初中数学竞赛：正整数简单性质
初中数学竞赛：正整数简单性质
【连续正整数】
一.1、 n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，
三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)
练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.
2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；
100110021003……19881989是_______位数.
3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.
4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；
从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.
二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2
n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.
练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.
6.
1+3+5+……+99=____________. 7.
5+10+15+……+100=_________. 8.
1+4+7+……+100=____________. 9.
1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______ 10.
和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11.
和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.
三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和
整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；
1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.
练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.
13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：
位
198011121234567891这个数用9除的余数是__________. 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：
①
它是一个________位数； ②
它的各位上的数字和等于________； ③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十
位是___________________________.
四.连续正整数的积：
① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.
② n 个连续正整数的积能被n !整除.
如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.
③ n ! 中含有质因数m 的个数是??????m n +??????2m n +…+??
????i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ?n
如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：??
????+??????2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____
16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个
17. 求证：10494 | 1989!
18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数
五. 两个连续正整数必互质
练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.
【正整数十进制的表示法】
一. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0
其中n 是正整数，且0?a i ?9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.
例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.
例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.
证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33
=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.
初中数学竞赛辅导几何变换(旋转)
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，
－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。
世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛2017春季省级初赛试题及答案
世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 2017春季省级初赛 考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。 考试期间,不得使用计算工具或手机 七年级试题(A 卷) 一、填空(每题3分，共30分) 1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度. 2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________. 3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________. 4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________. 5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________. 6、若关于x 、y 的方程组 无解，则a 的值是________. 7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+ 8、已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是________. 9、 都是正数， 那么N M 、的大小关系是________. 10、若n 为不等式 的解，则n 的最小正整数的值是________. 二、选择题(每题5分，共25分) 11、三元方程 的非负整数解的个数有（ ）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 12、如图已知 分别 为ABC ?的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ???-==1 1 y x ???=-=+1293y x y ax ???-≥--1250x a x ＞， 如果))((),)((,,,200332200421200432200321200421a a a a a a N a a a a a a M a a a ++++++=++++++= 3002006＞n 1999 =++z y x CD BD ACB CP ACB A ABC 、，平分，中，∠∠=∠?
初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全
初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全
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初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
2017奥林匹克数学竞赛试题及答案
绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？
2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．
数学竞赛 全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析
中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ). （A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ). （A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1） 3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ） 92 （D ）112 4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为 ( ).
（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3 3331111 123 99 S = ++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 . 7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 . 8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1 y x = （x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 . 9．若1 12 y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 . 三、解答题（共4题，每题20分，共80 分） 11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++ =的两个整数根恰好比方程 （第8题） （第10题）
新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开
2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.
数学初中竞赛大题训练：几何专题(包含答案)
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛-
2016年小学数学竞赛决赛试卷 （国奥赛决赛） （2016年4月10日下午2:00-3:30） （本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。） 1.）（）（）（40375.08.041545.2? ÷??? = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】9 64 【分析】原式 = 0.5×4×0.2÷（ 43×403） = 52×9 160 = 964 2.1 811611*********－＋－＋－＋－ = 。 【考点】计算（平方差公式利用） 【难度】★★ 【答案】9 4 【分析】原式 = ) 18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（????） = 971751531311????＋＋＋
= （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×2 1 = （1－ 91）×21 = 98×2 1 = 94 3.)]3 2152(347[163)25.016743(＋－＋－÷?÷ = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】28 69 【分析】原式 = )1215347(163)4171643(??? －＋－ = 3 16163)41712(?＋－ = 28 41 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是 。 【考点】最值问题 【难度】★ 【答案】54 【分析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题(含答案)
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案） 1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=?，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、 AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心. 解析 如图，由条件45BAE ∠=?，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点. 另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 12EM MF BC ==，1 2 EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点. 从而命题获证. 2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ， 点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线. 解析 设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=?，有 tan cot ASB ATB S SP AS BS P T S AT BT αβ'?===?'?△△ MS ST MS SP ST TE TE PT = ?== ， 即点P 与点P '重合. 3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上. 解析 连结OB 、OD . B M N A S P T F E D M C N O L A K B
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识
第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。 【赛题精选】 例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。 例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？ 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中 点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。
例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？ 例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。
求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？
【针对训练】
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。
2007 年新知杯上海市初中数学竞赛
2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.
