数字信号处理复习总结

绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。

0.1信号、系统与信号处理

1.信号及其分类

信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。

分类：

周期信号/非周期信号

确定信号/随机信号

能量信号/功率信号

连续时间信号/离散时间信号/数字信号

按自变量与函数值的取值形式不同分类：

2.系统

系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。

3.信号处理

信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。

0.2 数字信号处理系统的基本组成

数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。

（1）前置滤波器

将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。

（2）A/D变换器

在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。

（3）数字信号处理器（DSP）

（4）D/A变换器

按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。

（5）模拟滤波器

把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。

0.3 数字信号处理的特点

（1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。

0.4 数字信号处理基本学科分支

数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。

0.5 课程内容

该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。

在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。

第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。

1.1 离散时间信号

1.离散时间信号的定义

离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n 的函数，表示为x(n)。一般由模拟信号等间隔采样得到：

()()

a

a t nT

x n x x nT n ===-∞<<∞。时域离散信号有三种表示方法：1）用集合符号表示 2）用公式表示 3）用图

形表示

2.几种基本离散时间信号

（1）单位采样序列

（2）单位阶跃序列

（3）矩形序列

（4）实指数序列

（5）正弦序列

ω是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。

对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。设连续信号

为，它的采样值

为

，因此（重点）

这个式子具有一般性，它反映了由连续信号采样得到的离散序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是，ω的单位为弧度，Ω的单位为弧度/秒。本书中，我们一律以ω表示数字域频率，而以Ω及f 表示模拟域频率。 例：已知采样频率F T = 1000Hz, 则序列x （n ） = cos(0.4πn) 对应的模拟频率为 ( 400π ) 弧度/s 。

说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：

T

F Ω=

ω。

（6）复指数序列

复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列。 （7）周期序列(重点)

所有n 存在一个最小的正整数

N ,满足：)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，周期为N 。(注意：按此定义，模

拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的) 例：正弦序列

)sin(0n ω的周期性：

当

k N πω20=，k 为整数时，)sin()](sin[00n N n ωω=+，即为周期性序列。周期

2ωπk

N =

，式中，

k 、N 限

取整数，且

k 的取值要保证N 是最小的正整数。

可分几种情况讨论如下：（1）当

0/2ωπ为整数时，只要1=k ，0/2ωπ=N 就为最小正整数，即周期为0/2ωπ。

（2）当

0/2ωπ不是整数，而是一个有理数时，设Q P //20=ωπ，式中，P 、Q 是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约

数），取

Q k =，则P N =，即周期为P 。

（3）当

0/2ωπ是无理数时，则任何k 皆不能使N 为正整数，这时，正弦序列不是

周期性的。

例：X(n) = cos(0.4πn)的基本周期为( 5 )。 [说明]基本周期的定义即计算公式：k N

ω

π

2=

，其中N 和k 均为整数，N 为基本周期（使得N 为最小整数时k 取值）

。本题ω = 0.4π，代入上式得到：

1,5==k N 。

3.信号运算

（1）加法：两个信号之和 由同序号的序列值逐点对应相加得到。

（2）乘法：两个信号之积 由同序号的序列值逐点对应相乘得到。

（3）移位：当，序列右移（称为延时）；当，序列左移（称为超前）。

（4）翻转：

4.信号分解（重点）

任一信号x(n)可表示成单位脉冲序列的移位加权和：

简记为

1.2 时域离散系统

时域离散系统定义

[]

()

()

.x n y n T ???→???→ []()()y n T x n =

1 线性系统（重点）

判定公式： 若

1()y n =1[()]T x n ,2()y n =2[()]T x n 则1212()[()()]()()y n T ax n bx n ay n by n =+=+

2 时不变系统（重点）

判定公式：y(n)=T[x(n)] y(n-0n )=T[x(n-0n )] 例：判断下列系统是否为线性、时不变系统。 （1）

()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （2）2()()y n x n =；

解：

（1）令：输入为

0()x n n -，输出为

'000'

0000()()2(1)3(2)

()()2(1)3(2)()

y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=

故该系统是时不变系统。

12121212()[()()]

()()2((1)(1))3((2)(2))

y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-

1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+

故该系统是线性系统。 （2）

2()()y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'20()()y n x n n =-，因为

2'00()()()y n n x n n y n -=-=

故系统是时不变系统。又因为

212121222

12[()()](()()) [()][()] ()()

