2014年高考数学安徽理试题解析word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：

如果事件A 与B 互斥，那么

()()()P A B P A P B +=+

如果事件A 与B 相互独立，那么

()()()P AB P A P B =

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+i,则i

z

+i·z = （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i

解析：

原式＝-()

i z z -=22i i -?= （2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的 （A ）充分不必要条件

（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件 解析：

()ln 10100x x x +

选B.必要不充分

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89

注：在程序语句中，x=y 是指赋y 值给x.

同理y=z 指z 的值当作y

故选B

(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l 的参数方程是?

??-=+=3,

1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程

是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为

（

（?

?

?y x

ρρ??

?l =选（5）x , y 满足约束条件??

?

??≥+-≤--≤-+.022,022,

02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．

，则实数a

（A ）

21 或-1 （B ）2或2

1 （C ）2或1 （D ）2或-1

解析：

由题中条件，画出可行域，可知A （0，2），B(2,0),C(-2,-2).

2,2

A B Z Z a ==-A B C A C B C B A

Z Z Z Z Z Z Z Z Z =>=>=> 解得：a=-1,或a=2

a,z 取得，a 所以选D

（6）设函数f(x)（（A ）

21 （B ）2

3 （C ）0 （D ）2

1

-

解析：

考查函数值及三角运算。

231717111117551117sin sin sin sin sin sin 6

666

66666651117sin sin sin

666

f f f f ππππ

πππππππππ????????

=+=++=+++ ? ?

? ?

????????

=++

故选A

（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为

（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18

为正方体去掉八个角中的一组对角，很好。常见不偏却不易做对。

S=

2

164622124

?-?+??

=+

（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对

解法一；（直接法）

与AC 成60°角的面对角线有8条，（即除对面的其余四面的对角线。）

类似AC 这样的对角线共12条（一个面上有2条对角线，共6个面，共12条对角线，），由正方体的对称性：即12×8对，但考虑到重复计算。故有

128

2

?＝48

解法二：（排除法） 12条面对角线，任意两条共有三种关系。垂直，平行。成60°角。

垂直与平行均在对面上，与AC 平行的1条，所以共有12对。考虑到重复计算：6对 与AC 垂直的2条。所以共有24对。考虑到重复计算：12对

成60°角的：

2

12

C -12-6=48

（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为

（A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或 -4 （D ）-4或8

解析：

其相应方程两根为1,2

a

--

，分别讨论

A

①12

a

-≥-

时，即2a ≥最小值是1322a a f ??

-=-+= ???

即132a -=8a ?=

②12

a

-<-

时，即2a <最小值为1322a a f ??

-=-+= ???

，即1342a a -+=?=-

综合①②选D

（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足

OQ =2( a + b ).曲线C={ P |OP =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ?Ω为两段分离的曲线，则

（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R

解析：本题是平面向量与解析几何的综合问题，主要考查平面向量坐标运算、动点轨迹方程，集合语言描述，圆的方程，点与圆的位置关系等知识，考查数形结合思想，方程及转化思想。 由已知可设()0,1OA a ==，()1,0OB b ==，(),P x y ，则

(

)

()222,2,cos ,sin 1.

{|0}OQ C OP x y P r PQ R θθθπ=

≤≤+=Ω<≤≤?Ω曲线＝{P|=,02},即

曲线C ：区域：＝表示如图所示圆环要使C 为两段分离的曲线，只有1

注：本题集合中的P ，此P 非彼P.。即同一题中P 所指并不相同。

2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．

。 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若将函数)42sin()(π

+=x x f 的图像向右平移?个单位，所的图像关于y 轴对称，则?的最小正值是

. 38

π

注：正确作出图象，易得出正确结论。

（12）数列{}n a 是等差数列，若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= .1

提示::利用即是等差数列，又是等比数列的数列是常数列这一结论，易得到结果。

（13）设ａ≠０，ｎ是大于１的自然数，n

a x ??

?

