10,11,12,13,14上学期工科数学分析基础试题答案(1)

10,11,12,13,14上学期工科数学分析基础试题答案(1)
10,11,12,13,14上学期工科数学分析基础试题答案(1)

2010级《高等数学》,《工科数学分析基础》,《微积分》

A 卷参考答案

一、1. b a b =,;2.

21,1e

;3. 022,2

1

=+-y x 4. 2,---++dy x

e e y y

x y

x ;5 . 5,4 二、1. C 2. D 3. D 4. C 5. B

2011级《高等数学》,《工科数学分析基础》,《微积分》

A 卷参考答案

一、1. 2,2e ;2. x e

y e x y

y

1

1,-=-+-;3. 5x >或3x <-,1x >;

4. 1,2

1

==

b a ;5 . 0,0 二、1. D 2. C 3. D 4. B 5. C

三、 解:原式=x

e

x

x x 1

lim

3

cos 2ln

-+→ (6分)

03

cos 2ln

lim 0

=+=→x

x (10分)

四、解:(1)0)cos )((lim 00sin )(lim

=-'=???

??-=→→x x g x x x g a x x (4分) (2)2

00sin )(lim )0()(lim )0(x x

x g x f x f f x x -=-='→→

=12

)

0(2sin )(lim 2cos )(lim

00=''=+''=-'→→g x x g x x x g x x ∴ ??

???=≠---'='时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f (8分) (3)2

00

)

sin )(()cos )((lim

)(lim x x x g x x g x x f x x ---'='→→

=x x x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-'-+''+-'→ =)0(12

)

0(f g '=='',因此)(x f '在(-∞,+∞)连续。 (10分)

五、解: 设x x x f ln )(=,由2ln 1)('x x

x f -=,可知,当e x >时)(x f 单调减少 (5分) 若e a b >>,则有

b

b a a ln ln >,推出a b b a ln ln >,即有a b b a > 20112012

2012

> (10分) 所六、

解:2

)()()(x x f x f x x x f -'='

??

? ?? (4分) 令)()()(x f x f x x g -'=,)()(x f x x g ''=',令0)(='x g ,得0=x (唯一驻点),当0x 时,0)(>'x g ,故)0(g 为最小值,故0)0()0()(>-=≥f g x g ,

∴0)(>'

??

?

??x x f ,即

x x f )(单调增加。 (10分) 七、证明:令)()(x f x x F n = (4分)

则)(x F 在[0,1]连续,(0,1)可导,0)1()0(==F F ,由罗尔定理,至少存在

)1,0(0∈x 使0)(0='x F ,即

0))()(()()(0001

000010='+='+--x f x x nf x x f x x f nx n n n

又01

0≠-n x ,故0)()(000='+x f x x nf (10分)

2012级《高等数学》,《工科数学分析基础》,《微积分》

A 卷参考答案

一、填空题 (共30分,每填对一空得3分)

(1) 1

23lim (

)5

n n n n →+∞+=3

; 22

2321

lim sin x x x x x

→∞++=+3.

(2) 曲线()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线方程为1(1)

y n x -=-,记该切线

与x 轴的

交点为(,0)n ξ,则lim n n n ξ→+∞

=

1

e -.

(3) 设22ln(1)x t t y t ?=+?=+?,则d d y

x =2

1

2(1)t +,22d d y x

=4

12(1)t -+. (4)

cos 2x

的Maclaurin (麦克劳林

cos 2x =

24

(2)(2)12!4!

x x -+

5o()x +,

设2()cos 2g x x x =,则(4)(0)g =48

-.

(5) 当0x →时,22()f x tan x x =-是x 的

4

阶无穷小(写出阶数),

(0)f '''=

二、选择题 (每题4分,共20分)

(1) 以下极限计算中正确的是 B . A .01lim sin 1x x x →=; B .1

lim sin 0x x x →∞=;

C .011lim sin x x x →=∞;

D .1

lim sin 1x x x →∞=.

(2) 函数2

sin(2)()(1)(2)x x f x x x x ?-=

--在下列哪一个区间内有界? A

A .(1,0)-;

B .(0,1);

C .(1,2);

D .(2,3).

(3) 对于定义在(1,1)-上的函数()f x ,下列命题中正确的是 D .

A .如果当0x <时()0f x '<,当0x >时()0f x '>,则(0)f 为()f x 的极小值;

B .如果(0)f 为()f x 的极大值,则存在01δ<≤,使得()f x 在(,0)δ-内单调增加,

在(0,)δ内单调减少;

C .如果()f x 为偶函数,则(0)f 为()f x 的极值;

D .如果()f x 为偶函数且可导,则(0)0f '=.

(4) 若220ln(1)()

lim 2x x ax bx x

→+-+=,则 A . A .51,2a b ==-; B .5

1,2

a b ==;

C .1,2a b ==-;

D .0,2a b ==. (5) 设函数()f x 在点0x =的某邻域内三阶可导,且0()

lim 11cos x f x x

→'=--,则

C .

A .(0)f 为()f x 的一个极大值;

B .(0)f 为()f x 的一个极小值;

C .(0)f '为()f x '的一个极大值;

D .(0)f '为()f x '的一个极小值.

三、(10分)已知函数()y y x =由方程221(0)x y y y +=>确定,求d d y

x

,并求()y y x =的极值. 解

x

22220(1)xy x yy y ''++=

---3分 令

y '=,得 0x =,易算得 (0)1y =;

------5分

(1)式两端继续求导,得 2222244220

(2)y xyy xyy x y x yy y '''''''+++++=

在(2)中令 0x =,算得 (0)2y ''=-,所以 (0)1y = 为极大值. ----10分

四、(10分) 求极限 sin 260lim ln(1)sin x x

x e e x x x x

→-+-+.