T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+

因此系统是非线性系统。

3 线性时不变系统（LTI 系统）输入与输出之间关系（重点）：

()[()]h n T n δ=

()()()m y n x m n m δ∞

=-∞

=

-∑

()[()()]m y n T x m n m δ∞

=-∞

=-∑

y （n ）=

()()m x m h n m ∞

=-∞

-∑=x （n ）*h （n ）

重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积

【说明】离散时间LTI 系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列δ(n)的零状态响应。

单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI 系统可以由其单位冲激响应h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。

在这种情况下， LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y （n ）=

()()m x m h n m ∞

=-∞

-∑=x （n ）*h （n ）

物理意义： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。

注意：计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列x(m) 和h(n-m)的图形。利用序列x(m) 和h(n-m)的图形可助我们方便地确定求和区间。 卷积的求解方法：

线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N 和M ，线性卷积后序列的长度为N ＋M －1。

卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。

1）将和用和表示，画出和这两个序列；

2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列；

3）将移位n ，得到；

4）将和相同m 的序列值对应相乘后，再相加。

例：已知x(n)=4R (n),h(n)=4R (n),求y(n)=x(n)*h(n)。 解：（翻转，移位，相乘，相加）

y(n)=

()()m x m h n m ∞=-∞

-∑=4

4

()()m R m R n m ∞

=-∞

-∑

例：设

(),x n n =04n ≤≤，4()()h n R n =, ()x n 和()h n 如图1所示。求()x n 和()h n 的卷积()y n 。

图1

解方法一：用图解法求卷积和。

(1) 将

()

x n

和

()

h n

用

()

x m

和

()

h m

表示(图2中(a)、(b)图)。

)

(a

…

)

)

(c

)

m

)

(d

)

(g

)

(f

)

(b

(e)

图2 图解法求卷积过程

(2) 将

()

h m

进行反折，形成

()

h m

-

(图2中(c)图)；将

()

h m

-

移位

n，得到()

h n m

-

(图2中(d)、(e)、(f)图)。

(3) 将

()

x m

和

()

h n m

-

相同

m的序列值相乘，再相加，得到()

y n

(图2中(g)图)。

{}

()1,3,6,10,9,7,4

y n=17

n

≤≤

再讨论解析法求线性卷积。

用式

()()()

m

y n x m h n m

+∞

=-∞

=-

∑

求解上式首先要根据

()

x m

和

()

h n m

-

的非零值区间确定求和的上下限，

()

x m

的非零值区间为

14

m

≤≤，()

h n m

-

的非零值区间为

03

n m

-

≤≤，或3

n m n

-≤≤，由两个非零值区间可得n的取值区间为17

n

≤≤，它们的乘积()()

x m h n m

?-

的非零值区间应满足：

14

m

≤≤和3

n m n

-≤≤

因此

当

1

n<、7

n>时，()0

y n=

；

当

13

n

≤≤时，0

(1)

()1

2

n

m

n n

y n m

=

+

=?=

∑

；

当

47n ≤≤时，

4

3

(1)(8)

()12m n n n y n m =-+-=

?=

∑。

与图解法结果一致。 y (n )用公式表示为

(1)/2

()(1)(8)/2

0n n y n n n +??

=+-???

1347n n ≤≤≤≤其他

方法二：当序列

()x n 和()h n 的长度分别为有限长N 和M 时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。

如图1所示：

{}

()0,1,2,3,4

x n ↑

=，

{}

()1,1,1,1

h n ↑

=

{}

()0,1,3,6,10,9,7,4

y n ↑

=

例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为)(1

n h 和)(2n h ，输入为)(n x ，求系统的输出)(n y 。

已知：

)()(n u n x =，)4()()(1--=n n n h δδ，)()(2n u a n h n

=。

解：设第一个系统的输出为

)(n ω，则

)3()2()1()()

4()()]

4()([)()()()(1---=--=--*=*=n n n n n u n u n n n u n h n x n δδδδδδω＋＋＋

因而输出为

)3()2()1()()

()]3()2()1()([)()()(3212-+-+-+=*-+-+-+=*=---n u a n u a n u a n u a n u a n n n n n h n n y n n n n n δδδδω

4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）

1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|

()|x n <∞，则|()|y n <∞（记住!!）

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞

=-∞

<∞∑（记住!!）

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1

2)因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定（记住!!）

线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =<（记住!!）

或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx 3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞

