14.1《勾股定理》教学设计
第十四章《勾股定理》
--§14.1.1 《探索勾股定理》教案
勾股定理教案
第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 【学习目标】： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程. 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系. 一．情景引入 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。 二．导入课题 （图中每个小方格代表一个单位面积） 1、 观察图1—1，正方形A 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 正方形B 中有_______个小方格，即B 的面积为______个单位。 正方形C 中有_______个小方格，即C 的面积为______个单位。 图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ SA+SB=SC 结论1：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. 2.图1—1、1—2中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 3.你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 结论2：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”，也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c ，那么2 2 2 c b a =+ 4.美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
三、解读探究 例1.已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求斜边长x． 分析可直接利用勾股定理． 解由勾股定理，得，所以． 由，可得． 例2.在中，，若，则 例3.如图，中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD． 三、基础练习 1.△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c =_______． 2.△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°． 3.等边三角形的边长为6 cm，则它的高为__________． 4.直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．
人教版-数学-八年级下册-18.1 勾股定理 第一课时 教案
第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
勾股定理教案
勾股定理（一） 常德市第二中学张美荣 教学目标 2、过程与方法 让学生经历“观察——猜测——证明——应用”的数学探究过程，在动手实践中体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 通过实验，让学生感受到数学所具有的探索性和创造性，激发学生探究热情，培养学生良好的团队合作意识和创新精神。通过对我国古代数学成就的了解，增强民族自豪感，激发学习热情。 教学重点与难点 教学重点：勾股定理的探索过程与应用 教学难点：勾股定理的证明 教学过程 一、创设情景引入新知 创设校园问题情景 1、观看多媒体照片 照片中，你看到了什么？ 2、抽象出数学问题 如图，少数师生为了走“捷径”，在学校求索馆前的长方形草坪内走出一条小路AB。已知两步为1m，你能算出“捷径”省了多少路吗？从计算出的结果，你有怎样的想法？ 引导学生分析：要算节省的路程，就要算出AB的长，Rt△AOB中，已经知道AO、BO 的长，如何计算AB呢？即问题转化为：直角三角形中已知两边，如何求第三边？ 这就是我们今天要探究的内容：勾股定理 二、测量实验猜测新知 操作一 在方格纸上画一个顶点都在格点上的R t△ABC,∠C=90°，其中a=3,b=4，测量斜边c 的长度。
操作二 分别以R t△ABC三边a、b、c为边长向外作正方形S、T、P，则正方形S、T的面积是多少？正方形P呢，如何计算？ 引导学生先画图，由画图过程去体会正方形P的计算方法（割补法）,然后请学生来表述。 操作三 P的面积，由此猜测 222 +=，即勾股定理： a b c 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. 222 += a b c 三、拼图探究验证新知 （一）拼图实验 步骤1剪出四个全等的（如右图）直角三角形，其中c为斜边，且b＞a. 步骤2用这四个直角三角形拼出一个正方形（中间可以出现空心）. 学生作品展示 运用多媒体工具（备课王）展示学生作品：
勾股定理(第一课时)教学设计
勾股定理（第一课时）教学设计 一、教案背景 （一）教材分析 这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一 节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 （二）学情分析 1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。 3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。 （三）教学设想 1．课型：新授课 2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。 3．教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。 二、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 3．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。 （二）能力目标 1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。
公开课勾股定理教学设计
公开课教学《勾股定理》教学设计 颍州区马寨乡中心学校刘洪贺 一、教学目标 1、知识与技能 （1）、了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程。 （2）、掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。 （3）、应用勾股定理解决简单问题。 2、过程与方法 （1）、在勾股定理的探索过程中，体会数形结合的思想。 （2）、通过探究勾股定理（正方形方格中）过程，体验数学思维的严谨性。 （3）、在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 3、情感态度与价值观 （1）、通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。 （2）、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。 二、教学重点难点 1、教学重点：探索和证明勾股定理。 2、教学难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 三、教学设计思路 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。 让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。 四、教学流程安排
活动一：了解历史，探索勾股定理。 活动二：拼图验证并证明勾股定理。 活动三：例题讲解。 活动四：巩固练习。 活动五：归纳小结。 活动六：布置作业 五、教学活动内容及目的 1、通过勾股定理的发现，了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。 2、观察、分析方格图，得到直角三角形的特殊性质——勾股定理，发展 学生分析问题的能力。 3、通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。 六、教学过程设计 【活动一】 (一)、问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗？ （1）、勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理 为“毕达哥拉斯”定理。 （2）、我国著名的古算书《周髀算经》中记载有“勾广三，股修四，径隅 五”，这作为勾股定理特例的出现。 2、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某些特性。 （1）、现在请你观察一下，你能发现什么？ （2）、一般直角三角形是否也有这样的特点？ （二）、师生行为 教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学图 A B C A B C B C A
