线性代数教案
线性代数
课程教案
学院、部
系、所
授课教师
课程名称线性代数
课程学时45学时
实验学时
教材名称
年月日
线性代数课程教案
授课类型 理论课 授课时间 3 节
授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换
本授课单元教学目标或要求：
1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法
设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……
最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++ 。
2. n 阶行列式
121211
1212122212()
1
2(1)n n n
n t p p np p p p n n nn
a a a a a a D a a a a a a =
=
-∑
其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列
12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用
1112
112212212122
a a D a a a a a a =
=-
11
1213
21
222311223312233113213231
32
33
132231122133112332
a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---
重点和难点：理解行列式的定义
行列式的定义中应注意两点：
(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。由排列知识可知，D 中这样的
乘积共有!n 项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(1)t -，t 为排列12()n p p p 的逆序数，
即当12n p p p 是偶排列时，对应的项取正号；当12n p p p 是奇排列时，对应的项取负号。
综上所述，n 阶行列式D 恰是D 中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。
例：写出4阶行列式中含有1123a a 的项。
解：11233244a a a a -和11233442a a a a 。
例：试判断142331425665a a a a a a 和324314512566a a a a a a -是否都是6阶行列式中的项。
解：142331425665a a a a a a 下标的逆序数为()4312650122016τ=+++++=，所以142331425665a a a a a a 是6阶行列式中的项。
324314512566a a a a a a -下标的逆序数为(341526)(234156)538ττ+=+=，所以324314512566a a a a a a -不是6阶行列式中的项。
例：计算行列式0
0010
020********
D =
解：0123(1)123424D +++=-???=
本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合
首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。
通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。
本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6)
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式
§5 行列式的性质
§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则
本授课单元教学目标或要求： 1． 知道n 阶行列式的性质。
2． 知道代数余子式的定义和性质。
3． 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n 阶行列式。 4． 知道克拉默法则。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：
1. 行列式的性质
(1) 行列式D 与它的转置行列式T
D 相等。 (2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。
(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式；或者行列式的
某一行（列）的各元素有公因子k ，则k 可提到行列式记号之外。
(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。
(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。
(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列
式的值不变。
2. 行列式的按行（列）展开
(1) 把n 阶行列式中(,)i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后所成的1n -阶行列式称为(,)i j 元ij a 的
余子式，记作ij M ；记(1)
i j
ij ij A M +=-，则称ij A 为(,)i j 元ij a 的代数余子式。
(2) n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第
i 行展开：
1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++= ； 或可以按第j 列展开：
1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++= .
(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
11220,i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ ， 或
11220,i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠ .
3. 克拉默法则
含有n 个未知元12,,n x x x 的n 个线性方程的方程组
1111221121122222
1122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=? 当12,,,n b b b 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。
(1) 如果方程组的系数行列式0D ≠，那么它有唯一解：(1,2,,)i
i D x i n D
=
= ，其中(1,2,,)i D i n = 是把D 中第i 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n 阶行列
式。
(2) 如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式0D =。
(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零
解，那么它的系数行列式必定等于零。
用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。
克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
4. 一些常用的行列式
(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即
11
12111222212211221
2n n
nn nn
n n nn a a a a a a a a D a a a a a a a =
=
=
特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即11
22
1122nn nn
a a D a a a a =
=
.
类似地，1(1)2,1
2
12,111
(1)
n
n n n n n n n a a D a a a a ---=
=- .
(2) 设11111
k
k kk a a D a a =
，11121n
n nn
b b D b b = ，则
111112*********k k kk k n n nk
n nn
a a a a D D D c c
b b
c c b b =
=
.
(3) 范德蒙（Vandermonde ）行列式
1
2
2
221212
1
1
11
12111(,,)()n
n n n i j n i j n n n n
x x x V x x x x x x x x x x x ≥>≥---==
-∏
计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列
式的值。
重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。
例：课本P.12例7—例9
例：课本P.21例13
例：课本P.25例16
本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合
以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题
问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。
本授课单元思考题、讨论题、作业：
§5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5) §6 P.26 5 (4)，7 (3) (6) §7 P.28 8(1)，9
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 §2 矩阵运算 §3 逆矩阵 §4 矩阵分块法 本授课单元教学目标或要求：
掌握矩阵的定义,矩阵的加减法\数乘\转置\矩阵求逆\矩阵的行列式\分块矩阵等运算,了解矩阵 多项式运算
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3次课完成,第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲: §3逆矩阵;第三讲: §4矩阵分块法 第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算; 基本内容:§1 矩阵:
一 矩阵的定义,
定义1 由M ×N 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表
mn
m m n
n a a a a a a a a a 2
1222
2111211 称为m 行n 列矩阵,简称
M ×N 矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表
示它,记作
?
????
