新疆乌鲁木齐地区2014届高三第二次诊断性测验数学理试题(WORD版)

新疆乌鲁木齐地区2014届高三第二次诊断性测验

理科数学试卷

第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题（60分）

1、巳知集合A ＝｛x ｜x 2＜1}，B ＝［0，1］，则A ∩B =. A 、(0,1） B.〔0，1］ C ．［0,1） D 、［0，1］ 2.已知复数z 1＝a ＋bi 与z 2＝c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ，z 2≠0），则

1

2

z z ∈R 的充要条件是 A 、ad+bc=0 B. ac+bd.=0 C. ac －bd ＝0 D 、ad －bc ＝0 3.已知数列{n a ｝是各项均为正数的等比数列，若23452,216,a a a a =+=则＝ A 、4 B 、8 C 、16 D 、32

4、某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何休的体积是 A 、313cm B 、

3

23cm

C 、343cm

D 、383

cm

5、已知函数y ＝f （2x ）＋x 是偶函数，且f （2）＝1， 则f （－2）＝

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

6、阅读如右图所示的程序框图，若输人n 的值为6，运行相应程序， 则输出的n 的值为 A 、3 B 、5 C 、10 D ．16

7若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且｜a ｜＝1，｜b ｜＝1 ｜c ｜＝3，则｜a ＋b ＋c ｜等于

A 、2

B 、5

C 、2或5 D

8、已知⊙A 1：（x ＋2）2＋y 2＝12和点A 2（2，0），则过点A 2且与⊙A 1相切的动圆圆心P 的轨迹方程为

A 、22

13x y -= B 、2213

x y += C 、2

2

2x y -= D 、

22

1128

x y +=

9、将函数f （x ）＝sin （2x ＋θ）（一

2π＜θ＜2

π

＝的图象向右平移?（?＞0）介单位长

度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都过点P （0，则?的值可以是 A 、

53π B 、56π C 、2π D 、6

π

10，设0.10.20.3log 0.2,log 0.4,log 0.6a b c ===，则

A ．a ＞b ＞c

B 、a ＞c ＞b

C 、b ＞c ＞a

D 、c ＞b ＞a

11．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为 A 、

827 B 、1927 C 、1954 D 、3554

12若直线ax ＋by ＋c ＝0与抛物线y 2＝2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ．N ，则直线MN 的方程为

A 、4cx －2by ＋a ＝0

B 、ax －2by ＋4c ＝0

C 、4cx ＋2by ＋a ＝0

D 、ax ＋2by ＋4c ＝0

第II 卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．

13．设等差数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，若S 4＝11，S 12＝9，则S 20＝＿＿＿＿

14如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f （x ）＝sinx 及直线x ＝a （a (0,2)π∈与x 轴围成．向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为

1

2

，则a ＝＿＿＿．

15、直三棱柱ABC 一A 1 B 1C 1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于＿＿＿＿

16．已知直线x ＋y ＋1＝0与曲线C ：y ＝x 3一3px 2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数p 的值为________．

三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡｝的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）

如图，已知OPQ 3

π

的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f （x ）。 （I ）求函数f （x ）的解析式，并写出其定义域； （II ）求函数y ＝f （x ）＋f （x ＋

4

π

）的最大值及相应的x 值

18、（本题满分12分）

如图在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥ BC ， ∠BAD ＝90°。BC ＝2AD ，AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在线PC 、AB 上，

CM BN

MP NA

=＝2

（I ）求证：平面MNO ／／平面PAD ；

（II ）若平面PA ⊥平面ABCD ，∠PDA ＝60°，且PD ＝DC ＝BC ＝2，求二面角B －AM －C 的余弦值。

19、（本题满分12分）

袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球。 （I ）求取出的4个球同色的概率；

（II ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望。 20、（本题满分12分）

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为F ，离心率为23，短轴长为F 引

两直线l 1和l 2，l 1交椭圆于点A 和C ，l 2交椭圆于B 和D 。

（I ）求此椭圆的方程；

（II ）若｜FA ｜·｜FC ｜＝｜FB ｜·｜FD ｜，试求四边形ABCD 面积的最大值。

21、（本题满分12分）

已知函数1

()ln x f x x

-=

。 （I ）求证：当x ＞1时，f （x ）＞1；

（II ）令1()n n a f a +=，1a =，求证：112ln 1k k a ++≥

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2BE 。 （I ）求证：BC ＝2BD ；

（II ）若CD 平分∠ACB ，且AC ＝2，EC ＝1，求BD 的长。

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标

系，已知直线l 的参数方程为x t

y t ?=??=??

