高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试题精选(2)

高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试题精选(2)
高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试题精选(2)

高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变

换试题精选

高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试

题精选

一.填空题(共15小题,满分75分,每小题5分)

1.(5分)(2013?四川)设sin2α=﹣sinα,,则tan2α的值是_________.

2.(5分)(2013?江西)设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是_________.

3.(5分)(2013?上海)若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,则sin(x+y)=_________.

4.(5分)(2011?武进区模拟)在△ABC中,,且△ABC的面积S=asinC,则a+c的值=

_________.

5.(5分)(2011?上海模拟)设A是三角形的内角.若,则tan2A=_________.

6.(5分)(2011?成都一模)已知α是第四象限的角,且,则cosα=_________.

7.(5分)(2013?韶关三模)已知x,y∈R+,且,则x2+y2=_________.

8.(5分)(2013?徐州三模)在△ABC中,已知,,则tanC的值是_________.9.(5分)(2013?徐州模拟)已知,则cos2α=_________.

10.(5分)(2013?松江区二模)已知,且,则sin2α=_________.

11.(5分)(2013?普陀区二模)若且sin2θ<0,则tanθ=_________.

12.(5分)(2013?辽宁二模)给出下列命题:

①存在实数x,使;

②若α、β是第一象限角,且α>β,则cosα<cosβ;

③函数是偶函数;

④A、B、C为锐角△ABC的三个内角,则sinA>cosB

其中正确命题的序号是_________.(把正确命题的序号都填上)

13.(5分)(2011?上海)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A、C两点之间的距离为_________千米.

14.(5分)(2011?上海)若,,则x=_________(结果用反三角函数表示)

15.(5分)(2013?上海)若cosxcosy+sinxsiny=,则cos(2x﹣2y)=_________.

二.解答题(共15小题,满分150分,每小题10分)

16.(10分)(2013?天津)已知函数.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

17.(10分)(2013?四川)在△ABC中,角A、B、C的对边分别a、b、c,且

(1)求cosA的值;

(2)若,求向量在方向上的投影.

18.(10分)(2013?四川)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(Ⅰ)求sinA的值;

(Ⅱ)若,b=5,求向量在方向上的投影.

19.(10分)(2013?山东)设函数f(x)=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx(ω>0),且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,

(Ⅰ)求ω的值

(Ⅱ)求f(x)在区间[]上的最大值和最小值.

20.(10分)(2013?湖南)已知函数

(1)求的值;

(2)求使成立的x的取值集合.

21.(10分)(2013?湖南)已知函数,.

(I)若α是第一象限角,且,求g(α)的值;

(II)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

22.(10分)(2013?广东)已知函数.

(1)求的值;

(2)若,求.

23.(10分)(2013?广东)已知函数,x∈R.

(1)求的值;

(2)若,,求.

24.(10分)(2013?北京)已知函数f(x)=.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及最大值;

(Ⅱ)若α∈(,π),且f(α)=,求α的值.

25.(10分)(2013?安徽)已知函数f(x)=4cosωx?sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值;

(2)讨论f(x)在区间[0,]上的单调性.

26.(10分)(2013?安徽)设函数f(x)=sinx+sin(x+).

(Ⅰ)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;

(Ⅱ)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到.

27.(10分)(2013?上海)已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0

(1)若y=f(x)在[﹣,]上单调递增,求ω的取值范围;

(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,在向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间

[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b ﹣a的最小值.

28.(10分)(2012?吉安二模)在△ABC中,已知内角A=,边BC=2,设内角B=x,周长为y

(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;

(2)求y的最大值.

29.(10分)(2012?浙江模拟)已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若A、B、C成等差数列,b=1,记角A=x,a+c=f (x).

(Ⅰ)当x∈[,]时,求f (x)的取值范围;

(Ⅱ)若,求sin2x的值.

30.(10分)(2011?武汉模拟)已知函数

(I)求函数f(x)的最小正周期;

(II)求f(x)在上的最大值和最小值.