=-∞

<∞∑，()0,0h n n =<

或：H(z)的极点在单位园内 H(z)的收敛域满足：|

|,1x x z R R --><

例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。

(1)1

1

()()N k y n x n k N

-==

-∑；

（2）

00

()()n n k n n y n x k +=-=

∑

；

解：（1）只要

1N ≥，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果()x n M ≤，则()y n M ≤，

因此系统是稳定系统。

（2）如果

()x n M ≤，0

0()()21n n k n n y n x k n M

+=-≤

≤+∑

，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的

将来值有关。

注意：如果给出的是h(n)，用上面要求记住的充要条件判断！

1.3 线性常系数差分方程

1 差分方程定义

卷积和是一种LTI 系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述LTI 系统的输入输出关系。

∑∑==-=-M

k k N

k k

k n x b k n y a

][][

差分方程给出了系统响应y[n]的内部关系。为得到y[n]的显式解，必须求解方程。

2差分方程求解（重点）：

○

1经典法 ○2递推法 ○3变换域法 例：设系统的差分方程为

)(5.1)1(5.0)(n x n y n y +-=，输入序列为)()(n n x δ=，求输出序列)(n y 。 解：一阶差分方程需一个初始条件。

设初始条件为：

0)1(=-y

则 5.1)0(5.1)1(5.0)0(=+-=x y y

75.0)1(5.1)0(5.0)1(=+=x y y

375.0)2(5.1)1(5.0)2(=+=x y y

)()5.0(5.1)(n u n y n

?=

设初始条件改为：

1)1(=-y

则 2)0(5.1)1(5.0)0(=+-=x y y

1)1(5.1)0(5.0)1(=+=x y y

5.0)2(5.1)1(5.0)2(=+=x y y

)()5.0(2)(n u n y n

?=

该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。

1.4 模拟信号数字处理方法

1 模拟信号数字处理框图（重点）

()a x t ：模拟信号输入

预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器） ○

1采样：将信号在时间上离散化 A/DC ：模/数转换

○

2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值） ○

3编码：将幅度值表示成二进制位（条件2s

c

f

f

≥）

数字信号处理：对信号进行运算处理

D/AC ：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号→在采样时刻幅度发生跳变 ） 平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑

()y a

t ：输入信号经过处理后的输出信号

2．连续信号的采样

对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出

（重点表达式）

在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路：

1）由；2）由；

3）根据频域卷积定理，由计算出。

计算过程：

1）

2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此

其中系数

所以

其傅里叶变换

3）

(重点表达式)

因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Ωs ，同时幅度为原来的1/T 倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。（重点）

3 时域抽样定理（重点）

一个限带模拟信号()a x t ，若其频谱的最高频率为0F ，对它进行等间隔抽样而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为1/s F T =；

只有在抽样频率02s

F F ≥时，才可由()a x t 准确恢复()x n 。

例：有一连续信号()

cos(2),

a

x t ft π?=+式中，

20,2

f Hz π

?==

（1）求出

()

a x t 的周期。

（2）用采样间隔0.02T

s =对()a x t 进行采样，试写出采样信号()a x t 的表达式。

（3）求出对应

()

a x t 的时域离散信号(序列)

()x n ，并求出()x n 的周期。

解：（1）

)(t x a 周期为s f

T 05.01

==

（2）

[])05.0)(()2cos()()()(^

s T nT t fnT nT t t x t x n n =-=-?

=∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=δπδ

（3）x(n)的数字频率ω=0.8π，故2

5

8.022==

ππω

π

，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)

简答题：

1．是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？

2．一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产生失真？ 3．离散信号频谱函数的一般特点是什么？

第二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。

2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质

1.定义

DTFT 是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具。

物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。

若序列满足绝对可和条件

则其傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT ）定义为

∑∞

-∞

=-=

n n

j j e

n x e X ωω

][)(------记住!

反变换定义为：

?

