案例26 实验报告

案例26：

二、案例分析和报告：

讨论：

题目一

统计预测的方法有很多常用的有以下几种：

（1）时间序列法：

确定性时间序列预测，如移动平均法（一、二次），指数平滑法（一、二、三次），季节周期法

随机性时间序列预测，如平稳时间序列预测(ARMA，ARIMA 等)，回归预测（线性、非线性、自回归预测等）

马尔柯夫（Markov）预测

系统动力学（S—D）预测

（2）模糊预测

（3）灰色系统预测

本案例给出的是按月份记录的各年消费品零售总额。在预测时，首先需要绘制出社会消费品零售总额的线图，进而判断其所包含的成分，然后确定具体的预测方法。

用SPSS画出时间序列的线图，如下图：

从上图可以看出，社会消费品零售总额的变化既包含趋势成分，也包含季节成分。因此，可以考虑选择传统的分解预测法，也可以考率用使Holt指数平滑模型，以及较为现代的ARIMA模型等。这里我们只选择分解预测和ARIMA模型预测两种方法。

（一）分解预测：

分解预测是将时间序列的各个成分依次分解出来，然后进行预测。数据中的季节因素通常由季节指数反映。用SPSS得出消费品零售额每个月的季节指数，并绘制成图。

从上图可以看出消费品零售总额受月份影响比较明显，其中11月、12月、1月、2月对消费品零售总额有较大的正向影响。

季节调整后的数据与原数据对比的线图如下：

其中，系列一为调整后的数据曲线

系列二为原数据的数据曲线

根据上图的显示结果，社会消费品零售总额经过季节调整后表现出曲线增长趋势，这里先对调整后的数据选择合适的曲线的模型，用该模型预测季节调整后的数，得到的该预测结果再乘以相应的季节指数即可得的最终的预测值。

对调整后的模型进行曲线估计：

得出曲线拟合的结果：

从上图和表格可以看出指数模型的拟合程度最好，这里以时间t为自变量、季节调成后的数据为因变量建立曲线模型，得到如下结果：

根据以上表格得到模型方程为：

0.012

y e

112.53t

(t=1,2…360)

对上式两边去对数可以转化为一元线性回归模型来进行相应的检验和数据处理，但是在消除数据的自相关性进行数据变换，这里我们采用差分，此时发现时间序列的时间变量这一项后项减前项其值为一，如下：

因为一元线性的自变量（时间变量）经过差分后变为常数1所以不能建立线性方程。此时采用平均相对误差MAPE(Mean Absolute percentage Error )来评价预测的效果

1?1||*100T m t t t T t

y y MAPE m y +=+-=∑ 季节调整后的曲线模型乘以相应的季节因子，得到最终的预测模型如下：

0.012112.53*t i y e s =

其中，i s （1,2,3...,12i = ）是相应的季节指数。

运用上面的最终预测模型，对原数据和预测的数据进行对比，如下图：

此预测模型得到的MAPE 值为8.3146。误差较小说明拟合程度很高。

（二） ARIMA模型预测

ARIMA模型是AR模型和MA模型经过差分将序列变成平稳后得到的，通常表示为ARIMA(p,d,q)。其中d表示差分的阶数；p 表示自回归（AR）的项数；q表示移动平均（MA）的项数。

由于ARMA模型要求序列是平稳的，对于包含季节成分的非平稳序列，使用ARMA模型预测时，需要将季节因素予以消除。消除季节因素的具体办法是采用季节差分使其平滑化，季节差分是使用季节周期周期长度S作为差分的滞后期的长度，月份数据S=12.

这里我们采用专家模型，SPSS自动对原始数据进行ARIMA 的模型建立，并得出检验结果，如下：

这里Ljung-Box检验的概率为0.910>0.05,说明残差序列以为白噪声序列即为最简单的平稳序列，在不同点上的协方差为0。此时认为模型达到了较好的效果，剩余的残差中已没有可提取的信息。

此时SPSS得出的MAPE值为2.293小于分解预测的MAPE 值，说明ARIMA的预测效果更好。ARIMA模型预测数据线图如下：

这里我们采用ARIMA模型来预测2009年的社会消费品

零售总额，数据图如下：

从上图可以看出2008年到09年消费品水平在8000亿

元以上并逐年递增。其中出现月份的周期性波动如在11月、12月、1月、2月出现峰值主要是受春节传统节日的影响，使消费品总额大幅增长。