高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试

题精选

参考答案与试题解析

一.填空题(共15小题,满分75分,每小题5分)

1.(5分)(2013?四川)设sin2α=﹣sinα,,则tan2α的值是.

,=

=

故答案为:

2.(5分)(2013?江西)设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是a≥2.

|=|

|=|

sin3x+cos3x=2sin3x+

3.(5分)(2013?上海)若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,则sin(x+y)=.

cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=

,∴=

,∴=

故答案为

4.(5分)(2011?武进区模拟)在△ABC中,,且△ABC的面积S=asinC,则a+c的值=4.

+=3

S=

2+ccos2

+=3

+=3的形式,属于中档题.

5.(5分)(2011?上海模拟)设A是三角形的内角.若,则tan2A=.

是三角形的内角.若,解得tanA==.

故答案为

6.(5分)(2011?成都一模)已知α是第四象限的角,且,则cosα=.

故答案为:

7.(5分)(2013?韶关三模)已知x,y∈R+,且,则x2+y2=1.

cosA=cosB=

A=

]

cosA=

,A=

8.(5分)(2013?徐州三模)在△ABC中,已知,,则tanC的值是.

,可得tanA=,再由

中,已知,∴sinA=tanA=.

=

==

9.(5分)(2013?徐州模拟)已知,则cos2α=.

=,然后根据二倍角公式求得

(﹣)=sin=

2=1(﹣)

)﹣

10.(5分)(2013?松江区二模)已知,且,则sin2α=.

解:∵已知,∴.

(﹣×,

11.(5分)(2013?普陀区二模)若且sin2θ<0,则tanθ=﹣.

,且

=,∴

故答案为﹣

12.(5分)(2013?辽宁二模)给出下列命题:

①存在实数x,使;

②若α、β是第一象限角,且α>β,则cosα<cosβ;

③函数是偶函数;

④A、B、C为锐角△ABC的三个内角,则sinA>cosB

其中正确命题的序号是③④.(把正确命题的序号都填上)

解:①因为,使

x

,所以函数

A

13.(5分)(2011?上海)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A、C两点

之间的距离为千米.

x

=

两点之间的距离为千米.

故答案为:

AC=

两点之间的距离为千米.

故答案为:

14.(5分)(2011?上海)若,,则x=(结果用反三角函数表示)

利用反正弦函数的定义,由角的范围为

解:由于根据反正弦函数的定义可得

故答案为

15.(5分)(2013?上海)若cosxcosy+sinxsiny=,则cos(2x﹣2y)=﹣.

二.解答题(共15小题,满分150分,每小题10分)

16.(10分)(2013?天津)已知函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

2x+

=2﹣

∈,得﹣≤,])在区间

sinxcosx=sin2x(

﹣)

2cos2x=2)

T=

≤,∴﹣≤

﹣)取得最小值﹣时,﹣

)在区间(=2

17.(10分)(2013?四川)在△ABC中,角A、B、C的对边分别a、b、c,且

(1)求cosA的值;

(2)若,求向量在方向上的投影.

(Ⅱ)利用

(Ⅱ)由正弦定理,,所以,

B=

在方向上的投影:=ccosB=.

18.(10分)(2013?四川)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(Ⅰ)求sinA的值;

(Ⅱ)若,b=5,求向量在方向上的投影.

(Ⅱ)利用

在方向上的投影.

(Ⅱ)由正弦定理,,所以,

B=

在方向上的投影:=ccosB=.

19.(10分)(2013?山东)设函数f(x)=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx(ω>0),且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,

(Ⅰ)求ω的值

(Ⅱ)求f(x)在区间[]上的最大值和最小值.

[

)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

,所以

时,

[]上的最大值和最小值分别为:

20.(10分)(2013?湖南)已知函数

(1)求的值;

(2)求使成立的x的取值集合.

代入

(=cos()cos=2=;

)(cosx+

x+sinxcosx=(sin2x=cos﹣+

,化为cos)<,即)<

<<(

<+

)<+(

21.(10分)(2013?湖南)已知函数,.

