13.1 三角形中的边角关系 能力培优训练(含答案)
13.1 三角形中的边角关系
专题一三角形边角关系的应用
1．若a、b、c是△ABC的三边，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.
2.已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.
3.一块模板如图所示，按规定AF与DE的延长线相交成70°，但交点不在模板上，不便
测量，于是王师傅连接AD，测得∠FAD=34°,∠ADE=76°,请你根据这两个角度判断模板是否合格？并说明理由.
专题二三角形中的探究题
4.已知△ABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a＞b＞c,a=8,那么满足条件的三角形共有
多少个?
5.湖边上有A，B两个村庄（如图），从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B．试
判别哪条路更短，并说明理由．
6.如图所示，已知∠xOy=90°，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BE是∠ABy的平
分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？
【知识要点】
1.不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三边要满足:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
3.三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,按角分可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.
4.三角形的内角和等于180°.
【温馨提示】
1.不是任何三条线段首尾顺次连接都可以组成三角形,这三条线段必须满足三角形的三边关系定理.
2.三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又包含腰和底边不相等的等腰三角形和等边三角形.
3.三角形的角平分线、高、中线都是线段,在理解这些概念时,可以从画图入手,有助于理解三条角平分线、中线、高交于一点.
【方法技巧】
1.确定三角形个数时,要按照大小顺序或从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数或先固定一个顶点,再确定另外两个顶点来数.
2.判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法是:当三条线段互不相等时,只需要检验较短的两条线段之和是否大于较长线段,若大于则能组成,否则不能组成.
3.在解决与三角形内角有关的问题时,可通过已知条件,设其中的一个角的度数为x,再根据三角形的内角和等于180°列方程或方程组解决.
参考答案
1.由三角形三边间的关系,得a＜b＋c,b＜c＋a,c＜a＋b，即a－b－c＜0，b－c－a ＜0，c－a－b＜0，故原式＝－（a－b－c）－（b－c－a）－（c－a－b）＝a＋b＋c.
2.因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a = b = c.所以此三角形是等边三角形.
3.延长AF、DE相交于点O，则在△ADO中,根据三角形三个内角和等于180°，可得∠AOD=180°－∠FAD－∠ADE=180°－34°－76°=70°,所以模板合格.
4.由三角形的三边关系,知b+c＞a,而b＞c,a=8,可知b＞4,且b＜8,又因为b是整数,所以b=5,6,7如此分类中得c,列表如下:
因此满足条件的三角形共有1+3+5=9(个).
5.A→Q→B更短，延长AQ交BP于E．△APE中，AP+PE>AQ+QE①，△BEQ中，QE+BE>BQ②，①+②得，AP+PE+QE+BE>AQ+QE+BQ，即AP+PB>AQ+BQ．
6.不会变化．∠ACB=45°．理由：因为∠OBA+∠OAB=90°，
所以∠C=1
2
（180°－ ∠ABO－∠BAO）=45°
三角形培优训练100题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
八年级数学全等三角形单元培优测试卷
八年级数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】
本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中
(完整版)三角形边角关系培优训练经典
三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 2、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH. E D C B A F E G A B D C F M K N G A B E F
21 P C B A 5.如图，已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E ， 求证：∠BAC > ∠B 6、△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少？ 8．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中，3条高相交于点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝_______ H A B C E D
11、如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，AB、CD交于点O，且∠A=48?，∠D=46?，则∠BEC= 。 12.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B，3∠C<2∠B，则三角形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能
初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
全等三角形培优讲义
全等三角形培优讲义 The final edition was revised on December 14th, 2020.
