基于代理模型方法的翼型优化设计
航 空 学 报
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ｒ．２５ ２０１１Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．４ ６１７－６２７Ａｃｔａ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａ ｅｔ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ ＩＳＳＮ １０００－６８９３ ＣＮ １１－
１９２９／Ｖ收稿日期：２０１０－０６－３０；退修日期：２０１０－０９－０６；录用日期：２０１０－０９－２１；网络出版时间：２０１０－１２－２１
０９∶５４网络出版地址：ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．１９２９．Ｖ．２０１０１２２１．０９５４．０５６．ｈｔｍｌ ＤＯＩ：ＣＮＫＩ：１１－
１９２９／Ｖ．２０１０１２２１．０９５４．０５６基金项目：国家自然科学基金（１０９７２１８３
）＊通讯作者．
Ｔｅｌ．：０２９－８８４９５３８１ Ｅ－ｍａｉｌ：ｃａｉｊｓｈ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ引用格式：段焰辉，蔡晋生，刘秋洪．基于代理模型方法的翼型优化设计［Ｊ］．航空学报，２０１１，３２（４）：６１７－６２７． Ｄｕａｎ Ｙａｎｈｕｉ，Ｃａｉ
Ｊｉｎ－ｓｈｅｎｇ，Ｌｉｕ Ｑｉｕｈｏｎｇ．Ｓｕｒｒｏｇａｔｅ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｉｒｆｏｉｌ ｄｅｓｉｇ
ｎ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａ ｅｔ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２０１１，３２（４）：６１７－６２
７．ｈｔｔｐ：／／ｈｋｘｂ．ｂｕａａ．ｅｄｕ．ｃｎ ｈｋｘｂ＠ｂｕａａ．ｅｄｕ．ｃｎ文章编号：１０００－６８９３（２０１１）０４－０６１７－
１１基于代理模型方法的翼型优化设计
段焰辉，蔡晋生＊，刘秋洪
西北工业大学航空学院，陕西西安 ７１００７２
摘 要：提出了基于代理模型的两步优化方法，用于翼型在黏性流场中气动外形的优化设计。第一步优化使用基于代理模型的遗传算法（ＧＡ）获得全局最优解的大致范围，以本征正交分解（ＰＯＤ）方法作为第一步优化中气动力计算的代理模型方法，降低遗传算法的计算量，并对其采样解的生成方法进行改进，提高了计算精度；第二步优化使用基于Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的最速下降法（ＳＤＡ），既改善了第一步优化结果，又修正了代理模型所引入的误差。针对传统型函数方法在翼型后缘表达不足的缺陷进行改进，提高了型函数对翼型的表达精度。不同外形翼型的反设计结果以及不同来流状态下的优化设计结果表明，本文提出的两步优化方法是一种高效且具有实用价值的优化方法。关键词：优化设计；Ｎａｖｉｅｒ－
Ｓｔｏｋｅｓ方程；遗传算法；最速下降法；代理模型中图分类号：Ｖ２１１．４１＋
２ 文献标识码：Ａ
飞行器气动外形优化设计是飞行器设计中的关键问题之一。随着计算流体力学的发展以及对大量优化算法的深入研究与探讨，研究人员在飞行器气动外形的优化设计上取得了长足的进步。尤其是高速计算机的出现更是缩短了优化设计的周期。即便如此，飞行器气动外形优化设计的两大问题仍然困扰着我们：一是寻找一种可以快速准确地收敛到全局最优解的优化方法；二是在可以接受的误差范围内，尽量地缩短优化设计的时间。
优化方法总体上可以分为全局最优化方法和局部最优化方法。理论上讲，全局最优化方法以较大的概率获得全局最优解，但是其优化过程需要花费非常大的计算代价，在当前的计算条件下，
二维问题可以在允许的时间内得到相应结果［
１－
２］，然而采用全局最优化方法进行三维气动外形优化设计几乎不可能，这就给全局最优化方法的广泛
应用带来了很大的困难。局部最优化方法由于其较快的收敛速度以及较好的优化效果，仍然被广
泛地应用于气动外形的优化设计领域［
３－
４］。但是局部最优化方法仅仅对于单峰值函数有非常好的效果，对于存在多个局部最优值的函数就很容易陷入局部最优解。实际问题中，大部分气动外形优化都很复杂，单纯使用局部最优化方法很难得到相应问题的全局最优解。近年来，将全局最优化方法与局部最优化方法相结合，
成为一种构造优化算法的趋势［５］
，两种或更多的优化方法结合
所得的混合优化方法往往能够得到比全局最优化方法更好的结果。
文献［６］提出了多方法协作优化算法，并分析说明了如何进行混合优化方法的构造。多方法协作可以得到很好的优化结果，但是仍然存在全局最优化方法计算量大的问题。针对这个问题，最为流行的解决方案是寻找一种合理的代理模
