第8讲 一元一次方程解法(讲义)
第8讲 一元一次方程解法（讲义）
一、教学目标
1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．
2．会用一元一次方程解决实际问题
二、例子
【例１】解方程：5x ＋2＝7x －8
【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．
解：移项，得 5x －7x ＝－8－2
合并同类项，得 －2x ＝－10
系数化为1，得 x ＝5
【变式题组】
01．关于x 的方程2(x －1)－a ＝0的根是3，则a 的值是（ ）
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－1
02．如果a 、b 是已知数，则－7x ＋2a ＝－5x ＋2b 的解是（ ）
A ． a －b
B ． －a －b
C ． b －a
D ． b ＋a
03．解下列方程：
⑴2x ＋3x ＋4x ＝18 (2)3x ＋5＝4x ＋1
【例２】解方程： 11－2(x ＋1)＝3x ＋4(2x －3)
【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．
解：去括号，得 11－2x －2＝3x ＋8x －12
移项，得 －2x －3x －8x ＝－12－11＋2
合并同类项，得 －13x ＝－21
系数化为1，得 13
21 x 【变式题组】
01．下列运算正确的是（ ）
A ． －3（x －1）＝－3x －1
B ． －3(x －1)＝－3x ＋1
C ． －3(x －1)＝－3x －3
D ． －3(x －1)＝－3x ＋3 02．解方程：－2(x －1)－4(x －2)＝1去括号结果，正确的是（ ）
A ． －2x ＋2－4x －8＝1
B ． －2x ＋1－4x ＋2＝1
C ． －2x －2－4x －8＝1
D ． －2x ＋2－4x ＋8＝1 03．方程2x ＋1＝3(x －1)的解是（ ）
A ． x ＝3
B ． x ＝4
C ． x ＝－3
D ． x ＝－4
04．解下列方程：
⑴7(2x －1)－3(4x －1)＝5(3x ＋2)－1 (2)3(100－2x )＝400＋15x
【例３】解方程：
12
326110312-+=+--x x x 【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项
解： 去分母时，得 2(2x －1)－(10x ＋1)＝3(2x ＋3)－6
去括号，得 4x －2－10x-1＝6x ＋9－6
移项，得 4x －10x －6x ＝9－6＋2＋1
合并，得 －12x ＝6
系数化为1，得 2
1-=x 回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：
（1） 去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．
去分母：方程两边每项都乘以各分母的最小公倍数。容易漏乘不含分母的项，分子是一个整体，去分母后要加括号。
【变式题组】
01．如果关于x 的方程5
432b x a x +=+的解不是负值，那么a 与b 的关系是（ ） A ． b a 53> B ． a b 5
3≥ C ． 5a ≥3b D ． 5a ＝3b 02．若方程12151221-=--+x x x 与方程x a x a x 23262-=-+的解相同，求a
a a 22-的值．
【例４】解方程：
35
.0102.02.01.0=+--x x 【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．
解：原方程变形为： 35
.010)1(1002.0100)2.01.0(100=?--?-x x 即 50（0.1x －0.2）－2(x ＋1)＝3
去括号，得 5x －50－2x －2＝3
移项，得 5x －2x ＝3＋10＋2
合并，得 3x ＝15
系数化为1，得 x ＝5
【变式题组】
01．对方程7
.02.01.023.01+=-+x x x 变形正确的是（ ） A ． 72231+=-+x x x B ． 722031+=-+x x x
C ．
7223110+=-+x x x D ． 7
2231010+=-+x x x 02．解方程：2.15
.023.01=+--x x
【例５】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．
（1） 小明拿到了哪3张卡片？
（2） 你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？
【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．
解：设小明拿到的三张卡上的数字为x ,x ＋6,x ＋12
（1） 依题意得： x ＋x ＋6＋x ＋12＝342
合并，得 3x ＋18＝342
移项，得 3x ＝324
系数化为1，得x ＝108
答：这三个数为108，114，120
（2） 不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是
（3） 假设 x ＋x ＋6＋x ＋12＝86
合并，得 3x ＋18＝86
移项，得 3x ＝324
系数化为1，得 3
68=x 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为3
68． 【变式题组】
01． 国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除
正常进餐外，每人还增加600亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm ，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的4
3少0.34cm ，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．
02、一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数
对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解．
⑴设十位数上的数为x ； ⑵设个位数上的数为y .