-=

π

π

ωωωπ

d e e X n x n j j )(21

][------记住! 傅里叶变换对

2.性质

1）周期性（重点）： DTFT 是关于ω的周期为2π的周期函数。

(2)(2)()()()j j M n

j M n X e x n e

X e M ω

ωπωπ∞

-++=-∞

=

=∑为整数

2)线性（重点）：设

11()[()]j X e FT x n ω=，

22()[()]

j X e FT x n ω=，那么

1212[()()]()()

j j FT ax n bx n aX e bX e ωω+=+

3）时移特性

4）频移特性

5）时域卷积定理（重点）

6）频域卷积定理

7）帕斯瓦尔定理

时域总能量等于频域一周期内总能量。

7) 幅度频谱为ω的偶函数，相位频谱为ω的奇函数。 8) X(e j ω)的实部为ω的偶函数， X(e j ω) 的虚部为ω的奇函数。 例：设系统的单位取样响应()

(),01n h n a u n a =<<，输入序列为()()2(2)x n n n δδ=+-，完成下面各题：（1）求出

系统输出序列

()y n ；（2）分别求出()x n 、()h n 和()y n 的傅里叶变换。

解：（1）

2

()()*()()*[()2(2)] ()2(2)

n n n y n h n x n a u n n n a u n a

u n δδ-==+-=+-

（2）20

2()[()2(2)]121

()()112()()()1jw

jwn

j w

n jw

n jwn

n jwn jw

n n j w

jw jw

jw

jw

X e n n e e H e a u n e

a e ae

e Y e H e X e ae δδ∞

--=-∞∞

∞---=-∞

=--=

+-=+=

==

-+==

-∑∑∑ 2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：

^

()()j T

a X e

X j Ω=Ω

1()()j T

a s k X e

X j jk T ∞Ω=-∞=Ω-Ω∑ 式中

22s s F T ππΩ==

2.3 序列的Z 变换

1 Z 变换定义

Z 变换为离散时间信号与LTI 系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n)，其z 变换定义为：

()()n

k X z x n z

∞

-=-∞

=

∑

x x R z R -+<< ------记住!

其中，s e z

=,ωσj s +=。z 变换存在情况下的Z 变量取值范围称为收敛域(ROC)。

注意：Z 变换+不同收敛域

?对应不同收敛域的不同序列

序列

?唯一

（Z 变换+收敛域）(重点)

例：求以下序列的Z 变换及收敛域： （1）2(1)n

u n ----；

（2）2

()n

u n --；

（3）2

[()(10)]n

u n u n ---

解：（1）110

11

[2()]2()2,122

n

n n

n n n n ZT u n u n z

z z z ∞

∞

-------=-∞

==

==

>-∑

∑

（2）

1

1

11[2(1)]2

(1)2

2211

,12122

n

n

n

n

n

n n

n n n ZT u n u n z

z

z z z z z ∞

∞

∞

-----=-∞

=-=-----=

---=

-=--=

=<--∑∑∑

（3）

9

1010

11

[2()(10)]212 ,012n

n n

n ZT u n u n z z

z z

---=------=-=

<≤∞-∑

[说明]上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用

ω

ωj e z j z X e X ==)()(。

2 Z 变换和DTFT 之间的关系(重点)

DTFT 为单位圆上的z 变换。数学表达为：

ω

ωj e z j z X e X ==)()( ------ 记住并理解!

3. 序列特性与X(z)的收敛域ROC 的关系。(重点)

收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。 一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：+-

<

有限长序列：?

??<<=其它02

1N n N n x n x )()(，∞<≤||z 0

右序列：

1()()0

x n N n x n ≤<∞

?=?

?其它，|Z|>Rx- 左序列：2

()()0x n n N x n -∞<≤?=??

其它，

（|z|

x+，N 2>0时：0≤|Z|

≤0时：0<|Z|

双边序列：

(),x n n -∞<<∞，+-<

总结：a. ROC 不包含任何极点。

b.有理 z 变换的收敛域ROC 由其极点界定。

c. 对于有限长序列x[n],其z 变换的收敛域ROC 为整个z -平面，可能在 z = 0 或z = ∞除外。

d. 对于因果序列x[n],其 z 变换的收敛域ROC 由其离原点最远的极点确定，其形式为

-

>x R z 。

e. 对于反因果序列x[n], 其 z 变换的收敛域ROC 由其离原点最近的极点确定，其形式为

+

4. Z 反变换(重点)

常用序列的Z 变换(重点--记住!!)：

1

1

1

[()]1,||0

1

[()],||111

[()],||||

11

[(1)],||||1n n Z n z Z u n z z

Z a u n z a a z Z b u n z b b z

δ---=≥=>-=>---=<- 逆变换

收敛域

ROC

敛域ROC

11()()2n c

x n X z z dz j

π-=

?