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型［７－１０］，作为目标函数的近似计算手段。本征正交分解（Ｐｒｏｐｅｒ Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＰＯＤ）方法［１１］能够提供一组经验基，这些基包含了所描述系统的绝大部分信息，然后用这些基的线性组合去近似原始问题，将一个高维问题转化成近似的低维问题，从而大大降低求解问题的计算代价。基本ＰＯＤ方法需要求解与所描述问题相同阶数的特征值问题，其计算量往往非常庞大，甚至还可能出现无法求解的现象。对此，Ｓｉｒ－ｖｏｒｃｈ［１２］提出了Ｓｎａｐｓｈｏｔ ＰＯＤ方法，为ＰＯＤ方法在流体力学中的应用提供了极大的便利。ＬｅＧｒｅｓｌｅｙ等［１３－１４］将欧拉方程投影在ＰＯＤ基上，得到降阶的非线性方程组，使用迭代方法求解该方程组获得近似流场解，进行多学科的优化设计。赵松原等［１５］对ＬｅＧｒｅｓｌｅｙ等的方法进行了改进，并与模拟退火算法结合进行了翼型反设计。Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ［１６］是ＰＯＤ方法用于缺失数据填补的一种变形，其优点在于不需要原始问题控制方程的信息而且最终将问题转化为求解线性方程组的问题。Ｂｕｉ－Ｔｈａｎｈ等［１７］采用该方法成功地进行了简单的翼型反设计。Ｃａｉ［１８］对基于Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法的翼型反设计和基于投影方法的翼型反设计进行了比较，认为后者在反设计时拥有更高的精度。Ｚｈａｎｇ等［１９］使用Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法成功进行了Ｓ型进气道的多学科优化设计。
本文首先介绍了基于Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法的翼型流场分析方法，并对采样解生成方法和翼型的参数化方法进行改进；然后提出两步优化方法的优化流程，并通过反设计与优化设计算例对本文优化方法进行了验证。
１ 翼型流场分析
１．１ Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法
文献［１１］对基本ＰＯＤ方法进行了详细描述。对于某一离散数据，虽然只需要有限个ＰＯＤ基进行线性组合就可以很好地对其进行近似，但是获得ＰＯＤ基需要求解一个阶数与原始问题相当的特征值问题，即自相关矩阵的特征值问题。求解高阶矩阵的特征值一般需要迭代求解，计算量很大，而且对于某些阶数很高的问题，甚至无法求解其特征值。Ｓｎａｐｓｈｏｔ ＰＯＤ方法［１２］，将求解ＰＯＤ
基的自相关矩阵阶数降低至与采样解的个数相同，大大方便了特征值问题的求解，使ＰＯＤ方法的实际运用更加方便。
Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法是Ｓｎａｐｓｈｏｔ ＰＯＤ方法用于
填补缺失数据时的一种变形。在已知某个域上的一系列采样解后，采用Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法可以填补该域中任意状态下有数据缺失的解。
建立用于区分每组数据中每个位置上数据是否缺失的“标签”向量，用以描述所求向量中的数据是已知还是缺失。对于解向量Ｕｉ，相应的“标签”向量ｎｉ中的元素在数据缺失或不正确时ｎｉｋ＝０，数据已知时则ｎｉｋ＝１，其中ｎｉｋ对应于第ｉ个解向量Ｕｉ中的第ｋ个元素。定义新的向量内积为（ｕ，ｖ）
ｎ＝
（ｕ′，ｖ′），其中向量ｕ′中的元素ｕ′
ｋ＝ｎｋｕｋ
，向量ｖ′中的元素ｖ′ｋ＝ｎｋｖｋ。对应范数为（‖ｖ‖ｎ）２＝
（ｖ，ｖ）
ｎ
。这样就将每组解向量中的不正确元素置为０，便于进一步处理。
设｛Φｉ｝ｍ
ｉ＝１
是一组采样解｛Ｕｉ｝ｐ
ｉ＝１
的基，其中Ｕｉ全部为已知，且ｍ＜ｐ。用ｇ表示该组采样解所在的域中某个状态下数据有缺失的解，其对应的“标签”向量为ｎ。则由基修正的向量珘ｇ可以由ｍ个ＰＯＤ基表示为
珘ｇ≈∑ｍ
ｉ＝１
αｉΦｉ（１） 原始向量与修正后的向量之间的误差要最小，以此来求系数αｉ。该误差定义为
Ｅ＝‖ｇ－珘ｇ‖２ｎ（２） 为使Ｅ最小，可通过求解以下线性方程组来确定系数αｉ：
Ｍα＝ｆ（３）
式中：Ｍｉ
ｊ
＝（Φｉ，Φｊ）ｎ；ｆｉ＝（ｇ，Φｉ）ｎ。修正的向量
珘ｇ在求出α
ｉ
后即可得到。再将ｇ中的缺失数据由修正向量中的对应元素代替，即：ｇｉ＝珟ｇｉ，当ｎｉ＝０。
１．２ 采样解生成
采样解通过对翼型的几何外形进行一系列的扰动来获得，采样解向量由翼型的几何参数与相应的流场变量组成。通过一组采样解求得ＰＯＤ基后，将某一翼型（外形变化在扰动变量变化范围内）的几何参数作为已知数据，相应的流场变量作
段焰辉等：