【例６】若关于x 的方程9x －17＝kx 的解为正整数，则k 的值为k ＝_____
【解法指导】把x 的值用k 的代数式表示，利用整除性求出k 的值. 解：∵ 9x －17＝kx ∴ (9－k )x ＝17
∴ k
x -=917 ∵ x 为正整数，∴9－k 为17的正整数因数 ∴ 9－k ＝1 或 9－k ＝17
∴ k ＝8 或 k ＝－8 故k ＝±8
【变式题组】
01．要使一元一次方程－kx ＝k 的解为x ＝－1，必须满足的条件是（ ）
A ．可取一切数
B ． k ＜ 0
C ． k ≠0
D ． k ＞0
02．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝
___________
三、练习
01．某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）
A ． 40元
B ．35元
C ． 28.9元
D ． 5.1元
C ． 2x ＋4×72＝4×340
D ． 2x －4×20＝4×340
02．一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本
为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A ． 600×0.8－x －20
B ．600×0.8＝x －20
C ．600×8－x ＝20
D ．600×8＝x －20
03．一轮船往返于A 、B 两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水
流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）
A ． 18千米/时
B ． 15千米/时
C ． 12千米/时
D ． 20千米/时 04．已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（ ）
A ．2
B ．－2
C ． 72
D ． 7
2- 05．关于x 的方程mx －1＝2x 的解为正数，则m 的取值范围是（ ）
A ． m ≥2
B ．m ≤2
C ．m ＞2
D ．m ＜2
06．若x ＝2不是方程2x ＋b ＝3x 的解，则b 不等于（ ）
A ．2
1- B ．21 C ．2 D ．－2 07．若3223=+-k kx k
是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解为x ＝_______ 08．若2x －1＝3,3y ＋2＝8，则2x ＋3y ＝_________
09．x 为何值时，式子32
-x 与式子13+-x 满足下列条件： ⑴相等； ⑵互为相反数；⑶式子32
-x 比式子13+-x 的值小1.
10．某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？
一元一次方程解法练习(经典)
一元一次方程解法练习 1.若ax +b=0为一元一次方程，则__________. 2.当=m 时,关于字母x 的方程0112=--m x 是一元一次方程. 3.若9a x b 7 与 – 7a 3x –4 b 7是同类项，则x= . 4.如果()01122=+++-y x x ，则2 1x y -的值是 . 5.当=x ＿＿＿时，代数式24+x 与93-x 的值互为相反数. 6.已知08)1()1(2 2=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，则m= . 7.已知2-=x 是方程042=-+m x 的根,则m 的值是( ) A. 8 B. -8 C. 0 D. 2 8．如果a 、b 互为相反数，（a ≠0）,则ax +b =0的根为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－1或1 D ．任意数 9.下列方程变形中，正确的是（ ） （A ）方程1223+=-x x ，移项，得;2123+-=-x x （B ）方程()1523--=-x x ，去括号，得;1523--=-x x （C ）方程2 332=t ，未知数系数化为1，得;1=x （D ）方程 15.02.01=--x x 化成.63=x 10.方程6 2123x x +=-去分母后可得（ ） A 3x －3 =1＋2x ， B 3x －9 =1＋2x ， C 3x －3 =2＋2x ， D 3x －12=2＋4x ； 11.如果关于x 的方程01231=+m x 是一元一次方程，则m 的值为( ) A ．3 1 B 、 3 C 、 -3 D 、不存在 12．若32,24,A x B x =-=+使A －B=8，x 的值是（ ） A ．6 B ．2 C ．14 D ．18
一元一次方程的解法及应用.学生版
定 义 示例剖析 等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式． 123+=，15x +=， s ab =，a b c mxy n ++=+ 等式的类型 恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立． 条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立． 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立． 33x x ==， 方程56x +=需要1x =才成立． 如32=，125+=，11x x +=-． 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子．．），所得结果仍是等式． 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是．．．．．0． ），结果仍是等式． 若a b =，则a c b c ±=±． 若a b =，则ac bc =， 若a b =且0c ≠，则a b c c =． 在等式变形中，以下两个性质也经常用到： ①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =； ②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =. 【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型． 43x -、15713++=、1 722 y -=、231x x =+、64y -、5x y +=、π 3.14≈，20a b +>， 22 x x =，7171x x +=-. 夯实基础 模块一 等式的概念及性质 一元一次方程的解法 及应用
