2018年全国高中数学联合竞赛加a试试题(A卷)

2018年全国高中数学联合竞赛加a试试题(A卷)

2018年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)

一.(本题满分40分)设n 是正整数,B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数,满足n i A a b a i i i ,,2,1,, =≤≤,且A

B a a a b b b n n ≤ 2121. 证明:

1

1)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A B a a a b b b n n . 二.(本题满分40分)如图,ABC △为锐角三角形,,AC AB

证明:若,EM BN =则FG DF ⊥.(答题时请将图画在答卷纸上)

三.(本题满分50分)设m k n ,,是正整数,满足2≥k ,且n k

k m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集.证明:区间??

? ??-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-,其中A a a ∈',.

四.(本题满分50分)数列{}n a 定义如下:1a 是任意正整数,对整数1≥n ,1+n a 是与

∑=n i i a 1互素,且不等于n a a a ,,,21 的最小正整数.证明:每个正整数均在数列{}n a 中出现

.

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高一年级)---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高二年级)---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷(高一年级)---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷(高二年级)---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷(高二年级)---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷(高一年级)---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中,已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位),则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为,则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数,lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足:1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. (* n N ∈) 9、将27,37,47,48,557175, ,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题(本题80分,每题20分) 11、在ABC ?中,角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,证明:

2018年高中数学会考题

2018年高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试(数学) 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上,注意字迹清楚,卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题(共50分) 一、选择题:本大题共15小题,只有一项是正确的.第1-10每小题3分,第11-15 每小题4分,共50分) 1.已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<,则M ∩N 等于 ( ) A .{0,1,2} B .{0,1} C .{0,2} D .{0} 2.下列结论正确的是( ) A . 若 ac>bc , 则 a>b B .若a 2>b 2,则a>b C .若a>b,c<0,则 a+c

C .65π D .32π 4.已知奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数,且 最小值为5,那么函数()f x 在区间 [-7,-3]上( ) A .是减函数且最小值为-5 B .是减 函数且最大值为-5 C .是增函数且最小值为-5 D .是增 函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是( ) A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6.在等比数列{}n a 中,若3 2 a =,则12345 a a a a a = ( ) A. 8 B. 16

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 (考试时间:80分钟 满分100分) 一、填空题(共8小题,5678=?分) 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =, 1()(()) k k f n f f n +=, 1,2,3... k =,则 =)2010(2010f 。 3、如图,正方体1 111D C B A ABCD -中,二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+,则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中,给定两点(1,2)M -和(1,4)N ,点P 在X 轴上移动,当MPN ∠取最大值时,点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ,则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题(共3题,分44151514=++) 9、设数列}{n a 满足条件:2,121==a a ,且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证:对于任何正整数n ,都有:n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:,0>x ,m 为正常数.直线l 与曲线M 的实轴不垂直,且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点,O 为坐标原点。 (1)若||||||CD BC AB ==,求证:AOD ?的面积为定值; (2)若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1,求证:||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根,函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. (Ⅰ)求);(min )(max )(x f x f t g -= (Ⅱ)证明:对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ,若1sin sin sin 321=++u u u ,则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 (考试时间:150分钟 总分:200分) 一、(本题50分)如图, 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切,,,,E F G H 为切点,并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证:直线PA 与BC 垂直。 二、(本题50分)正实数z y x ,,,满 足 1≥xyz 。证明: E F A B C G H P O 1。 。 O 2

2018年吉林省高中会考(数学)模拟考试题

2018年吉林省普通高中学业考试模拟试题(数学) 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂 在答题卡和试卷规定的位置上。考试结束时.将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷.第1卷为选择题.第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为 120分。答题时间为100分钟。 3.第1卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后.用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。选择题答案写在试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上.注意字迹清楚.卷面整洁。 参考公式: 标准差: 锥体体积公式: V= 31S 底·h 其中.s 为底面面积.h 为高, 柱体体积公式 V=s.h 球的表面积、体积公式 S= 2 4R π V=3 43 R π 其中.s 为底面面积.h 为高, V 为体积 .R 为球的半径 第1卷 (选择题 共50分) 一、选择题(本大题共15小题.每小题的四个选项中只有一项是正确的.第1-10小题每 小题3分.第11-15小题每小题4分.共50分) 1.设集合M={- 2.0.2}.N={0}.则( ). A .N 为空集 B. N∈M C. N M D. M N 2.已知向量(3,1)=a .(2,5)=-b .那么2+a b 等于( ) A (1,11)- B (4,7) C (1,6) D (5,4)- 222121[()()()] n s x x x x x x n =-+-++-L

