2017年高考空间证明篇(文数)

考点：平行与垂直证明、空间角与距离、体积

1、（2015，山东烟台高三一模）如图，四边形ABCD 是正方形，ABCD DE 平面⊥; (Ⅰ)求证：BDE AC 平面⊥;

(Ⅱ)若,3,//AF DE DE AF =，点M 在线段BD 上，且BD BM 3

1

=， 求证：BEF AM 平面⊥

2、(2012,陕西高考卷)如图，直三棱柱111C B A ABC -中，且2

,1π

=∠=CAB AA AB

(Ⅰ)求证：11BA CB ⊥;

(Ⅱ)已知,5,2==BC AB 求三棱锥11ABA C -的体积．

3、（2012,湖南卷）如图6，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥，底面ABCD 是等腰梯形，BD AC BC AD ⊥,// （Ⅰ）证明：PC BD ⊥；

（Ⅱ）若2,4==BC AD ，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥ABCD P -的 体积.

4、（2015，福州高三一模）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,4,21===AA BC AB P 为线段11D B 上一点; （Ⅰ）证明：BP AC ⊥；

（Ⅱ）当P 为线段11D B 的中点时;求点A 到平面PBC 的距离

1

A 1

A

5、（2013江西卷）如图，直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=错误！未找到引用源。，AA 1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3 （Ⅰ）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C; （Ⅱ）求点1B 到平面EA 1C 1 的距离

6、如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，45ADC ∠=?，

1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M 为PD 的中点．

(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；

(Ⅱ) 证明：AD PAC ⊥平面；

(Ⅲ) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．

N O

M

D

C

B

A

P

7、在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3. （Ⅰ）证明：AC ⊥B 1D ；

（Ⅱ）求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值。

8、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .

（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是， 写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求1

2

V V 的

值

9、如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；

（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.

10、(2014天津卷节选) 如图，在四棱锥P ABCD -中，⊥PA 底面ABCD ，AB AD ⊥，

//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.

（Ⅰ）证明 DC BE ⊥；

（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；

11、（2015福建高考节选）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．

（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；

（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；

12、（2016山东省实验中学月考）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值．

13、（2013

浙江卷）如图，在四面体B C D A -中，⊥AD 平面

B C D ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段

AC 上，且QC AQ 3=.

（Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ;

（Ⅱ）若二面角D BM C --的大小为0

60，求BDC ∠的大小.

14.（2012全国卷)如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，

AC=BC=AA 1，D 是棱AA 1的中点．

（Ⅰ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

15、如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ． （Ⅰ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅱ）求证：平面BDEF ⊥平面BDEF ；

（Ⅲ）若AB=2，求三棱锥C-AEF 的体积。

16、（2015全国乙卷）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（II ）若120ABC ∠=

，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的

.

17、（2014?北京卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，

AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点.

（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1//C F 平面ABE ； （Ⅲ）求三棱锥E ABC -的体积.

18、（2014湖南卷）.如图6，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，

11111,,AC BD O AC B D O == 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．

（Ⅰ）证明：1;O O ABCD ⊥底面

（Ⅱ）若1160,CBA C OB D ∠=-- 求二面角的余弦值．

C 1

B 1

A 1

F

E C

B

A

19、（2014辽宁卷）.如图，ABC ?和BCD ?所在平面互相垂直，且

O =∠=∠120DBC ABC ，2===BD BC AB ，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.

（Ⅰ）求证：⊥EF BC

（Ⅱ）求二面角C BF E --的正弦

20、（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=，AB=BC=AD=a ，

E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1﹣BCDE ． （Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；

（Ⅱ）当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为36

，求a 的值．

21、（2015江苏卷） 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设

1AB 的中点为D ，11.B C BC E ?=

求证：（1）11//DE AACC 平面 (2) 11BC AB ⊥

22、（2016全国丙卷）.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点。 （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N-BCM 的体积。