【例2】 ⑴ 根据等式的性质填空： ① 4a b =-，则a b +=______； ② 359x +=，则39x =- ； ③ 683x y =+，则x =________； ④ 1 22 x y =+，则x = ． ⑵ 已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是（ ） A ．352a b -= B ．3126a b +=+ C ．325ac bc =+ D ．25 33 a b =+ （北京二中期中） ⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ） A ．由12 33 x -=，得2x = B ．由3222x x -=+，得4x = C ．由233x x -=，得3x = D ．由357x -=，得375x =- （海淀区期末） 定 义 示例剖析 方程：含有未知数的等式．．．即： ①方程中必须含有未知数； ②方程是等式，但等式不一定是方程． 例如123+=是等式不是方程． 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 解方程：求方程的解的过程．．． 例如3x =是方程36x +=的解 方程中的已知数：一般是具体的数值． 方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示． 例如50x +=中, 5和0是已知数， 例如关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数． 一元一次方程：只含有一个．．未知数，并且未知数的最高次数．．．．是1，系数不等于．．．0．的整式．．方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数． 235x +=，10y -=，3x = 最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式． 例如35x =，27x =等． 标准形式：方程0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式． 例如21040x x +=+=， 易错点1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 易错点2：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一 能力提升 模块二 方程的相关概念
新人教版七年级数学第6讲一元一次方程概念和等式性质培优讲义无答案
第06讲 一元一次方程概念和等式性质 考点·方法·破译 1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析． 2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用． 经典·考题·赏析 【例１】 下面式子是方程的是( ) A ．x ＋3 B ． x ＋y ＜3 C ．2x 2 ＋3 ＝0 D ．3＋4 ＝2＋5 【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时 具有这两个条件的就是方程．2x 2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C ． 【变式题组】 01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－13 x ＝x ＋l ，④2x ＋y ＝3中方程的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的13 ，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( ) A ． 272＋x ＝13 (196－x ) B ．1 3 (272－x ) ＝196 –x C ．12×272 ＋x ＝196－xD ．13 (272 ＋x ) ＝196－x 03．根据下列条件列出方程： ⑴3与x 的和的2倍是14 ⑵x 的2倍与3的差是5 ⑶x 的 15 与13的差的2倍等于1 【例２】下列方程是一元一次方程的是( ) A ．x 2－2x －3＝0 B ．2x －3y ＝4 C ．1x ＝3 D ．x ＝0 【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D ． 【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy ；④x ＝2；⑤3x ＝1；⑥3x x -＝4x ；⑦（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ；⑧ax ＋b 其中等式有___________个；一元一次方程有___________个． 02．（江油课改实验区）若（m －2）23m x -＝5是一元一次方程，则m 的值为( ) A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．4 03．（天津）下列式子是方程的是( ) A ．3×6＝ 18 B ．3x －8 c ．5y ＋6 D ．y ÷5＝1
第8讲.尖子班.学生版
当前形势 本讲内容在近三年北京中考中考查5分左右 中 考 要 求 内容 A 要求 B 要求 C 要求 方程 方程是刻画数量关系 的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的 数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题 方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等方法 估计方程的解 一元一次 方程 了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项 式进行变形，进一步解决有关问题 一元一次方程的解法 理解一元一次方程解 法中的各个步骤 熟练掌握一元一次方程的解 法；会解含有字母系数（无需 讨论）的一元一次方程 会运用一元一次方程解决简单 的实际问题 三年中考命题 2008年 2009年 2010年 第21题（5分） 第18题（5分） 第17题（5分） 一、如何找等量关系 知识点睛 新课标剖析 基础知识过关 2010年暑期班第五讲 2010年秋季第六讲 解法大比拼 生活实际应用 2010年秋季第八讲 满分晋级阶梯 第八讲 列方程解应用题