世界奥林匹克数学竞赛(七年级总决赛)
A F E D C B 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛 七年级数学试题 一、选择题（10个小题，每小题5.2分，共52分） 1、已知c a 、、b 是互不相等的有理数，那么 b a a c a c c b c b b a ------，，中，正数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个 2、方程0|3||1|)1(2=+--++x x x 解的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个D.无穷多个 3、已知2009192008 17)1() 1(++-+-=n n a ，当n 依次取1,2，…，2009时，a 的值为负数的个数是 （ ）。 A ．0个 B. 1个 C. 1004个 D.1005个 4、已知c a 、、b ，m 是有理数，且1b +>--=++m c b a m c a ，，则有（ ） A. b < 0 B. c < 0 C. 2 1 - <+c b D. 1>bc 5、已知2009 20082010 200720102008200920072010200920082007??-=??-=??- =c b a ，，，则有（ ） A ．c b a << B. c b a >> C. b a c << D. a c b >> 6、已知?? ?=+=+3 ||||0||y x x y x 中，0≠xy ，则有=y x （ ）A ．1 B. -1 C. 2 D. -2 7、小明在三张卡片上分别写上2，3，5，每张卡片作为数轴上的一个点，卡片上的数表示这个离原点的 距离，把三张卡片摆放到数轴上，不同的摆放方法最多有（ ） A ．12种 B. 8种 C. 6种 D. 2种 8、设三角形三边的长为c a 、、b ，且c b a >>，下面三个式子：①bc a +2；②ca b +2；③ ab c +2，其中值最大的是（ ） A ．① B. ② C. ③ D. 不确定 9、已知：如图，△ABC 中，D 是BC 上的点，BD= 2DC ，E 在AD 上，AE = DE ，BE 交AC 于F ，若△ABC 的面积是302 cm ，那么四边形CDEF 的面积是（ ） A ．92 cm B. 8.52 cm C. 82 cm D. 7.5 2 cm 10、圆周上有9个点，以这些为顶点构成三角形，那么所构成的三角形的个数共有（ ） A ．24个 B. 27个 C. 72个 D. 84个 二、填空题（8个小题，每小题6分，共48分） 1、已知a 是质数，则方程组?? ?=-=+a y x a y x 4的正整数解是 ；
初中数学竞赛平面几何常用公式及例题讲解
面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 和角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(+=+ A B B A B A sin sin cos cos )cos(-=+ B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(-+=+ 差角公式 A B B A B A cos sin cos sin )sin(-=- A B B A B A sin sin cos cos )cos(+=- B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(+-=-
常用角度的三角比
相关练习题： 1.已知ABC ?中，,75 =∠B ,60 =∠C ,10=BC 求AB 与AC 的长及三角形的面积 2.求证面积公式A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 3.求证海伦公式 ))()((c p b p a p p S ABC ---=? 2/)(c b a p ++= 4. 已知ABC ?中，,7=AB ,8=BC ,9=AC 求sinA ， sinB ， sinC 5.在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 6.已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点是P ，AB=BD ，且PC=0.6，求四边形ABCD 的周长． 7.在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。 A B C E F A B C P
奥数-2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
A F P E C B 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。 【答案】4，132 - 2、在三角形ABC 中，2 2 b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4 3 2 2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。 【答案】 25 5 6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610 x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。 【答案】2772 7、在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】 13 32 k << 8、方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9、如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。 【答案】21°
2018-2019初中数学竞赛专题复习 极限几何100题
1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ， 3 若 tan ∠CAD= 4 ，AB ＝20，则线段 EF 的长为 C F 2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1 ∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点 2 F 在线段 AE 的延长线上，AF ＝AD ，若 CD ＝4，CF ＝2，则 AC 边的长为 3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE 1 交于点 G 。若 BG=1，∠BDF= 2 ∠ACB ，则线段 EG 的长为
4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线 BD 、CE 交于点 F ，若 BC ＝3CD ，BF ＝2，则 BC 边的长为 E B 5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点 E 在射线 BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若 BD ＝1，CD ＝ 5，则 AE 的长为 6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是 AB 边上的中线，点 F 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，AE ＝ DF ，连接 CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝ 2 3 ，DF ＝ 1，则线段 CE 的长为 A B 7. 如图，在等边△ABC 中，D 为 AB 边上一点，连接 CD ，在 CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若 3
2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案
2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 一、 填空题（每题10分，共80分） 1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02 =++m x x ②，其中 0≠m 。 若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。 2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ， 则梯形ABCD 的面积为_______________。 3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号 都大于等于2的概率为______________。 4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ， h ，使得()()2 2 h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。 5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ， 2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。 6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ， 7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。 7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1 分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的 5 4 ，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd 是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。 二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分） 9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知?=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边 DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。求证：LC SM //。