人教版高中数学全套教材例题习题改编(高考必做,高考题来源)

人教A 版必修1课本例题习题改编

1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={}

{}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，， 改编 已知集合4x x M x

N N **??=∈∈????且10，集合40x N x Z ??

=∈????

，则（ ）

A ．M N =

B ．N M ?

C ．20x M

N x Z ??

=∈????

D ．40x M

N x N *??

=∈????

解：{}20,M x x k k N *==∈， {}

40,N x x k k Z ==∈，故选D .

2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1，

2}，则这样的集合B 有 个.

改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来．

解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：?，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，?．则满足条件的集合A 、B 有9对.

改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n

个，真子集个数有21n

-个 改编3 满足条件

{}{}

1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个

解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用C(A)表示非空集合A

中的元素个数，定义

??

?<-≥-=*C(B)

C(A)当C(A),C(B)C(B)

C(A)当C(B),C(A)B A ,若

{}{}

02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==，且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构

成的集合S = .

解：由{

}2C(A)1,2A ==得，而1B A =*，故3C (B )1C (B )==或．由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或．

当1C(B)=时，方程02)ax ax )(x

(x 2

2

=+++只有实根0x =，这时0a =．

当3C(B)=时，必有0a ≠，这时0ax )(x 2

=+有两个不相等的实根a x 0,x 21-==，方程02)ax (x 2

=++必有两个相等的实根，且异于a x 0,x 21-==，有0,8a Δ2

=-=∴

22a ±=，可验证均满足题意，∴{}

22,0,22-=S ．

4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是

解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快， 答案选C ．

改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 （ ）

解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A ．

5.原题（必修1第二十四页习题1.2A 组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)= 0,x 01,x>0;

≤??

?，

改编 设函数D(x)= 则下列结论错误的是( )

A ．D(x)的值域为{0,1}

B ． D(x)是偶函数

C ．D(x)不是周期函数

D ．D(x)不是单调函数

解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A 正确;当x 是有理数时,-x 也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x 是无理数时,-x 也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B 正确;当x 是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a 是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x 是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b 是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C 不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I 上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D 正确. 答案：C ．

6.原题（必修1第二十四页习题 1.2A 组第十题）改编 已知集合

{}{}1,2,3,1,2,3,4A B ==．定义映射

:f A B

→，则满

足点

(1,

(1))

,(A f B f C f 构成

ABC ?且=AB BC 的映射的个数为

.

解：从A 到B 的映射有3

464=个，而其中要满足条件的映射必须使得点A 、B 、C 不共线且

=AB BC ，结合图形可以分析得到满足(3)(1)(2)f f f =≠即可，则满足条件的映射有

114312m C C =?=个．

7.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第二题）画出定义域为{}

38,5x x x -≤≤≠且，值域为{}

12,0y y y -≤≤≠的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点P （x,y ）的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图像上？

改编 若函数()y f x =的定义域为{}

38,5x x x -≤≤≠，值域为{}

12,0y y y -≤≤≠，则()y f x =的图象可能是（ ）

A

B

C

D

解：根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除C ；由定义域为

{}38,5x x x -≤≤≠排除A 、D,选B.

1,x 0,x ???为有理数，

为无理数，

8.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）函数[x]f(x)=的函数值表示不超过x 的最

大整数，例如，4]5.3[-=-；2]1.2[=；当(]35.2，　

-∈x 时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．

改编 1 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如2[2]=；2]1.2[=；3]2.2[-=-．函数[x]y =叫做“取整函数”

，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则]26[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333++++ 的值为 ． 解：由题意得，∵130=， ３１=3，９２=3，２73３=．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故原式＝422181602=?+?+?． 改

编

2

已知函数f (x )=x -[x ],

其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.

若关于x

的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .

111111111111

A.[1,)(,]

B.(1,][,)

C.[,)(,1]

D.(,][,1)243243342342

- -? - -? - -? - -?

解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k 的取值范围为111(1,][,)243

- -? . 答案：B ．

改

编 3

对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．这个函数[]x 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，

（1）[]2log 1+[]2log 2+[]2log 3+[]2log 4+……+[]2log 1024= （2）设()[][],1,3f x x x x ??=?∈??，则()f x 的值域为 解：（1）[]2log 1=0，[]2log 2=[]2log 3=1，[]2log 4=[]2log 5=[]2log 6=[]2log 7=2，

[]2log 8=[]2log 9=……=[]2log 15=3，[]2log 16=[]2log 17=……=[]2log 31=4，…… []2log 512=[]2log 512=……=[]2log 1023=9，[]2log 1024=10，

则原式=234912223242++92+10?+?+?+??，用“错位相减法”可以求出原式的

值为8204.