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为缺失数据，使用Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法进行填补，可以快速得到相应翼型的近似流场解。
采用Ｈｉｃｋｓ－Ｈｅｎｎｅ函数［２０］
对翼型表面进行扰动，称其为型函数，表达式为
ｂｎ（
ｘ）＝｛ｓｉｎ［πｘｌｇ（１／２）／ｌｇｔｎ］｝ｗ（ｎ＝１，２，…，Ｎ；０≤ｘ≤１
）（４
）其中型函数的最大值位于ｔｎ处。式中：ｗ为型函数的宽度，本文采用ｗ＝３；Ｎ为扰动变量的个
数。在基础翼型上添加型函数得到扰动翼型的形状，其表达式为
Ｙｌｏｗ＝Ｙｌｏｗ
ｂａｓｉｃ＋∑Ｎｌｏｗ
ｎ＝１
ａ
ｎｂｎ（ｘ）Ｙｕｐ＝Ｙｕｐｂａｓｉｃ＋
∑
Ｎｌｏｗ＋Ｎｕｐ
ｎ＝Ｎｌｏｗ＋
１ａｎｂｎ（
ｘ）（Ｎｌｏｗ＋Ｎｕｐ＝Ｎ，０≤ｘ≤１烍烌
烎
）（５
）式中：ａｎ为型函数的峰值；Ｎｌｏｗ为下表面扰动变量个数；Ｎｕｐ为上表面扰动变量个数。型函数在翼型后缘（ｘ＝１）的位置处导数为零，型函数不能对翼型的后缘斜率产生有效的扰动，因此需要对原有的型函数进行改进。分别在翼型上下表面紧靠后缘的型函数上选择两个插值点，在这两个点和翼型后缘点之间用三次样条插值取代原来的型函数（翼型后缘点处三次样条插值采用自然边界条件）。这样，通过调节这两个插值点的位置，可以有效地改变扰动翼型的后缘斜率。以ＮＡ－
ＣＡ００１２为初始翼型，通过在该翼型表面添加３２个适当大小的型函数，可以表达ＲＡＥ２８２２翼
型。图１给出了使用原始型函数方法（Ｏｒｉｇｉｎａｌ）和改进型函数方法（Ｉｍｐｒｏｖｅｄ）的表达结果与ＲＡＥ２８２２翼型（Ｔａｒｇ
ｅｔ）的比较（注：所有图中的长度坐标均使用翼型弦长ｃ做无量纲化处理）。由图１（ａ）的整体对比图可以看出，两种型函数方法的表达结果很相近，但是在图１（ｂ）的后缘放大图中可以发现原始型函数方法后缘表达的不足，而改进的型函数方法可以有效地改变后缘斜率。
通常，采样解生成方法是在基础翼型上下表面沿着弦线均匀布置幅值为固定值的型函数。在基础翼型上每加一个型函数，对应的流场解为一个采样解，再加上基础翼型的流场解，就可以得到
图１ 两种型函数方法对目标翼型的表达结果Ｆｉｇ．１ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｂｕｍｐ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
一组采样解。这种采样解生成方法的问题在于翼型表面上的所有型函数的幅值都是固定的，而没有考虑翼型本身的厚度变化。在翼型相对厚度较大的位置处对厚度变化的敏感性要明显低于相对厚度较小的位置，需要合理地设置型函数幅值的大小分布来改善采样解的表达性能。本文采用ＮＡＣＡ００１２翼型与ＮＡＣＡ００１３翼型在相同位置处的厚度差作为型函数的扰动幅值，设置４９个采样解生成ＰＯＤ基。图２给出了以ＮＡＣＡ００１２为基础翼型（Ｂａｓｅｌｉｎｅ Ａｉｒｆｏｉｌ），使用改进的型函数方法得到的３个扰动翼型（Ｂｕｍｐ
Ａｉｒｆｏｉｌ １～３）。将采样解表示为（Ｗ，Ｇ），其中：Ｗ为翼型表面所有计算网格上流场物理量向量；Ｇ为翼型流场计算网格节点坐标向量。对于设定的翼型表面
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ｒ．２５ ２０１１Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．４图２改进型函数方法生成的扰动翼型Ｆｉｇ．２ Ａｉｒｆｏｉｌ ｓｈａｐｅｓ ｆｏｒ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｓｎａｐ
ｓｈｏｔｓ 形状，翼型网格节点坐标向量Ｇ作为已知数据，将流场物理量向量Ｗ作为缺失数据，采用Ｇａｐ
－ｐｙ ＰＯＤ方法对其进行填补，即可获得相应翼型表面压力场的近似解。本文通过有限体积法数
值求解Ｎａｖｉｅｒ－
Ｓｔｏｋｅｓ方程［２１］
生成采样解，时间推进采用五步Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ格式，引入二阶和四阶人工黏性项以消除奇偶失联和激波附近的振荡，通过当地时间步长、隐式残值光顺和多重网格技术加速迭代收敛，流场计算采用ｋ－ω湍流模型，通过保角变换方法生成计算网格，网格大小为３２１×６５。１．３ 近似流场分析
为了验证ＰＯＤ方法对翼型进行近似流场分析时的能力，分别在亚声速和跨声速两种来流状态下将ＰＯＤ所得的流场解与Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程求解器所得的结果进行对比。亚声速来流状态
为：Ｒｅ＝６．５×１０６
、Ｍａ＝０．５、α＝３°，以ＮＡ－
ＣＡ００１２翼型为基础翼型，使用１．２节改进型函
数方法生成采样解。对ＮＡＣＡ００１３翼型通过
ＰＯＤ方法进行流场近似求解。图３（ａ）为测试翼型（ＮＡＣＡ００１３）与基础翼型（ＮＡＣＡ００１２）的几何外形对比；图３（ｂ）为由ＰＯＤ方法得到的测试翼型的表面压力分布（Ｉｍｐ