（1）抓住数学术语找等量关系 应用题中的数量关系：一般是和差关系或倍数关系，常用“一共有”、“比……多”、“比…… 少”、“是……的几倍”等术语表示．在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程. （2）根据常见的数量关系找等量关系 常见的数量关系：工作效率×工作时间＝工作总量；单价×数量＝总价；速度×时间＝路程……，在解题时，可以根据这些数量关系去找等量关系． （3）根据常用的计算公式找等量关系 常用的计算公式有：长方形面积＝长×宽等,可以根据计算公式找等量关系． （4）根据文字关系式找等量关系 例如：“学校五年级一班有36人，二班有37人；一、二、三班共有108人，那么三班有多少人？” 此题用文字表示等量关系是： 一班＋二班＋三班＝总数 一班＋二班＝总数－三班 一班＋三班＝总数－二班 二班＋三班＝总数－一班 （5）根据图形找等量关系 二、如何设元 在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1．直接设元即问什么设什么 2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系． 3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析． 4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数． 三、列方程解应用题的一般步骤： ⑴根据题意设未知数． ⑵列出一些有关的代数式． ⑶找出等量关系，列出方程． ⑷解方程． ⑸代入检验． ⑹写出答案． 例题精讲 ※※※※打折销售问题※※※※ 【例1】⑴（2009宁夏中考）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法 【知识回顾】 1.下列等式的变形是否正确？正确的打“ √ ”，错误的打“ⅹ ” （1）由2=x+3得x=3+2 （ ） （2）由3 2x=-8得x=-12 （ ） （3）由 5y+2=7y+8得7y-5y=8-2 （ ） 2.回答下列问题： （1）由等式a=b ，能不能得到等式a+2=b+2？为什么？ （2）由等式2 2b a ，能不能得到等式a=b ？为什么？ 【学习目标】 1.了解等式的基本性质在解方程中的作用. 2.会解一元一次方程，并经历和体会解方程中的“转化”的过程和思想. 3.了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确灵活应用. 【学习重点与难点】 重点：会利用等式的性质解方程 难点：正确灵活解方程 学习过程： 一、导入新课： 上节课我们学习了“等式的性质”，这一节课我们来学习如何利用等式的性质来解一元一次方程. 二、新知学习： (一)移项 1.自学要求：请认真看课本本节的内容，并明确两个问题： ①什么是方程的移项？ ②方程的移项与等式的基本性质有什么关系？ 2.自学检测： （1）把方程中的某一项_________后，从方程的一边________另一边，这种变形叫做 移项.
（2）对比下列的变形，并体会其不同之处 对方程3x-4=1求解 运用等式的基本性质： 3x –4+4=1+4 ( ) 3x = 5 ( ) x =35 ( ) 运用移项： 3x=1+4 ( ) 3x=5 ( ) x=3 5 ( ) 3.练习 把下列的方程中的含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边： （1）2=x+3 （2）5y+2=3y+8 （3）4x –3=0 你得到了什么结论：___________________________________________. （二）一元一次方程的解法 1.自学要求：请认真阅读课本每道解答过程，注意每一种方程的解题步骤和方法. 2.对应训练 （1）解方程的最根本目的是____________，也就是把未知数的___________化为1. （2）请说出下列方程的第一步的解题步骤和依据 ① x –3=12 ② -3y=-15 ③ 11x+3=5(2x+1) ④ 13223-=-- x x （3）纵观所有的例题可以看出，本节主要体现了___________的数学思想和方法. （4）解一元一次方程的基本步骤为_______、_______、_______、______、________. 小结：____________________________________________________. 【精练反馈】 基础部分 1. 解方程中，移项的依据是（ ）
一元一次方程及其解法
学科：数学凤阳县十校合作师生共用教学案 课题：3.1一元一次方程及其解法课型：新授课教学时间：第二课时 年级：七年级主备：黄湾中学程方林审核：武善礼、黄海雷授课人： 教学目标： 1、巩固一元一次方程概念；理解“移相”概念。 2、能够综合应用等式性质及“移相”法解一元一次方程。培养学生的观察及综合能力，提高他们分析问题和解决问题的能力。 3、在经历方程求解的过程中，使学生自己认识到学习方程知识的重要性，感受学习数学的价值，使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。 教学重点：一元一次方程的解法。 教学难点：“移相”法解一元一次方程时，被移的相变号的依据 教学过程： 一、课前准备： 1、等式的性质有（1）， （2）。 2、下列各变形分别用了等式的那一条基本性质 （1）由x + 4 = 6，得x = 6 – 4；（） （2）由3 x= 2x + 5，得3 x – 2 x = 5；（） 二、导入新课： 创设问题情境 活动：观察下图，你能得到什么结论？( 表示x) x + 2 = 5 x = 5 – 2
3 x = 2 x + 2 3 x – 2 x = 2 2 x = 6 x = 6 ÷ 2 交流：用天平测量物体的质量时，常将物体放在天平的左盘，在右盘内放上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，就可以测得该物体的质量。 如果我只拿走天平一边的一部分物体会有什么现象呢？ 如果要使天平重新达到平衡，我们可以如何操作？ 讨论：请认真思考并把你的想法写出来。 三、探究导学： （—）独立思考、解决问题 首先各小组集体研讨上面提出的问题，汇总结果，之后展示各小组成果。教师总结 。 （二）师生探究、合作交流 综述：通过上面的试验得出的方法可以用来解决数学问题。本节课内容：用移相法解一元一次方程。 观察：仔细观察下面的解答过程2 x – 4 = 18 2 x = 18 + 4 你发现了什么？ 讨论：各小组认真讨论，体会前后变化在关键项的位置及符号上的变化的特点。你的结论是 。 归纳： 叫做移相。移相的根据是。 应用：解方程： 3 x + 5 = 5 x –7 示范：解移相，得3 x – 5 x = – 7 –5 合并同类项，得–2 x = – 12 两边都除以-2，得x = 6 思考：本题有无其它的变形方法？如果你认为有请你把你的想法或解法写在下面 。 互动：下面的移相对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？ （1）从9 + x = 7，得x = 7 + 9 （2）从5 x = 7 – 4 x，得5 x – 4 x = 7 （3）从2 y – 1 = 3 y + 6，得2 y – 3 y = 6 – 1