（t 为参数），圆C 的极坐标方程是ρ＝1。

（I ）求直线l 与圆C 的公共点个数；

（2）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换''2x x

y y =??

=?

得到曲线'C ，设M （x ，y ）为

曲线'C 上一点，求4x 2

＋xy ＋y 2

的最大值，并求相应点M 的坐标。

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数f （x ）＝｜x －1｜。

（I ）解不等式f （x －1）＋f （1－x ）≤2；

（II ）若a ＜0。求证：f （ax ）－af （x ）≥f （x ）。

新疆乌鲁木齐地区2014年高三第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

1.选C .【解析】由2

1x <得11x -<<，故()1,1A =-，∴[)0,1A B =.

2.选D .【解析】∵

()()()()()()122

2a bi c di ac bd bc ad i

z a bi z c di c di c di c d +-++-+===

++-+， ∴

1

2

z z ∈R 的充要条件是0ad bc -=. 3.选C .【解析】由题意得，123

112,216.a q a q a q =??+=?解得112a q =??=?，1124

a q ?=-

???=-?，又0n a >， ∴11

2

a q =??

=?，∴45116a a q ==.

4.选C .【解析】，该几何体的直观图为右图所示 ∴114222323V ??

=

????= ???

. 5.选B .【解析】∵()2y f x x =+是偶函数，∴()()()22f x x f x x -+-=+， ∴()()222f x f x x -=+，令1x =，()()2223f f -=+

=.

6.选B .【解析】循环体执行第一次时：1,3i n ==；循环体执行第二次时：2,10i n == 循环体执行第三次时：3,5

i n ==；∴输出5n =.

7.选C .【解析】当向量,,a b c 两两成0?角时，5++=++=a b c a b c ；当向量,,a b c

两两成120?角时，∵2

222

2224++=+++?+?+?a b c a b c a b a c b c =；

∴2++=a b c

8.选A .【解析】根据题意有12124PA PA A A -=<=，∴点P 的轨迹是以()12,0A -，

()22,0A

为焦点，实轴长为2a =2

2

2

1b c a =-=，方程为2

213

x y -=.

9.选B .【解析】∵()f x

过P ? ??

，∴sin θ=22ππθ-<<，∴3πθ=， ∵()()sin 23g x x π???=-+????

过P ? ??，

∴s i n 232π??

?-+= ???，∴23π?-+ 23

k π

π=+

，或2223

3k π

π?π-+

=+

，即k ?π=-，或6

k π

?π=--，又0?>，选B . 10.选A .【解析】∵21

log 21log n n n

=+

，当1201n n <<<时，有2122log log 0n n << ∴2122

11

0log log n n >

>，即，当01n <<时，n 越大，

log 2n n 的值越小，0.10.20.3<<，∴a b c >>.

11.选C .【解析】∵从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数有

32109648A A -=个；其中，能被3整除的，可以分为“含0”与“不含0”两类；

“含0”：由这样的数字构成：0,1,2;0,1,5;0,1,8;0,2,4;0,2,7;0,4,5;0,4,8;0,5,7;0,7,8，

它们组成的无重复数字的三位数有12229C A 个；或由0,3,6;0,3,9;0,6,9构成，它们组成的无重复数字的三位数有12223C A 个，共有122212C A 个

“不含0”：由这样的数字构成：⑴含3,6,9中的一个，另外两个数字分别为1,2;1,5;1,8;

