高等数学第18章第1节隐函数

第十八章 隐函数定理及其应用

§1 隐函数

一 、 隐函数概念（P144）

在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12

+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy e

u xyz

++=

这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。 ☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；

☆ 下一节将介绍由方程组??

?==0

),,,,(0

),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

设R X ?，R Y ?，函数.:R Y X F →?

注．

：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能 用x 的显式表示

2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。

结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y =

.,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．

.,0))(,(I x x F x F ∈≡

例： 方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。

其显函数形式为：.11

x

y +=

例： 圆方程12

2

=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数

21x y -=；

又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。 注．

：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。 2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。

3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程

.02

2=++c y x

当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22

≡++c x f x

而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程0),(=y x F 在什么条件下才能确定隐函数。

4）倘若方程0),(=y x F 能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那样，能从方程 中解出y ，并用自变量x 的算式来表示（即使),(y x F 是初等函数）。例如，（证明见P149）

例1）对于方程 .0sin 2

1

=-

-y x y 可以证明确实存在一个定义在),(+∞-∞上的函数)(x f ，使得 ,0sin 2

1

)(≡+-y x x f 但这函数)(x f 却无法用x 的算式来表达。

5) 由上述讨论可知：在一般情况下，我们主要考虑方程0),(=y x F 能否确定隐函数 以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示。 二 、隐函数存在性条件的分析（P145）

分析1：满足方程0),(=y x F 的（x , y ）应满足方程组??

?==0

)

,(z y x F z ，即（x , y ）应属于曲

面),(y x F z =与坐标平面0=z 的交集。（∵0=z ，∴该交集在0-xy 平面上）

结论．．：若．方程．．0),(=y x F 能确定一个函数，则至少要求曲面．．．．．．．．．．．．．．．),(y x F z =与坐标平面．．．．．0=z 的交集非空，即存在．．．．．．．．．0-xy 平面上的点．．．．．),(000y x P 使．0),(000=y x F 。．

分析2：其次，对上述0P 而言，若方程0),(=y x F 能在点0P 附近确定一个连续函数，则从 几何意义上表现为上述交集是一条通过点0P 的连续曲线段（该曲线段在0-xy 平面上）（P145

图18-1）。

如果曲面),(y x F z =在点0P 处存在切平面， 且切平面与坐标平面0=z 相交于直线l （同样l 也在0-xy 平面上），那么曲面),(y x F z =在点

0P 附近亦必与坐标平面0=z 相交（其交线在点

0P 处的切线正是l ）。为此，我们有以下结论。

结论．．：若．),(y x F z =在点．．0P 可微，且．．．．),0,0())(),((00≠P F P F y x （．2．）．

则．),(y x F z =在点．．0P 存在切平面，并与．．．．．．．．0=z 相交成直线。．．．．．．

事实上：由P113 Th17.4可知，若),(y x F z =在点0P 可微，则),(y x F z =在点0P 存在切 平面，又),0,0())(),((00≠P F P F y x 所以切平面不平行于0-xy 平面，所以必与0=z (即0-xy 平面)相交成直线。 ▋

分析3：如果进一步要求上述隐函数)(x f y =（或)(y g x =）在点0P 可微，则在F 为可微 的假设下，通过方程0),(=y x F 在点0P 处对x 求导，依链式法则得到可得到以下结论。 结论．．：若隐函数．．．．)(x f y =（或．．)(y g x =）在点．．．0P 可微，且．．．．),(y x F z =也可微，则．．．．．

当．0)(0≠P F y 时，．．

()().000

P F P F dx dy

y x x x -

== （．4．）． 类似地，当．．．．．()00≠P F x 时，．．

()()

.000

P F P F dy

dx x y y y -

==

事实上：由0),(=y x F ，两端对x 求导，依链式法则可得

()()00

00=?