3.函数2log (1)y x =+的定义域是( ) A (0,)+∞ B (1,)-+∞ C (1,)+∞ D [1,)-+∞ 4.函数sin y x ω=的图象可以看做是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变.横坐标缩短到原来的 1 2 倍而得到的.那么ω的值为( ) A 14 B 1 2 C 4 D 2 5.在函数3y x =.2x y =.2log y x = .y =中.奇函数是( ) A 3y x = B 2x y = C 2log y x = D y = 6.一个几何体的三视图如图所示. 该几何体的表面积是( ) A 3π B 8π C 12π D 14π 7.11sin 6 π的值为( ) A 12- B 2- C 1 2 D 2 8.不等式2320x x -+<的解集为( ) A {}2x x > B {}1x x > C {}12x x << D {}12x x x <>或 9.在等差数列{}n a 中.已知12a =.24a =.那么5a 等于( ) A .6 B .8 C .10 D .16 俯视图 左(侧)视图 主(正)视图2 2

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中,已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数,方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位) ,则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为,则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数,lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足: 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. (* n N ∈) 9、将27,37,47,48,557175, ,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧(上篇) 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学,通常的情况是,在一般思维规律的指导下,灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中,经常使用一些方法和原理(如探索法,构造法,反证法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原理……),同时,也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过:“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技,它既是使用数学技巧的技巧,又是创造数学技巧的技巧,更确切点说,这是一种数学创造力,一种高思维层次,高智力水平的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是:以已知条件为原料、以所求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形,构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例,构造抽屉,构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周(77天)的集训,每天至少下一盘棋,每周至多下12盘棋,证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明:用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天(包括第n 天在内)所下的总盘数(1,2,77n =…),依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数: 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<,即154个数中,每一个取值是从1到153的自然数,因而必有两个数取值相等,由于i j ≠时,i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明,从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序,并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”,其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解:构造一个△ABC ,其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ,则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知,当且仅当∠C=90°时,取值得最小值2,亦即222()()()x y y z x z +++=+

2018-2019年山东高二水平数学会考真题及答案解析

2018-2019年山东高二水平数学会考真题及答案解析班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________ 题号一二三总分 得分 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、选择题 1.条件,条件,则p是q的(). A.充分不必要条件B.必要不充分条件充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:,,的充分不必要条件. 考点:四种条件的判定. 2.已知等差数列的前n项和为,满足( ) A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 试题分析:,又,所以,那么. 考点:等差数列的前n项和. 3.下列函数中,在x=0处的导数不等于零的是() A.B.C.y=D. 【答案】A 【解析】 试题分析:因为,,所以,,所以,在x=0处的导数为1, 故选A。

考点:导数计算。 点评:简单题,利用导数公式加以验证。 4.设,若,则等于() A.e2B.e C.D.ln2 【答案】B 【解析】 试题分析:因为,所以所以,解得 考点:本小题主要考查函数的导数计算. 点评:导数计算主要依据是导数的四则运算法则,其中乘法和除法运算比较麻烦,要套准公式,仔细计算. 5.曲线的直角坐标方程为() A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 试题分析:化为 考点:极坐标方程 点评:极坐标与直角坐标的关系为 6.是虚数单位,复数( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 试题分析: 考点:复数运算 点评:复数运算中 7.关于直线与平面,有下列四个命题: ①若,且,则; ②若且,则; ③若且,则;

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点,则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案:B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点,若双曲线右 支上存在一点P ,使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ,O 为原点,且12PF =u u u r u u u r ,则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案:B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是 答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M (1,1)为直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ,则线段AB 与CD 的交点E 坐标是 答案(1,2)-. 【2013全国】点A ,B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r , O 为坐标原点,F 为焦点,则OFA OFB S S ???= 答案2.

【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,斜率为1且过点M (b ,0)的直线与椭圆交于A ,B 两点,设O 为坐标原点,若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ,则该椭圆的方程是 答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半 径等于椭圆焦距的6 ,则椭圆的离心率是 答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点,PQ 为过焦点F 的弦, |OF|=a,|PQ|=b , 求△OPQ 的面积. 答案略 【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ,求该平行四边形面积的最大值. 答案略 【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点,且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围. 答案略

2018-2019学年北京市普通高中学业水平考试数学试题 解析版

绝密★启用前 2018年北京市普通高中学业水平考试数学试卷 一、单选题 1.已知集合,1,,那么等于 A.B.C.D.1, 【答案】B 【解析】 【分析】 利用交集定义直接求解. 【详解】 集合,1,, . 故选:B. 【点睛】 本题考查交集的概念与运算,属于基础题. 2.平面向量,满足,如果,那么等于 A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用数乘向量运算法则直接求解. 【详解】 平面向量,满足,, . 故选:D. 【点睛】 本题考查向量的求法,考查数乘向量运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

3.如果直线与直线平行,那么实数k的值为 A.B.C.D.3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用两条直线相互平行的充要条件即可得出. 【详解】 直线与直线平行, ,经过验证满足两条直线平行. 故选:D. 【点睛】 本题考查了两条直线相互平行的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.如图,给出了奇函数的局部图象,那么等于 A.B.C.2 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意,由函数的图象可得f(﹣1)的值,结合函数的奇偶性可得f(1)的值,即可得答案. 【详解】 根据题意,由函数的图象可得, 又由函数为奇函数,则, 故选:B. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的性质,关键是掌握函数奇偶性的性质,属于基础题.