x ，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

留数定理：

1()[()C ]n x n X z z -=∑在内极点留数之和

留数辅助定理：

1()[()C ]n x n X z z -=-∑在外极点留数之和

利用部分分式展开：

1

()1k

k A X z a z -=-∑

，然后利用定义域及常用序列的Z 变换求解。(重点)

基本要求：用部分分式展开法求z 反变换。 例：假设

1

13.011

5.011)(---+

-=

z z z X ，收敛域ROC 为

5

.03.0<

)

(z X 的z 反变换为

(

)()3.0()1()5.0(n u n u n n +--- )。

说明：本题要求掌握序列的时域特性域z 变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z 变换的ROC 是怎样的，右边序列的z 变换的ROC 是怎样的，因果序列的z 变换的ROC 是怎样的，左边序列的z 变换的ROC 是怎样的，反因果序列的z 变换的ROC 是怎样的。

典型序列的z 变换表达式是否记住了？

β

ββα

αα>-?

<-?

-----z ROC z n u z ROC z n u n n :11)(:11)1(1

1

这两个典型z 变换对，对求z

变换或逆z 变换非常重要。

例：已知

2

5.0)(-+

-=

z z

z z z X ，试求与

)(z X 对应的所有可能的序列)(n x 。

解：同一个Z 变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛域。

)(z X 有两个极点：5.01=z ，22=z ，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况：5.0

25.0<z ，三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下：

（1）

5.0

（2）25.0<

)1(2)(5.0)(---=n u n u n x n

n （3）

2>z 对应右边序列 ∴ )

(2)(5.0)(n u n u n x n n +=

例：设

)5.01)(21(1

)(11----=

z z z X 2>z ，用部分分式展开法求逆Z 变换。

解：先去掉z 的负幂次，以便于求解，将

)(z X 的分子分母同乘以2z ，得：

)5.0)(2()(2

--=

z z z z X

将等式两端同时除以z ，得：

5.02)5.0)(2()(21-+-=--=z A z A z z z

z z X

34)

5.0)(2()

2()()2(]2,)([

Re 2

2

1=

---=-====z z z z z

z z

z X z z z X s A

31)

5.0)(2()

5.0()

()5.0(]5.0,)([

Re 2

5

.02-

=---=-====z z z z z

z z z X z z z X s A

因而得：

5.031234)(-?

--?=

z z z z z X

由收敛域知，

)(n x 为右边序列，得：

)(5.031

)(234)(n u n u n x n n ?-?=

主要应用于单阶极点的序列。

5 Z 变换的性质

○

1线性性质()[()]()()m m M z ZT m n aX z bY z R z R -+=+<<

○

2序列的移位性质 ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<<

00[()]()n x x ZT x n n z X z R z R --+-=<<

○

3序列乘以指数序列的性质 ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< ()()n y n a x n a =为常数 1()[()]()

n x x Y z ZT a x n X a z a R z a R --+==<<

○

4序列乘以n 的ZT ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<<

()

[()]x x dX z ZT nx n z

R z R dx

-+=-<<

○

5复共轭序列的ZT ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<<

***[()]()x x ZT x n X z R z R -+=<<

○

6初值定理()[()]X z ZT x n =

(0)lim ()z x X z →∞

=

○

7终值定理1

lim ()lim(1)()z z x n z x z →∞

→=-

○8时域卷积定理 设

()()*()n x n y n ω=

()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< ()[()]x x Y z ZT y n R z R -+=<<

则()

[()]()()

W z ZT n X z Y z ω==w w R z R -+<<

○

9复卷积定理[()]()x x ZT x n X z R z R -+=<<

[()]()y y ZT y n Y z R z R -+=<<

()()()n x n y n ω= 1

()()()

2x y x y c

z d W z X Y R R z R R

j υ

υπυυ

--++=

<

○10帕斯维尔定理[()]()x x ZT x n X z R z R -+=

<<

[()]()y y ZT y n Y z R z R -+=<<1x y R R --<，1x y R R ++>

那么

**1

*

11

()()()(

)2c

n x n y n X Y d j

υυυπυ

∞

-=-∞

=

∑

?