解 原式sin 326033

lim ln(1)sin x x

x e e x x x x x

x x

→-=+-+, 其中

sin sin sin 333200001sin 1cos 1lim lim lim lim 36

x x x x

x x x x x e e e x x x e x x x x -→→→→----====,

----3分

2

3200001

1

ln(1)ln(1)111lim lim lim lim 22(1)2

x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-+--+====-+,

630sin lim 0x x

x

→=,--9分 所以 原极限

1

3

=-. ----10分

五、(10分) 已知函数,0()cos ,0x x f x a b x x x ≤??

=+?>?? 在点 0x = 处可导,求常数a

和b .

解 (1) 由连续条件,(00)(0)(00)f f f -==+,因此 0

cos lim 0x a b x

x

+

→+=,进而应有

0lim (cos )0x a b x +

→+=,即 0a b +=; -------5

(2) 由可导条件,(0)(0)f f -+''=,算得 20cos (0)lim 2

x a a x a

f x +

+→-'==,而 (0)1f -'=,

所以 2a =, 2b =-. -----10分

六、(10分)(1)证明:

111ln(1)()1n N n n n

+<+<∈+; (2)设 11

1ln ()2n u n n N n +=+++-∈ ,证明数列{}n u 收敛.

证 (1) 只需证明 ln(1)(0)1x

x x x x

<+<>+ 方法一(利用微分中值定理) 令 ()ln(1)([0,))f x x x =+∈+∞,则 0x > 时,

ln(1)()(0)(0)1x x f x f x ξξ

+=-=

<<+,

因为 0x ξ<<,所以 11x x

x x ξ

<<++,

从而 ln(1)(0)1x x x x x <+<>+. ----5分

方法二 (利用单调性) 令 ()ln(1)([0,))1x g x x x x

=+-∈+∞+,

则()g x 在[0,)+∞上可导,且2

11()0((0,))1(1)g x x x x '=

->∈+∞++, 可知()g x 在[0,)+∞上单增,从而0x > 时,()(0)0g x g >=; 再令()ln(1)([0,))h x x x x =+-∈+∞,则()h x 在[0,)+∞上可导,且

1

()10((0,))1h x x x

'=

-<∈+∞+,知()h x 在[0,)+∞上单减,故0x >时,()(0)0h x h >=.-5分

(2) 1111ln(1)ln ln(1)011n n u u n n n n n +-=

-++=-+<++,即数列{}n u 单减; 又 11111

1ln ln(1)ln(1)ln(1)ln 212n u n n n n =+++->++++++-

231ln()ln()ln()ln ln(1)ln 012n n n n n

+=+++-=+-> ,即数列{}n u 有下界.

综上,由单调有界原理,数列

{}

n u 收

敛. ---10分

七、(10分) 设函数()f x 在[0,]π上连续,在(0,)π内可导,(0)0f =.证明:至少存在一点

(0,)ξπ∈,使 2()tan ()2

f f ξ

ξξ'=?.

证 令()()cos

([0,])

2

x g x f x x π=?∈,

---3分

则()g x 在[0,]π上连续,在(0,)π内可导,(0)()0g g π==, ---8分 由

Rolle

定理,至少存在一点(0,)ξπ∈,使()0g ξ'=,即

2()tan

()2

f f ξ

ξξ'=?. ----10分

2013级《高等数学》,《工科数学分析基础》,《微积分》

A 卷参考答案

一、1. x y e 2,2=;2. dx π

1

,0-

;3. 3==b a ;4. s cm /3 ; 5 . 0,0

二、1.B 2. D 3. C 4. B 5.C

三、解:原式=3

3

cos 2ln

1

lim

x

e

x

x x -+→ (2分)

20)

31cos 1ln(lim x

x x -+=→ (4分) =2

31

cos lim

x

x x -→ (6分)

2

20

32

lim

x

x x -=→ (8分) 6

1

-= (10分)

四、解:(1)0

0()sin lim ()lim

lim('()cos )0x x x g x x

a f x g x x x

→→→-===-= (4分) (2)2

'()cos ()sin '()xg x x x g x x

f x x

--+=

,0≠x (6分)

20

0()(0)()sin '(0)lim

lim 0x x f x f g x x

f x x →→--==- (8分) 0

0'()cos "()sin lim

lim 122

x x g x x g x x x →→-+=== (10分) 五、解:在方程两边对x 求导,得0232=-+'+'-'x y y x y y y y (1)(2分) 令0='y ,得x y =,将此代入原方程,得01223=--x x ,求得唯一实根1=x (驻点),且1)1(=y 。 (5分) 在(1)式两边再求导,得012)13(2)23(22=-'+'-+''+-y y y y x y y ,因此

02

1

|)1,1(>=

''y 。故1=x 是)(x y y =极小值点且极小值为1=y 。 (10分) 六、解:令22)1(ln )1()(---=x x x x ?,0>x ,0)1(,1

2ln 2)(='-+-='??x

x x x x

,1

1ln 2)(2x x x ++=''?3

2)

1(2)(x

x x -='''?, (3分) 故当10<'''x ?,因而2)1(=''?是)(x ?''最小值,当

0>x 时, 02)1()(>=''≥''??x 。 (6分)

因此0)(<'x ?单调递增,由0)1(='?得10<'x ?,因而0)1(=?是)(x ?最小值,所以当0>x 时, 0)1()(=≥??x ,即0>x 时,

22)1(ln )1(-≥-x x x 。 (10分)

七、证明:由1)

(lim

=∞

→x

x f x ,得0)0(=f ,0)0(='f , (2分) 函数)(x f 在[0,1]连续,(0,1)可导,0)1()0(==f f ,由罗尔定理,至少存在

)1,0(0∈x 使

0)(0='x f 。 (6分)

