湖北省黄冈中学等八校2013届高三第一次联考(12月)数学文试题(WORD版)

湖北省八校2013届高三第一次联考数学试题（文）

1、复数1i z i =-的实部为（ ）

A 、

12

B 、2

i C 、－

12

D 、－

2

i

2、集合A={

}16

10-2

-+=

x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log

2

，则=?B C A R ( )

A .[]32，

B .(]21，

C .[]83， D.(]83，

3、若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈?x x x ，则对命题p 的否定是（ ）

A []012,3,3-0200>++∈?x x x

B ()()2

000-,-33,,210x U x x ?∈∞+∞++>

C . ()()2

000-,-33,,210x U x x ?∈∞+∞++≤ D. []012,3,3-0200<++∈?x x x

4、某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）

A .π236+

B .π436+

C .π836+

D .π1036+

5、函数

的图象如上图所示，为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只要将f （x0）

的图象（ ）

A 、向右平移6

π个单位长度 B 、向右平移12

π个单位长度 C 、向左平移6π

个单位长度 D 、向左平移12

π个单位长度

6、已知两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为 A 、1 B 、2 C 、4 D 、22

7、等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则

3

6S S =（ ）

A .2

B .

8

7 C .

98

D .

4

5

8、任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P （a ，b ）落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3中的概率为

A 、

2536

B 、

16

C 、

14

D 、

112

9、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ，若双曲线以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为

A 、2＋1

B 、3＋1

C 、2

D 、3

10、已知函数(0)()lg()

(0)

x

e x

f x x x ?≥=?

-

（ ）

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件 11、已知抛物线22y ax =的准线为x ＝－

14

，则其焦点坐标为＿＿＿

12、三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =

，b ＝1，∠A ＝

3

π

，则∠B ＝＿＿＿

13、已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为＿＿

14、超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否则视为违规。某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为＿＿＿辆。

15.阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n

= .

16、已知扇形OAB 的半径为1，面积为

3

π

，设弧AB 上有异于A ，B 的动点C ，线段OC 与线段AB 交于点M ，N 为OM 的中

点，则∠AOB ＝＿＿＿＿若则x ＋y ＝＿＿＿＿

17、已知点P （a ，b ）与点Q （1,0）在直线2x －3y ＋1＝0

的两侧，则下列说法正确的序号是＿＿＿＿

有最小值，无最大值

的取值范围为

18、已知

(1)求函数)(x f 的单调递增区间；若关于x 的方程f （x ）＝a 在 上有且仅有一个根，求a 的值.

19.（本小题满分12分）如图．在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底 面ABCD, PD = DC = 2，E 是PC 的中点．

(1)证明：PA ／／平面EDB ；

（2）证明：平面PAC ⊥平面PDB ； （3)求三梭锥D 一ECB 的体积．

20.（本小题满分13分）大学生自主创业已成为当代潮流．长红学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品．银行贷款的年利率为6%，约定一年 后一次还清贷款．已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15％，每月月底需要 交纳个人所得税为该月所获利润的20%,当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全 部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．

（1)设夏某第n 个月月底余n a 元，第n+l 个月月底余1n a +元，写出a 1的值并建立1n a +与n a 的递推关系； （2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．

21、（本小题满分14分）已知椭圆C ：1(a ＞b ＞0)经过点，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，且｜MF 1｜

＋｜MF 2｜＝4. O 为椭圆C 的中心。

（1)求椭圆C 的方程；

（2）设P ，Q 是椭圆C 上不同的两点，且D 为△MPQ 的重心，试求△MPQ 的面积．

22.（本小题满分14分）已知函数

（1）求f (x)的单调区间和极值点； （2）求使

恒成立的实数a 的取值范围；

（3）证明：对任意的正整数n ，不等式恒成立．

湖北省八校2013届高三第一次联考数学（文科）参考答案

一 、选择题 1-10 CDAAA

CCDBC

二、填空题 11.)0,41

( 12.

6

π

13.

2

25 14.110 15.3

16.

2

1;

3

2π 17.③④

三、解答题

18、（本小题12分）

解：（1）1)4

sin(21cos sin )(++

=++=π

x x x x f ……………………………2分

令)(2

24

22Z k k x k ∈+

≤+

≤-

π

ππ

π

π得)(x f 的单调增区间为

)(42,432Z k k k ∈?????

?

+-ππππ ……………………………6分 （2）由)(x f 在[]π2,0上的图象分析可知 当4

24π

π

π

==

+

x x 即时，12+=

a ……………………………9分

或当4

52

34

πππ

==

+

x x 即时，21-

=a

综上21±=a ……………………………12分

19（本小题12分）

（1）证明：设O BD AC =?,连结EO

底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点

在PAC ?中，EO 是中位线，P A E O ∴∥. ………………2分 而E O ?平面EDB 且P A ?平面EDB ，

所以PA ∥平面EDB . ………………4分 （2）证明： 底面ABCD 是正方形

BD AC ⊥， ………………5分

又⊥PD 底面ABCD

PD AC ⊥∴，又D BD PD =? ………………7分

⊥∴AC 面PDB ，而PAC AC ?

故⊥PAC 面PDB ………………8分 （3）DCB E ECB D V V --= ………………9分

故作DC EF ⊥于F .

P D ⊥ 底面ABCD ,.P D D C ∴⊥ ,EF PD F ∴∥为DC 的中点.