ｒｏｖｅｄ）与Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程求解器所得压力分布（Ｅｘａｃｔ）的对比，由图可以看到ＰＯＤ方法得到的结果与Ｎａｖｉｅｒ－
Ｓｔｏｋｅｓ方程求解器的结果符合得较好。同时，为了分析改进的采样解生成方法得到的ＰＯＤ基的计算
效果，图中还对比了采用传统采样解生成方法所得到的计算结果（Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ），可以发现，在翼型后缘处改进方法的计算结果明显优于传统方法的计算结果。
图３ ＮＡＣＡ００１３的几何外形与表面压力分布对比Ｆｉｇ．３ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｈａｐｅｓ ａｎｄ ｐ
ｒｅｓｓｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｏｒＮＡＣＡ００１３
跨声速来流状态为：Ｒｅ＝６．５×１０６
、Ｍａ＝
０．７３、α＝２
．７９°，以ＲＡＥ２８２２翼型为基础翼型，使用１．２节改进型函数方法生成采样解。对以ＲＡＥ２８２２最大升阻比为目标的优化设计过程中
得到的某一个翼型（ＲＡＥ２８２２Ｎ），使用ＰＯＤ方法计算流场解。图４（ａ）为测试翼型（ＲＡＥ２８２２Ｎ）与基础翼型（ＲＡＥ２８２２）的几何外形对比；图４（ｂ）为由ＰＯＤ方法得到的测试翼型的表面压力分布（Ｉｍｐ
ｒｏｖｅｄ）与Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程求解器所得压力分布（Ｅｘａｃｔ）的对比，在弱激波附近，由ＰＯＤ方法求得的压力分布与准确解符合得较差，其
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他位置处都符合得很好，整体而言是可靠的。图中同样给出了采用传统采样解生成方法所得到的计算结果（Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ），在前后缘附近存在明显误差。由这两个测试翼型的算例可以说明，ＰＯＤ方法在优化过程中代替Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程求解器来计算目标函数值是可靠的。但是需要注意的是，在复杂流场时，ＰＯＤ方法的计算精度有所下降。
图４ ＲＡＥ２８２２Ｎ的几何外形与表面压力分布对比
Ｆｉｇ．４ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｈａｐｅｓ ａｎｄ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｏｒＲＡＥ２８２２Ｎ
２ 优化设计方法
２．１ 遗传算法
根据文献［１］的研究结果，在基本遗传算法（Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＧＡ）的基础上加入了基于排
序的适应度分配方法和优选技术，以提高遗传算法的效率。基于排序的适应度分配方法是根据某一个体在种群中的顺序来确定该个体的选择概率，这样就克服了基于比例的适应度分配方法中某一个体适应度过大而影响选择过程的问题。优选技术是把父代群体及其产生的中间群体组织成一个具有两倍群体规模的大群体，并在这个大群体中根据适应值信息进行排序，保留适应值较大的一半群体，使其直接进入下一代。这样就保留了到当前为止进化代中的多个优良个体，从而使优化算法利用了更多的遗传信息来加速进化过程，提高了遗传优化的效率。
２．２ 最速下降法
最速下降法（Ｔｈｅ Ｓｔｅｅｐｅｓｔ Ｄｅｓｃｅｎｔ Ａｌｇｏ－ｒｉｔｈｍ，ＳＤＡ）以负梯度方向作为搜索方向，所以要求计算目标函数相对设计变量的梯度，或叫灵敏度。常用的计算灵敏度的方法是有限差分法，对于简单的一侧差分如果有Ｎ个设计变量，需要进行Ｎ＋１次流场计算。这种方法的主要问题在于梯度对扰动步长的选取较敏感，因此在实际应用时，一般需要对多个步长的梯度进行比较，以确定一个合适的扰动步长。另外一个影响最速下降法优化结果的重要因素是搜索步长，虽然有很多非精确的一维搜索方法，但在气动外形优化时，很容易形成偏离实际问题的解，造成目标函数无法求解等诸多问题。因此，在气动外形的优化问题中，往往使用指定的一维搜索步长，并随着优化过程进行适当的调整，以保证搜索结果是合理的。
２．３ 多方法协作优化方法
根据多方法协作［６］的思想，以串联思想将遗传算法与最速下降法结合，形成两步优化方法。第一步优化，利用遗传算法的全局优化性能，获得全局最优点的所在范围，使用Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法作为遗传算法中流场求解的代理模型以克服遗传算法计算量大的缺点；第二步优化使用最速下降法进行精细化搜索，目标函数使用Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程求解器计算，既可以对第一步优化的近似结果进行校正，又可以得到一个更优的结果。算法流程如图５所示。