函数)(x f '在[]0,0x 连续,),0(0x 可导,0)()0(0='='x f f ,由罗尔定理,至少存在)1,0(),0(0?∈x ξ使0)(=''ξf (10分)

2014级《高等数学》,《工科数学分析基础》,《微积分》

A 卷参考答案

一、1.12,e e --- ;2. )1,1(,53<<-x ;3. 31

e ;4. ππ8.0,4,0 ; 5 . 2012

!2014,6-

二、1. C

2. B

3. C

4. D

5. D

三、解:原式=22201cos lim()sin x x

x x

→-

222220sin cos lim sin x x x x x x

→-= (2分) 30(sin cos )(sin cos )

lim

x x x x x x x x x

→+-=? (6分) 30(sin cos )2lim x x x x x

→-= (8分) 20sin 22lim 33

x x x x →== (10分) 四、解:解:=+

→)(lim 0x f x x x x g x cos )(lim 0-+→1

sin )(lim 0x

x g x +'=+

→2)0(='=g =-

→)(lim 0x f x )(lim 0

b ax x +-→)0(f b ==, 要使)(x f 在0=x 处连续,则2=b (4分)

='+)0(f 0)0()(lim 0--+

→x f x f x 2

02cos )(lim x x

x x g x --=+→

x x x g x 22sin )(lim

0-+'=+→)2sin 2)0()((lim 0x x

x g x g x +'-'=+→ 2

1

)0(21+''=g 3=

='-)0(f 0

)0()(lim 0---→x f x f x x ax

x -→=0lim a =,使)(x f 在0=x 处可导,则3=a (8分) 由上述可知,3)0(='f (10分) 五、解:由)

()()

()(x g x f x g x f -+在0x x =取极大值,则0>?δ,当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-?+时,

)()()()(x g x f x g x f -+ 0000()()()()

f x

g x f x g x +<-, (4分)

即00()()()()f x g x f x g x <, (8分) 或

00()()()()

f x f x

g x g x <

,故)()

(x g x f 在0x x =取极小值。 (10分)

六、证明:由0)(>''x f 知)(x f '单调递增, 故0)0()(>'>'f x f ;于是函数)(x f 单调递增, 所以方程0)(=x f 至多有一个根。(4

分)

x x f x f f x f <<''+

'+=ξξ0,)(2

1

)0()0()(2。从而知+∞=+∞→)(lim x f x ,根据保号性,

存在01>x ,使得0)(1>x f ,又0)0(

(10分) 七、证明:令()(()())(()())F x f x f a g x g b =--,则)(x F 在[a ,b ]连续,在(a ,b )可导,且0)()(==b F a F ,由罗尔定理,至少存在(,)a b ξ∈使()0F ξ'=,即

()()()

()()()

f f a f

g b g g ξξξξ'-='-。 (10分)

1) 欲证f f x F f f +'='?=+'0)()(ξξξ,)()(x xf x F =

2) 0='+'g f g

f ?f

g F =; 3) 0='-'g f g

f g

f

F =? 4) )(0x f e F f f x =?='+; 5) )(x f e F f f x λλ=?'+ 6) )(0x f x F f x nf n =?='+;

7) g f g f F g f g f '-'=?='

'-''0

8) 200])([0)()(??=?=x

dt t f F dt t f f ξξ

????=?=0

000

)()()()(x

x gdt fdt F dt t g f dt t f g ξξξξ

工资概念与组成部分

【工资概念】劳动部《工资支付暂行规定》劳部发〈1994〉489号第三条规定:工资是指用人单位依据劳动合同的规定,以各种形式支付给劳动者的工资报酬。【工资总额组成】国家统计局《关于工资总额组成的规定》第1号令规定:工资总额组成由下列六部分组成: (一)计时工资包括:1.对已做工作按计时工资标准支付的工资;2.实行结构工资制的单位支付给职工的基础工资和职务(岗位)工资;3.新参加工作职工的见习工资;4.运动员体育津贴。 (二)计件工资包括:1.实行超额累进计件、直接无限计件、限额计件、超定额计件等工资制,按劳动部门或主管部门批准的定额和计件单价支付给个人的工资;2.按工作任务包干方法支付给个人的工资;3.按营业额提成或利润提成办法支付给个人的工资。 (三)奖金包括:1.生产奖;2.节约奖;3.劳动竞赛奖;4.机关、事业单位的奖励工资;5.其他奖金。 (四)津贴和补贴包括:1.补偿职工特殊或额外劳动消耗的津贴、保健性津贴、技术性津贴、年功性津贴及其他津贴:2.各种物价补贴。 (五)加班加点工资包括:按规定支付的加班工资和加点工资。 (六)特殊情况下支付的工资包括:1.根据法律法规规定因病、工伤、产假、计划生育假、婚丧假、事假、探亲假、定期休假、停工学习、执行国家和社会义务等原因按计时工资标准或计时工资标准的一定比例支付的工资:2.附加工资、保留工资。 国家统计局《关于工资总额组成的规定》(国家统计局第1号令) 第一章总则 第一条为了统一工资总额的计算范围,保证国家对工资进行统一的统计核算和会计核算,有利于编制、检查计划和进行工资管理以及正确地反映职工的工资收入,制定本规定。 第二条全民所有制和集体所有制企业、事业单位,各种合营单位,各级国家机关、党政机关和社会团体,在计划、统计、会计上有关工资总额范围的计算,均应遵守本规定。 第三条工资总额是指各单位在一定时期内直接支付给本单位全部职工的劳动

(整理)《中国近现代史纲要》教学大纲.

