 基本公式 1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± （2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= （3） 半角的三角函数 212 C S α α -± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差 ][2 1 )()(C C C C βαβαβ α-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-= （2） 和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- （3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 2 2 212α α α += T T C 22 2 211α α α+-= T T T 2 2 212α α α- = （4） 辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++=+x x b x a b a 其中：a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式： ① ) 4 sin(2cos sin π + =+x x x 关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) · 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2) cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2) tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 高考数学二轮复习：三角函数专题
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