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ｒ．２５ ２０１１Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．４图５ 两步优化算法流程图
Ｆｉｇ．５ Ｔｗｏ ｓｔｅｐ
ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｌｏｗｃｈａｒｔ３ 优化结果与分析
３．１ 翼型反设计
反设计问题是根据已有翼型流场解来设计与之相对应的翼型，一般目标函数定义为
Ｉ＝‖Ｃｐ－ＣｐＴ
‖２
２式中：ＣｐＴ为目标翼型表面压力系数分布。优化目标是使Ｉ取最小值。为了验证文中提出的优化算法以及改进的型函数方法在翼型优化设计时的有效性，本文进行了两个反设计算例：①由ＮＡ－
ＣＡ００１２为初始翼型设计ＮＡＣＡ１４１３，检验外形变化不大时，优化算法以及改进的型函数方法的有效性；②由ＮＡ
ＣＡ００１２为初始翼型设计ＲＡＥ２８２２，检验外形变化较大时，优化算法以及改进的型函数方法的有效性。
来流状态为：Ｒｅ＝６．５×１０６
、Ｍａ＝０．５、α＝
３°，以ＮＡＣＡ００１２为基础翼型，
使用改进的型函数方法对翼型进行参数化处理并生成采样解。
遗传算法的种群规模为１５０，杂交概率为０．９，变异概率为０．０９，最大进化代数为１００代。采用基于Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法的遗传算法进行第一步优化时，使用１６个设计变量，分别在上下表面沿弦线均匀地布置８个。采用较少的设计变量，是为了使遗传算法能够更快速找到全局最优解的所在范围。采用基于Ｎａｖｉｅｒ－
Ｓｔｏｋｅｓ方程的最速下降法进行第二步优化时，使用３２个设计变量，上下表面各１６个，并且在前后缘加密，使第二步的精细化优化更为精准。在通过有限差分方法计算梯度时进行可靠性验证，以反设计ＮＡＣＡ１４１３为例，分别在１×１０－３，５×１０－４，１×１０－４，１×１０－５这４种步长下计算该目标函数的梯度，结果如图６所示。步长为１×１０－３和５×１０－４时误差较大，因此选择１×１０－４为该算例的梯度计算步长。
（１）反设计ＮＡＣＡ１４１３
图７（ａ）给出了设计翼型、初始翼型（Ｂａｓｅ－ｌｉｎｅ）和目标翼型（Ｔａｒｇ
ｅｔ）的几何外形比较。从图
段焰辉等：基于代理模型方法的翼型优化设计６２３
图６ ４种步长的梯度比较
Ｆｉｇ．６ Ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ ｉｎ ｆｏｕｒ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｉｚｅｓ
中可以看出，第一步优化（ＧＡ）效果很明显，其
结果已经比较接近目标翼型，使用的第二步优
化（ＳＤＡ）使得设计翼型与目标翼型更加接近，
只是在上表面的后缘附近稍有不符。图７（ｂ）给
出了设计翼型、初始翼型和目标翼型的表面压
力分布比较，第一步优化使目标函数值从１．４０５
下降到０．１３２，图中第一步的设计结果在整体上
已经与目标压力分布的趋势相一致，但光滑性
欠佳，一方面是由于ＰＯＤ方法的计算能力有限，
另一方面是设计过程中翼型本身不够光滑。第
二步优化迭代１２步后使目标函数值下降到
４．６９×１０－３，图中所示设计结果与设计目标几
乎完全符合。该算例说明基于Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法
的反设计是可行的，同时说明在翼型的厚度和
弯度都发生不大的改变时，Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法可
以得到高精度的流场解。
图７ ＮＡＣＡ１４１３翼型的反设计结果
Ｆｉｇ．７ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ＮＡＣＡ１４１３ｉｎｖｅｒｓｅ ｄｅｓｉｇｎ
（２）反设计ＲＡＥ２８２２
图８（ａ）给出了设计翼型、初始翼型（Ｂａｓｅ－
ｌｉｎｅ）和目标翼型的几何外形比较。由图可知，第
一步的反设计结果在上表面的效果要优于下表
面，但整体而言并没有达到反设计ＮＡＣＡ１４１３
时的效果，这主要是因为ＲＡＥ２８２２翼型的几何
外形与ＮＡＣＡ００１２相差较大，尤其是下翼面；第
二步的优化达到了一个令人满意的结果。图８
（ｂ）给出了设计翼型、初始翼型和目标翼型的表
面压力分布比较，第一步优化使目标函数值从
１２．６１２下降到５．７５１ ３，受ＰＯＤ基表达能力的
影响，图中第一步的设计结果不够光滑，而且与
目标函数值也有较大差距，但整体的优化趋势
是正确的；第二步优化迭代１８步后使目标函数
值下降到２．２９２ ９×１０－２，图中所示的设计结果
与设计目标符合得非常好。该算例说明在目标
翼型与基础翼型相差较大时，ＰＯＤ基表达能力