《高等数学A》教学大纲 (工学类高中生源本科) 课程名称:高等数学/Advanced Mathematics 课程编码:0702002106,0702002206 课程类型:公共基础课 总学时数/学分数: 192/ 12 实验(上机)学时:0 适用专业:汽车、电子、自动化、计算机、机械 先修课程:无制订日期:2005年11月 一、课程性质、任务和教学目标 高等数学A是高等职业技术师范院校各专业学生必修的重要基础理论课,是学习现代科学技术必不可少的基础知识,应用非常广泛,是为培养社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习,学生能够达到以下目标: 1、使学生能掌握函数和极限的基本内容和思想精华; 2、使学生能掌握一元函数微积分学的基本内容、重要思想和简单计算; 3、使学生能学会向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学等的基本内容和计算; 4、学生通过学习能为后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础; 5、通过学习逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和基本运算能力。

三、学时分配表 内容学时习题课总学时 第一章函数与极限14-16 2 16-18 第二章导数与微分16 2 18 第三章中值定理及导数应用16 2 18 第四章不定积分12 2 14 第五章定积分14 2 16 第六章定积分应用6-8 2 8-10 第七章向量代数与空间解析几何16 2 18 第八章多元函数微分学及其应用16 2 18 第九章重积分12 2 14 第十章曲线积分与曲面积分16 2 18 第十一章无穷级数16-18 2 18-20 第十二章微分方程14 2 16 合计168-174 24 192-198 五、教学方法与手段 本门课采用完全课堂讲授的教学方式,并辅之以适当的习题课便于对基本概念和理论的理解和掌握,使学生能通过高等数学A的学习,具有一定的抽象推理能力、逻辑推理能力及基本运算能力。

数值分析简明教程---课后答案

0.1算法 1、 (p.11,题1)用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根,要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ,得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ,因此取9=k ,即至少需 2、(p.11,题2) 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根;使用 二分法求这一实根,要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ,则)(x f 在区间[0,1]上连续,且 012010)0(0<-=-?+=e f ,082110)1(1>+=-?+=e e f ,即0)1()0(+=x e x f ,即)(x f 在区间[0,1]上是单调的,故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ,得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ,因此取7=k ,即至少需二分

0.2误差 1.(p.12,题8)已知e=2.71828…,试问其近似值7.21=x ,71.22=x ,x 2=2.71,718.23=x 各有几位有效数字?并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字: 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ,所以7.21=x 有两位有效数字; 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ,所以71.22=x 亦有两位有效数字; 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ,所以718.23=x 有四位有效数字; %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε; %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε; %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 (1)经四舍五入得到的近似数,其所有数字均为有效数字; (2)近似数的所有数字并非都是有效数字. 2.(p.12,题9)设72.21=x ,71828.22=x ,0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值,试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε,31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε; 000005.02=ε,622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε; 00005.03=ε,43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε; 评 经四舍五入得到的近似数,其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3.(p.12,题10)已知42.11=x ,0184.02-=x ,4 310184-?=x 的绝对误差限均为

工科数学分析基础试题

2010工科数学分析基础(微积分)试题 一、填空题 (每题6分,共30分) 1.函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2 x x e x bx a x f bx ,=- →)(lim 0x f x ,若函数)(x f 在0=x 点连续,则b a ,满足 。 2.=?? ? ??+∞→x x x x 1lim , =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3.曲线? ??==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ,切线方程为 。 4.1=-+xy e y x ,=dy ,='')0(y 。 5.若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ,则=a ,=b 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1.当0→x 时,1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小,则( ) (A )32= a , (B )3=a , (C). 2 3 =a , (D )2=a 2.下列结论中不正确的是( ) (A )可导奇函数的导数一定是偶函数; (B )可导偶函数的导数一定是奇函数; (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数; (D )可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数; 3.设x x x x f πsin )(3-=,则其( ) (A )有无穷多个第一类间断点; (B )只有一个跳跃间断点; (C). 只有两个可去间断点; (D )有三个可去间断点; 4.设x x x x f 3 )(+=,则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为( ) 。 (A )1 (B )2 (C) 3 (D )4 5.若0)(sin lim 30=+→x x xf x x , 则2 0) (1lim x x f x +→为( )。 (A )。 0 (B )6 1 , (C) 1 (D )∞

数值分析简明教程课后习题答案

比较详细的数值分析课后习题答案

0.1算法 1、 (p.11,题1)用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]的近似根,要求误差不超过 10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ,得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ,因此取9=k ,即至少需 2、(p.11,题2) 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]有唯一个实根;使用二 分法求这一实根,要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ,则)(x f 在区间[0,1]上连续,且 012010)0(0<-=-?+=e f ,082110)1(1>+=-?+=e e f ,即0)1()0(+=x e x f ,即)(x f 在区间[0,1]上是单调的,故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根.

由二分法的误差估计式21 1*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ,得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ,因此取7=k ,即至少需二分 0.2误差 1.(p.12,题8)已知e=2.71828…,试问其近似值7.21=x ,71.22=x ,x 2=2.71, 718.23=x 各有几位有效数字?并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字: 因为111021 05.001828.0||-?= <=- x e ,所以7.21=x 有两位有效数字; 因为1 2102105.000828.0||-?=<=- x e ,所以71.22=x 亦有两位有效数字; 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=- x e ,所以718.23=x 有四位有效数字; %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε; %85.171 .205 .0||222=<-= x x e r ε;

数学分析第三版答案下册

数学分析第三版答案下册 【篇一:2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题(每小题3分,共15分): 1、126; 2、2; 3、1?x?x2???xn?o(xn); 4、arcsinx?c (或?arccos x?c);5、2. 二、选择题(每小题3分,共15分) 1、c; 2、a; 3、a; 4、d; 5、b 三、求极限(每小题5分,共10分) 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx(3分) ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx (3分) (?x)?0 (2分)?lime?1(2分) ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明:lim2(10分) n??n?3 证明:当n?3时,有(1分) 3n299 (3分) ?3??22 n?3n?3n 993n2