????
???mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211
这M ×N 个数称为菊阵A 的元素,简称为元,数ij a 位于矩阵A 的第i 行j 列,称为矩阵A 的(I,J)元,以数
ij a 为(I,J)元的矩阵可简记为)(ij a 或n m ij a ?)(,M ×N 矩阵A 也记着n m A ?.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵
行数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵, n 阶矩阵A 也记作n A . 只有一行的矩阵 )(21
n a a a A =
称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作
),,,(21n a a a A =
只有一列的矩阵
????
??
? ??=n b b b A 21
称为列矩阵,又称为列向量.
两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A=)(ij a ,B=)(ij b 是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即
n j m i b a ij ij ,2,1,,,2,1(===),
那么就称矩阵A 与矩阵B 相等,级作
A=B
元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.
§2 矩阵的运算
一 矩阵的加法
定义2 设有两个n m ?矩阵A=)(ij a 和B=)(ij b ,那么矩阵A 与B 的和记着A+B,规定为
?
??????
??
???+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a
2
21
12222
2221
211112121111
两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.
矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C 都是n m ?矩阵): (i ) A+B=B+A;
(ii )(A+B)+C=A+(B+C)
A=)(ij a 的负矩阵记为 -A=)(ij a -
A+(-A)=O 规定矩阵的减法为
A-B=A+(-B)
二 矩阵的数乘
定义3 数λ与矩阵A 的乘积记作A λ或λA ,规定为
?
????
???????=mn m m n n a a a a a a a a a A λλλλλλλλλλ
2
1
222
21
11211
矩阵数乘满足下列运算规律(设A,B 为n m ?矩阵,μλ,为数): (1) )()(A A μλλμ=; (2) A A A μλμλ+=+)( (3) B A B A λλλ+=+)(
重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.
三 矩阵乘矩阵
定义4 设A=(ij a )是一个s m ?矩阵,B=(ij b )是一个n s ?矩阵,那么矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ?矩阵C=(ij c ),其中
)
,,2,1;,,2,1(1
2211n j m i b a b a b a b a c s
k kj
ik sj is j i j i ij ===+++=∑=
把此乘积记为 C=AB 且有
=????
?
?
? ??sj j j is i i b b b a a a 2121),,,(ij s
k kj ik sj is j i j i c b a b a b a b a ==+++∑=12211 例4 求矩阵
A=???? ??-20121301与????
??
?
?
?-=4311102
311
014B 的乘积
解 C=AB=???? ??-20121301?????
?
?
?
?-4311102
311
01
4
=???
?
??--1199129
例5 求矩阵
A=????
??--2142与B=?
??
? ??--6342
的乘积AB 与BA 解 AB=?
???
??--2142???? ??--6342=???? ?
?--1683216 BA=????
??--6342
???? ??--2142=???
? ??0000AB ≠ 对于两个n 阶方阵A,B,若AB=BA,称方阵A 与B 可交换
从上面等式可以得出结论:若O A ≠而0)(=-Y X A 也不能得出X=Y 的结论 矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律
(1) (AB)C=A(BC)
(2) λλλλ)
()()(B A B A AB ==为数
(3) A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
对于单位矩阵E,有
n m n n m n m n m m A E A A A E ????==, 即:
EA=AE=A
特殊矩阵: 1 单位矩阵;
E=???
?
???
?
?10001
0001
2 数量矩阵
=E λ???
?
??
?
?
?λλ
λ 000000
3 对角矩阵
??
??
??
?
?
?nn a a a 0
000
002211 4 ;三角矩阵
???????
??nn n n a a a a a a 0000
22211211
或??
??
?
??
??nn n n a a a a a a
2
1
2221
11
000 可以得到:
)()(n n n n n E A A A E λλλ==
表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为
kl l k l k l k A A A A A A A A A A ====+)(,,,1121 其中k 为正整数
例6 证明
???
?
??-=???? ??-??????
??n n n n n
c o s s i n s i n c o s c o s s i n
s i n c o s
证 用数学归纳法,1=n 时显然成立,设n =k 时成立,即 ???
?
?
?-=???? ??-??
??
????k k k k k
cos sin sin cos cos sin sin cos
当1+=k n 时,有
???? ??-=???? ??-+????????k k k k k cos sin sin cos cos sin sin cos 1????
??-????cos sin sin cos =????
??-+---????????????????sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos k k k k k k k k
=???
?
??+++-+????)1cos()1sin()1sin()1cos(k k k k
等式得证.
四 矩阵的转置
定义5 把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T
A
A=??
???????
???mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211.则=T A ?
?
???
?
?