5.如果函数,且的图象经过点,那么实数a等于 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意代入点的坐标,即可求出a的值. 【详解】 指数函数的图象经过点, , 解得, 故选:B. 【点睛】 本题考查了指数函数的定义,考查计算能力,属于基础题. 6.某中学现有学生1800人,其中初中学生1200人,高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况,决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本,那么应从高中学生中抽取的人数为 A.60 B.90 C.100 D.110 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分层抽样的定义和题意知,抽样比例是,根据样本的人数求出应抽取的人数【详解】 根据分层抽样的定义和题意,则高中学生中抽取的人数人. 故选:A. 【点睛】 本题的考点是分层抽样方法,根据样本结构和总体结构保持一致,求出抽样比,再求出在所求的层中抽取的个体数目. 7.已知直线l经过点,且与直线垂直,那么直线l的方程是

【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206) ______年______月______日 ____________________部门

第一试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1。已知正整数组成等比数列,且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有,对所有正整数,有,若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点,满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为,则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数,集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中,P 为椭圆在第三象限内的动点,过点P 引圆的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ,则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币,现进行连续抛硬币游戏,规则如下:在抛掷的过程中,无论何时,连续出现奇数次正面后出现一次反面,则游戏停止;否则游戏继续进行,最多抛掷10次,则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题(共56分)

高中数学会考题

2018届吉林省普通高中学业模拟考试(数学) 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上,注意字迹清楚,卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题(共50分) 一、选择题:本大题共15小题,只有一项是正确的.第1-10每小题3分,第11-15 每小题4分,共50分) 1.已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<,则M ∩N 等于 ( ) A .{0,1,2} B .{0,1} C .{0,2} D .{0} 2.下列结论正确的是( ) A .若ac>bc ,则a>b B .若a 2>b 2,则a>b C .若a>b,c<0,则 a+c

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》 一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤:建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2.直线方程的几种形式:一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3.l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2;l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4.两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式:|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5.点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式:2200| |B A C By Ax d +++=。 6.圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2;圆的一般方程:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条 答案:选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点,A (20,0)线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案:()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=,且c a b <+恒成立,则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案:选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=,PA ,PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线,A 、B 是切点,若四边形PACB 的最小面积是2,则k 的值为 .

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题(决赛) 及答案 (时间:5月16日18:40~20:40) 满分:120分 一、 选择题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分) 1.已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=,且 P c N b M a ∈∈∈,,,设c b a d +-=,则∈d ( ) A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是( ) A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 +(cos 2 θ-5)m +4sin 2 θ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长,若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ,则 c b a +的值是( ) A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 ( ) A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞. 二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分) 7.母线长为3的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为 8.函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A = ,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个数 . 解析:因为{1,2,3,,99}A = ,所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ,共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 . 解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有6 6720A =种不同的排法,要使 abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. (1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每 P O M N α

最新全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集 目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷- 2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高一年级) 3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高二年级) 4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷 5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷 6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷 7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷(高一年级) 8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷 9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷- 10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷 11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷 12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷页 13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷(高二年级) 14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷(高二年级) 15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷(高一年级) 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢1

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____. 2、在ABC ?中,已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =_______. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知a 是实数,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位),则||a bi +的值为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ? 的面积为_______. 6、已知a 是正实数,lg a k a =的取值范围是________. 7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 ____________. 8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足: 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=______. 9、将27,37,47,48,557175, ,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有________种. 10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为____. 二、解答题(本题80分,每题20分) 11、在ABC ?中,角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,证明: (1)cos cos b C c B a += (2) 2 2sin cos cos 2 C A B a b c += +

高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态,表现出相对稳定的较好性质,选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始,每一次从其中任选两个数,a b ,用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们,能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解:对于数集{},,a b c ,经过一次替代后,得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? , 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后,保持3个元素的平方和不变(不变量)。 由22222234124612++≠++知,不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ;从其中任意去掉一个,剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组,其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明:分三步进行,每一步都有“不变量”的想法: 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后,剩下的数可分成两组,其和相等,故剩下的2n 个数的和都是偶数,因此,任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性; 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ,则每个数都减去整数c 之后,仍具有性质P ,特别地取1c a =,得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ,由第一步的结论知,2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数; 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ,可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数,且仍具有性质P ,再由第一步知,这21n +个数的奇偶性相同,为偶数,所以都除以2后,仍是整数且具有性质P ,余此类推,对任意的正整数k ,均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数,且具有性质P ,因k 可以任意大,这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。

全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)

2012各省数学竞赛汇集 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中,已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为_____310 _______. 4、已知a 是实数,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位) ,则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为,则直线的斜 率为___12 ____. 6、已知a 是正实数,lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB = ===,3BC =,4CD =该四面体的 体积为____________. 8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足:11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.(* n N ∈) 9、将27,37,47,48,557175, ,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.