2020-2021学年初中数学精品课程：第8讲-一元一次方程初步(上)
2020-2021学年初中数学精品课程 一元一次方程初步（上） 等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式 恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立 条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立 等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式 等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)，结果仍是等式 方程：含有未知数的等式 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 解方程：求方程的解的过程方程中的已知数：一般是具体的数值 方程中的已知数：一般是具体的数值 方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程 最简形式：方程ax＝b(a≠0，a，b为已知数)的形式叫一元一次方程的最简形式 标准形式：方程ax＋b＝0(a≠0，a，b是已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式 一元一次方程的判定：化简后再判断 【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型。 【例2】 根据等式的性质填空：
【例3】 已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是( ) A ．352a b -= B ．3126a b +=+ C ．325ac bc =+ D ．2533 a b =+ 【例4】 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是( ) A ．由1233 x -=，得2x = B ．由3222x x -=+，得4x = C ．由233x x -=，得3x = D ．由357x -=，得375x =- 【例5】 1．下列式子：①3251x x +=-；② 213124??-+= ??? ；③235x +≤；④212y y -=，其中方程的个数为( )个。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．①44x x +=+；②12x =；③44x x -=-；④23x =；⑤2(2)3x x x x +=++，是一元一次方程的有______。 3．下列方程中解是x ＝2 的一共有( ) ①480x -=；②480+x =；③840x -=；④240x -= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】 1．若3223k kx k -+=是关于x 的一元一次方程，则k =_______。 2．若23(2)5m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是_______。 3．若(1)5a a x a -+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值是_______。 4．已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m ＝_______。 5．方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是它的解，则n m -=( )。 A ． 14 B ．54 C 34 D ．54 -
培优8二元一次方程组
第八讲 二元一次方程组方程 班级 姓名 二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代人法和加减法是常见的消元方法． 解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的． 方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论． 例题与求解 【例1】二元一次方程（组）特殊解： 1、方程2x +3y ＝17的正整数解为_____ 2、求使方程组? ??=-=+0318 3y x my x 有正整数解时自然数m 的值. 【例2】含参方程组求参(或消参） 1、若m 使方程组?? ?=+=-m y x y x 22 的解x ，y 的和为6，则m ＝______________． 2、已知关于x,y 的方程组???-=-+=+5 423 232k y x k y x 的解满足x+y=2,求k 的值. 3、已知? ??-=+=143 2m x m y ，用含x 的代数式表示y ：__________________
【例3】方程组同解、错解问题 1．已知关于x ，y 的方程组?????2x ＋4y ＝20，ax ＋by ＝1 与?????2x －y ＝5，bx ＋ay ＝6 有相同的解，则a ＋b ＝______． 2. 在解方程组134ax by cx y -=??-=?时，小明因看错了b 的符号，从而求得的解为3 2x y =??=?；小芳因看漏了c ， 求得的解为5 1x y =??=? ，则a +b +c 的值为_________. 【例4】 解方程组 利用叠加法 换元法 辅助设元法 （1）叠加（减）法解轮换对称式方程组?? ?=+=+2 1 c ay bx c by ax 1、解方程组???=+=+883.57.41127.45.3y x y x （2）? ??=+=+19811716 1514y x y x （2）换元法 阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组5()3()2 2()4()6x y x y x y x y +--=??++-=?，若设(x +y )＝m ，(x －y )＝n ，则原方程组可变形为 532246m n m n -=??+=?，用加减消元法解得11m n =??=?，所以11x y x y +=??-=?，再解这个方程组得10x y =?? =? .由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法. 问题：请你用上述方法解方程组623 2()3324 x y x y x y x y +-?+=? ??+-+=?