因此,对任给的??0,只要??,即n?便有2 ?3?? (3分) n?n?3 3n2x{3,},当n?n便有2故,对任给的??0,取n?ma(2 分) ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3(1分)即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式:arctanb?arctana?b?a,其中a?b。(10分) 证明:设f(x)?arctanx,根据拉格朗日中值定理有(3分) f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) (3分) 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) (2分) bn?arctaan?b?a (2分)即 arcta 六、求函数的一阶导数:y?xsinx。(10分) 解:两边取对数,有: lny?sinxlnx (4分) 两边求一次导数,有: y??xsinx(cosxlnx? y?sinx (4分) ?cosxlnx? yx sinx )(2分) x 七、求不定积分:?x2e?xdx。(10分)解: 2?x2?x xedx?xde = (2分) ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx (2分) = ?x2e?x?2?xde?x(2分) = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx (2分) =?e?x(x2?2x?2)?c (2分) 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。(10 42

工科数学分析试卷+答案

工科数学分析试题卷及答案 考试形式(闭卷):闭 答题时间:150 (分钟) 本卷面成绩占课程成绩 80 % 一、填空题(每题2分,共20分) 1.---→x x x x sin 1 1lim 30 3- 2.若?? ???=≠-+=0,0,13sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续,则 a 3- 3.设01lim 23=??? ? ??--++∞→b ax x x x ,则 =a 1 , =b 0 4.用《δε-》语言叙述函数极限R U ?∈=→)(,)(lim 0 x x A x f x x 的定义: ε δδε)()()(:00 0A x f x x ∈ →∈?>?>?U 5.若当)1(,02 3 +++-→cx bx ax e x x 是3 x 的高阶无穷小,则=a 6 1 =b 2 1 =c 1 6.设N ∈=--→n x x x f x f n x x ,1) () ()(lim 2000 ,则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值? 答: 极小值 姓名: 班级: 学号: 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范

7.设x x y +=,则dy dx x )211(+ ? 8.设x x y sin =,则=dy dx x x x x x x )sin ln (cos sin + 9. ?=+dx x x 2 1arctan C x +2 arctan 2 1 10.?=+dx e e x x 12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题:(每题2分,共20分) 1.设0,2) 1()1l n (2 s i n 2t a n l i m 222 2 ≠+=-+-+-→c a e d x c x b x a x x ,则必有( D ) (A )d b 4=;(B )c a 4-=;(C )d b 4-=;(D )c a 2-= 2.设9 3 20:0< <>k x ,则方程112=+x kx 的根的个数为( B ) (A )1 ;(B ) 2 ; (C ) 3 ; (D )0 3.设)(x f 连续,且0)0(>'f ,则存在0>δ使得( A ) (A ))(x f 在),0(δ内单增; (B )对),0(δ∈?x 有)0()(f x f >; (C )对)0,(δ-∈?有)0()(f x f >; (D ))(x f 在)0,(δ-内单减。 4.)(x f 二阶可导,1) (lim ,0)0(3 -=''='→x x f f x ,则( A ) (A )())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点; (B ))0(f 是)(x f 的极大值; (C ))0(f 是)(x f 的极小值; (D ) (A ),(B ),(C )都不成 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范

工科数学分析下考试题带答案

工科数学分析(下)期末考试模拟试题 姓名:___________ 得分: _________ 一、填空题(每小题3分,满分18分) 1、设()xz y x z y x f ++=2 ,,,则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→ →→→+-=k j i l 22的方向导数为 _________. 2.,,,-__________. 22 2L L xdy ydx L x y =?+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分 1,()c c x y x y ds +=+=?3.设曲线为则曲线积分 ___________ 4、微分方程2 (3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________ 5、2 sin(xy) (y)______________.y y F dx x = ? 的导数为 6、 { ,01,0x (x),2x e x f x ππ ππ--≤<≤≤= =则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于 _____________. 二、计算下列各题(每小题6分,满分18分) 1. (1) 求极限lim 0→→y x ()xy y x y x sin 1 12 3 2+- (2) 2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→

2.设f ,g 为连续可微函数,()xy x f u ,=,()xy x g v +=,求x v x u ?????(中间为乘号). 3..222232V z x y x y z V =--+=设是由与所围成的立体,求的体积. 三、判断积数收敛性(每小题4分,共8分) 1. ∑∞ =1!.2n n n n n 2.∑∞ =-1 !2)1(2 n n n n

数学分析简明教程答案数分6_不定积分

第六章 不定积分 在不定积分的计算中,有很多方法是机械性的:有很多固定的模式和方法,还有一些常用的公式。在本章里使用的积分公式除了课本161页给出的10个常用公式外,还有6个很有用的式子,罗列如下: 22 22 2211.ln ;212.arctan ;3.arcsin ; 4.ln ; 5.ln ; 26.arcsin . 2dx x a C x a a x a dx x C x a a a x C a x C a x C a x C a -=+-+=++=+=+=+=+? ? 这六个公式在答案中的使用次数很大,使用的时候没有进行说明,敬请读者仔细甄别。当然答案计算过程中不免有不少错误,敬请原谅并修改。 第一节 不定积分的概念 1.求下列不定积分: 33 5 3 64642 2112111(1)(. 4643*4646 x x dx x x x C x x x C +-=+-+=+-+? 3341 (2)(5)(5)(5)(5). 4 x dx x d x x C -=---=--+?? 11421131 3333222223 (3)(32)63.34dx x x x x dx x x x x C --=+++=++++?? 2242 4242 422 311111(4)()()(1)1111 arctan . 3 dx x x dx dx dx dx x x dx x x x x x x x x x x C ------=+=+=-+++++=-+++??????