2,4;2,7;4,5;4,8;5,7;7,8，它们组成的无重复数字的三位数有33333927A A ?=个； ⑵由3,6,9三个数字构成无重复数字的三位数有3

3A 个；⑶无3,6,9，由1,4,7;2,5,8组成

无重复数字的三位数有3

32A 个，

故，从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被3整除

的共有1

2

3

2231230228C A A +=个，∴能被3整除的概率为22819

64854

P =

=. 12.选A .【解析】设1122(,),(,)P x y M x y ，33(,)N x y ，由PM 过焦点F ，易得121y y =-，

121

4x x =

，则有2211,4??-

???P x y ，同理3311,4??- ???Q x y ，将P 点代入直线方程0ax by c ++=，有221

104a b c x y ???+-+= ???，两边乘以24x ，得222440bx a x c y -

+=，

又2

222y x =，?2

22

2x y y =

，所以22240a by cx -+=，同理33240a by cx -+=

故，所求直线为240a by cx -+=．

二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分. 13.填20-.【解析】依题意有9111193611

11559

S a d S a d =+=??

=+=?，两式相减得，12192a d +=-，

∴2012019020S a d =+=-.

14.填π.【解析】根据题意，阴影部分的面积为0

14sin 2a a xdx a ??

??= ????，

即，()cos cos02a --=，cos 1a =-，又()0,2a π∈，故a π=.

15.填20π.【解析】设半径为R 的球内接直三棱柱111ABC A B C -的上下底面外接圆的圆心分别为12,O O ，则球心O 在线段12O O 的中点处，连接11,,OO OA O A ，

则222211R OA OO O A ==+211O A =+，在ABC ?中，2,120AB AC BAC ==∠=?，

∴BC =12sin BC O A BAC =∠

，∴12O A ==

，∴R ，

∴此球的表面积等于2

420R ππ=.

16.填1.【解析】曲线3

2

:3C y x px =-，则2

36y x px '=-，设()()1122,,,A x y B x y ，

依题意知21136m x px =-…⑴，2

2236m x px =-…⑵，

∴12,x x 是方程2360x px m --=的两个根∴122x x p +=…⑶，下证线段AB 的中点在曲线C 上，

∵

()()

()2

2

323212121212121122

332332

2

x x x x x x p x x x x x px x px

????

++--+--+-????=

33381222p p p -==-，而3

232

31212223322222x x x x p p p p p ++????????-=-=- ? ? ? ???

?????? ∴线段AB 的中点在曲线C 上，由⑶知线段AB 的中点为(),1p p --

323132p p p p p --=-?=-，解得1p =.

三、解答题（共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分）

（Ⅰ）在Rt COB ?

中，CB x =

，OB x =

tan 30tan 30sin OA DA CB x =?=?=，sin AB OB OA x x =-=-

())

sin f x AB BC x x x =?=

-23sin cos x x x =?

)3

sin 21cos 2226x x x π?

?=-=+- ?

?

?，0,3x π??∈ ??? …6分 （Ⅱ）由03

x π

<<

，04

3

x π

π

<+

<

，得012

x π

<<

而()4y f x f x π?

?

=++

??

?26x π?

?=+ ???246x ππ????++ ????

???

sin 2cos 266x x ππ????

?=+++ ? ???

????5212x π??=+ ???∵012

x π

<<，∴026

x π

<<

，

5572121212

x πππ

<+<，

∴52122x ππ+

=，即24

x π

=时，max y =…12分 18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴::2OC OA BC AD ==，

又2BN NA =，∴NO ∥BC ∥AD

在PAC ?中，∵::2OC OA BC AD ==，2CM MP =，∴OM ∥AP

∴平面MNO ∥平面PAD ； …6分 （Ⅱ）在PAD ?中，222

2cos 3PA PD AD PD AD PDA =+-?∠=

∴222

PA AD PD +=，即PA AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD

∴PA ⊥平面ABCD ，而90BAD ∠=?

故，如图，以点A 为坐标原点，分别以,,AD AB AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 在梯形ABCD 中，22CD BC AD ===，

90BAD ∠=?，∴AB =

则有()()()()(0,0,0,,,1,0,0,A B C D P ，

由13PM PC =，得1

2,3333AM PC AP ??=+= ? ???