全等三角形常见辅助线作法 【知识导图】 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三 角形，可作底边上的高，利用“三线合 一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 第二部分：例题剖析 精准诊查 概念 三边之和大于等于第三边稳定性 与三角形有关的线段 高 中线角平分线 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形的外角 直角三角形 性质判定 多边形及其内角和 三角形
D C B A E D F C B A E D C B A D C B A O E D C B A 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝ AC+BD 3、如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=， 040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
八年级全等三角形单元培优测试卷
八年级全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确；
三角形边角关系培优训练
三角形三边关系、内角练习题一、三边关系 1．已知 ABC中，周长为12，b=1 2 (a+c)，则b为 2．一边长为5cm，另一边长为10cm的等腰三角形的周长是 3．有木条4根，长度为14厘米，10厘米，8厘米，6厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有种 4．三角形两边长为2cm和7cm，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长是 cm 5．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，求a的取值范围？ 6．设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数，且a≤b≤c ，a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证： AB+AE+1 2 BC>AD+AC 证明：∵AD⊥BC( )∴AB＞AD( ) 在△AEC中，AE+EC>AC( )又∵AE为中线( ) ∴EC=1 2 BC( ) 即AE+1 2 BC>AC( ) ∴AB+AE+ 1 2 BC＞AD+AC
21P C B A B 7．如图，已知D 是△AB C 内任意一点，则有AB+AC ＞DB+DC. 8．如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ，PB,PC, 求证:（1）PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 2.已知△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，∠1 = ∠2．则∠BPC =____。
全等三角形专题培优[带答案]
全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可 供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案 一、直角三角形的边角关系 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形23 15688 t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出 EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，
培优专题二：与三角形有关的角
D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理： 二、三角形外角的性质： 如图，∠是△的外角， 则：①∠ =∠ +∠ ； 或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，、相交于O ，求证：∠∠∠∠D ②如图，、相交于O ，、分别平分∠、∠， 求证：∠12 （∠∠C ） A
A B C P E A B C P A C D P A B C D 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠∠∠∠C ②如图，、分别平分∠、∠，求证：∠12 （∠∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△中，P 是△的角平分线的交点，求证：∠90°+12∠A ②如图，△中，P 是∠的角平分线和△的外角∠的角平分线的交点。 求证：∠12 ∠A
A B C E F P ③如图，△中，P 是外角∠与∠的角平分线的交点。 求证：∠90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以平分∠。 ②作法线，则平分∠ 4、一角平分线问题： ①在△中，平分∠，∠C>∠B 求证：(1)∠ =90°-12 (∠C —∠B) (2)∠12 (∠∠B) D C A E
D E D C B A P E D C B A P E D C B A ②在△中，平分∠，⊥，求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：①在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：②在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△中，∠90°，⊥于D ，求证：∠1=∠
人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷
人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中
°90 ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴12 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 3 2x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧， ,82,38BD BC BAC DBC =∠=?∠=?，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．
11.2与三角形有关的角能力培优训练含答案
11.2与三角形有关的角 专题一利用三角形的内角和求角度 1.如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ 线相 交于D点，/ A=50°则/ D=( A. 15 ° B. 20 ° C. 25° 2.如 图，已知：在直角△ ABC中，/ C=90 °, BD平 分/ ABC且交AC于D.若AP平分/ BAC 且交BD于P,求/ BFA的度数. 3.已知：如图1 ,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下，/ DAB 和/ BCD的 平分线AF和CF相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N .试解答下列问题： (1)__________________________________________________________________ 在图1中，请直接写出/ A、/ B、/ C、/ D之间的数量关系： _______________________________ ; (2)在图2中，若/ D=40° / B=30°，试求/ F的度数；(写出解答过程) (3)如果图2中/ D和/B为任意角，其他条件不变，试写出/ F与/ D、/ B之间的数量关系.(直接写出结论即可)
6.如图： (1 )求证：/ BDC = / A+/ B+/C ; (2)如果点D 与点A 分别在线段 BC 的两侧，猜想/ BDC 、/ A 、/ ABD 、/ ACD 这4个 专题二利用三角形外角的性质解决问题 4. 如图，/ ABD ，/ ACD 的角平分线交于点 P ,若/ A=50 ° / D=10°，则/ P 的度数为( ) A . 15 ° B . 20 ° C . 25 ° D . 30 ° 5. 如图，△ ABC 中，CD 是/ ACB 的角平分线，CE 是AB 边上 的高，若/ A=40° , / B=72° . (1) 求/ DCE 的度数； (2) 试写出/ DCE 与/ A 、/ B 的之间的关系式. (不必证明 ) 角之间有怎样的关系，并证明你的结论.
