空间位置关系的判断与证明.板块五.平行与垂直关系综合证明.学生版

【例1】 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面, ,E F 分别是PB 和AC 的中点,

求证:①EF ∥平面PAD ;②EF AB ⊥

I

H G F E

D

C B A P

【例2】 (2008新课标江苏16)

如图,在四面体ABCD 中,CB CD =,AD BD ⊥,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点.求证:⑴直线EF ∥面ACD ;⑵面EFC ⊥面BCD .

F

D E

A

B

C

【例3】 已知:四棱锥P ABCD -,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,90A ∠= ,

且AB CD ∥,12

AB CD =,点F 为线段PC 的中点. 典例分析

板块五.平行与垂直关系综合证明

E

F

D

B A

P

⑴求证:BF ∥平面PAD ;

⑵求证:BF CD ⊥.

【例6】 (2010年二模·丰台·文·题16)

如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是菱形,SA ABCD ⊥底面,M 为SA 的中点,N 为CD 的中点.

⑴ 证明:平面SBD ⊥平面SAC ;

是否垂直?若垂直,请加以证明;若不垂直,请说明理由.

【例8】 如图,已知PA O ⊥⊙所在的平面,AB 是O ⊙的直径,2AB =,C 是O ⊙上一点,

且AC BC =,PC 与O ⊙所在的平面成45?角,E 是PC 中点.F 为PB 中点. ⑴求证:EF ABC 面∥;⑵求证:EF PAC ⊥面;⑶求三棱锥B PAC -的体积.

C A

【例9】 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,EF ⊥1A D ,EF ⊥AC ,求证:⑴1BD ⊥平

面11AC D ;⑵1//EF BD .

F

E

A B C D

A 1

B 1

C 1

D 1

【例10

【例11】 (2010年二模·西城·文·题17)

如图,已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,侧棱1BB ⊥底面ABCD ,E 是侧棱1CC 的中点.

⑴ 求证:AC ⊥平面11BDD B ;

⑵ 求证:AC ⊥平面1B DE .

【例13】 如图所示,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,DB BC =, DB AC ⊥,点M 是棱1

BB 上一点.

⑴求证:11B D ∥面1A BD ;

⑵求证:MD AC ⊥.

⑶试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .

M

D 1C 1

B 1

A 1

D C

B

A

【例14】 (2009山东文18)

如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为等腰梯形,AB CD ∥,4AB = 2BC CD ==,12AA =,E ,1E 分别是棱AD ,1AA 的中点.

⑴设F 是棱AB 的中点,证明:直线1EE ∥平面1FCC ; ⑵证明:平面1D AC ⊥平面11BB C C .

D 1

E

E 1

F

C 1B 1

A 1D C

B A

【例15】 如图,已知111A B C ABC -是正三棱柱,D 是AC

的中点,11AB ==,

⑴证明:BD ⊥平面11ACC A ,1//AB 平面1BDC ;

⑵求点D 到平面11BCC B 的距离.

⑶证明:11AB BC ⊥.

D C

B

A A 1

B 1

C 1

【例16】 (2006天津)

如图,在五面体ABCDEF 中,点O 是矩形ABCD 的对角线的交点,面CDE 是等边三角形,棱12

EF BC ∥. ⑴证明FO ∥平面CDE ;

⑵设BC =,证明:EO ⊥平面CDF .

O

F E

D C B A

【例17】 (2009江苏高三调研)

如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=,

,,E F G ,,分别为线段1111AC A C BB ,,的中点,求证:⑴平面

ABC ⊥平面1ABC ;⑵EF ∥面11BCC B ;⑶GF ⊥平面11AB C .

C 1B 1A 1

G F E

C B

A

【例18】 如图,ABC ?为正三角形,EC ⊥平面ABC ,BD CE ∥,2CE CA BD ==,M 是EA

的中点,

求证:⑴DE DA =;⑵平面BD M ⊥平面ECA ;⑶平面DEA ⊥平面ECA .

E

D

M

C B

A

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