６２４ 航 空 学 报
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ｒ．２５ ２０１１Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．４图８ ＲＡＥ２８２２翼型的反设计结果Ｆｉｇ．８ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ＲＡＥ２８２２ｉｎｖｅｒｓｅ ｄｅｓｉｇ
ｎ的不足对第一步优化设计的不利影响会使第二步优化需要较多的时间，但是第一步优化所保持的良好的优化趋势，仍然为第二步的优化提供了很好的基础。３．２ 翼型优化设计
以翼型的升阻比为目标函数：Ｉ＝ＣＬ
／ＣＤ，其中：ＣＬ为翼型的升力系数；ＣＤ为翼型的阻力系
数。优化目标是使Ｉ最大。本文进行了两个优化设计算例：①为了验证文中提出的两步优化方法的高效性，构造了一种两步优化都基于Ｎａｖｉｅｒ－
Ｓｔｏｋｅｓ方程的优化方法，即：对比方法（ＣｏｍｐａｒｅｄＭｅｔｈｏｄ，ＣＭ）
与本文提出的两步优化方法，即：高效方法（Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，ＥＭ）进行对比，两种优化方法的优化目标均为ＮＡＣＡ００１２的升阻比最
大，都采用与反设计相同的优化设置。来流状态为：Ｒｅ＝５ ０００、Ｍａ＝０．５、α＝１°，以ＮＡＣＡ００１２为基础翼型，使用改进的型函数方法对翼型进行参数化处理并生成采样解。②为了验证文中优化
方法在复杂流场时的优化能力，在来流状态为
Ｒｅ＝６．５×１０６
、Ｍａ＝０．７３、α＝２
．７９°时，以ＲＡＥ２８２２的最大升阻比为目标进行优化设计，
采用与反设计相同的优化设置。在相同的来流状态下，以ＲＡＥ２８２２翼型为基础翼型，使用改进的型函数方法对翼型进行参数化处理并生成采样解。
（１）基于ＮＡＣＡ００１２翼型的优化设计优化设计结果和计算时间比较如表１所示，使用的计算工具的配置为：主频２．４ＧＨｚ的Ｉｎｔｅｌ４核处理器，
３．５ＧＢ内存。表１ 高效方法与对比方法的优化设计结果和计算时间比较
Ｔａｂｌｅ １ Ｃｏｍｐ
ａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ＣＰＵ ｔｉｍｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ＥＭ ａｎｄ ＣＭＭｅｔｈｏｄ
Ｏｐｔｉｍａｌ ａｌｇ
ｏｒｉｔｈｍ Ｒｅｓｕｌｔｓ
ＣＰＵ ｔｉｍｅ／ｓＥＭ
Ｆｉｒｓｔ－ｓｔｅｐ
ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＣａｌｃｕｌａｔｅ ｓｎａｐｓｈｏｔｓＧＡ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇａｐｐｙ
ＰＯＤ ２．１０１ ９９５２
１５ ７４４Ｓｅｃｏｎｄ－ｓｔｅｐ
ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ＳＤＡ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｓｏｌｖｅｒ ２．０５２ ８ １８ ０４８（Ｎｅａｒｌｙ １０ｈ）ＣＭ
Ｆｉｒｓｔ－ｓｔｅｐ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＳｅｃｏｎｄ－ｓｔｅｐ
ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＧＡ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｓｏｌｖｅｒＳＤＡ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ
ｓｏｌｖｅｒ１．９９８ ６２．０５７ ０２７２ ２２２１６
３１３（Ｎｅａｒｌｙ
８０ｈ） 两种方法在第一步优化后，
结果大致相当，但高效方法的计算时间仅有对比方法的６．１％左右；两种方法第二步优化的结果和计算时间基本一致。高效方法中生成采样解所用的时间与采用该方法节省的时间相比，显得微不足道。最终，高效方法仅用了对比方法１２．５％的计算时间就得到了与其几乎相同的计算结果。由图９所示优化结果的几何外形和压力分布的比较也可以看出，高效方法与对比方法的优化结果是非常接近的。该算例说明，高效方法是一种快速有效的优化设计方法。
段焰辉等：基于代理模型方法的翼型优化设计６２５
图９ ＮＡＣＡ００１２翼型的优化设计结果
Ｆｉｇ．９ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ＮＡＣＡ００１２ｄｅｓｉｇｎ
（２）基于ＲＡＥ２８２２翼型的优化设计
ＲＡＥ２８２２翼型优化结果的几何外形和压力
分布比较如图１０所示。由图１０（ａ）中的几何外
形比较可以看出，在第一步优化的基础上，第二