?????mn n n m m a a a a a a a a a 212221212111
A 的转置也是一种运算,满足 (1) A A T
T =)(
(2) T
T T B A B A +=+)( (3) T
T A A λλ=)(
(4) (AB)T
T
T
A B =
证明(4) 设s m ij a A ?=)(,B=n s ij b ?)(,记m n ij T T n m ij d D A B c C AB ??====)(,)(,有
∑==
s
k ki
jk ji b a
c 1
而T
B 的第i 行为),,,(21si i i b b b ,T
A 的第j 列为T
js j a a ),,(1 ,因此
∑∑====s
k ki jk s k jk ki ij b a a b d 1
1
),,2,1;,,2,1(m j n i c d ji
ij ===
有
T
T
T
AB A B )(=
例7 已知
?
???
??-=231102A ,B=?
???
? ??-102324171 求T AB )(
解 因为
=AB ???? ??-231102????
?
??-102324171=???
? ??-1013173140
所以
?????
??-=1031314170)(T
AB
若A 是n 阶方阵,如果满足A A T
=,即
),,2,1,(n j i a a ji ij ==
那么A 称为对称矩阵.
例 设列矩阵X=T n x x x ),,,(21 满足1=X X T
,E 是n 阶单位阵,T
XX E H 2-=,证明H 是对称矩阵,且E HH
T
=
证 T T T XX E H )2(-=
H
XX E XX E T
T T =-=-=22
所以H 是对称矩阵.
T
HH ==2
H 2)2(T XX E - =T
XX E 4-+))((4T T XX XX =T XX E 4-+))(4T T X X X X =T
XX E 4-+T
XX 4=E 五 方阵的行列式
定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A 的行列式,记作A 或
A det
.
A 满足下列运算规律(A,
B 为n 阶方阵,λ为数)
(1) A A T
=
(2)
A A n λλ=
(3) B A AB =,且BA AB =
例9 行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵
??
?
?
?
?
?
??nn n n n n A A A A A A A A A 212221212111
称为A 的伴随矩阵,试证
E A A A AA ==**
证明 设)(ij a A =,记)(ij b AA =*,则
ij jn in j i j i ij A A a A a A a b δ=+++= 2211 故 )()(E A A A AA ij ij ===*δδ 类似有
)())((
1
E A A A a A
A A ij ij n
k kj ki
===∑=*
δδ
本授课单元教学手段与方法：
讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习 提高学生运算的准确率.
本授课单元思考题、讨论题、作业： P53:3.4(1),(2);(3),(4)
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”
部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
第二讲: §3逆矩阵 基本内容: §3 逆矩阵
定义7 对于n 阶矩阵A,如果有一个n 阶矩阵B,使 E BA AB ==
则说矩阵A 是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵,简称逆阵.记为1
-A 如果A 可逆,则A 的逆阵是唯一的.因为:设B,C 都是A 的逆阵,则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 定理1 若矩阵A 可逆,则0≠A 证 A 可逆,即有1
-A ,使E AA
=-1
,故11==-E A A 所以0≠A .
定理2 若0≠A ,则矩阵A 可逆,且 *
-=
A A
A
11
其中*
A 为A 的伴随矩阵. 证 由例9可知
E A A A AA ==*
*
所以有
E A A A
A A A
==*
*11 按照逆矩阵的定义知A 可逆,且有 *
-=
A A
A
11
当0=A 时称A 为奇异矩阵,否则称A 为非奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵.
推论 若)(E BA E AB ==或,则1
-=A B 证 1==?E B A ,故0≠A ,因而1-A 存在,有
1
111)()(----=====A E A AB A B A A EB B 逆阵满足下列运算:
(1) 若A 可逆,则1
-A 也可逆,且A A =--1
1)
(.
(2) 若A 可逆,,数0≠λ,则A λ可逆,且()
11
1
--=
A A λ
λ
(3) 若A,B 为同阶矩阵且可逆,则AB 也可逆,且
111)(---=A B AB
证 E AA AEA A BB A A B AB ====------111111)())((,由推论有: 111)(---=A B AB (4) 若A 可逆,,,则T
A 也可逆,且T T A A )()(11--= 证
E E A A A A T T T T ===--)()(11,由推论有: T T A A )()(11--=
当0≠A 时,定义
T T A A )()(11--= k k A A E A )(,10--==,k 为正整数 这样,当0≠A ,μλ,为整数,有
λμμλμλμλA A A A A ==+)(,
重点,难点:逆矩阵的求法.定理2说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下一章里还有更简单的求逆方法.
例10 求二阶矩阵???
?
??d c b a 的逆阵. 解 bc ad A -=,????
??--=*a c
b d
A , 当0≠A 时,有 bc
ad A -=
-11
???
? ??--a c b d 例11 求方阵
???
?
? ??=343122321A
的逆阵.
