空间位置关系的判断与证明.板块五.平行与垂直关系综合证明.学生版
【例1】 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面, ,E F 分别是PB 和AC 的中点,
求证:①EF ∥平面PAD ;②EF AB ⊥
I
H G F E
D
C B A P
【例2】 (2008新课标江苏16)
如图,在四面体ABCD 中,CB CD =,AD BD ⊥,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点.求证:⑴直线EF ∥面ACD ;⑵面EFC ⊥面BCD .
F
D E
A
B
C
【例3】 已知:四棱锥P ABCD -,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,90A ∠= ,
且AB CD ∥,12
AB CD =,点F 为线段PC 的中点. 典例分析
板块五.平行与垂直关系综合证明
E
F
D
B A
P
⑴求证:BF ∥平面PAD ;
⑵求证:BF CD ⊥.
【例6】 (2010年二模·丰台·文·题16)
如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是菱形,SA ABCD ⊥底面,M 为SA 的中点,N 为CD 的中点.
⑴ 证明:平面SBD ⊥平面SAC ;
是否垂直?若垂直,请加以证明;若不垂直,请说明理由.
【例8】 如图,已知PA O ⊥⊙所在的平面,AB 是O ⊙的直径,2AB =,C 是O ⊙上一点,
且AC BC =,PC 与O ⊙所在的平面成45?角,E 是PC 中点.F 为PB 中点. ⑴求证:EF ABC 面∥;⑵求证:EF PAC ⊥面;⑶求三棱锥B PAC -的体积.
C A
【例9】 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,EF ⊥1A D ,EF ⊥AC ,求证:⑴1BD ⊥平
面11AC D ;⑵1//EF BD .
F
E
A B C D
A 1
B 1
C 1
D 1
【例10
【例11】 (2010年二模·西城·文·题17)
如图,已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,侧棱1BB ⊥底面ABCD ,E 是侧棱1CC 的中点.
⑴ 求证:AC ⊥平面11BDD B ;
⑵ 求证:AC ⊥平面1B DE .
【例13】 如图所示,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,DB BC =, DB AC ⊥,点M 是棱1
BB 上一点.
⑴求证:11B D ∥面1A BD ;
⑵求证:MD AC ⊥.
⑶试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .
M
D 1C 1
B 1
A 1
D C
B
A
【例14】 (2009山东文18)
如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为等腰梯形,AB CD ∥,4AB = 2BC CD ==,12AA =,E ,1E 分别是棱AD ,1AA 的中点.
⑴设F 是棱AB 的中点,证明:直线1EE ∥平面1FCC ; ⑵证明:平面1D AC ⊥平面11BB C C .
D 1
E
E 1
F
C 1B 1
A 1D C
B A
【例15】 如图,已知111A B C ABC -是正三棱柱,D 是AC
的中点,11AB ==,
⑴证明:BD ⊥平面11ACC A ,1//AB 平面1BDC ;
⑵求点D 到平面11BCC B 的距离.
⑶证明:11AB BC ⊥.
D C
B
A A 1
B 1
C 1
【例16】 (2006天津)
如图,在五面体ABCDEF 中,点O 是矩形ABCD 的对角线的交点,面CDE 是等边三角形,棱12
EF BC ∥. ⑴证明FO ∥平面CDE ;
⑵设BC =,证明:EO ⊥平面CDF .
O
F E
D C B A
【例17】 (2009江苏高三调研)
如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=,
,,E F G ,,分别为线段1111AC A C BB ,,的中点,求证:⑴平面
ABC ⊥平面1ABC ;⑵EF ∥面11BCC B ;⑶GF ⊥平面11AB C .
C 1B 1A 1
G F E
C B
A
【例18】 如图,ABC ?为正三角形,EC ⊥平面ABC ,BD CE ∥,2CE CA BD ==,M 是EA
的中点,
求证:⑴DE DA =;⑵平面BD M ⊥平面ECA ;⑶平面DEA ⊥平面ECA .
E
D
M
C B
A