新人教版八年级下册数学勾股定理教案
第十七章 勾股定理 勾股定理（一） 教学内容： 新课标对本节课的要求： 教学目标 知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 教学重点、难点 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 教学过程 1.引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。 2、合作探究： 方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B
勾股定理教案课程
勾股定理 教学目标 1、了解勾股定理的推理过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理； 2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想； 3、通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．知识梳理 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2. 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角___． 性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直 角边所对的锐角等于___． 3．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为 边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整 数的直角三角形的斜边． 4．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 典型例题
优秀教案：勾股定理第1课时
14.1 勾股定理第1课时直角三角形三边的关系 社旗县二初中丁云锋 2012年10月
14.1勾股定理直角三角形三边的关系 教学目标： 知识与技能：掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法 过程与方法：探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想。 情感、态度与价值观：发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯，激发热爱祖国的思想感情，培养他们的民族自豪感。 教学重点、难点： 重点：掌握勾股定理及其简单应用 难点：用测量和拼图法说明勾股定理 教学过程： （一）创设情境，导入新课 导语：同学们，中华民族有五千年悠久的历史，我们创造了灿烂的文化。在数学方面，有大家熟悉的祖冲之对圆周率的贡献，以及刚刚接触过的杨辉三角等。在平面几何方面，我们国家也有突出的成就，大家想不想了解呢？（板书课题——14.1 勾股定理直角三角形三边的关系） （二）提出问题，引入探究 某楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼房
高3米，消防队员搬来一架6.5米长的梯子，要求梯子的底部离墙脚2.5米，请问消防队员能否顺利进入三楼灭火？ 学生猜想。那么怎样用数学的方法解决这个问题呢？学完本节课大家就能解决了。 活动一：探究等腰直角三角形三边之间的关系 出示课件图一，让学生完成表格，最后得出结论：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 猜想：一般的直角三角形的三边有这样的关系吗？ 活动二：探究一般的直角三角形三边的关系 出示课件图二和图三，让学生小组合作完成表格，强调用分割法或拼图法求最大的，即以斜边为边的正方形的面积。 在学生充分探究的基础上得出结论：勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°（已知） ∴a2+b2=c2（勾股定理） 做一做：在课本后边的网格中画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为3cm和4cm,测量出斜边的长度，计算一下两条直角边的平方和以及斜边的平方，看看是否相等。 进一步验证勾股定理的正确性。 那么，如果改为∠B=90°，用几何语言该怎样描述呢？ 向学生介绍勾股史话，特别是课本47页，我国古代数
勾股定理的应用的教学反思
勾股定理的应用的教学反思 勾股定理的应用的教学反思 本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容，是学生在学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件的基础上学习勾股定理，加深对勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。本节第一课时安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程；第二课时是通过例题分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。 针对本班学生的特点，学生知识水平、学习能力的差距，本节课安排了如下几个环节： 一、复习引入 对上节课勾股定理内容进行回顾，强调易错点。由于学生的注意力集中时间较短，学生知识水平低，引入内容简短明了，花费时间短。 二、例题讲解，巩固练习，总结数学思想方法 活动一：用对媒体展示搬运工搬木板的问题，让学生以小组交流合作，如何将木板运进门内？需要知道们的宽、高，还是其他的条件？学生展示交流结果，之后教师引导学生书写板书。整个活动以学生为主体，教师及时的引导和强调。 活动二：解决例二梯子滑落的问题。学生自主讨论解决问题，书写过程，之后投影学生书写过程，教师与学生一起合作修改解题过程。 活动三：学生讨论总结如何将实际生活中的问题转化为数学问题，然后利用勾股定理解决问题。利用勾股定理的前提是什么？如何作辅助线构造这一前提条件？在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中去，在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。 二、巩固练习，熟练新知 通过测量旗杆活动，发展学生的探究意识，培养学生动手操作的能力，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。 在教学设计的实施中，也存在着一些问题：
八年级数学下册 勾股定理教案
17．1勾股定理第1课时勾股定理 1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点) 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点) 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点) 一、情境导入 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？ 二、合作探究 探究点一：勾股定理 【类型一】直接运用勾股定理 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求： (1)AC的长； (2)S△ABC； (3)CD的长． 解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD. 解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm； (2)S△ABC＝ 1 2CB·AC＝ 1 2×5×12＝30(cm2)； (3)∵S△ABC＝ 1 2AC·BC＝ 1 2CD·AB，∴CD ＝ AC·BC AB＝ 60 13cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可． 【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论． 解：此题应分两种情况说明： (1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(完整版)勾股定理专题复习(经典一对一教案哟)