全等三角形经典培优题型(含问题详解)
全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C
中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案
中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 ==米， 639 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
(完整word版)三角形提高题 培优卷
1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）
8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2
八年级上册全等三角形单元培优测试卷
八年级上册全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中
°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴1 2 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 32x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=?， 92AEB ∠=?，则EBD ∠的度数为 ________ ．
2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案
2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答 案)及详细答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123， 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m． 考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
2．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现： 如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究： 把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转． (1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记 AC BC ＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） 【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3 CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有 EM FP MC PB =，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论． （3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】 解：（1）PC=PE 成立，理由如下： 如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴ EM FP MC PB =，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
全等三角形培优(含答案)
三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C A D B C A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E
5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A 求证：AM 是△ABC 的中线。 13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF M F E C B A A C B D E F A B C P E A B C P O D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理： 二、三角形外角的性质： 如图，∠ACD 是△ABC 的外角， 则：①∠ =∠ +∠ ； 或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 或 > 基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，AD 、BC 相交于O ，求证：∠A+∠B=∠C+∠D ②如图，AD 、BC 相交于O ，BP 、DP 分别平分∠ABC 、∠ADC ， 求证：∠P=12 （∠A+∠C ） 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C ②如图，BP 、CP 分别平分∠ABD 、∠ACD ，求证：∠P= 12 （∠A+∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△ABC 中，P 是△ACB 的角平分线的交点，求证：∠BPC=90°+ 12∠A ②如图，△ABC 中，P 是∠ABC 的角平分线和△ABC 的外角∠ACE 的角平分线的交点。 求证：∠BPC=12 ∠A ③如图，△ABC 中，P 是外角∠EBC 与∠BCF 的角平分线的交点。 求证：∠BPC=90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以MD 平分∠BMC 。 ②作法线MN ，则MN 平分∠AMB 4、一角平分线问题： ①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C>∠B 求证：(1)∠ADC =90°-12 (∠C —∠B) D C B A E C E D C B A E B A (2)∠ADC=12 (∠ACE+∠B) ②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，求证：∠EAD =12 (∠C —∠B) 拓展：①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是AD 延长线上一点，过P 作PE ⊥BC ， 求证：∠EPD =12(∠C —∠B) 拓展：②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是BC 延长线上一点，过P 作PE ⊥AD ， 求证：∠EPD =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：∠1=∠A ；∠2=∠B ②如图，△ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB ，AF 平分∠BAC 6、翻折问题： 如图，将三角形沿直线DE 翻折使点A 在△ABC 的内部得' A ， 求证：∠A=12（∠1+∠2） 巩固练习： 1、在△ABC 中，∠A=12∠B=13 ∠C ，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、如图，△ABC 中，∠B=∠C ，点D 在AB 上，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，若∠BDE=140°，那么∠DEF 是（ ） A 、55° B 、60° C 、65° D 、70° 3、如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ） A 、59° B 、60° C 、56° D 、22° 4、如图，△ABC 中，∠A=θα-，∠B=θ，∠C=θα+，（090αθ<<<）若∠BAC 与∠BCA 的平分线交于P 点，则∠APC 是（ ） A 、90° B 、105° C 、120° D 、150° 第2题 第3题 第4题 第5题 5、如图，已知E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△AEF 沿EF 折叠，并使点A 落在四边形EBCF 内，∠BEG=20°，∠CFG=86°，那么∠A 是（ ） A 、52° B 、53° C 、54° D 、60° 6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ） A 、50°，50°，80° B 、50°，50°，80°或130°，25°，25° C 、50°，65°，65° D 、50°，50°，80°或50°，65°，65° 7、已知：△ABC 中，∠A=66°，△ABC 的高BE 、CF 所在直线相交于点G ，则∠BGC=（ ） 上海西延安中学数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】 由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可. 【详解】 （1）当点P在x轴正半轴上， ①如图，以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP＝45°，OA＝22， 当∠AOP为顶角时，OA=OP=22， 当∠OAP为顶角时，AO=AP， ∴OPA=∠AOP=45°， ∴∠OAP=90°， ∴OP=2OA=4， ∴P的坐标是（4，0）或（22，0）. ②以OA为底边时， ∵点A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP=45°， ∵AP=OP， ∴∠OAP=∠AOP=45°， ∴∠OPA=90°， ∴OP=2， ∴P点坐标为（2，0）. （2）当点P在x轴负半轴上， ③以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴OA＝22， ∴OA＝OP＝22， ∴P的坐标是（﹣22，0）． 综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）． 故答案为：4． 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】培优专题二：与三角形有关的角
上海西延安中学数学全等三角形单元培优测试卷