（2）[)[]()[)[]()1,21,1;2,2.52,4x x f x x x f x ∈==∈==时，时，；

[)[]()[]()2.5,32,5;33,9x x f x x x f x ∈=====时，时，；故[]1,3x ∈时()f x 的值域

为{}1,4,5,9答案：（1）8204； （2）{}1,4,5,9． 改编4 函数()[][]2,2f x x x x ??=∈-??，的值域为 .

解：当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，(]()[]22,4,2{2,3,4}x f x x -∈=-∈；当[)1,0

x ∈-时，

[]1x =-，(]()[]0,1,{01

}x f x x -∈=-∈，；当[)0,1x ∈时，[]0x =，()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]1x =，()[]=1f x x =；当=2x 时，()[]4=4f x =；∴值域为{0,12,3,4}，

.答案：{0,12,3,4}，.

9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：x

1x f(x )2+=．

改编 关于函数0)(x x

1

x lg f(x)2≠+=，

有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x >时，f(x)是增函数；当0x <时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间

),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号

是 ．

解： 0)(x x 1x lg f(x)2≠+=为偶函数，故①正确；令x 1

x u(x)2+=

，则当0x >时，x

1

x u(x)+

=在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．

10.原题（必修

1

第三十九页复习参考题

B

组第三题）

已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

改编 已知定义在[-2, 2]上的偶函数f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 若f (1-m )

解：由偶函数的定义, (1)(|1|)

()(||)

f m f m f m f m -=-??

=?, 又由f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 所以

10|||1|2m m m ≤<- ≤2? -1≤<

.答案：12

m -1≤<. 11.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第四题）已知集合A={x|2

x =1}，集合B={x|ax=1}，若B ?A ，求实数a 的值.

改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B ，则实数a 等于 。 解：∵A∩B=B ，∴B ?A ，A={x|x-a=0}={a}，对于集合B ，当a=0时，B=?满足B ?A ；当a≠0时，B={}；要使B ?A 需

，解得a=±1；答案：1或-1或0.

12.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第八题）设2

2

1()1x f x x +=-，求证：（1）

()()f x f x -=；

（2）1

()()f f x x

=-. 改编 设定在R 上的函数()f x 满足：1

(tan )cos2f x x

=，则 11

1

(2)(3)(2012)()()(

)23

2012

f f f f f f ++

++++

+= .

解：由2222221cos sin 1tan (tan )cos 2cos sin 1tan x x x f x x x x x ++===

--．得2

21()1x f x x +=- ．由所求式子特征考查：2

222

1

111()()01

11x x f x f x x x +

++=+

=--．11

1

(2)(3)(2012)()()(

)023

2012

f f f f f f ∴++++++

+=． 13.原题（必修1第四十五页复习参考题B 组第四题）已知函数()()(

)4,0;

4,0.x x x f x x x x +≥??=?-

()1f ，()3f -，()1f a +的值.

改编 已知函数()()(),0;

,0.

x x a x f x x x a x +≥??=?-

关于x 的方程()f x a =有四个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()--4∞， B. ()-40， C. (]--4∞， D.(]-40，

解：当0a >时，()y f x =与y a =交点个数为2，不成立；当0a <时，()f x 图象如下

图，()y f x =与y a =交点个数为4，则2

04

a a -<<，∴4a <-，选A.

证明：34

121234341212242222x x x x x x x x x x x x f f f f ++??

+ ?+++?+?+??

????=≤+ ??? ? ? ????

?????

?

???

()()()()()()()()1234123411112224f x f x f x f x f x f x f x f x ??≤+++=+++????????????????

15.原题（必修1第四十五页复习参考题B 组第七题）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：

某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

改编 2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见．草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算．

依据草案规定，解答下列问题：（1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？（2）若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗？若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由． 解：（1）李工程师每月纳税：1500×5%+3000×10%+500×20%=75+400=475（元）；

（2）设该纳税人的月工薪为x 元，则当x≤4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%； 当4500＜x≤7500时，由1500×5%+（x-4500）×10%＞8%x ，得x ＞18750，不满足条件； 当7500＜x≤10000时，由1500×5%+3000×10%+（x-7500）×20%＞8%x ，解得x ＞9375，故9375＜x≤10000 答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%． 16.原题（必修1第八十二页复习参考题A 组第七题）已知()3x f x =，求证：（1）()()()f xy f x f y =+，（2）

()()

()f x f x y f y =-.