22 233(5)(3)33arctan .11x dx dx x x C x x =-=-+++?? 113 2222 (6)().3x x dx x C -=+=+? (7)(2sin 4cos )2cos 4sin .x x dx x x C -=--+? 22 1 (8)(3sec )(3)3tan .cos x dx dx x x C x -=- =-+?? 222 22sin 3cos 1 (9)(tan 3)(2)tan 2.cos cos x x x dx dx dx x x C x x ++==+=++??? 22222sin 3cos (10)3tan .cos cos x x dx dx x x C x x +-==-+?? 2 22sin tan 11 cos (11)(cos ).cos cos cos cos sin 22 x x x dx dx d x C x x x x x ==-=+-??? 22cos 2cos sin (12)(cos sin )sin cos . cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--??? 2221 (13)tan .1cos 21cos sin 2cos 2 dx dx dx x C x x x x ===+++-? ?? 22 252(14)(51)(52*51)5. 2ln 5ln 5x x x x x dx dx x C +=++=+++?? 121(15)(2()). 35ln 2ln 335 x x x x x x e e dx C +-=--+? (16)(1( . x x x x e dx e dx e C -=-=-?? 221 (17)(cos sin 2arctan arcsin . 14 x dx x x x C x - =--++? 1 137 2 4 4 44(18). 7x x dx x dx x C ===+ ?? 2 12(19)2312.ln12 x x x x dx dx C ==+?? 3 (20)sin )sin )arcsin cos .2 x dx x dx x x C +=+= -+??

工科数学分析教程上册最新版习题解答9.3

9.3典型计算题3 试解下列微分方程. 1.222'xy xy y =+ 解:令1-=y z ,两端同乘2)1(--y 得,x xy dx dy y 2)1(2)1()1(12 -=-+--- 即 x xz dx dz 22-=-, )())2((22222c e e c dx e x e z x x xdx xdx +=+?-?=--? 即 211x ce y +=- 2.2322'3x y y xy =- 解:23132'-=-xy y x y , 令 3y z =, 两端同乘 23y 得,x z x dx dz =-2 )(ln )(222 c x x c dx xe e z dx x dx x +=+??=?-, 即 )(ln 23c x x y += 3.222'x e y xy y =+ 解:令z y z -=1, 11-=-n , 2)1(2)1('x e xz z -=-+ )())1((2222x c e c dx e e e z x xdx x xdx -=+?-?=-?, 即)(21x c e y x -=- 4.x x e y ye y 22'=- 解:设y z =,211=-n ,)2)2 11(()2(211(221?+?-?=---c dx e e e z dx e x dx e x x 1-=x e ce 即 x e ce y =+1 5.x y x y x y cos ln '21-=+ 解:1ln 2cos ln 21'-=+y x x y x x y , 令21,2=-=n y z )ln cos (ln 1ln 1c dx e x x e z x x x x +??=?---)(sin ln 1c x x +=,即)(sin ln 12c x x y += 6.x y x y x y 23sin cos sin '2=+ 解:3sin 2 1sin 2cos 'y x y x x y ?=+, 令231--==y y z ))sin ((cot cot c dx e x e z xdx xdx +?-? =?-)(sin x c x -=, 即 )(sin 2x c x y -=-

大连理工大学《工科数学分析基础》上学期复习.docx

高等数学 第一章函数、极限与连续 一、函数 1. 函数分类 隐函数 F(x, y) = 0; Vx + 77 = 4ci 参数方程表示的函数= 类型分类{ [y = y (O 积分上限函数 y = [/a )力y = J ::/(/)d/ 抽象函数 y = /(兀) 歹=/(0(劝) 研究函数的主要问题: 初等性质:单调性、有界性、奇偶性、周期性。 分析性质:极限、连续性、可微性、 2. 例题(仅限于对应) 引例 = 求 /(/(x)) I +X 解 = 77771 = —^ 1 + /(力 i +丄 1 + X 解?)Ty (:鳥 /(X)= < 兀v 0 x>0 , 求 /(/(x)) o 初等函数 概念分类< 分段函数 /(-V ) sin 血 /(兀)=1 m ? x sin — x 兀HO 可积性

例 2 f(x) = e x ~, /(^(x)) = 1 - x ,且(p{x) > 0 ,求卩(兀),并写出定义域。 解 f((p(x)) = (v) = 1 -x, (p(x) = Jln(l-兀) l-x>l=>x\ 3.设 = 则 /(/(/?)) =(B) 〔0 |x|>l 1 + x v 0 x< 0 l-x<0 2 + x x<-l x>0 2-x x> 1 l+x>0— —x —15兀vO x<0 x 00 x>0 l + (l + x) 1 + (1 — 兀) 1 — (1 + 兀) l-(l-x) 2. 设〃) = ]: X~ 4-X 则 /(-x) = (D) x > 0 -x 2 x<0 (A) f(-x) = ° [-(x~ + x) % > 0 {x 2 x<0 (C )/(-x) = ] [x -x x > 0 (B) f(x)= (D) /(x) = —(f + x) -X 2 x 2 - X X 2 x<0 x>0 x< 0 兀no

数学分析简明教程第二版第二章课后答案

第二章 函数 §1 函数概念 1.证明下列不等式: (1) y x y x -≥-; (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121; (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ . 证明(1)由 y y x y y x x +-≤+-=)(,得到 y x y x -≤-, 在该式中用x 与y 互换,得到 x y x y -≤-,即 y x y x --≥-, 由此即得,y x y x -≥-. (2)当2,1=n 时,不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤,显然成立. 假设当k n =时,不等式成立,即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121,则当 1+=k n 时,有 1 211211 21121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 有数学归纳法原理,原不等式成立. (3)n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ . 2.求证 b b a a b a b a ++ +≤ +++111. 证明 由不等式 b a b a +≤+,两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得, )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++, 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a ++ +≤ +++ ++= +++≤ +++111111.