步优化只进行了小范围的调整，就获得了良好
的结果。图１０（ｂ）给出了翼型表面的压力分布，
第一步优化设计使翼型的升阻比从４３．４９增加
到６１．０６，从图中可以看出，优化后激波的强度
明显降低，虽然复杂的流场限制了ＰＯＤ基的表
达能力，但仍然准确地反映了优化趋势。第二
步优化在迭代了９步之后，翼型升阻比增加到
６３．５０，由图中的压力分布比较可以看出，第
二步优化只是将激波进一步减弱，其他位置处
未发生明显变化。该算例说明，本文提出的优
化算法对于存在激波的复杂流场是同样适
用的。
图１０ ＲＡＥ２８２２翼型的优化设计结果
Ｆｉｇ．１０ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ＲＡＥ２８２２ｄｅｓｉｇｎ
４ 结 论
（１）改进的型函数方法对翼型参数化处理时
可以有效地改变翼型的后缘斜率；使用Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ
方法可以快速可靠地计算翼型流场，而且改进的采
样解生成方法计算得到的ＰＯＤ基的表达能力要明
显优于传统采样解生成方法得到的ＰＯＤ基。
（２）反设计与优化设计算例表明：本文提出
的两步方法中，第一步优化能够用很少的计算时
间准确地找到全局最优解的大致范围，第二步优
化通过精细化搜索得到了更优的结果，并且通过
精确的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程数值计算结果校正了
第一步优化中ＰＯＤ代理模型引入的误差；跨声速
来流的优化设计算例说明本文的两步方法对于复
杂流场同样适用。
（３）Ｇａｐｐｙ ＰＯＤ方法局限在于当基础翼型
与目标翼型几何外形相差较大时，基的表达能力
受到限制，使得优化时翼型不能有较大的形状变
化，这就很可能将更优的解排除在优化范围之外，
因此需要进一步提高ＰＯＤ基的表达能力以及构
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参 考 文 献
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作者简介：
段焰辉（１９８５－） 男，博士研究生。主要研究方向：计算流体力学，飞行器气动设计。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｕａｎｙｈ２０１０＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｍ
蔡晋生（１９６２－） 男，博士，教授，博士生导师。主要研究方向：计算流体力学，流动控制机理及技术，飞行器气动设计。
Ｔｅｌ：０２９－８８４９５３８１
Ｅ－ｍａｉｌ：ｃａｉｊｓｈ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
刘秋洪（１９７７－） 男，博士，博士后。主要研究方向：计算流体力学，气动声学，流动控制机理及技术。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｑｈｌｉｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
段焰辉等：基于代理模型方法的翼型优化设计６２７
Ｓｕｒｒｏｇａｔｅ Ｍｏｄｅｌ Ｂａｓｅｄ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ａｉｒｆｏｉｌ Ｄｅｓｉｇｎ
ＤＵＡＮ Ｙａｎｈｕｉ，ＣＡＩ Ｊｉｎｓｈｅｎｇ＊，ＬＩＵ Ｑｉｕｈｏｎｇ
Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００７２，Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｔｗｏ－ｓｔｅｐ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｓｕｒｒｏｇａｔｅ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｓｈａｐｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｉｎ ａ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｏｗ．Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ－ｓｔｅｐ ｅｍｐｌｏｙｓ ｔｈｅ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＧＡ）ｔｏ ｓｅａｒｃｈ ｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅｓｕｒｒｏｇａｔｅ ｍｏｄｅｌ ｇａｐｐｙ ｐｒｏｐｅｒ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＰＯＤ）ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅｐｌａｃｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｄｌｕｉｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅ ｆｌｏｗ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｉｓ ｍａｄｅ ｏｎ ｔｈｅ ｓｎａｐｓｈｏｔｓ ｔｏ ｒａｉｓｅ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｐｐｙ ＰＯＤ．Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ－ｓｔｅｐｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｅｍｐｌｏｙｓ ｔｈｅ ｓｔｅｅｐｅｓｔ ｄｅｓｃｅｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＳＤＡ）ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｒｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｅｆｉｒｓｔ－ｓｔｅｐ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ Ｈｉｃｋｓ－Ｈｅｎｎｅ ｂｕｍｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｂｙ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ａｉｒｆｏｉｌ ｓｈａｐｅ ｉｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚｅｄ，ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｏｖｅｒ－ｃｏｍｅ ｉｔｓ ｉｎｈｅｒｅｎｔ ｆｌａｗ ａｔ ｔｈｅ ｔｒａｉｌｉｎｇ ｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｉｒｆｏｉｌ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｈａｐｅｓ ｏｆ ｔｈｅａｉｒｆｏｉｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｄｅｓｉｇｎ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｓｔｒｅａｍ ｆｌｏｗ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｓｔｅｐ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄｐｒａｃｔｉｃａｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｉｒｆｏｉｌ ｄｅｓｉｇｎ ｉｎ ｔｈｅ ｖｉｓｃｏｕｓ ｆｌｏｗ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｐｔｉｍａｌ ｄｅｓｉｇｎ；Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｓｔｅｅｐｅｓｔ ｄｅｓｃｅｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｓｕｒｒｏｇａｔｅ ｍｏｄｅｌ
Ｒｅｃｅｉｖｅｄ：２０１０－０６－３０；Ｒｅｖｉｓｅｄ：２０１０－０９－０６；Ａｃｃｅｐｔｅｄ：２０１０－０９－２１；Ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｏｎｌｉｎｅ：２０１０－１２－２１ ０９∶５４
ＵＲＬ：ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．１９２９．Ｖ．２０１０１２２１．０９５７．０５６．ｈｔｍｌ ＤＯＩ：ＣＮＫＩ：１１－１９２９／Ｖ．２０１０１２２１．０９５４．０５６
Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（１０９７２１８３）
＊Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ．Ｔｅｌ．：０２９－８８４９５３８１ Ｅ－ｍａｉｌ：ｃａｉｊｓｈ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