改编 给出下列三个等式：

()()()()()()()()()()()

,,1f x f y f xy f x f y f x y f x f y f x y f x f y +=++=+=

-.下列选项中，不满足其中

任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x =

B ．()sin f x x =

C ．()2log f x x =

D ．()tan f x x =

解：依据指数函数，对数函数，三角函数的性质可知，A 满足()()()f x y f x f y +=，C 满足()()()f xy f x f y =+，D 满足()()()()()

1f x f y f x y f x f y ++=

-，而B 不满足其中任何一个等式.

17.原题（必修1第八十二页复习参考题A 组第八题）已知()lg 1x

f x x

1-=+,,(1,1)a b ∈-,求证:（2）()()1a b f a f b f ab +??

+= ?+??

. 改编 定义在(1,1)-上的函数()f x 满足对,(1,1)x y ?∈-,都有()()1x y f x f y f xy ??

++=

?+??

成立,且当(1,0)x ∈-时，()0f x >，给出下列命题:①(0)0f =；②函数()f x 是奇函数；③函数()f x

只有一个零点；④111()()()5

11

2

f f f +<,其中正确命题的个数是（ ）A.1

B.2

C.3

D.4

解：①令0a b ==得(0)0f =,①正确；②令y x =,得()()(0)f x f x f +-=，()f x ∴是奇函数，②正确；③由②()()(

)1x y

f x f y f xy

--=-.又(1,0),()0x f x ∈->,令x y <,则01x y

xy

-<-,()()0f x f y ∴->,即()()f x f y >. ∴函数

()f x 在(1,1)-上为减函数，又

(0)0f =,故③正确，④

1111221511()()(),115117721511f f f f ??+ ?+==< ? ?+? ???

，由③知21

()()72f f >.答案：C

18.原题（必修1第八十三页复习参考题B 组第一题）已知集合2={y ,>1} A y log x x =，

1={y| y ,>1} 2x

B x ??

= ???

，则A B =（ ）

A. 1{y| 0

B. {y| 0

C. 1

{y|

D. ? 改编 在平面直角坐标系中，集合()={,} a A x y y log x =，0a >且1a ≠，

()1={,| y } 2x

B x y ??

= ???

设集合A B 中的所有点的横坐标之积为m ，则有（ ）

A. 1m =

B. ()0,1m ∈

C. ()1,2m ∈

D.()2,+m ∈∞

解：由图知a y log x =与1 y 2x

??

= ???图象交于不同的两点，设为12x x 、，不妨设12x x <，则

1201x x <<<，∵1 y 2x

??

= ???在R 上递减，∴12a a log x log x >，当1a >时，

12a a log x log x ->，12()0a log x x <，1201x x <<;当01a <<时，12a a log x log x >-，12()0a log x x >，1201x x <<，选B.

19.原题（必修1第八十三页复习参考题B 组第三题）

对于函数

． （a

∈R ）

（1）探索函数f （x ）的单调性；（2）是否存在实数a 使f （x ）为奇函数？ 改编1 对于函数f(x)=a+

2

21

x + (x ∈R)，（1）用定义证明：f （x ）在R 上是单调减函数；（2）若f （x ）是奇函数，求a 值；（3）在（2）的条件下，解不等式f （2t+1）+f （t-5）≤0．

证明（1）：设1x ＜2x ，则f （1x ）-f （2x ）=1221x +-2221x +=211222(21)(21)

x x x x

-++∵22x -12x ＞0，121x

+＞0，221x

+＞0．即f （1x ）-f （2x ）＞0．∴f （x ）在R 上是单调减函数 （2）∵f （x ）是奇函数，∴f （0）=0?a=-1． （3）由（1）（2）可得f （x ）在R 上是单调减函数且是奇函数，∴f （2t+1）+f （t-5）≤0．转化为f （2t+1）≤-f （t-5）=f （-t+5），?2t+1≥-t+5?t ≥

4

3

，故所求不等式f （2t+1）+f （t-5）

≤0的解集为：{t|t ≥43

}． 改

编

2

已知定义域为R 的函数f (x )＝

－2x ＋b 2x ＋1＋a

是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．

解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b

2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝

－2x ＋1

2x ＋

1＋a

. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1

4＋a ＝－－12＋11＋a

，解得a ＝2.