(I)若α是第一象限角,且,求g(α)的值;

(II)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

=,结合,利用同

,即x+

﹣=sinxcos cosxsin=cosx

)+sinxsin=cosx+sinx

(cosx(cosx+sinx

,∴

=

sinx

移项,得x+

),可得+2k≤

+2k

+2k

22.(10分)(2013?广东)已知函数.

(1)求的值;

(2)若,求.

x=

代入函数解析式,)

)∵

23.(10分)(2013?广东)已知函数,x∈R.

(1)求的值;

(2)若,,求.

x=

所以

24.(10分)(2013?北京)已知函数f(x)=.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及最大值;

(Ⅱ)若α∈(,π),且f(α)=,求α的值.

(Ⅱ)通过

=,

函数的最大值为:

,又∵

25.(10分)(2013?安徽)已知函数f(x)=4cosωx?sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;

(2)讨论f(x)在区间[0,]上的单调性.

,]的范围,然后通过正弦函数的单调性求出

x+=2x+2

=2sin),

T=

2x++

≤,所以≤≤,

2x+≤≤

2x+≤时,即≤时,

][,]

26.(10分)(2013?安徽)设函数f(x)=sinx+sin(x+).

(Ⅰ)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;

(Ⅱ)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到.

=sinx+sinx+sinx+cosx=)

=2k((,

的图象上的所有点的纵坐标变为原来的sinx

sinx的图象上的所有点向左平移

27.(10分)(2013?上海)已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0

(1)若y=f(x)在[﹣,]上单调递增,求ω的取值范围;

(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,在向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间

[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b ﹣a的最小值.

)在,利用正弦函数的单调性可得

上单调递增,且

的图象向左平移得到

=

,或x=

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质经典题型 题型1:三角函数的图象 例1.(2000全国,5)函数y =-xc os x 的部分图象是( ) 解析:因为函数y =-xc os x 是奇函数,它的图象关于原点对称,所 以排除A 、C ,当x ∈(0, 2 π )时,y =-xc os x <0。 题型2:三角函数图象的变换 例2.试述如何由y =31sin (2x +3 π )的图象得到y =sin x 的图象。 解析:y =31sin (2x +3π))(纵坐标不变倍 横坐标扩大为原来的3 πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313 π =????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变 倍 纵坐标扩大到原来的 例3.(2003上海春,15)把曲线yc os x +2y -1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲 线方程是( )A .(1-y )sin x +2y -3=0B .(y -1)sin x +2y -3=0C .(y +1)sin x +2y +1=0 D .-(y +1)sin x +2y +1=0 解析:将原方程整理为:y = x cos 21+,因为要将原曲线向右、向下分别移动2π 个单位和1个单位,因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x -1为所求方程.整理得(y +1)sin x +2y +1=0. 题型3:三角函数图象的应用 例4.(2003上海春,18)已知函数f (x )=A sin (ωx +?)(A >0,ω>0,x ∈R )在一个周期内的图象如图所示,求直线 y =3与函数f (x )图象的所有交点的坐标。 解析:根据图象得A =2,T = 27π-(-2π)=4π,∴ω=21,∴y =2sin (2 x +?),又由图象可得相位移为-2π,∴-2 1? = - 2 π,∴?= 4π.即y =2sin (21x +4π)。根据条件3=2sin (4 21π+x ),∴421π+x =2k π+ 3π(k ∈Z )或 4 21π+x =2k π+32 π(k ∈Z ),∴x =4k π+ 6 π (k ∈Z )或x =4k π+ 65π(k ∈Z )。∴所有交点坐标为(4k π+3,6 π)或(4k π+3,65π )(k ∈Z )。点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4:三角函数的定义域、值域 例5.(1)已知f (x )的定义域为[0,1],求f (c os x )的定义域;(2)求函数y =lgsin (c os x )的定义域; 分析:求函数的定义域:(1)要使0≤c os x ≤1,(2)要使sin (c os x )>0,这里的c os x 以它的值充当角。 解析:(1)0≤c os x <1?2k π- 2π≤x ≤2k π+2π,且x ≠2k π(k ∈Z )∴所求函数的定义域为{x |x ∈[2k π-2 π ,2 k