知到全套答案工科数学分析下提高版2020章节测试答案.docx

知到全套答案工科数学分析下提高版2020 章节测试答案 问:“一带一路”重大倡议首次写入联合国大会决议是在() 答:2016年 问:具备()素质的创业者往往能够在创业的过程中先拔头筹。 答:把握机遇 问:有一分数序列: 2/1 , 3/2 , 5/3 , 8/5 , 13/8 , 21/13 ,…求出这个数列的前 20 项之和。 答:略 问:孔子主张“克己复礼”的修养方法,要求我们做到() 答:非礼勿视非礼勿听非礼勿言非礼勿动 问:当气压降低时,水的沸点随之()。 答:降低 问:毛泽东指出:“反对主观主义以整顿党风,反对宗派主义以整顿学风,反对党八股以整顿文风,这就是我们的任务。” 答:× 问:“一带一路”建设不是另起炉灶、推倒重来,而是实现战略对接、优势互补,以下属于“一带一路”建设中中国与其他国家实现规划对接的项目是() 答:越南提出的“两廊一圈” 哈萨克斯坦提出的“光明之路” 波兰提出的“琥珀之路” 俄罗斯提出的欧亚经济联盟

问:X射线由德国物理学家()于1895年发现。 答:伦琴 问:《红楼梦》模仿明清传奇用()开场的惯例,开幕的时候,两个人物出来对话,预报整个剧情。 答:副末 问:以下体现为归因的一致性和共同性的是()。 答:讲秩序的人通常是遵守规则的人 问:共建“一带一路”不仅是经济合作,而且是完善全球发展模式和全球治理、推进经济全球化健康发展的重要途径。 答:正确 问:()是社会主义核心价值体系的内核。 答:社会主义核心价值观 问:计算理论是研究用计算机解决计算问题的数学理论,有3个核心领域,但不包括()。(5.0分) 答:抽象理论 问:1931年8月,鲁迅邀请谁从木刻的起稿、用刀、刻法、拓印、套版等问题做了深入讲授?()。 答:内山嘉吉 问:社会学恢复重建后,费孝通说:“我认为社会学最根本的任务是要解决一个生活在社会里的人,怎样学会做人的问题。”这是指社会学的() 答:教育功能 问:《红楼梦》的哪些设定体现了隐喻方法? 答:人名地名正邪对比男女对比阴阳互转 问:细菌性食物中毒的特点?

大连理工大学《工科数学分析基础》级数复习.docx

第九讲无穷级数 9.1级数的知识框架 9.1.1级数的概念与性质 8 1. “[+"2+如+…=工知叫做无穷级数 n=l OO 称无穷级数为知收敛 /?=! 3?性质 1) 工知收敛到则工kun 收敛到上$. n=l n=l 8 8 OO 2) v “收敛到则级数工(知士儿J 收敛到s±(y. /:=! n=\ /:=! 3) 在级数屮去掉,加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性. 4)如果级数工知收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数 n=l (旳 +???+知)+ (叫+1 +???+%) + ??? + (%” +???+%)+??? ⑷ 仍收敛,且其和不变. 9.1.2数项级数 '大收=小收,小发n 大发 极限形式 1?正项级数< 比值法:恤经? = q,g v 1收,q>l 发 、” a n 根植法:lim 甄 ijvl 收,/>1发 积分法:『f(x)dx,Xf(n)同时敛散 2. 片=y w,称为部分和,若lim 片 5) Z n=\ 知收敛,则lim 血 口 T8 =0.

9.1.3函数项级数 收敛半径内绝对收敛 “t 也+』 1. 幕级数 求和 和函数在收敛域内连续,逐项可积, 函数展开成幕级数 2. 付氏级数狄利克雷收敛定理 要求总体理解概念,重点掌握幕级数 9. 2例题 例1判别下列说法正确与否 1) 数列{%}与级数工①同吋收敛或同吋发散; //=1 oo oo oo 2) £色收敛,£仇发散,则£(匕+仇)发散; n=l n=\ n=\ 8 8 OO 3) 丫色发散,工仇发散,则工g+仇)发散; n=l /?=! /?=! 4)工X 收敛,工乞收敛,则丫(色仇)收敛; 71=1 /; = ! 7? = 1 5)工色发散,工仇发散,则工(%仇)发散; n=l //=! ”=1 6)工色收敛’则工尤收敛; 71 = 1 ,1=1 7)工Q ;收敛,则工色收敛; n=l //=! 2. 任意项级数2 任意项级数 绝对收敛,条件收敛 柯西收敛准则 逐项可微

数学分析简明教程第二版第二篇课后答案

第二章 函数 §1 函数概念 1.证明下列不等式: (1) y x y x -≥-; (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121; (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ . 证明(1)由 y y x y y x x +-≤+-=)(,得到 y x y x -≤-, 在该式中用x 与y 互换,得到 x y x y -≤-,即 y x y x --≥-, 由此即得,y x y x -≥-. (2)当2,1=n 时,不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤,显然成立. 假设当k n =时,不等式成立,即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121,则当1+=k n 时,有 有数学归纳法原理,原不等式成立. (3)n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ . 2.求证 b b a a b a b a +++≤+++111. 证明 由不等式 b a b a +≤+,两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得, )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++, 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++111111. 3.求证 2 2),max (b a b a b a -++=;