+=x x y x dx

dy

P F P F （3）

所以，当0)(0≠P F y 时，由上式可解出（4） 同理，当()00≠P F x 时，可得

()()

.000

P F P F dy

dx x y y y -

==▋

注．

：1)应关注条件),0,0())(),((00≠P F P F y x 对隐函数的存在性及对隐函数的求导的重要性。

三 、 隐函数定理（P146）

证明：由条件(iv),不妨设()00,y x F x >0(若()00,y x F x <0,则可讨论－),(y x F =0). 一）.先证隐函数)(x f y =的存在性．．．与惟一性．．．.．

①∵y F 在D 内连续(由条件(iii))

∴由连续函数的局部保号性,存在点0P 的某一闭的方邻域

[]ββ+-00,x x ?[]ββ+-00,y y D ?,使得在其上每一点处都有),(y x F y >0.

因此,对每个固定的∈x []ββ+-00,x x ,()y x F ,作为y 的一元函数,必定在

[]ββ+-00,y y 上严格增且连续.

②由0),(00=y x F （初始条件(ii)）可知()0,00<-βy x F , ()β+00,y x F >0 ③又由F 的连续性条件（i ）可知道函数()β-0,y x F 与()β+0,y x F 在

[]ββ+-00,x x 上也是连续的。因此由保号性存在()βαα≤>0，当()

αα+-∈00,x x x 时恒有()().0,,0,00>+<-ββy x F y x F

如图18-2所示，在矩形

''A ABB 的AB 边上F 取负值，

在''B A 边上F 取正值．④因此对

),(00αα+-x x 内每个固定值x ，

同样有0),(0<-βy x F ，0),(0>+βy x F 。

根据前已指出的),(y x F 在[]ββ+-00,y y 上严格增且连续，由介值性保证存在唯一的

),(00ββ+-∈y y y ，使得满足0),(=y x F ．

⑤由x 在),(00αα+-x x 中的任意性，这样就确定了一个隐函数)(x f y =，它的定义域为),(00αα+-x x ，值域含于),(00ββ+-y y ．若记

),

,(),()(00000ββαα+-?+-=y y x x P U

则 )(x f y = 即为所求 （满足结论1°的各项要求．） 二）. 再证明f 的连续性． （前面已证)(x f y =，现证其连续性）

只须证明：对),(00αα+-x x 中的任x 及唯一对应的)(x f y =，使得对任0>ε，存在0>δ，当δ<-x x 时ε<-)()(x f x f 即可。

①由上述结论可知： 对于∈x ),(00αα+-x x 内的任意点，有唯一的

∈y ),(00ββ+-y y ，使得)(x f y =且满足0),(=y x F ．

②所以，对任给0>ε，不妨设{}

,,min 00ββε+--+

则在],[εε+-y y 上同样有：0),(<-εy x F ，0),(>+εy x F ．成立 ③由F 的连续性及保号性存在x 的某邻域),,(),(00ααδδ+-?+-x x x x 使得当∈x ),(δδ+-x x 时（即δ<-x x 时），有0),(<-εy x F ，0),(>+εy x F

④因此由介值性定理，存在唯一的∈y ),(εε+-y y ，使得0),(=y x F ，ε<-y y ． ⑤由y 的唯一性，推知)(x f y =．

这就证得：对任0>ε，存在0>δ，当δ<-x x 时ε<-)()(x f x f ，即)(x f 在x

连续．由x 的任意性，证得)(x f 在),(00αα+-x x 内处处连续． ▋

注．

：1) 本“隐函数存在惟一性定理” 仅保证了在点0P 的某邻域D P U ?)(0内，方程()y x F ,=0唯一地确定了一个定义在某区间),(00αα+-x x 内的函数（隐函数）)(x f y =，