(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1

2x ＋1，易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从

而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－1

3.

解

法

二

：

对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，可转化为k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－1

3

.

20.原题（必修1第八十三页复习参考题B 组第四题）设(),()22

x x x x

e e e e

f x

g x ---+==，求证：（1）

[][]

22

()()1g x f x -=；（2）(2)2()()f x f x g x =?；（3）

[][]2

2

(2)()()g x g x f x =+；

改编 1 设(),()22

x x x x

e e e e

f x

g x ---+==，给出如下结论：①对任意x R ∈，有[][]

22

()()1g x f x -=；②存在实数0x ，使得000(2)2()()f x f x g x >；③不存在实数0x ，

使得[][]2

2

00(2)()()g x g x f x <+；④对任意x R ∈，有()()()()0f x g x f x g x --+=； 其中所有正确结论的序号是

解：

对

于

①

：

[][]2

2

22()()()()22x x x x e e e e g x f x --+--=-222

22144

x x x x

e e e e --++-+=-=；

对于②：222()()2(2)222x x x x x x

e e e e e e

f x

g x f x ----+-=??==，即0x R ?∈恒有000(2)2()()

f x f x

g x =

； 对于③：[][]222

2

22()()()()(2)222

x x x x x x

e e e e e e g x

f x

g x ---+-+-=+==，故不存在x ，使[][]2

2

000(2)()()g x g x f x <+；

对于④：()()()()2222x x x x x x x x

e e e e e e e e

f x

g x f x g x -----+-+--+=?+? 2222044

x x x x

e e e e ----=+=，故正确的有①③④

改编2 已知函数()x

e x F =满足()()()x h x g x F +=，且()x g ，()x h 分别是R 上的偶函数

和奇函数，若[]2,1∈?x 使得不等式()()02≥-x ah x g 恒成立，则实数a 的取值范围是

.

解：()()()x

e x h x g x F =+=，得()()()x

e

x h x g x F -=-+-=-，

即()()()x

e x h x g x F -=-=-，解得()2x x e e x g -+=，()2

x

x e e x h --=，()()0

2≥-x ah x g 即

得

02

222≥--+--x

x x x e e a e e ，参数分离得

()

x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e a -------+-=-+-=-+≤222

22，因为222≥-+---x

x x

x e

e e e （当且仅当x

x x x e

e e e ---=

-2，即2=--x

x e e 时取等号，x 的解满足[]2,1），所以22≤a . 改编 3 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()+x

f x

g x e =，则

()()()()

()

21212222

n n n

g g g g f -?

= .

解：∵()()+x

f x

g x e =,()f x 和()g x 分别为R 上的奇函数和偶函数,

∴()()()()++x

f x

g x f x g x e ---=-=，

∴(),()22

x x x x

e e e e

f x

g x ---+==，∴(2)2()()f x f x g x =?， ∴

()()()()

()

()()()()()

()()

()2121212222112221=

1212n n n n n n g g g g f g g g g f f f f --?

?

=

2

21

e

e =-. 21.原题（必修1第八十八页例1）求函数()ln 26

f x x x =+-的零点的个数.

改编 已知函数()ln 6f x x ax =+-,若在区间(2,3)内任意两个实数,()p q p q ≠,不等式()()

0f p f q p q

->-恒成立，且在区间（2，3）内有零点，则实数a 的取值范围为( )

解：由题可得()y f x =在（2，3）递增，故1

()0f x a x '=+≥在（2，3）恒成立，1-3

a ∴≥,又 ()f x 在(2,3)内有零点，由零点存在性定理有(2)ln 2260,(3)ln3360,f a f a =+-<=+->又

13a ≥-.112ln33ln 232a ∴-<<-.答案：11

(2ln3,3ln 2)32

--

22.原题（必修1第九十页例2）借助计算器或计算机用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度0.1）.

改编 为了求函数()237x

f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数

f 则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为（ ） A ．1.32

B ．1.39

C ．1.4

D ．1.3

解：通过上述表格得知函数唯一的零点0x 在区间(1.375,1.4375)内,故选 C. 23.原题（必修1第九十五页例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？

改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？

解：设促销奖的领奖活动为x 天，三种方式的领取奖品总价值分别为(),(),()f x g x h x 。 则()40f x x =；2()1020301055g x x x x =+++

=+；

21()0.40.420.420.42x h x -=+?+?++?0.420.4x =?-

要使奖品总价值不超过600元，则

215

()600()6001200()60021501x

x f x g x x x h x x N x N ≤?≤???≤+-≤?????≤≤????∈∈??

