八年级数学竞赛例题专题讲解1：整式的乘除

专题01 整式的乘除

阅读与思考

指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +?=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p p

a a a -=

≠． 学习指数运算律应注意：

1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；

3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．

多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：

1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；

2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；

3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．

例题与求解

【例1】（1）若n 为不等式2003006n >的解，则n 的最小正整数的值为 ．

（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）

（2）已知21x x +=，那么432

222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）

（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++ ，则121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）

（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则

ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题） 解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．

【例2】已知252000x =，802000y =，则11x y

+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32

（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而

11x y x y xy

++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．

【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）

解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．

【例4】已知多项式22

23286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值． 解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．

【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被2

25x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．

解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．

【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求a b

的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．

能力训练

A 级

1．（1）24234(0.25)1?--= ． （福州市中考试题）

（2）若23n a =，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）

2．若2530x y +-=，则432x y

． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）

4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．

（“英才杯”竞赛试题）

5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4

381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． （长沙市中考试题）

6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）

A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．a b c <<

D ．b c a >>

7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）

A ．a b c d <<<

B ．a b d c <<<

C ．b a c d <<<

D ．a d b c <<<

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）

A ．4x y =

B ．4y x =

C ．12x y =

D ．12y x =

（江苏省竞赛试题）

9．已知23,26,212,a b c ===则,,a b c 的关系是（ ）

A ．2b a c <+

B ．2b a c =+

C ．2b a c >+

D ．a b c +>

（河北省竞赛试题）

10．化简4322(2)2(2)

n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +- C ．78 D ．74

11．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=， 试求171995()6()2

x y xy a b ++-

+的值．

12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．

13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．

（香港中学竞赛试题）

B 级

1．已知23,45,87,a b c ===则28a c b +-= ．

2．（1）计算：19982000200020002000

73153735+??? ?+??= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555

555554444666666233322

n ++++++++?=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）

3．（1）1615与1333的大小关系是1615 13

33（填“＞”“＜”“＝”）． （2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131

++（填“＞”“＜”“＝”）． 4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）

5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．

（“五羊杯”竞赛试题）

6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,a b c -==则abc 的值为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．12

（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）

7．若3210x x x +++=，则27261226271x

x x x x x x ---+++++++++ 的值是（ ） A ．1

B ．0

C ．—1

D ．2 8．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）

A ．7

B ．8

C ．15

D ．21

（奥赛培训试题）

9．已知12319961997,,,,a a a a a 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++ ，

121997231996()()N a a a a a a =++++++ ，则M 与N 的大小关系是（ ）

A ．M N =

B ．M N <

C ．M N >

D ．关系不确定 10．满足22(1)

1n n n +--=的整数n 有（ ）个 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．

12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208

x y z w +++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）

13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被2

34x x +-整除．

（1）求4a c +的值；

（2）求22a b c --的值；

（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．

（四川省竞赛试题）