并非保证在使()y x F ,=0有意义的全体区域内存在隐函数，所以该定理仅仅给出了由

()y x F ,=0确定的某局部存在隐函数的一个充分条件。

例如：见（P150）例2

2）（P147倒10-倒3行）定理18．1的条件仅仅是充分而非必要的．

例如： 方程03

3=-x y 在点)0,0(不满足条件(iv) )0)0,0((=y F ，但它仍能确定

惟一的连续函数x y =．

当然，由于条件(iv)不满足，往往导致定理结论的失效。 例如：(P147倒8-13行)图18-3所示的双纽线，

其方程为.0)(),(2

2

2

22

=+-+=y x y x y x F 由于0)0,0(=F ，F 与y y x y F y 2)(42

2

++= 均连续，故满足定理条件(i)(ii) (iii)． 但因0)0,0(=y F ，致使在原点的无论怎样 小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数．

3) （P147倒2-P148第4行）定理中的条件)(iii 和)(iv 是比较强的，

在定理证明过程中，条件(iii)和(iV)只是用来保证存在0P 的某一邻域，使得F 在此邻域内关于变量y 是严格单调的．

因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“F 在0P 的 某一邻域内关于y 严格单调”。现在采用较强的条件)(iii 和)(iv ，只是为了在实际应用中便于检验。

4）条件“F 在0P 的某一邻域内关于y 严格单调”类似于一元函数存在反函数的充分条件为1-1对应的（连续的1-1对应函数必为严格单调函数，）。应注意到隐函数与反函数虽是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。

5）（P148第5-P148第7行）如果把定理的条件)(iii 、)(iv 改为),(y x F x 连续，且

.0),(00≠y x F x 这时结论是存在唯一的连续函数).(y g x =

证明：设∈x ),(00αα+-x x ，给x 一增量x ?使x x ?+∈),(00αα+-x x ，且使得它们所对应的函数值)(x f y =与)(x x f y y ?+=?+均含于),(00ββ+-y y 内。

∵ 0),(=y x F , 0),(=?+?+y y x x F

∴由x F 、y F 的连续性以及二元函数中值定理（P133定理17.8），有

),(),(0y x F y y x x F -?+?+=

,),(),(y y y x x F x y y x x F y x ??+?++??+?+=θθθθ（其中.10<<θ）

因而

.)

,(),(y y x x F y y x x F x y

y x ?+?+?+?+-=??θθθθ 注意到上式右端是连续函数),(y x F x 、),(y x F y 与)(x f 的复合函数，且 0),(≠y x F y ()(0P U x ∈)

所以有 )

,(),(lim

)('0y x F y x F x y

x f y x

x -=??=→? （导函数的存在性） 且)('x f 在),(00αα+-x x 内连续。（连续函数的复合函数仍为连续函数） ▋. 注．

：1)(P148倒7-P1496行)P146已经有结论：若方程0),(=y x F 确实存在连续可微的隐函数，则可对方程0),(=y x F 应用复合函数求导法得到隐函数的导数.

事实上：若把

))(,(x f x F 看作),(y x F 与)(x f y =的复合函数时，则有

.0'),(),(=+y y x F y x F y x 所以，当),(y x F y 0≠时，即可推得（5）式成立。

2)(自看：P148倒2-149第6行)对于隐函数的高阶导数，可用和上面同样的方法来求得，这时只要假定函数F 存在相应阶数的连续的高阶偏导数。例如，要计算'

'y ，只要对恒

等式（6）继续应用复合函数求导法则，便得

[]

.

0),(),(),(),(),("'''=++++y y x F y y y x F y x F y y x F y x F y yy yx xy xx

再把（5）得结果代入上式，整理后得到

()

2'

'"21y F y F F F y yy xy xx y ++-=,23

2

2y yy x xx y xy y x F F F F F F F F --=

当然它也可由公式（5）直接对x 求导而得到.