2.4 离散时间系统的系统函数及频率响应

1 系统函数定义（重点）

一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应

)(n h 来表征，即：)

()()(n h n x n y *=

对等式两边取Z 变换并

根据时域卷积定理，有：

)()()(z H z X z Y =

则：)()

()(z X z Y z H =

一般称)(z H 为系统的系统函数（系统零状态响应的Z 变换与输入的Z 变换之比）

，它表征了系统的复频域

特性。

2 系统函数与差分方程的关系

()()k

k k k a

y n k b x n k ∞

∞

==-=-∑∑(给定差分方程，能计算其传输函数，或给定传输函数，能计算得到差分方程。)

3 频率响应（重点）

频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。 频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT ：

)

()(][)(ω

ωωω

j e

H j j n n j j e e H e n h e H ∠∞

-∞

=-==

∑（重点）

其中， |H(e

j ω

)| 称为幅频响应，

)(ω

j e H ∠ 称为相频响应。系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数，这一点和连续系统的频

率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。

注意：仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H(e j ω)可根据DTFT 与z 变换之间的关系简单得到：

ωωj e z j z X e X ==)()( ?

ω

ωj e z j z H e H ==)()(

稳态响应的求解 ( 重点 ) 结论：

对于LTI 系统，如果输入为正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0), 则输出响应y(n)必为相同形式的正弦序列，但需在 ω=ω0的幅频响应|H(e j ω)|进行加权，并通过相频响应)(ω

j e

H ∠在 ω=ω0的值进行移位，即：y[n]= |H(e j ω0)|cos(ω0t+φ0+)(0ωj e H ∠)

例：假设实序列x[n]的DTFT 记为

)(ωj e X , 则其幅值)

(ωj e X 是关于ω的（偶函数）。

说明：还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT 的幅度、实部是关于频率ω偶函数，而相位和虚部则是关于频率ω奇函数。 例：对于一LTI 离散时间系统其频率响应ω

ω

j j e e

H --=

5.011

)(,如果系统输x(n) =)3

cos(

n π

, 响应的稳态输出响应y(n) =

(

)52.03

cos(15.1-n π

)。

说明：将系统的频率响应写成幅度相位表达式：

)

()()(ω

ωωj e

H j j j e e H e H ∠=，则输出信号为：

))

(3cos()(][33π

π

π

j

j

e H n e H n y ∠+=。这里由于给出了

)(ωj e H 的具体表达式，所以需要分别计算出

)

(3π

j

e H 和

)(3π

j

e H ∠之值。

4 用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性（重点）

系统函数：00

()

()()

M

i

i

i M

i

i k b z

Y z H z X z a z

-=-==

=∑∑（传输函数H(z) 为系统的单位冲激响应h （n ）的Z 变换。）

简答题：怎样在z 域表示离散时间LTI 系统?

答案：传输函数H(z)表示离散时间LTI 系统。

1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|

()|x n <∞，则|()|y n <∞

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞

=-∞

<∞∑

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（牢记此结论!） 2)因果系统：0n 时刻的输出

0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定

线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =<

或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx （牢记此结论!） 3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞

=-∞

<∞∑，()0,0h n n =<

或：H(z)的极点在单位园内（牢记此结论!）H(z)的收敛域满足：|

|,1x x z R R --><

例：.一因果LTI 离散时间系统的传输函数15.011)(--=

z z H , 则系统的单位冲激响应为( 0.5n u （n ） )。

说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z 变换，但要注意系统的因果性如何。 例：因果IIR 离散时间LTI 系统，其传输函数1

5.011

)(--=

z z H ，则系统( 稳定)。

例：一FIR 离散时间 LTI 系统总是( 稳定)。

说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆”，则系统是稳定的。如果你熟悉了序列的z 变换的ROC 的性质，则此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其z 变换的ROC 一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，则系统是稳定的。

对于FIR 系统，其单位冲激响应是一个有限长序列，其z 变换的ROC 为除了无穷远和原点之外的整个z 平面，自然包括单位圆，所以FIR 系统始终是稳定的。

5 系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定

∏∏∏∏∑∑=-=-=-=-=-=---=--==

N

k N

k

M

i M

i

N

k k

M

i i N

k k

k

M

i i

i z z

z z z z A

z z

z z A

z a

z b z X 1

11

111

0011)()()

()

()(

（式中，z k 是极点，z i 是零点；在极点处，序列x(n)的Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）