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1.三角函数中的值域及最值问题 a .正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题,5分)函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π 2上的最小值为( ) A .-1 B .- 22 C.22 D .0 答案:B 解析:∵x ∈????0,π2,∴-π4≤2x -π4≤3π 4,∴函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π2上先增后减.∵f (0)=sin ????-π4=-22, f ????π2=sin ????3π4=2 2, f (0)

三角函数的图像与性质练习题

. 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 :

由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 )

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2,1 (π,0) ? ?? ??? 32π,-1 (2π,0) (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),? ?????π2,0,(π,-1),? ???? ? 3π2,0,(2π,1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y =sin x y =cos x y =tan x 定义域 R R {x |x ≠k π+π 2 ,k ∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R 对称性 对称轴: x =k π+ π2(k ∈Z); 对称轴: x =k π(k ∈Z) 对称中心: 对称中心:? ?? ?? ?k π2,0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数(),如果存在一个非零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上确界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下确界.

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度, 所得的部分图象如右图所示,则?的值为( ) A .6 π B .3 π C .12 π D .23 π 2.已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ,为了得到()sin 2g x x =的图象,则 只需将()f x 的图象( ) A .向右平移3π个长度单位 B .向右平移6 π个长度单位 C .向左平移6π个长度单位 D .向左平移3 π 个长度单位 3.若113sin cos αα +=sin cos αα=( ) A .13- B .13 C .13-或1 D .13或-1 4.2014cos()3 π的值为( ) A .12 B . 3 2 C .12- D .32 - 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -.2 1k - C 2 1k -.2 1k k -- 6.若sin a = -45 ,a 是第三象限的角,则sin()4 a π +=( ) (A )-7210 (B ) 7210 (C )2 - 10 (D ) 210

7 .若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα,且)2 ,4(ππα∈,则α2tan 的值为( ) A .3 4- B .4 3- C .4 3 D .3 4 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是 ( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C .)(x f 的最大值为2 D .)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数2(ωφ),φ<2 π的图象,那么 A.ω=11 10,φ=6 π B.ω=10 11,φ6π C.ω=2,φ=6 π D.ω =2,φ6 π 10.要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象,只需要将函数sin 4y x =的 图象( ) A .向左平移3 π个单位 B .向右平移3 π 个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12 π个单位 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象

高中数学教案三角函数的图象与性质

高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 (一)三角函数的性质 1、三角函数的定义域,值域或最值问题; 2、三角函数的奇偶性及单调性问题;常见题型为:三角函数为奇 函数(或偶函数)的充要条件的应用;寻求三角函数的单调区间;比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性;寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. (二)三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换; 2、型三角函数的图象问题;重点是“五点法”作草

图的逆用:由给出的一段函数图象求函数解析式; 3、三角函数图象的对称轴或对称中心:寻求或应用; 4、利用函数图象解决应用问题. (三)化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y=sinx,y=tanx;偶函数:y=cosx. (2)型三角函数的奇偶性 (ⅰ)g(x)=(x∈R) g(x)为偶函数 由此得; 同理,为奇函数 . (ⅱ) 为偶函数;为奇函 数 . 3、周期性 (1)基本公式

(ⅰ)基本三角函数的周期y=sinx,y=cosx的周期为;y=tanx,y=cotx的周期为 . (ⅱ)型三角函数的周期 的周期为; 的周期为 . (2)认知 (ⅰ)型函数的周期 的周期为; 的周期为 . (ⅱ)的周期 的周期为; 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对y=的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变.注意这一点及(ⅰ)的区别. (ⅱ)若函数为型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”. (ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明. (3)特殊情形研究

广州艺术生高考数学复习资料3三角函数性质与图像

三角函数性质与图像 知识清单: .......... 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地, ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+(0≠ω )的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ (Z k ∈),对称中心(,0)k π; cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=(Z k ∈) ,对称中心1(,0) 2 k ππ+; )tan(?ω+=x y 的对称中心( 0,2πk ). 课前预习 1.函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2. 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π . 3.函数sin 2 x y =的最小正周期是2π

4.函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5.函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6.为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位,所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8. 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9.已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5(x ∈R ) ⑴求f (x )的最小正周期;y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间;[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴,对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像? 变式1:将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像? 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01),,则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =,π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合.; 变式1:函数y =2sin x 的单调增区间是[2k π-2 π ,2k π+ 2 π ](k ∈Z ) 变式2、下列函数中,既是(0, 2 π)上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ,求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin (x+ 6 π )?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域;(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道,每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把图象上各点向左平移个单位长度,则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数,则y =f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.