解得11,x x N <∈ 又(10)400f = (10)

550g = (10)

409.

h =，故(10)(10)(10)g h f >> 答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多. 24.原题（必修1第一百一十二页复习参考习A 组第七题）改编1 已知线段AB 的长为4,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，若椭圆以、A B 为焦点，且经过点、C D ，求椭圆的离心率的范围．

解：梯形ABCD 为圆内接梯形，故其为等腰梯形，设θ∠=ABC

，则在?Rt ABC 中，

4sin ,4cos θθ==AC BC

由椭圆的定义知24(sin cos )θθ=+=+a

AC CB

离心

率241

24(s i n c o s s i n ()

4

c e a π

θθθ=

==

+

+

，其中

(

,

)42ππ

θ∈

，所以))

4

π

θ+

∈

，故椭圆离心率(

2

∈e 改编2 已知线段AB 的长为4,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，若椭圆以、A B 为焦点，且经过点、C D ，那么当梯形的周长最大时，求该椭圆的离心率．

解：梯形ABCD 为圆的内接梯形，故其为等腰梯形，设θ∠=ABC 4sin ,4cos θθ==AC BC ，248cos θ=-CD ，则梯形的周2()8cos 8cos 8θθθ=-++f ，(,42

ππ

θ∈

故当1cos ,(,)2342

πππ

θ

θ==∈即时，周长()θf 最大，即最大周长为(103

π

=f

，此时，由椭圆的定义知21)=+=+a AC CB ，所以此时的椭圆的离

心率212c e

a =

==-． 25.原题（必修1第一百一十三页复习参考习A 组第九题）某公司每生产一批产品都能维持

一段时间的市场供应，若公司本次新产品生产开始x月后，公司的存货量大致满足模型()33128

f x x x

=-++，那么下次生产应在多长时间后开始？

改编某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，在存货量变为0的前一个月，公司进行下次生产。若公司本次新产品生产开始月x后，公司的存货量大致满足模型()32620

f x x x

=-++，那么下次生产应在月后开始．

解：()1240,(2)160,(3)160

f f f

=>=>=-<，所以应该在两个月后进行生产．

26.原题（必修1第一百一十三页复习参考习B组第一题）经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？（图略）

改编1

某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该

年的平均气温为10℃，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）

A

10o

B

解：A

改编2 为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：

则7月份该产品的市场收购价格应为

（ ）

A ．69元

B ．70元

C ．71元

D ．72元

解：C

人教A 版必修2课本例题习题改编

1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，

并说出它的名称．

改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．

O O

O '

O '

2

2

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面ABC ?的高为1，所以AB == 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++

1

221322382

=???+?+?=+2(cm )．

这个几何体的体积121332

ABC V S BB ?'=?=???=3

(cm )

（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．

在Rt BB C ''?中，BC '=

==，故

cos BB BC θ'=

==' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为

）．

所以所求表面积2

1212127S ππππ=?+??+??=2

(cm )，

所求体积2

2

112123

V πππ=??+??=+

3(cm )．

3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。

改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为c b a ,,,（c b a >>）.分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,S S S 和321,,V V V ,则它们的关系为 ( )

A .321S S S >>, 321V V V >>

B .321S S S <<, 321V V V <<

C .321S S S >>, 321V V V ==

D .321S S S <<, 321V V V == 解：a a bc V c b a bc S 211)(31),)((

ππ=+=,22223

1

,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 23233

1

,πππ=+=, 选B.

4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：

(1)

(2)(3)(4)

解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．

5.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）

改编 1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为 60的直线共有 12 对.

改编2 如图正方体中，o ，1o 为底面中心，以1oo 所在直线为旋转轴，线段1

BC 形成的几何体的正视图为（ ）

A

A 1

(A)(B)(C)(D)

解：选项A 、B 、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A 、B 、D 不可能，故选C .

6.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？

改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（ ）

(A)(B)(C)(D)

解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、D不可能，故选C. 7.原题（必修2第59页例3）改编设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α

（）

A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个

解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个

平面β．作与β平行的平面α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四

边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．答案：D.

8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.

改编如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

解：液体部分的体积为三棱锥体积的

1

8

，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的7

8

，设空出三棱锥的高为x ，则331x =87，所以，x=273,液面高度为1-273

.

9.原题（必修2第63页习题 2.2B 组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器

ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；

(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ?是定值. 改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；

(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ?是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形

.

（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）

.

A

A 1