2 2),min(b a b a b a --+=. 证明 若b a ≥,则由于b a b a -=-,故有 22),max (b a b a a b a -++==,2 2),min(b a b a b b a --+==, 若b a <,则由于)(b a b a --=-,故亦有 22),max (b a b a b b a -++==,2 2),min(b a b a a b a --+==, 因此两等式均成立. 4.已知三角形的两条边分别为a 和b ,它们之间的夹角为θ,试求此三角形的面积)(θs ,并求其定义域. 解 θθs i n 2 1)(ab s =,定义域为开区间),0(π. 5.在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱,试将圆柱的体积表为其高的函数,并求此函数的定义域. 解 设内接圆柱高为x ,则地面半径为42 2 x r r -=',因而体积 )4(2 2 2x r x x r V -='=ππ, 定义域为开区间)2,0(r . 6.某公共汽车路线全长为km 20,票价规定如下:乘坐km 5以下(包括km 5)者收费1元;超过km 5但在km 15以下(包括km 15)者收费2元;其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数,并作出函数的图形. 解 设路程为x ,票价为y ,则 函数图形见右图. 7.一脉冲发生器产生一个三角波.若记它随时间t 的变化规律为)(t f ,且三个角分别有对应关系0)0(=f ,20)10(=f ,0)20(=f ,求)200()(≤≤t t f ,并作出函数的图形. 解 ? ??≤<-≤≤=.2010,240,100,2)(t t t t t f 函数图形如右图所示. 8.判别下列函数的奇偶性:

工科数学分析基础

工科数学分析基础 2019年工科数学分析基础(微积分)试题 一、填空题 (每题6分,共30分) 1.函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2 x x e x bx a x f bx ,=-→)(lim 0 x f x ,若函数)(x f 在0=x 点连续,则b a ,满足 。 2.=?? ? ??+∞→x x x x 1lim , =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3.曲线???==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ,切线方程为 。 4.1=-+xy e y x ,=dy ,='')0(y 。 5.若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ,则=a ,=b 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1.当0→x 时,1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小,则( ) (A )32= a , (B )3=a , (C). 2 3 =a , (D )2=a 2.下列结论中不正确的是( ) (A )可导奇函数的导数一定是偶函数; (B )可导偶函数的导数一定是奇函数; (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数; (D )可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数; 3.设x x x x f πsin )(3-=,则其( ) (A )有无穷多个第一类间断点; (B )只有一个跳跃间断点; (C). 只有两个可去间断点; (D )有三个可去间断点; 4.设x x x x f 3 )(+=,则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为( )。 (A )1 (B )2 (C) 3 (D )4 5.若0)(sin lim 30=+→x x xf x x , 则2 0) (1lim x x f x +→为( )。

08-09工科数学分析试卷及答案

1 哈尔滨工业大学(威海)2008/2009学年 秋季学期 工科数学分析 (A 班) 试题卷(A )(答案) 考试形式(闭卷):闭 答题时间:150 (分钟) 本卷面成绩占课程成绩 70 % 一、填空题(每题2分,共20分)(不填题首答案按零分处理) 答案:1. e 31 2. 1- Ⅱ 3. 2 1 ,1 4. 2 2) 1(t t e t - 5. 632=-+z y x 6. 3 3 7. C x x x ++----13tan 2tan 3 1 8. 221211 23f f f ''+''+'' 9. 16 1 - 10. 1 1.=++++++∞ →3 2 3 1 323)1ln(lim n n e n n e n n n 2.1 15 +-=x x y 的间断点是=x ,且是 类间断点。 3.已知0]1[lim 2 =--+++∞ →b ax x x x ,则=a ,=b 4.已知:???=+=t e y t x 12,则=22dx y d 5.曲面6322 22=++z y x 在点)1,1,1(-M 处的切平面方程为 教研室主任签字: 第1 页(共 12 页) 姓名: 班级: 学号:

2 6.函数)0(>=z z u xy 沿2 1P P =l 的方向导数=??1 P u l ,其中 21,P P 分别为)1,1,1(与)2,2,2(。 7. ?=x x dx 24cos sin 8.设),(),2,(v u f y x y x f z ++=有二阶连续偏导数,则=???y x z 2 9.? == 1 3ln xdx x I 10.设R x xe y x ∈=-,1,则=∈y R x max 二、选择题:(每题2分,共20分)(不填题首答案按零分处理) 答案: 1.设n n x x x f 211lim )(++=∞→ ,则( )成立。 (A )有间断点1=x ; (B )有间断点1-=x ; (C )有间断点0=x ; (D )无间断点 2.关于函数??? ??<≥=-1,11,)(2 2x e x e x x f x 在1±=x 两点处的连续性与可导性为( ) (A )在1±=x 处连续但不可导; (B )在1±=x 处可导 ; (C )在1=x 可导,在1-=x 处不可导 ; (D )在1=x 不可导,在1-=x 处可导。 3.设)2()(x x x f -=,则( ) (A )0=x 是)(x f 的极值点,但)0,0(不是曲线)(x f y =的拐点; 第3 页(共 12 页) 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范

数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

第五章 微分中值定理及其应用 第一节 微分中值定理 331231.(1)30()[0,1]; (2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c -+=++=-+=<∈=-+证明:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。 证明:设在区间内方程有两个实根,即有使得函数 值为零012023(,)[0,1],'()0. '()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈?==---+=≤=>++=。那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。 当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021 01011 0202()0 (,),(,),'()'()0,'()0 (*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==?=+=??=+=?? 使得函数 成立。那么由罗尔定理可知存在使得即 001022 0000102), (,),''(0)0,''()(1)0, 0,0,0. 2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即 显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。 当时,设方程12341112122313341112131 11110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(n n x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x -=<<<=++=∈∈∈====+=有三个实根,即存在实数使得函数成立。那么利用罗尔定理可知存在 使得即有 1 12121 131321111222121321222 21212 2222212)0, '()0 (,),(,)''()''()0,''()(1)0 .''()(1)0 212,n n n n nx p f x nx p x x x x x x f x f x f x n n x f x n n x n k x x ----??=+=??=+=?∈∈==?=-=??=-=??=+>= 于是就存在使得即 由于于是此时必有221111222121321220;(,),(,),,0(,,)n x x x x x x x x n x px q n p q =∈∈<++=但是由于可知必有 出现了矛盾。 因此当为奇数时,方程为正整数为实数至多有三个实根。

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