解 2=A ,知A 可逆,A 的余子式
2
,5,42,6,62
,3,2333231232221131211-=-=-=-=-=-====M M M M M M M M M 得
????
?
??----=?????
??----=*2225634623323
13
322212
312111M M M M M M M M M A
所以
?????? ?
?---
-==*-111
2532323
1
11
A A A
例12 设
=A
????? ??343122321,?
???
?
??=???? ??=130231,3512C B
求矩阵X 使其满足
C AXB = 解 若11,--B A 存在,有
1
-A
111---=CB A AXBB
即
=X 1
1--CB A =???
??? ??---
-11125323
23
1????
?
??130231???? ?
?--2513
=????? ??-202011???? ?
?--2513=????
?
??---41041012 例13 设P=,,2001,4121Λ=?
??
? ??=Λ????
??P AP 求n
A 解 ???
?
??--==-112421,21
P P 1
1
2
2
1
,,,---Λ=Λ=Λ=P P A P P A P P A n
n
而 =Λ???? ??2001,???
? ??=Λ???? ??=Λn n
2001,,200122 所以
1
-Λ=P P A n
n
=???? ??--????? ?????? ??11242120014121n ???
?
??--???? ??=++112421212121n n
???
?
??----=???? ??----=++++++12221222222
42224211
122
11
n n n n
n n n n
定义 设
m m x a x a x a a x ++++= 2210)(φ 为x 的m 次多项式,A 为n 阶矩阵,记
m m A a A a A a E a A ++++= 2210)(φ
)(A φ称为矩阵A 的m 次多项式.,可证矩阵A 的两个多项式()A φ和()A f 是可交换的,即有
()()()()A A f A f A φφ=
A 的多项式可以象数x 的多项式一样相乘或分解因式.例如
3
2
3
233)(2)2)((A
A A E A E A A E A E A E -+-=--+=-+
容易证明 (1) 如果
1-Λ=P P A ,则1-Λ=P P A k k ,从而
)(A φm m A a A a A a E a ++++= 2210
11221110----Λ++Λ+Λ+=P Pa P Pa P Pa EP Pa m m 1
)(-Λ=P P φ
(2) 如果 ),,,(21n d i a g λλλ =Λ为对角阵,则),,,(21k
n k k k diag λλλ =Λ,从而
m m a a a E a Λ++Λ+Λ+=Λ 2210)(φ
??
????
?
?
?++??
??
?
??
?
?+??
?
?
?
??
??=m n m m
m n a a a λλλλλλ
2
12
110111
????
?
?
?
??=)()()(21n λφλφλφ
本授课单元教学手段与方法：
讲授为主,练习为辅,通过逆矩阵的定义及定理2的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告 知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵 本授课单元思考题、讨论题、作业： P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
第三讲: §4矩阵分块法 基本内容:§4 矩阵分块法
. 对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为A 的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称 为分块矩阵.
例 将43?矩阵
????
?
??=3433
32
31
24232221
14131211a a a a a a a a a a a a A 可以分块为
(1) ???
??
??3433
32
31
24232221
14131211
a a a a a a a a a a a a (2) ???
?
? ??3433
32
31
242322
2114131211
a a a a a a a a a a a a (3) ????
? ??3433
32
31
2423222114131211
a a a a a a a a a a a a 分法(1)可记为
????
??=22211211
A A A A A 其中 ???? ??=22211211
11a a
a a A ,???
?
??=2423141312a a a a A ()3231
21a a A =,()343322a a A =
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似,满足:
(1) 设矩阵A 与矩阵B 的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有
????? ??=sr s r A A A A A
1111,?
??
?? ??=sr s r B B B B B 1
111 其中,ij A 与ij B 的行数相同,列数相同,那么
?
??
?? ??++++=+sr sr s s r r B A B A B A B A B A 11
111111 (2) 设?
??
?? ??=sr s r A A A A A
1
111,λ为数,那么
?
??
?? ??=sr s r A A A A A λλλλλ
1
111 (3) 设A 为l m ?矩阵,B 为n l ?矩阵,分块成
????? ??=st s t A A A A A 1111,?
????
??=tr t r B B B B B 1
111
其中it i i A A A ,,21的列数分别等于tj j j B B B ,,21的行数,那么
=AB ????
? ??sr s r C C C C 1111
其中 ),,1;,,1(1
r j s i B A
C t
k kj
ik
ij ===
∑=
重点,难点: 分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵,对角阵的高阶,一般做四块分且尽量分出单位阵,零矩阵..
例14 设
??????
?
?
?---=???????
?
?-=02
111401102101
01,10
1101110010
0001B A 求AB
解 把A,B 分块成
???
?
??=?????
?
?
?
?---=???? ??=??????? ??-=222111
102
111401102
101
01,1011012100100001B B E B B E A O E A 则 =AB ???? ??E A O E 1???? ??222111B B E B =?