EF ∴⊥底面ABCD ………………10分

3

21222

131=

????=

-DCB E V ………………12分

20、（本小题13分）解：（1）151(200001+=a ％)-20000?15％?20％-1500=20900（元）

F

O

E C

A

B

D

P

………………………………………2分

151(1+=+n n a a ％）-n a ?15％?20％-1500=1.12n a -1500（111,≤≤∈*

n N n ）

………………………………………6分

（2）方法

1：（构造）

令)(12.11λλ+=++n n a a ，则1+n a =λ12.012.1+n a ，对比得12500-=λ

………………………………………8分

则112.1)1250020900(12500--=-n n a ，即1250012.184001+?=-n n a

则1250012.184001112+?=a ≈41732（元） ……………………………11分 又年底偿还银行本利总计20000（1+6％）=21200（元）…………………………12分 故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） ………………………13分

方法2：（列举）

150012.112-=a a

1500

150012.112.11500)150012.1(12.1150012.112

123-?-=--=-=a a a a

…… ……

1500150012.1150012.1150012

.112

.19

10

111

12-?-??????-?-?-=a a

417321

12.11

12

.115002090048.311

=--?

-?=（元） …………………………11分

又年底偿还银行本利总计20000（1+6％）=21200（元）…………………………12分 故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） ………………………13分

21、（本小题14分）解：（1）由椭圆的定义知2,42=∴=a a ，……………………3分

椭圆C 的方程为

142

22

=+

b

y x

，带入点)2

3,1(M ，求得32

=b ……………………5分

故椭圆13

4

:

2

2

=+

y

x

C …………………6分

（2）方法1：

若O 点为MPQ ?的重心，设PQ 的中点为N ，则ON MO 2=， 则)4

3,21(--N ， ……………………8分

显然直线PQ 的斜率存在，不妨设为,k 联立

??

???=++=+134)21(432

2y x x k y 消去y 得：04393)64()43(222=--+-++k k x k k x k

)(* ………………………9分

点N 在椭圆内，0>?恒成立，设),(),,(2211y x Q y x P ，则 由)(*式2

2143)64(k

k k x x +--=

+，则=

+=

2

2

1x x x N 2

1)

43(2)64(2

-

=+--k k k

2

1-=∴k ， ……………………11分

即)(*式化简为2,022-=∴=-+x x x 或1=x 不妨)2

3,1(),0,2(-

-Q P ，由椭圆对称性知2

9233212=?

??

=?MPQ S .

……………………14分

（注：若联立方程组但)(*式未化简完全正确而后面由两根之和正确计算出2

1-=k 时，统一扣2分.）

（2）方法

2：

另一方面，当Q P ,在椭圆上时，不妨),(),,(2211y x Q y x P ，则有

???????=+=+1

34

1342

2222

1

21y x y x ，两式相减得3))((4))((21212121y y y y x x x x -+-=-+ 则

2

1224

34

32

1212

121-

=?

-

=++?

-

=--N

N y x y y x x x x y y

即2

1-=PQ k ， ……………………11分

∴直线PQ 的方程为)2

1(2

14

3+

-

=+

x y 即12

1--

=x y ，

联立?????

=+--=1

3

4

1

21

22

y x x y 消去y 得2,022

-=∴=-+x x x 或1=x

不妨)2

3,1(),0,2(--Q P ，由椭圆对称性知2

9233212=?

??

=?MPQ S .

……………………14分

22、（本小题14分）解：（1）令0)(/

=x f ，得e x 1=

，

当??

? ?

?∈e x 1,0时，0)(/

递减，

当???

??+∞∈,1

e x 时，0)(/

>x f ，)(x f 在??

? ??+∞,1e 递增 综上)(x f 在)1,0(e

递减，在??

?

??+∞,1e

递增，

)(x f 的极小值点为e

x 1= ………………………3分

（注：极值点未正确指出扣1分）

（2）方法

1：

问题转化为1ln +≥x ax ， …………………………4分 令1ln )(--=x ax x h 则x

ax x a x h 11)(/-=-

=

ⅰ）当0≤a 时，0)(/x 单调递减，)(x h 无最小值，舍去；

…………………………5分

ⅱ）当0>a 时，令0)(/=x h ，得a

x 1=，

且a

x 10<

<时，0)(/

a

x 1≥

，0)(/≥x h ，)(x h 递增，故故a a

h x h ln )1()(min ==

只须0ln ≥a ，即1≥a ………………………8分

方法2：

问题转化为1ln +≥x ax 即x x x a 1ln +≥

对0>?x 恒成立

令x

x

x

x h 1ln )(+=

，则2

/

ln )(x

x x h -=

， …………………………4分

当10<

>x h ，故此时)(x h 单调递增

当1≥x 时，0)(/

≤x h ，故此时)(x h 单调递减 …………………………6分

故1)1()(max ==h x h 故只须1≥a

综上1≥a ………………………8分 （3）要证明n

n

e

n e 1)1ln(+

<+

令e t e n

≥=，即证明t t t 1ln )1ln(+

<+ 即证明t

t

t 1)1ln(

<

+，即证t

t

1)1

1ln(<

+

即证1ln -

而由（2）可知1=a 时，x x x x -≤2

ln ，

当1>x 时，1ln -

n e

n e 1)1ln(+

<+是成立的，证毕。 …………………………14分