， ()()

0,3,0,2,3,0AB AC ==，

设平面ABM 的法向量为(),,a b c =1n ，由00

AB AM ??=???=??11n n ，

得0

20a =++=??，

令c =0,3b a ==

，∴(3,0,=1n 同理，可得平面ACM

的法向量为()3,=-2

n

设二面角B AM C --的平面角为θ，易知02

π

θ<<，

∴1212cos θ?=

=n n n n …12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）若取出的4个球都是红色，共有4

735C =种情形，若取出的4个球都是黑色，共有

4

8

70C =种情形，故取出的4个球同色的概率为4

4784

151

13C C C +=； …6分 （Ⅱ）依题意知0,1,2,3,4ξ=

()04874151039C C P C ξ===；()138********C C P C ξ===；()22

874

1528

265

C C P C ξ===； ()3187415563195C C P C ξ===；()40874

152

439

C C P C ξ=== ∴ξ的分布列为

∴

012343939651953915

E ξ=?+?+?+?+?= …12分 20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）根据题意有232c a b ?=???=?

，又222

a b c =+，解得3,2a b c ==

∴椭圆M 的方程为22

195

x y += …5分 （Ⅰ）不妨设F 为椭圆M 的右焦点()2,0

当直线1l 的斜率1k 存在时，1l 的方程为()()11122y k x k x m m k =-=+=- …⑴， 设()11,A x y ，()22,C x y ，把⑴代入椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程：

()22

21

159189450k x

mk x m +++-= …⑵

∵1x ，2x 是方程⑵的两个实数解，∴21121222

1118945

,5959mk m x x x x k k --+==

++ …⑶ 又()1112y k x =-，()2122y k x =- ∴

12FA =

=

-，同理22FC =-，

∴()

()2

11112124FA FC k x x x x ?=+-++ …⑷

把⑶代入⑷得，(

)

2211

22

11

189451245959mk m FA FC k

k k --?=+-+++ …⑸ 记1θ为直线1l 的倾斜角，则11tan k θ=，由⑸知2

1

25

94cos FA FC θ?=

- …⑹ 当1l 的斜率不存在时，190θ=?，此时,A C 的坐标可为52,3?? ???

和52,3??- ??

?

或52,3??- ???和52,3?? ???

，∴25

9

FA FC ?=

…⑺ 由⑹⑺知，当直线1l 的倾斜角为1θ时21

25

94cos FA FC θ?=

- …⑻

同理，记直线2l 的倾斜角为2θ时22

25

94cos FB FD θ?=

- …⑼

由FA FC FB FD ?=?得，2212cos cos θθ=，

120,θθπ<<，∴12θθ=或12θπθ=-，依题意12θθ≠，∴12θπθ=-

当190θ≠?时，

AC =

=

()()22

1122

11301301tan 5959tan k k θθ++===++ 21

30

94cos θ=

- …⑽

当190θ=?时，510

233

AC =?

= …⑾ 由⑽、⑾知当直线1l 的倾斜角为1θ时，21

30

94cos AC θ=

- …⑿

同理，()22

11

3030

94cos 94cos BD πθθ=

=--- …⒀ 由⑿、⒀知，四边形ABCD 的面积为()

11221

450sin 21

sin 2294cos S AC BD θθθ=

?=- 令()()

2

2

sin 294cos g θ

θθ=

-，∵2

1cos 2cos 2θθ+=

，∴()()

2

sin 272cos 2g θ

θθ=- 则()()()()()23

22cos 21cos 24sin 272cos 272cos 2g θθθ

θθθ'??-+'== ? ?--??

∵0θπ<<， ∴022θπ<<，当023

π

θ<<

，或

5223

π

θπ<<时，()0g θ'>， ()g θ递增，当

523

3

π

π

θ≤≤

时，()0g θ'≤，()g θ递减， ∴当23πθ=

6πθ??= ???时，()g θ取最大值，即(

)max

6g g πθ??