??? ??
++2212111111B A B B A E B 而 21111B B A +=????
??-1121???? ??-2101+???? ??--1101=?
???
??--1142 221B A +=???? ??-1121+???
?
??=???? ??13330214
所以 ????
??
? ??---=13113
34210210101AB (4) 设?
????
??=sr s r A A A A A
1111,则????? ??=T sr T r
T s T
T
A A A A A 1111
(5) 设A 为n 阶矩阵,若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且在对角线 上的子块都是方阵,即
?
?????? ?
?=s A O O O A O O O A A
2
1 其中),2,1(s i A i =都是方阵,称A 为分块对角矩阵.
分块对角矩阵的行列式有下列性质:
s A A A A 21= 若),2,1(s i o A i =≠,则0≠A ,并有
????
?
??
?
?=----11
2
111
s A O
O O A O O O
A A
例15 设????
? ??=120130005A ,求1
-A
解 ???? ?
?=?????
??=2100120130005A A A , ???? ??--=???? ??=??? ??==--3211,1213,51),5(1221
11A A A A ??????
?
??--=-32011000511
A
对矩阵进行按行分快或按列分块:
n m ?矩阵A 有m 行,称为矩阵A 的m 个行向量,若第i 行记作
),,,(21in i i T i a a a =α
则矩阵A 记为
???
?
??
? ??=T m T T A ααα 21 n m ?矩阵A 有n 列,称为矩阵A 的n 个列向量,若第j 列记作
????
??
? ??=mj j j j a a a 21α
则 ),,,(21n a a a A =
对于矩阵s m ij a A ?=)(与矩阵n s ij b B ?=)(的乘积矩阵AB=C=n m ij c ?)(,若把行分成m 块,把B
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教案大纲 课程代码：课程性质：专业基础理论课必修 适用专业：工科类各专业总学分数： 总学时数：修订年月： 编写年月：执笔：韩晓卓、李锋 课程简介(中文)： 线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。主要包括：矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。 课程简介(英文)： , . , , . . , , , , , , . 一、课程目的 《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩，矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教案内容及学时分配 (一）教案内容 第一章行列式(学时) 教案内容：
二阶三阶行列式；阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开（定理证明选讲，行列式按某行（列）展开选讲）；克莱姆法则。 本章的重点与难点： 重点：行列式的性质；行列式按一行（列）展开定理；克莱姆法则的应用。 难点：阶行列式的定义的理解；阶行列式计算。 第二章矩阵(学时) 教案内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；奇异阵，伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；本章的重点与难点： 重点：矩阵的运算规律；逆矩阵的性质以及求法； 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；逆矩阵（抽象矩阵的逆矩阵）的求法。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组(学时) 教案内容： 矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。线性方程组的消元解法（消元解法与初等行变换的关系；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件）； 本章的重点与难点： 重点：利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩；利用初等变换求线性方程组的通解。 难点：利用初等变换求线性方程组的通解。
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
线性代数教案设计
线性代数 课程教案 学院、部 系、所 授课教师 课程名称线性代数 课程学时45学时 实验学时 教材名称 年月日 线性代数课程教案
授课类型 理论课 授课时间 3 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 本授课单元教学目标或要求： 1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n 阶行列式的定义。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法 设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； …… 最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++ 。 2. n 阶行列式 121211 1212122212() 1 2(1)n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 12()n p p p 求和。 n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。 3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 1112 112212212122 a a D a a a a a a = =-
线性代数教学大纲
线性代数Ⅰ课程教学大纲 一课程基本情况 课程名称：线性代数。 课程名称（英文）： Linear Algebra。 课程编号：B11071。 课程总学时：40学时（全部为课堂讲授）。 课程学分：2学分。 课程分类：必修，考试课。 开课学期：第3学期。 开课专业：适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业，包括物理学(S)、计算机科学与技术(S)、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。 先修课程：无。 后续课程：大学物理等基础课和各专业相应专业课。 二课程的性质、地位、作用和任务 《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。 三主要容、重点及深度 了解行列式的定义，掌握行列式的性质及其计算。理解矩阵（包括特殊矩阵）、逆矩阵、矩阵的秩的概念。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。理解逆矩阵存在的充要条件，掌握矩阵的求逆的方法。掌握矩阵的初等变换，并会求矩阵的秩。理解n维向量的概念。掌握向量组的线性相关和线性无关的定义及有关重要结论。掌握向量组的极大线性无关组与向量组的秩。了解n 维向量空间及其子空间、基、维数等概念。理解克莱姆（Cramer）法则。理解非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解齐次线性方程组解空间、基础解系、通解等概念。熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。掌握矩阵的特征值和特征向量的概念及其求解方法。了解矩阵相似的概念以及实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。了解向量积及正交矩阵的概念和性质。了解二次型及其矩阵表示，会用配方法及正交变换法化二次型为标准形。了解惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。