初一数学一元一次方程的概念与解法教案
一元一次方程的概念与解法 【知识要点】 1．一元一次方程的有关概念 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式是： 2．等式的基本性质 （1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：
【典型例题】 例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？ x+2y=9 x 2 －3x=1 11=x x x 312 1 =- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2 +x=1 例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的. (1)如果________;-8x 3,853==+那么x (2)如果-1_x _________3,123=--=那么x x ； (3)如果;__________x ,52 1 ==那么x (4)如果________.3x ,3 2==那么y x 例3．解下列简易方程 1．5223-=+x x 2．4.7-3x=11 3．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x
1． 32243332=+--x x 2．142 3(1)(64)5(3)25 x x x --++=+ 3．21101211364x x x -++-=- 4．223 14615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．8316 1.20.20.55 x x x +-+-=-
第五章一元一次方程知识点总结和例题讲解
一元一次方程知识点及题型 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质 三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 四、去括号法则 五、解方程的一般步骤 1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2. 去括号(按去括号法则和分配律) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号) 4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式) 5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a ). 六．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，写出答案 【基础与提高】 一．选择题 1．下列各式中，是方程的个数为（ ） （1）﹣4﹣3=﹣7；（2）3x ﹣5=2x+1；（3）2x+6；（4）x ﹣y=v ；（4）a+b ＞3；（5）a 2+a ﹣6=0． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 2．下列说确的是（ ） A ． 如果ac=bc ，那么a=b B ． 如果，那么a=b C ． 如果a=b ，那么 D ． 如果，那么x=﹣2y m ﹣2
一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据； 2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论： (1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a = ；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程
1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8 【答案】B． 【解析】 解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2 由题意知=m﹣2 解之得：m=﹣8． 【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数． 举一反三： 【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? 3x+2＝7x+5 解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．， 系数化为1得 7 10 x=． 【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2． 正确解法： 解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得 3 4 x=-． 类型二、去括号解一元一次方程 2. 解方程：112 [(1)](1) 223 x x x --=-． 【答案与解析】 解法1：先去小括号得：11122 [] 22233 x x x -+=-． 再去中括号得： 11122 24433 x x x -+=-．移项，合并得： 511 1212 x -=-． 系数化为1，得： 11 5 x=． 解法2：两边均乘以2，去中括号得： 14 (1)(1) 23 x x x --=-． 去小括号，并移项合并得： 511 66 x -=-，解得： 11 5 x=． 解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223 x x x -+--=-． 去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243 x x x -+--=-．
一元一次方程及解法专题讲义(供参考)