答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a >0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案:D

高中数学教师备课必备系列(三角函数(一)专题9 三角函数图像与性质

专题九三角函数图像与性质.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 .三角函数的单调区间: 的递增区间是,递减区间是 ; 的递增区间是,递减区间是, 的递增区间是, .函数 最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 .由=的图象变换出=(ω+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进

行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将=的图象向左(>)或向右(<=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω>),便得=(ω+)的图象。 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将=的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>),再沿轴向左(>)或向右(<=平移 个单位,便得=(ω+)的图象。 .由=(ω+)的图象求其函数式: 给出图象确定解析式(ω)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,)作为突破口, 要从图象的升降情况找准 ..第一个零点的位置。 .对称轴与对称中心: 的对称轴为,对称中心为; 的对称轴为,对称中心为; 对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。 .求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; .求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。 .五点法作(ω)的简图: 五点取法是设ω,由取、、π、、π来求相应的值及对应的值,再描点作图。 四.典例解析

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

函数图像及性质知识点总结和经典题型 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间: 求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; x y sin =的递增区间是)(Z k ∈,递减区间是)(Z k ∈; x y cos =的递增区间是[]πππk k 22, -)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22,)(Z k ∈, x y tan =的递增区间是)(Z k ∈, 3.对称轴及对称中心: sin y x =的对称轴为2x k ππ=+,对称中心为(,0) k k Z π∈; cos y x =的对称轴为x k π=,对称中心为2(,0)k ππ+; tan y x =无对称轴,对称中心为k 2 (,0)π ; 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说,对称中心及零点相联系,对称轴及最值点联系。 4.函数B x A y ++=)sin(?ω),(其中00>>ωA

最大值是B A +,最小值是A B -,周期是,频率是,相位是?ω+x ,初 相是?;其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω,凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y =A sin(ωx +φ)+B 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即A =最高点-最低点 2 ; ②B 的确定:根据图象的最高点和最低点,即B =最高点+最低点 2 ; ③ω的确定:结合图象,先求出周期,然后由T =2π ω (ω>0)来确定ω; ④φ的确定:把图像上的点的坐标带入解析式y =A sin(ωx +φ)+B ,然后根据φ的范围确定 φ即可,例如由函数y =A sin(ωx +φ)+K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-φ ω (即 令ωx +φ=0,x =-φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω >

(完整版)高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)

x ?正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 -5 3 7 ~2~ ” - 丁1 T V x 2*伽 -4 -7 -3 ' 、一 -2 -3 - -1 o '2 5 3 J. ‘ 4 2 2 2

y=ta nx J J J 1 Jr jr y y ; 1 1 / / / I ? r / / / y\ y=cotx 1 1 1 \ i 1 ! i I 1 3f-2 1 f J 1 J f f o 2 f I \ I i 1 I L o I I X2 1 三角函数的性质 1定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y = sinx , y= tanx ;偶函数:y= cosx. ⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性 (i)g(x 丄^ 丁(x€ R) (x)为偶函数- U 山呂in(曲+ 训+ e二匕T +—〔七W E) 由此得- 同理或劝=丿血(阪+呦〔肚丘)为奇函数u 如卩二0吕貯=匕吋上亡£)丘)Q..I —「二一L> : C 2. ■■■ □ 为偶函数;.匚」一⑺一".S 为奇函数 O 炉=Rr+ —(h e 7) 3、周期性 1)基本公式 (i)基本三角函数的周期y= sinx , y= cosx 的周期为; y = tanx , y = cotx 的周期为;T? (ii)—",:'型三角函数的周期 尹=」幻n(购+ 朝 +匕尸=+炉)+上的周期为同 y=cosx