线性代数教案
《线性代数》 授课教案 刘思圆 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 1211221 1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -= 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 222 121212221a b a b b a a b = -，2 21 111211211b a b a a b b a = -， 如果记22 21 1211a a a a D = ，22 2 1211a b a b D = ，2 21 1112b a b a D = 则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
线性代数教案
线性代数》 授课教案 刘思圆 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问 题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则) ． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列) 展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则) ．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 本章的重点：行列式性质；行列式的计算 本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 (1) 用加减消元法容易求出未知量x1，x2 的值，当a11a22 –a12a21≠0 时，有 (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2) 这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线) 上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的 对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成
线性代数教案 第一章 行列式
第一章 行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的． 设有二元线性方程组 ???=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法知，当a 11a 22 – a 12a 21≠0时，有：211222112122211a a a a b a a b x --=， 21 12221121 12112a a a a a b b a x --= (2) 这是一般二元线性方程组的公式解．但公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -=为二阶行列式． 它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
线性代数--中国科技大学--典型教案
典型教案 第一章线性方程组的解法 线性方程组就是一次方程组。 先来分析中学数学怎样解二元一次方程组。看它的原理和方法是否可以推广到一般的多元一次方程组。 例1、解方程组 3x+4y=2 (1) 2x-5y=9 (2) 解、用加减消去法消元： 5x(1)式+4x(2)式：23x=46 (3) 2x(1)式-3x(2)式：23y= -23 (4) 由（3）和（4）解出 x=2 ，y= -1。 代入（1），（2）式检验知道它是原方程组的解。 以上解法的基本原理是: 由原方程(1)、(2)分别乘以适当的常数再相加，得到各消去了一个未知数的新方程(3)、(4), 从中容易解出未知数的值来. 将一组方程分别乘以常数再相加，得到的新方程称为原来那一组方程的线性组合。原来那一组方程的公共解一定是它们的任意一个线性组合的解。 新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的线性组合, (1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解. 但反过来, 由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解？这却并不显然。 因此需要将(3)、(4)的解代入(1)、(2)检验。 或者说明(1)、(2)也是(3)、(4)的线性组合。从而由(3)、(4)组成的方程组与原方程组同解. 1.1. 方程组的同解变形 1. 线性方程组的定义 2. 方程的线性组合: 方程的加法 方程乘以常数 方程的线性组合: 将m 个方程分别乘以m 个已知常数，再将所得的m 个方程相加, 得到的新方程称为原来那m 个方程的一个线性组合 容易验证: 如果一组数(c_1,c_2,…,c_n) 是原来那些方程的公共解, 那么它也是这些方程的任一个线性组合的解. 注意: 线性组合的系数中可以有些是0, 甚至可以全部是0. 如果某些系数是0, 所得到的线性组合实际上也就是系数不为0 的那些方程的线性组合。 如果方程组(II) 中每个方程其余都是方程组(I) 中的方程的线性组合, 就称方程组(II) 是方程组(I) 的线性组合. 此时方程组(I) 的每一组解也都是方程组(II) 的解。 如果方程组(I) 与方程组(II) 互为线性组合, 就称这两个方程组等价。此时两
线性代数教案(正式打印版)
线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（） 教学章节第一章第一、二、三节学时2学时 教材和 参考书 1.《线性代数》(第4版)同济大学编 1.教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算； 掌握逆序数的定义, 并会计算； 掌握n阶行列式的定义； 2.教学重点：逆序数的计算； 3.教学难点：逆序数的计算. 1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义 2.时间安排：2学时； 3.教学方法：讲授与讨论相结合； 4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.