一元一次方程的概念及解法 一、知识梳理： 知识点1、一元一次方程的概念： （1）、方程：含有未知数的等式叫方程，能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程叫解方程。 （2）、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式0ax b +=（其中x 是未知数，a b 、是已知数，并且0a ≠） 知识点2、等式及其基本性质 （1）定义：用等号“=”表示相等关系的式子叫等式。 （2）等式的基本性质： ①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。 ②等式两边都乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 三、解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； （2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住：移项要变号）； （4）合并同类项：把方程化为()0ax b a =≠的形式； （5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。 解一元一次方程时，可以根据方程的形式灵活地安排解题步骤，不必机械地生搬硬套。 二、典例精讲： 考点一、概念的考查 例1、（2011、鄂州训练题）下列各式是方程的是 ，其中是一元一次方程的是 。 （1）327x -=；（2）4812+=；（3）3x -；（4）230m n -=；（5）23210x x --=； （6）23x +≠；（7）251 x =+ 变式训练： 1、判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？哪些是方程？哪些是一元一次方程？ （1）253-+=；（2）317x -=；（3）0m =；（4）3x >；（5）8x y +=； （6）22510x x ++=；（7）2a b + 2、方程()110m m x ++=是关于x 的一元一次方程，则m = 考点二、方程的解 例2、（2011、宜昌模拟）若关于x 的方程332x a x -= +的解是4x =，求2a a - 的值。 变式训练： 1、已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，求m 的值。 考点三、等式的性质 例3、下列等式变形正确的是（ ） A 、如果,ay ax =那么y x = B 、如果y x =，那么y x -=-55 C 、如果,0=+b ax 那么a b x = D 、如果,2635-=-x x 那么1-=x ★变式赏析：由110.20.3x -=变形为1010123x -=的依据是（ ）
第八讲-一元一次方程应用题(分段计费)(汇编)
第八讲 一元一次方程应用题-----分段计费问题 1、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份该用户应交煤气费多少元？ 2、某学校图书馆准备向某出版社邮购x （x 是10的整数倍）本课外读物，每本书的单价为15元。出版社规定：邮购10本以下（包括10本）需加邮费6元；邮购10本以上（不包括10本）需加的邮费为书价的10%。在邮局汇款时，每100元汇款需付汇费1元，汇款额不足100元时，按100元汇款收取汇费。 （1）如果图书馆每次邮购10本，分 10 x 次邮购，那么所需的费用为790元，求x 的值； （2）在（1）问的情况下，求一次性邮购x 本课外读物的费用； （3）如果邮购60本课外读物，是比较分6次邮购和一次性邮购这两种方式中，哪种邮购方式费用小？ 3、某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算。某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，
发现两次共节省了34元钱，则该学生第二次购书实际付款多少元？ 4、某商场对顾客实行优惠，规定： （1）如一次购物不超过200元，则不予折扣； （2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； （3）如一次购物超过500元的，其中500元按（2）条给予优惠，超过500元的部分则予八折优惠。 某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是多少元？ 5、民航规定：旅客可免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克) Q（单位：元） 10- =b (a b>时，所交费用为200 （1）小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？ （2）小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？ （3）若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，试用m表示Q。
一元一次方程的定义及解法
一元一次方程的定义及 解法 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
一元一次方程的定义及解法 方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。 方程简介 一元一次方程(linearequationinone）通过化简，只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1。即一元一次方程必须同时满足4个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有未知数；（3）未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数不为0。 “方程”一词来源于我国古算术书《九章算术》。在这本着作中，已经会列一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。 详细内容 合并同类项 1.依据：乘法分配律 2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项 3.合并时次数不变，只是系数相加减。 移项 1.含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 2.依据：等式的性质 3.把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。性质 性质 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立 解法步骤
一元一次方程的解法基础知识讲解