高中数学奥林匹克竞赛全真试题

1 2003年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1、删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是( ) A .2046 B .2047 C .2048 D .2049 2、设a ,b ∈R ,ab ≠0,那么,直线ax -y +b =0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是( ) 3、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( ) A . 163 B .8 3 C D . 4、若5[,]123 x ππ ∈--,则2tan()tan()cos()366y x x x πππ=+-+++的最大值是( ). A B C D 5、已知x 、y 都在区间(-2,2)内,且xy =-1,则函数2 2 4949u x y = + --的最小值是( ) A . 85 B .2411 C .127 D .125 6、在四面体ABCD 中,设AB =1,CD AB 与CD 的距离为2,夹角为3 π ,则四 面体ABCD 的体积等于( ) A B .12 C .1 3 D 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7、不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是__________. 8、设F 1,F 2是椭圆22 194 x y +=的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|:|PF 2|=2:1,则△PF 1F 2的面积等于__________. 9、已知A ={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B ={ x |21- x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }.若A B ?,则实数a 的取值范围是__________. 10、已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且35 log ,log 24 a c b d ==,若a - c =9,b - d =__________. 11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于__________. 12、设M n ={(十进制)n 位纯小数0.12 |n i a a a a 只取0或1(i =1,2,…,n -1) ,a n =1},

2018年云南高中会考数学真题及答案

2018年云南高中会考数学真题及答案 (满分100分,考试时间120分钟) 参考公式: 圆锥的侧面积公式Rl S π=圆锥侧,其中R 是圆锥的底面半径,l 是圆锥的母线长. 圆锥的体积公式S 3 1 V =圆锥h , 其中S 是圆锥的底面面积,h 是圆锥的高. 第Ⅰ卷 一、选择题:(共20个小题,每小题3分,共60分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请把所选答案前 的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—20题的相应位置上。 1. 设全集I {0,1,2,3}=,集合{0,1,2}M =,{0,2,3}N =,则=N C M I ( ) A .{1} B .{2,3} C .{0,1,2} D .? 2. 在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( ) A. 4- B. 4± C. 2- D. 2± 3. 下列四个函数中,在区间(0,)+∞上是减函数的是 ( ) A .3log y x = B .3x y = C .1 2 y x = D .1y x = 4. 若5 4 sin = α,且α为锐角,则αtan 的值等于 ( ) A . 5 3 B .53- C .34 D .34- 5.在ABC ?中,,4 ,2,2π = ∠= =A b a 则=∠B ( ) A. 3π B. 6π C. 6π或65π D. 3 π或32π 6. 等差数列{}n a 中,若99=S ,则= +65a a ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

7. 若b a c b a >∈,R 、、,则下列不等式成立的是 ( ) A. b a 11< B.22b a > C.1 122 +>+c b c a D.||||c b c a > 8. 已知二次函数2()(2)1f x x =-+,那么 ( ) A .(2)(3)(0)f f f << B .(0)(2)(3)f f f << C .(0)(3)(2)f f f << D .(2)(0)(3)f f f << 9.若函数()35 1 9 1 x x f x x x +≤?=? -+>?,则()f x 的最大值为 ( ) A .9 B .8 C .7 D .6 10.在下列命题中,正确的是 ( ) A .垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B .垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C .平行于同一个平面的两条直线互相平行 D .平行于同一条直线的两个平面互相平行 11.已知0x >,函数x x y 1 + =的最小值是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.4 12. 随机调查某校50个学生在“六一”儿童节的午餐费,结果如下表: 这50( ) A.2.4,56.0 B.2.4,56.0 C.4,6.0 D.4,6.0 13. 下列命题中正确命题个数为 ( ) ○ 1?=?a b b a ○20,,?=≠?00a b a b = ○ 3?=?a b b c 且,,≠≠00a b 则=a c ○4,,,≠≠≠000a b c 则()()??=??a b c a b c A.0 B.1 C.2 D.3 14.函数x x y 2cos 2sin =是 ( ) A .周期为 2π的奇函数 B .周期为2 π 的偶函数 C .周期为π的奇函数 D .周期为π的偶函数 15. 如图,一个空几何体的正视图(或称主视图)与侧视图(或称左视图)为全等的等边三角形,俯视图为 一个半径为1的圆,那么这个几何体的全面积为( ) A .π B .3π

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