卓越教育教案专用 学生姓名授课时间：授课科目：数学 教学课题勾股定理知识点解析（二） 重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。 教师姓名年级：初二课型:复习课 一、作业检查 作业完成情况：优□良□中□差□ 二、课前回顾 对上次家庭作业进行检查并评讲 三、知识整理 知识点1.勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2） 注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2 +c2 ；当∠B=90时，b2＝a2 +c2 例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长； （2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长 （3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值 A C B 图1 C B A 图2
知识点2.勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。 思路： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可 证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 知识点3.直角三角形的判别条件 （1）如果三角形的三边长啊a ，b ，c ，满足a 2+b 2＝c 2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 注意：○1在判别一个三角式是不是直角三角形时，a 2+b 2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a 2+b 2＝c 2。○2验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形. 例1. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b
勾股定理教学设计与教学反思
勾股定理教学设计 富裕县逸夫学校任晓娟 【教学目标】 一、知识目标 1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程. 2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。 二、数学思考 在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想. 三、解决问题 1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 四、情感态度目标 1．学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐 步体验数学说理的重要性。 2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识 和探究精神。 【重点难点】 重点：探索和证明勾股定理。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 【设计思路】 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生探究与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。 让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。 【教学流程安排】 活动一：了解历史，探索勾股定理 活动二：拼图验证并证明勾股定理 活动三：例题讲解，巩固练习
活动四：反思小结，布置作业 活动内容及目的：①通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。 【教学过程设计】 【活动一】 (一)问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗？ (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的， 西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三， 股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。 （1）现在请你一观察一下，你能发现什么？ （2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？ （二）师生行为 教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。 学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。 （三）设计意图 ①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间， 发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相 图 A B C A B C B C A
人教版八年级数学下册第17章勾股定理教案
第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4× 2 1 ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 A B
17.1.1勾股定理教学设计
17.1勾股定理 第一课时 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 这节课是人教2011课标版八年级下车册第十七章第一节《勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习了（三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质、二次根式以及整式运算中的完全平方公式。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习《解直角三角形》奠定基础，在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》，它在生活中的用途很大。 （二）、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况，再结合《课程标准》的要求，我制定如下教学目标) （三）、教学目标分析 【教学目标】 1、知识与技能目标 体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 2、过程与方法目标
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。发展学生的合情推理、归纳和概括能力。 3、情感态度与价值观目标 通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 （四）、教学重点及难点（根据《课程标准》的要求，以及为学生在今后解决有关几何问题。拟定本节课的教学重点和难点） 【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】通过面积计算探索勾股定理。 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，因此形成了难点。 【教具】教师准备：课件直角三角形 学生准备：四个全等的直角三角形 二、教学方法及教学手段的选择 针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的提出问题，与学生合作交流，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。） 三、学法指导
人教版勾股定理教案
§ 17. 1勾股定理 一、教学目标 1?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3 ?介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1?重点：勾股定理的内容及证明。 2?难点：勾股定理的证明。 三、过程 探究活动一： 画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC ,用刻度尺量出AB的长。你发现了什么？ 你是否发现32+42与52的关系？ 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究活动二： 探究等腰直角三角形的情况 观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积） 思考：（1）你发现了三个正方形I、u、川的面积之间有什么关系吗? （2）你发现了等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