基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ? ? ? = + = + 2 2 22 2 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 用消元法,当0 21 12 22 11 ≠ -a a a a时,解得 21 12 22 11 1 21 2 11 2 21 12 22 11 2 12 1 22 1 , a a a a b a b a x a a a a b a b a x - - = - - = 令 21 12 22 11 22 21 12 11a a a a a a a a - =,称为二阶行列式,则 如果将D中第一列的元素 11 a,21a换成常数项1b,2b,则可得到 另一个行列式,用字母 1 D表示,于是有 22 2 12 1 1a b a b D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 21 2 22 1 a b a b-,这就是公 式（2）中 1 x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22换 成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 2 D表示,于是有 2 12 1 11 2b a b a D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 1 21 2 11 b a b a-,这就是公
线性代数作业第四章(2)讲课教案
线性代数作业第四章 (2)
第四章 向量组的线性相关性（二） 1. 判断下列向量集合在向量加法和数乘运算下是否为向量空间，若是向量空 间，试求其维数，并给出一个基． 1) }0,0,,,,),,,,({322154321543211=+=+∈==x x x x x x x x x x x x x x V ，且R α 2) }1,,,),,,({2121212=-∈==x x x x x x x x V n n ，且R α 3) },,){3213322113R ∈++==k k k k k k V αααα，其中)0,1,1(1=α， )1,0,1(2=α，)1,1,2(3=α
2. 已知三维向量空间3R 的一组基)0,1,1(1-=α，)1,0,1(2=α，)1,1,1(3-=α．试 用施密特正交化方法由321,,ααα构造3R 的一组标准正交基． 3. 已知4维向量空间4R 的两个基 (I) ???????====)0,0,1,2()0,0,2,3()3,2,0,0()4,3,0,0(4321αααα, (II) ???????====) 0,1,2,1()2,1,1,2()2,2,1,0()1,0,1,2(4321ββββ 1) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵； 2) 求)4,3,2,1(=α在基(I)下的坐标； 3) 判断是否存在在两组基下坐标相同的非零向量．
4. 已知向量空间3R 的两个基为(I)321,,ααα和(II) 321,,βββ．设3R ∈α在基(I) 与基(II)下的坐标分别为()T 321,,x x x =x ，()T 321,,y y y =y ，且满足 3211x x x y ++=，212x x y +=，13x y =． 1) 求由基(I)变为基(II)的过渡矩阵； 2) 求31ββα+=在基(I)下的坐标．
线性代数教案正式打印版
线性代数教案正式打印 版 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第（1）次课授课时间（）
基本内容备注 第一节二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ? ? ? = + = + 2 2 22 2 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 用消元法,当0 21 12 22 11 ≠ -a a a a时,解得 21 12 22 11 1 21 2 11 2 21 12 22 11 2 12 1 22 1 , a a a a b a b a x a a a a b a b a x - - = - - = 令 21 12 22 11 22 21 12 11a a a a a a a a - =,称为二阶行列式 ,则 如果将D中第一列的元素 11 a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到 另一个行列式,用字母 1 D表示,于是有 22 2 12 1 1a b a b D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 21 2 22 1 a b a b-,这就是公 式（2）中 1 x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 2 D表示,于是有 2 12 1 11 2b a b a D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 1 21 2 11 b a b a-,这就是公 式（2）中 2 x的表达式的分子。 于是二元方程组的解的公式又可写为 ? ? ? ?? ? ? = = D D x D D x 2 2 1 1 其中0 ≠ D
线性代数教学大纲2016
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：公共基础课 课程性质：必修 一．课程介绍 1.课程描述： 线性代数课程是高等院校理科(非数学类专业)、工科、经济和管理各专业（特别是需要数学基础知识较强的相关专业）的一门公共基础课。线性代数主要处理线性关系问题，它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的应用性。通过线性代数课程学习，要求学生掌握该课程的基本理论与方法，为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。同时，培养学生的逻辑思维能力以及解决实际问题的能力等，还可以提升学生相应的数学素养。 2.课程内容： 主要内容包括：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量及矩阵的对角化、二次型。 行列式和矩阵是学习解线性方程组的基础，利用行列式，根据克拉默法则可以求解某些非齐次方程组的解；利用行列式可以判定某些齐次线性方程组是否有非零解。行列式也可以判定矩阵是否可逆，并用之求可逆矩阵的逆矩阵；利用矩阵可以判定和求非齐次方程组的解，以及可以求齐次线性方程组的非零解；建立R n的基与向量在基下的坐标及坐标变换，并讨论欧式空间及其结构；讨论矩阵的特征值和特征向量及矩阵 - 1 -
