关于0.9的循环等于1

关于0.9九循环与1大小比较问题

在小学五年级上册第29页有这样一个例题：用计算器计算下面各题。

1÷11=0.0909---

2÷11=0.1818---

3÷11=

4÷11=

5÷11=

（你发现了什么规律？）

不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。

6÷11=

7÷11=

8÷11=

9÷11=

学生根据发现的规律，很容易就写出了上面各题的商。这时，班里一位爱动脑筋的同学把手举得高高的：老师，我有疑问。您看，根据规律，10÷11=0.9090---，11÷11=0.9999----，而11÷11=1，也就是0.9999----=1，可是，因为1大于整数部分是0的小数啊，1明显大于0.9999---呀。

在备课时，我就担心学生会问出这样的问题，上课时也一直祈祷学生不要提出这样的问题，但是，学生还是提出了这个问题。而且，他提出的这个问题，一下子激发了全部学生的兴趣，看来，不说不行了。

我让他们计算1÷9=0.1---，以此类推，9÷9=0.9-----（九循环），所以，1=0.9----（九循环）。

再让他们用竖式计算2÷2，商是0，余数是2，点上小数点后继续除，商是9，余数又是2，一直除下去，商都是9，余数都是2，也就是说: 2÷2=0.9-----（九循环）而2÷2=1，所以，1=0.9----（九循环）

于是，我这样小结：通过以上几种方法，可以证明1=0.9----（九循环）

看着学生似懂非懂的表情，我也不知所措了。呵呵。

课后，我又去思考，其实，证明方法还有以下几种：

第一种：代数方程法。

设x=0.9999999...①，那么10x=9.999999999...②。

②减①得：9x=9

x=1

即：0.9九循环（＝）1。

第二种：分数法。

因为0.99999...＝3×0.33333... 且1/3＝0.333333...

所以0.99999...＝3×1/3=1

即：0.9九循环（＝）1。