P =」tan (处: + &) +匕尸二(处卄洞+& 的周期为91 . (2)认知 (i ) ?卜巳-,?| 型函数的周期 y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)| 的周期为 7T y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训 的周期为 ? = |了(曲+卩)+円往无0)的周期 》=|£血(血工+朝胡』=|1(:0£(处+?+上| y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈 的周期为’; 7T 的周期为'? 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 数 的周期不变?注意这一点与(i )的区别? (ii ) 若函数为-’二 型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”. (iii ) 探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验一一猜想一一证明 ? (3)特殊情形研究 y 二门」 彳J 的解析式施加绝对值后,该函 JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ; y = sin z|+|co5z| 7T 的最小正周期为二; 7T (iii ) y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象 . 4、单调性 (1) 基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”: ① 选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的 一个周期; ② 写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间); ③ 获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数 的增区间族(或减区间族) 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 (2) 』— 丁 型三角函数的单调区间

必修4三角函数的图像和性质专题练习

三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-,则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是( ) A.1 B.1- C.21k + D.21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在[0,+∞)上是减函数,若f (lg x )>f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数.若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈[0,2π ] 时,f (x )=sin x ,则f ( 3 π 5)的值为( ) A.- 21 B.2 1 C.-23 D.23 4.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +2),当x ∈[3,5]时,f (x )=2-|x -4|,则( ) A.f (sin 6π)<f (cos 6π ) B.f (sin1)>f (cos1) C.f (cos 3π2)<f (sin 3 π2) D.f (cos2)>f (sin2) 5.关于函数f (x )=sin 2x -( 32)|x |+21 ,有下面四个结论,其中正确结论的个数为 ( ) . ①()f x 是奇函数 ②当x >2003时,1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f (x )的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) . A .(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B .11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C .(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D .(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8.已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ,都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) . A. A>B B. A=B C.A

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ),A>0,ω>0,要根据 y =sin x ,y =cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )=sin ()x ?+(0≤?<π)是R 上的偶函数,则?等于( ) A.0 B . 4πC .2 π D .π 【评注】由sin y x =是奇函数,cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论:sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数,则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数,则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数,则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数,则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数,则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知,函数为奇函数,则等于( ) A.0 B .1 C .1-D .1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设,则“”是“为偶函数”的( ) A 充分不必要条件 B .必要不充分条 C .充要条件 D .无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设,其中,则是偶函数的充要条件是( ) A.(0)1f =B .(0)0f =C .'(0)1f =D .'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设,则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B .π最小正周期为的偶函数 C .2π 最小正周期为 的奇函数D .2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若,则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B .π最小正周期为的偶函数 C .π最小正周期为2的奇函数D .π最小正周期为2的偶函数

三角函数图像变换顺序详解(全面).

《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩: 将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移:

将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变 换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”?这是因为在“一次”替代:x→中,平移是对x进行的. 故先平移(x→)对后伸缩(→)没有影响; 但先收缩(x→)对后平移(→)却存在着“平移”相关. 这

(完整版)高一数学三角函数的图像和性质练习题

高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1.若cosx=0,则角x 等于( ) A .k π(k ∈Z ) B . 2π+k π(k ∈Z ) C .2π+2k π(k ∈Z ) D .-2π+2k π(k ∈Z ) 2.使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A .m ≥0 B .m ≤0 C .-1<m <1 D .m <-1或m >1 3.函数y=3cos ( 52x -6π)的最小正周期是( ) A .5 π2 B .2π5 C .2π D .5π 4.函数y=2sin 2x+2cosx -3的最大值是( ) A .-1 B .21 C .-21 D .-5 5.下列函数中,同时满足①在(0, 2π)上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是( ) A .y=tanx B .y=cosx C .y=tan 2x D .y=|sinx| 6.函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到( ) A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7.函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是( ) A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8.函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是( )