== ???∴当6π

θ=

时，四边形ABCD

的面积max 4

S =

…12分 21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）令()ln 1g x x x =-+，则()111x

g x x x

-'=

-= 当01x <<时，()0g x '>，∴函数()y g x =在01x <<时为增函数， ∴01x <<时，()()10g x g <=，即ln 10x x -+<

当1x >时，()0g x '<，∴函数()y g x =在1x >时为减函数， ∴1x >时，()()10g x g <=，即ln 10x x -+<， 则，当1x >时，0ln 1x x <<-，∴1

1ln x x

->，()1f x >； …5分 （Ⅱ）下面用数学归纳法证明2ln 1n

n a ≥

ⅰ）当1n =

时，1a =

，知12ln 1a ==，∴1n =时，命题成立

ⅱ）假设n k =时，命题成立．即2ln 1k k a ≥

要证明1n k =+时，命题成立．即证明1

12

ln 1k k a ++≥，只需证明1

1

21k k a e ++≥

依题意知11ln k k k a a a +-=，即证明：1

21ln k k a e a -≥

()()()

22111

ln 1ln 11ln ln ln x x x x x f x x x x +

--+-'-?

?'==

= ???

当1x >时，有101x <

<，由（Ⅰ）可知11ln 10x x -+<，即11

ln 10x x

-+-> ∴当1x >时，()0f x '>，∴函数()y f x =，1x >时为增函数

由归纳假设2ln 1k

k a ≥，即1

21k

k a e ≥>，

∴()1

1

1

2221211

1ln 2k

k k

k

k e e f a f e e ??-->== ?

??

? …⑴ 依题意知()1k k a f a +=，故又只需证明()1

2

k f a e ≥，即只需证明1

11

22

k

k f e e +??≥ ?

???

，

构造函数()2

1x

x

h x e xe =--，()2

222122x x x x

x

x x h x e e e e e ??

'=--=-- ??

?

21x e >，由（Ⅰ）知22ln 10x x e e -+<，即2

102

x x

e -->，∴()0h x '>

∴函数()y h x =，0x >为增函数，∴()1

002

k

h h ??>= ???

，即11

12221102k

k

e e ?--> 则1

1

1222

112k k

e f e e ??-=> ?

??

?

…⑵，由⑴⑵及题意知1

1

21k k a e ++≥，即112ln 1k k a ++≥ 综合ⅰ）ⅱ）知，对*

n ?∈N ，都有2ln 1n

n a ≥成立． 22．选修4—1：几何证明选讲

（Ⅰ）连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，

所以BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，

所以DBE ?∽CBA ?，即有BE BD

AB BC

=， 又2AB BE =，所以2BC BD = …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ?∽CBA ?，知BE ED

AB AC

=， 又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =，设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ?=?

即()()()11111122x x x x ??

+=

+++????

，解得1x =，即1BD = …10分 23．选修4－4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）直线l

的方程为0x y -= 圆C 的方程是2

2

1x y +=

圆心到直线的距离为1d =

=，等于圆半径，

∴直线l 与圆C 的公共点个数为1； …5分

（Ⅱ）圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θθπθ=?≤

θ=??

=?

∴2

2224+4cos cos 2sin 4sin 4sin 2x

xy y θθθθθ+=+?+=+

当4

π

θ=

或54

πθ=

时，22

4+x xy y +取得最大值5 此时M

的坐标为

或? ? …10分

24.选修4－5：不等式选讲

（Ⅰ）∵(1)(1)f x f x -+-2x x =-+.

因此只须解不等式2x x -+2≤.

当0x ≤时，原不式等价于22x x --≤，即0x =.

当02x <<时，原不式等价于22≤，即02x <<. 当2x ≥时，原不式等价于2+2x x -≤，即=2x .

综上，原不等式的解集为{}|02x x ≤≤. …5分 （Ⅱ）∵()()f ax af x -11ax a x =---

又a <0时，111ax a x ax ax a ---=-+-+1ax ax a ≥--+1a =-()f a = ∴a <0时，()()f ax af x -≥()f a . …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.