一元一次方程的解法（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳审稿：赵炜 【学习目标】 1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据； 2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】 要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称具体做法注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍 数(1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大 括号(1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项把含有未知数的项都移到方程的一 边，其他项都移到方程的另一边(记住 移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类 项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变 系数化成 1在方程两边都除以未知数的系数a，得 到方程的解 b x a ． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论： (1)当0 c<时，无解；（2）当0 c=时，原方程化为：0 ax b +=；（3）当0 c>时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当a≠0时， b x a =；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0 时，方程无解． 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．解下列方程 (1) 3 4 5 m m -=- (2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x 【答案与解析】 解：(1)移项，得 3 4 5 m m -+=-．合并，得 2 4 5 m=-．系数化为1，得m＝-10． (2)移项，得-5x+7x-2x-8x＝1-3-6．合并，得-8x＝-8．系数化为1，得x＝1．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
人教版初一(上)数学第8讲：一元一次方程的应用(教师版)
年级： 课题：一元一次方程的应用时间：
个性化教学辅导教案学生姓名教师姓名 课题一元一次方程的应用 教学目标1、通过观察、归纳得出等数学模型。 2、通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会代数方法的优越性。 3、能够“找出实际问题中的已知数和求知数，分析它们之间的关系，高级求知数，列出方程表示问题中的相等立关系”，体会建立一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 教学过程 教师活动学生活动
1.利息问题：本金×利率×年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=____×税率 2.行程问题：速度×____=路程 （1）相遇问题 （2）追击问题 （3）距中点问题 （4）环形跑道问题 3.行船问题： 船速：船在静水中的速度 水速：河流中水流动的速度 顺水船速：船在顺水航行时的速度 顺水速度=船速+____ 逆水速度：船在逆水航行时的速度 逆水速度=船速-水速 4.工程问题：工作总量=________×工作时间 5.年龄问题 6.比赛积分问题 7.和差倍分问题（生产、做工等各类问题） 8.数字问题 9.列方程解应用题的一般步骤是： （1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________； （2）“设”：用字母（例如x）表示问题的_______； （3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程； （4）“解”：解方程； （5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答 （6）“答”：答出题目中所问的问题。 参考答案 1.利息 2.时间 3.水速水速 4.工作效率 9.数量关系量等量关系 1.利息问题：本金×利率×年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=利息×税率 【例1】王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行,年利率为5%.到期后
浙教版数学七年级上册第8讲 一元一次方程(2).docx
第8讲 一元一次方程（2） 一、基础知识 1、若3-=x 是方程()52=+k x 的解，求k 的值. 2、讨论12=x 是不是方程14 732+=x x 的解. 3、已知3-=x 是1312-=--m x 的解，求代数式132--m m 的值. 4、已知1-=y 是关于y 的方程08432=+++-m y y 的解，求式子m m m 122+ -的值. 5、已知方程()0243=+--a x a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值. 6、如果关于x 的方程06365=+-k x 是一元一次方程，求k 的值. 7、关于x 的方程() ()0241122=-+-+-a x a x a 是一元一次方程求a 的值. 8、方程432-=+x m x 与方程62 6-=-x 的解相同，求m 的值. 9、已知：关于x 的方程 1232-=---x a x a x 与方程()5423-=-x x 同解，求a 的值. 10、若关于x 的方程①a x =+2和②a a x 32=-，若①的解比②的解大1，求a 的值. 11、设关于x 的方程55=-m x ，m x 244=-，当m 为何值时，这两个方程的解互为相反数？ 12、方程()0132=+-x 的解与关于x 的方程x k x k 2232 =--+的解互为倒数，求k 的值. 13、当4=x 时，式子a x ax A 642 --=的值是- 1，那么当5-=x 时，A 的值是多少？ 14、小明在解关于x 的方程1123=-x a 是，误将x 2-看成了x 2+，得到的解为2-=x ，请你帮小明算一算，方程正确的解为多少？ 二、列方程解应用题（行程问题和工程问题） 15、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分， （1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人相遇？ （2）如果两人同时相向开跑，多少分钟两人相遇？ （3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人相遇？ 16、甲乙骑自行车，从相距60千米的两地相向而行，甲每小时走12千米，乙每小时走10千米，如果走15分钟后乙出发，问甲出发后几小时与乙相遇？ 17、某项工程，甲单独完成要12天，乙单独完成要18天，如果甲先做了7天，乙来支援，由甲、乙合做完成余下的工程，求乙做多少天？ 18、整理一批或污物，由甲一人做需80小时完成，现由一部分人先做2小时后，在增加5人做8小时，