☆ （可自看P149第7-22行,）最后，我们可以类似地理解由方程

()0,,,,1=y x x x F n x 所确定的n 元隐函数的概念.并叙述下列n 元隐函数的唯一存在与连

续可微性定理：

四、隐函数求导举例（P149） 例1（P149） 设方程

.0s i n 2

1

),(=-

-=y x y y x F （7） 由于F 及其偏导数y x F F ,在平面上任一点都连续（满足第（ⅰ）（ⅲ）条件ⅳ），且

,0)0,0(=F （满足第（ⅱ）个条件，即初始条件）

， .0c o s 2

1

1),(>-

=y y x F y (满足第（ⅳ）个条件)。 故依定理18.1和18.2，方程（7）确定了一个连续可导隐函数)(x f y =； 我们又注意到.1),(-=y x F x 所以按公式（5），其导函数为

()()

()

.cos 22

cos 2

111,,'y y y x F y x F x f y x -=-=

-

= ▋

注．

：1）例1中取0,000==y x ,事实上还可以取ππ==00,y x 等，所以00,y x 的选取方法很多，只需找到一组即可。

例2 （P150）讨论笛卡儿（Descartes ）叶形线（图18-4）

0333=-+axy y x （8） 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数.

解: 显然axy y x y x F 3),(3

3

-+= 及y x F F ,在平面上任一点都连续，

由隐函数定理知道，在使得

()()03,2≠-=ax y y x F y 的点()y x ,

附近，方程033

3

=-+axy y x 都能

确定隐函数)(x f y =；所以，它的一阶与二阶导数如下：

对（8）式求关于x 的导数（其中y 是x 的函数）并以3除之，得

0''22=--+axy ay y y x

或 (

)(

)

.0'

2

2

=-+-y ax y ay x （9）

于是 .22

'

ax

y x ay y --= ().02≠-ax y （10）

再对（9）式求导，得：,0)()2(2"

2

'

'

'

=-+-+-y ax y y a yy ay x

即 .222)(2

''2"x yy ay ax y y --=- （11） 把（10）式代入（11）式的右边，得

.)()

3(222222

23332

''

ax y axy y x xy xy a x yy ay --+--=--

再利用方程（8）就得到 .)

(23

23"

ax y xy

a y --= （12） 由（10）式易见，曲线在点)4,2(33a a A 处有一水平切线，在点)2,4(33a a B 处有 一垂直切线. ▋

注．

：1）本例中“曲线在点)4,2(33a a A 处有一水平切线”可由下列方程组求解而得： ???=-=-+0

32

33x ay axy y x 同样本例中“曲线在点)2,4(33a a B 处有一垂直切线.”可由下列方程组求解而得：

???=-=-+0032

33ax y axy y x

2）本例求一阶导数时也可如下进行： 因为

()(

)ay

x y x F x -=23,，()()

ax y

y x F y

-=2

3,

所以.),(),()('22ax

y x ay y x F y x F x f y x --=-=

3）由于在点B 和原点处的任何邻域内，每一个x 所对应的y 值不惟一，所以方程（8）不能在那两点的邻域内确定惟一的隐函数. 例3 （P150）讨论方程

0),,(323=-++=z y x xyz z y x F （13）

在原点附近所确定得二元隐函数及其偏导数.

解: 由于z y x z F F F F F F ,,,,01)0,0,0(,0)0,0,0(≠-==处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(y x f z =， 且可求得它得偏导数如下：

,3122

3xyz x yz F F x z z x -+=-=?? .3132

23xyz

y xz F F y z

z y -+=-=?? ▋ 例4 （反函数的存在性与其导数）（P151）设)(x f y =在0x 得某邻域内有连续的导函

数)('

x f ，且00)(y x f =；

考虑方程 .0)(),(=-=x f y y x F （14）

由于 0),(00=y x F ， 1=y F ， ),(),(0'

00x f y x F x -=

所以只要0)(0'

≠x f ，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程（14）能确定出在0

y 的某邻域)(0y U 内的连续可微隐函数)(y g x =，并称它为函数)(x f y =的反函数.反函数的导数是

.)

(1

)(1)('''

x f x f F F y g x

y =--

=-

= （15）

事实上，这就是在第五章里曾经得到过的反函数求导公式. ▋