??+1的展开式为.2210n n x a x a x a a +++若

点A i (i ，a i )(i=0,1,2)的位置如图所示，则a= ．

解析

1122

21

39134n n C a n a

a C a a ??==?=????

?=???==??

（14）若F 1，F 2分别是椭圆E ：122

2

=+b

y x （0

圆E 于A 、B 两点.若B F AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 . 解析：

()()()()20,011002

200

2

22,,,35233,1332512

1,9

93

c b B x y AF F B x c c x c b y y b b b b =?

=-??=+?????-=???=-??-+=?=可设A 由已知易得：，即－代入椭圆方程得 故得椭圆方程：2

2

312

y x +=

（15）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成.记S=x 1`y 1+x 2`y 2+x 3`y 3+x 4`y 4+x 5`y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）. ①S 有5个不同的值 ②若a ⊥b ，则S min 与a 无关 ③若a ∥b ，则S min 与b 无关 ④若a b 4>，则Smin>0

⑤若a b 2=，Smin=2

8a ，则a 与b 的夹角为4

π

解析：

a a

b b b a a b b b

所谓不同排列，即相当于调换其中一组向量a,b 的位置。易知a 与b 调换一次同时有两个ab 乘积，由于乘法有交换律，只能有效换两次， ①没有ab 乘积时，22123S a b =+

a a

b b b a a b b b

②有两个ab 乘积时，

22222S a b ab

=++ a a b b b a b b a b

③有四个ab 乘积时，234S b ab =+ a a b b b b b b a a

比较1S ，2S ，3S 易知：3S 最小。即min 3S S =

至此易判断②④正确。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. （16）（本小题满分12分）

设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求??

?

?

?+4sin πA

的值. 解（Ⅰ）

2222sin sin 22sin cos sin :sin :,2cos ,2,

23,1,A B A B B B A B a b a b B a c b a b ac

b c a =?===∴=+-=?===由正弦定理：由上式可以得：再利用余弦定理；

上式又变形为：所以

解（Ⅱ）

由余弦定理：cosA=

13-

,A 三角形内角，所以sinA=3

故sin(A+

4π)=46

（17）（本小题满分 12 分）

甲乙恋人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未初相连胜，

则判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为

32，乙获胜的概率为3

1

，各局比赛结果相互独立。

（ I ）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；

（I I ）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）。 解：

设甲获胜为事件A,否则为A (即乙获胜)

（Ⅰ）甲在4局内（含 4 局）赢得比赛：即进行了两局：AA P(A)P(A)= 49 或 进行了三局：A AA P(A )P(A) P(A)= 4

27

或 进行了四局：A A AA P(A) P(A )P(A) P(A)= 8

81

故甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率＝49+427+881=5681

(Ⅱ)

EX=2×

59+3×29+4×1081+5×881=22481

18.（本小题满分12分）

设函数23

()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >.

⑴讨论()f x 在其定义域上的单调性；

⑵当[0x ∈，1]时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.

解⑴

()f x 定义域为(-∞,+∞), '()f x =2123a x x +--

令'()f x ＝0，得113

x --=

，213x -+=

'()f x ＝－3（1x x -）（2x x -）

故()f x 在(-∞, 1x )∪(2x ,+∞)内单调递减，在（1x ，2x ）单调递增 解⑵

因为a>0, 10x <,20x >

须讨论①2x 在[0，1]内，即0

()f x 在[0，2x ]单调递增，在[2x ，1] 单调递减

()f x

在2x =

处取得最大值。()()01,1f f a ==,

所以当a<1时，在x=1处取得最小值。 当a>1时，在x=0处取得最小值。

②2x 不在[0，1]内。21x >,即4a ≥时，

()f x 在[0，1]单调递增

()f x 在 x=0处取得最小值，在x=1处取得最大值。

19.（本小题满分13分)

如图，已知两条抛物线1E ：2112(0)y p x p =>和2E ：2222(0)y p x p =>，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E 、2E 分别交于1A 、2A 两点，2l 与1E 、2E 分别交于1B 、2B 两点. ⑴证明：1122//A B A B ；

⑵过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与1E 、2E 分别交于1C 、2C 两点.记111A B C ?与222A B C ?的面积分别为1S 与2S ，求1

2

S S 的值.