A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9.函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________,值域是________,最小正周期是________,振幅是________,频率是________,初相是_________. 10.函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ,所得的曲线对应的函数解析式是____ _____. 11.关于函数f(x)=4sin(2x+π3 ),(x∈R),有下列命题: (1)y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); (2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数; (3)y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; (4)y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________. 12. 已知函数y=3sin (21x -4 π). (1)用“五点法”作函数的图象; (2)说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的; (3)求此函数的最小正周期; (4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y =A sin(ωx +φ)+2的图象的一部分,求它的振幅、最小正周期和初 相。

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结 知识点讲解 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时,起关键作用的5个点是 )0,2(),1,2 3(),0,(),1,2(),0,0(ππ ππ-. 在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时,起关键作用的5个点是 )1,2(),0,2 3(),1,(),0,2(),1,0(ππ ππ-. 2.

3.)sin(?+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ?的图像与性质 (1)最小正周期:w T π2= . (2)定义域与值域:)sin(?+=wx A y ,)?+=wx A y cos(的定义域为R ,值域为[-A ,A ]. (3)最值 假设00>>w A ,. ①对于)sin(?+=wx A y , ?? ???-∈+-=+∈+=+; )(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时,函数取得最小值当时,函数取得最大值当ππ ?ππ? ②对于)?+=wx A y cos(, ? ? ?-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时,函数取得最小值当时,函数取得最大值 当ππ?π? (4)对称轴与对称中心. 假设00>>w A ,. ①对于)sin(?+=wx A y ,

? ????? ? +==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2 000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为 时,,即当的对称轴为时,,即当??π???ππ? ②对于)?+=wx A y cos(, ??? ?? ? ?+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1 )cos()(0000 00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时,,即当的对称轴为时,,即当??ππ???π? 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置. (5)单调性. 假设00>>w A ,. ①对于)sin(?+=wx A y , ?? ??? ?∈++∈+?∈++-∈+. )](223,22[)](22,22[减区间增区间;Z k k k wx Z k k k wx ππππ?ππππ? ②对于)?+=wx A y cos(, ? ? ??∈+∈+?∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间; Z k k k wx Z k k k wx πππ?πππ? (6)平移与伸缩 由函数x y sin =的图像变换为函数3)3 2sin(2++=π x y 的图像的步骤; 方法一:)3 22 (π π + →+ →x x x .先相位变换,后周期变换,再振幅变换,不妨采用谐音记忆:我们“想 欺负”(相一期一幅)三角函数图像,使之变形. ?????→?=个单位 向左平移的图像3 sin π x y 的图像)3 sin(π + =x y 12 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 的图像)3 2sin(π + =x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 的图像)3 2sin(2π +=x y ?????→?个单位 向上平移33)3 2sin(2++=πx y 方法二:)3 22(π π+→+→x x x .先周期变换,后相位变换,再振幅变换. 的图像x y sin =1 2 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 ?????→?=个单位 向左平移的图像6 2sin π x y

高考数学重点难点讲解之三角函数的图像和性质

难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点,在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角,且x(α+β-2π)>0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x <2对一切非零实数都成立. ●案例探究 [例1]设z1=m+(2-m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ,已知z1=2z2,求λ的取值范围. 命题意图:本题主要考查三角函数的性质,考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用,属★★★★★级题目. 知识依托:主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析:考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法:对于解法一,主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题;对于解法二,主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一:∵z1=2z2, ∴m+(2-m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1-2cos2θ-sin θ=2sin2θ-sin θ-1=2(sin θ-41)2-89 . 当sin θ=41时λ取最小值-89 ,当sin θ=-1时,λ取最大值2. 解法二:∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m

∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4-(3-4λ)m2+4λ2-8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2-(3-4λ)t+4λ2-8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴-89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是[-89 ,2]. [例2]如右图,一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O 点保持速率v0不为,并以倾角θ起跳,落至B 点,令OB=L ,试问,α=30°时,L 的最大值为多少?当L 取最大值时,θ为多大? 命题意图:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托:主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析:考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题,知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法:首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解:由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程:

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