正方形I 的面积 （单位面积） 正方形U 的面积 （单位面积） 正方形川的面积 （单位面积） 较大的图 较小的图 证一证 命题1的证明方法有多种 方法一：我国古人赵爽的证法，利用“赵爽弦图”证明 .（图一） 大正方形的面积可以表示为 __________________ 还可以表示为 __________________ 结论： ______________________ 方法二： 大正方形的面积可以表示为 _______________ 还可以表示为 __________________ 结论： ______________________ 探究活动三： 由上面你得到的结论，我们自然联想到：一般的直角三角形是否也具有该性 质呢？观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你发现了一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 由上面的例子，我们猜想： 命题1 : 如果直角三角形的两直角边长分别为 a ，b ，斜边长为C ，那么 a 2+b 2=c 2
勾股定理教案完整版
勾股定理教案 一、指导思想与教学理念： 以学生为主体的讨论探索法 二、教学对象分析： 八年级学生好奇心强，学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流， 三、教材分析： 勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切地联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是后续学习解直角三角形的基础，是三角形知识的深化。 四、教学方法： 讲授法、讨论法 五、教学目标： （1）知识与技能：了解勾股定理的产生背景，体验勾股定理的探索过程，掌握验证勾股定理的方法；了解勾股定理的内容；能利用已知两边求直角三角形另一边的长； （2）过程与方法：在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想； （3）情感与态度：在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，培养合作意识和探索精神。 六、教学环境： 普通教室 七、教学用具： 黑板、粉笔、自制的方格纸、画笔 八、教学重、难点： 重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理 九、教学过程： 一、创设情境，导入新课 1、出示问题，引发思考（用多媒体播放视频）“某楼房二楼失火，消防队
员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?” 2、引入新课：教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。 二、探究勾股定理 1、探究等腰直角三角形的三边之间的特殊关系 引导思考：等腰直角三角形的三边之间有怎样的特殊关系? 给出证明:通过斜边的中线为斜边的一半可以证明,可以让学生证明也可以自己证明 归纳总结：等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方. 2、探究一般直角三角形的三边之间的特殊关系 引导思考：在一般的直角三角形中是否满足这个关系 学生根据问题，分组交流 给出证明:引导学生证明勾股定理,通过构建四个直角三角形围成正方形的方法给出证明 归纳总结：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 介绍勾股定理的命名：.约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里 .人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国称它为勾股定理. 介绍古今中外数学家和数学爱好者对勾股定理研究和证明的历史. 西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 十一、布置作业： 课后作业1、2 十二、教材反思： 在课堂教学中，始终注重学生的自主探究能力，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思
八年级数学下册 17.1 勾股定理教案 (新版)新人教版
17．1 勾股定理 一、教学目的 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132 ，那么就有勾2+股2=弦2 。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2 。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4× 2 1ab ＋（b －a ）2=c 2 ，化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B
勾股定理教学反思
勾股定理教学反思 我用了4课时讲授了八年级下册数学人教版的第十八章第一节勾股定理，第一课时我主要讲授的是勾股定理的探究和验证，并举例计算相关直角三角形已知两边长求第三边的问题；第二课时我主要讲授了各种类型的相关直角三角形边长或者面积相关问题；第三课时讲授了如何用勾股定理解决生活中的实际问题；第四课时主要讲授了怎样在数轴上找出无理数对应的点。这4个课时我采用的教学方法是：引导—探究—发现法；为学生设计的学习方法是：自主探究与合作交流相结合。 第一课时的课堂教学中，我始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师，所以无论是引入、拼图，还是历史回顾，我都注意去调动学生，让学生满怀激情地投入到活动中.所以，课堂效率较高.勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值，所以我注意充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先实行调查，再在课堂上实行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的水平.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这个难点，我设计了拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究突破了本节课的难点. 第二课时我依据“学生是学习的主体”这个理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式实行主动学习。教师只在学生遇到困难时，实行引导或组织学生通过讨论来突破难点。为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这个特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理． 第三课时在课堂教学中，始终注重学生的自主探究，由实例引入，激发了学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并使用定理进一步巩固提升，切实体现了学生是数学学习的主人的新课程理念。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以，教学中，教师给予了学生适当的指导与鼓励，教师较好地充当了学生数学学习的组织者、引导者、合作者。另外教会学生思维，培养学生多种水平。课前查资料，培养了学生的自学水平及归类总结水平；课上的探究培养了学生的动手动脑的水平、观察水平、猜想归纳总结的水平、合作交流的水平……但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。所以，在今后的教学中还需要进一步注重学生的实验操作活动，提升其实践水平。 第四课时我另外向学生介绍了勾股定理的证明方法：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系；以欧几里得的证明方法为代表，使用欧氏几何的基本定理实行证明；以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。 总的来看，学生掌握的情况比较好，都能够达到预期要求，但介于相关勾股定理的类型题很多，不能一一为学生讲解，但我还是建议将北师大版本中的《蚂蚁怎样走最近》的类型题加入本教材。