解析： ⑴

121212111122111122222112112212222222

111111222121,,(,0),22,222,22222,,,2222,l l y k x y k x k k y k x p p A k k y p x

y k x p p A k k y p x

p p p p B k k k k p p p p A B k k k k ==≠=???? ?

=???=???? ?

=???????

? ?

??????=--= ???设直线的方程分别为则由得由得同理可得，B 所以122212

12222221211

11222

11112,11112,,p k k k k A B p k k k k p A B A B p ??

-- ?

????

=-- ?

??=

?11A B ∥22A B

（Ⅱ）

由上题易知△11A B C ～△222A B C

2

2

111122222A B S p S p A B ?? ?== ???

（20）（本小题满分 13 分）

如果，四棱柱ABCD-1111A B C D 中，1A A

⊥面ABCD 。四边形ABCD 为梯形，AD // BC ，且AD = 2BC . 过1A ， C ，D 三点的平面记α，1BB 与α的交点为Q .

（ I ）证明：Q 为

1BB 的中点；

（I I ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （III ）若1AA =4 ，CD=2 ，梯形ABCD 的面积为 6 ，求平面

α与底面ABCD 所成二面角的大小。

解⑴略 解⑵

1111111,,,2.11123231211

3224

7

123

2

117Q A AD Q ABCD Q A AD Q ABCD A B C D ABCD AA h ABCD d BC a AD a V a h d ahd a a V d h ahd

V V V ahd

abd

V V -----====

????=+=???=+=下上下梯形的高为＝＝又V 故＝

解⑶

过A 在底面ABCD 上作CD 的垂线AE,易知∠1A EA 就是所求二面角。 易知△ACD 的面积为△ABC 的二倍，所以4ACD S =,进而由CD=2可知AE=4 所以∠1A EA ＝45°

（21）（本小题满分 13 分）

设实数c > 0 , 整数 p > 1 , n ∈*

N

（ I ）证明：当x > -1 且 x ≠ 0 时，()11p

x px +>+

（I I ）数列｛n a ｝满足1a > 1p

c ，11

p 1p n n n c a a a p p

-+-=+ ，证明：p n n c a 1

1a >>+

命题意图

本题是数列与不等式的综合问题，主要考查递推公式、数列迭代、二项式展开式、不等式性质、基本不等式等知识、考查放缩法、数学归纳法等，考查推理证明、逻辑思维能力和分析问题、解决问题能力

解析：

（Ⅰ）用数学归纳法证明： ①

()2

2211212,p x x x x =+=++>+当时，原不等式成立。

②

()()()

()()()()()()*1

2

2,1111111111111k

k k

p k k k N x kx p k x x x x kx k x kx k x

p k +=≥∈+>+=++=++>++=+++>++=+假设时，不等式成立。

当时，

所以时，原不等式也成立。

()

1,01,11p

x x p x px >-≠>+>+综合①②可得，当时，对一切整数不等式

均成立。

（Ⅱ）先用数学归纳法证明1

p

n a c >

()

()()111*111111(1,)p 10,0001110p 11111..........*11,111p

p

k p n n n n p p

k k p k

p k

p k k p k k p

p k n a c n k k k N a c c

a a a a p p

c a c a c a c

a a c c

n k a a p p p a c x x px x p a -+-+=>=≥∈>-=

+>>>?>>?<<-<

-+>- ???①当时，由题设成立

②假设时，不等式成立。由易知由故当时，取由()1111

111111111.........................1p 1111..........*1..............p

p

k p p p k k k k p k p

n p k k p k k n n n n

a c c c

p a p p a a a a c n k a c a c c a a p p p a a

a a a ++-+++????????=+->+?-= ? ? ? ? ?????????>=+>??-=+=+- ???

<<得①

所以当时，也成立。由上边

易知：即.......②

综合①②得p

n n c a 11a >>+