的对角化问题；利用以上理论讨论二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩、惯性定理、标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形等。 3. 课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：微积分，高等数学等； 后置课程：概率论与数理统计。在计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等课程中，都会涉及到线性代数的相关基础知识。由于理解及知识储备的原因，建议在一年级下学期或者二年级时，学生开始选修《线性代数》。 二、课程目标 本课程目标是为非数学类专业学生学习有关专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础和基本技能，更旨在通过本课程的学习培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力。到课程结束时，学生应能： （1）掌握行列式、矩阵的基本定义及性质等，能够计算行列式的值； （2）理解线性方程组求解理论，掌握向量组的秩、矩阵的秩、线性相关、线性无关等概念，会分析并求解齐次、非齐次线性方程组。 （3）熟练掌握向量的运算，理解R n中的基、坐标、基变换与坐标变换及内积的相关知识； （4）掌握矩阵的特征值和特征向量，矩阵的对角化理论； （5）掌握二次型的标准型和正定二次型的基本概念和理论； （6）能够借助Matlab等计算机软件进行行列式的计算、求解线性方程组等。 三、学习要求 要完成所有的课程任务，学生必须： - 1 -
线性代数教案一例矩阵相乘
线性代数教案一例：矩阵相乘 线性代数，把数代进去。大学数学课程和中学知识脱节严重，教起来很费劲。所以我们可以依据学生在中学学到的数学知识系统和数学知识逻辑，通过知识系统和逻辑的平行对应关系来讲解大学数学里的一些知识难点.这样学生容易理解和接受，教起来也省劲。而这实际上也就是数学上很重要的转化思想。 下面以矩阵的乘积这一知识点来讲解说明。大家可以与《线性代数》同记第四版教材相对照。 三、矩阵与矩阵相乘 设有两个线性变换11111221332211222233y a x a x a x y a x a x a x =++??=++? (3） 转换一下 11121321222311223a a a a a a x y x y x ?? ??????? ??????→ ? ??? ? ?? 对应中学的映射或函数 f x y ?? → 举例 3y x = 111112222112223311322x b t b t x b t b t x b t b t =+??=+??=+? （4) 也转换一下 11122122313211223b b b b b b x t x t x ?? ? ? ??? ???? ????? → ? ??? ? ?? 知识平行对应 g t x ??→ 举例 2x t = 若想求出从12t t 、到12y y 、的线性变换，可将（4）代入（3)，便得 111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t =+++++??=+++++? （5） 转换 1112111213212221222331321122b b a a a b b a a a b b t y t y ?? ?? ? ? ??? ? ?? ???? ????????→ ? ? ???? 对应 ()f g t y ???→ 再化 f g t y ???→ 举例 23y t = 线性变换（5）可看成是先作线性变换（4）再作线性变换（3）的结果。我们把线性变换(5）叫作线性变换（3)与(4）的乘积,相应地把（5)所对应的矩阵定义为（3）与（4）所对应的矩阵的乘积,即 111211121321222122 233132b b a a a b b a a a b b ???? ? ? ??? ? ?? 对应法则的对应 ()f g 注意复合的先后关系 亦即 f g =111112211331111212221332211122212331211222222332a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++?? ?++++?? 对应 f g 那么“=”怎么来：()f g f g = 这样学生理解起来也很简单，容易接受，教学效果好。学生感觉到线性代数也没那么高难,和中学知识区别不大，只是改变了一个形式.不会打消他的积极性。学习兴趣有了,学好线性代数也就不会那么难了。 接下来让学生观察11121112 1321222122 233132b b a a a b b a a a b b ?? ?? ? ? ??? ??? 与111112211331111212221332211122212331211222222332a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++?? ?++++?? 的特征关系，这样定义就自然而然得出来了。
最新清华版线性代数课件线性代数§电子教案
例2计算 n 阶行列式副对角线以上的元素全为0 其中表示元素为任意数解由定义有递推关系递推公式由以上结论容易得到四n 阶行列式的性质行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式记性质1 行列式的行与列互换其值不变即 DT D 性质1说明行列式对行成立的性质都适用于列下面仅对行讨论由性质 1 和前面关于下三角行列式的结果马 上可以得到上三角行列式主对角线以下的元素全为0 的值等于主对角元的积即性质2 行列式按任一行展开其值相等即其中是 D 中去掉第 i 行第 j 列的全部元素后剩下的元素按原来的顺序排成的 n－1 阶行列式称为的余子式称为的代数余子式即性质3 线性性质 1行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k 等于用数 k 乘此行列式 2 若行列式的某一行 列的元素都是两数之和那么该行列式可以写成两个行列式的和例如 1 若行列式的某一行列的元素都是 n 个数之和那么该行列式可以写成 n 个行列式的和例如说明 2 若行列式的某 m 行列的元素都是两例如说明个数之和那么该行列式可以写成个行列式的和由性质3马上得到推论1 某行元素全为零的行列式其值为零性质4 行列式中两行对应元素全相等其值为 零对行列式的阶数用数学归纳法证明证明当D为二阶行列式时结论显然成立假设当 D 为 n－1 阶行列式时结论成立设行列式 D 的第 i 行和第 j 行元素对应相等则当D为 n 阶行列式时将 D 按第k 行展开得其中为 k－1 阶行列式且有两行元素对应相等故由归纳假设知推论2 行列式中两行对应元素成比例其值为零由性质 3 和性质 4 马上得到性质5 在行列式中把某行各元素分别乘以数 k再加
线性代数教案及讲稿
XXXX学院教案
第一章 行列式 §1.1 2阶行列式和3阶行列式 1． 1）引入（解线性方程组） 在中学课本中我们学习了解二元一次线性方程组，例如解线性方程组： ?? ?=+=+2 731 522121x x x x （1） 我们利用消元法可以求得方程组的解为： 1,321==x x 那么接下来我们将采用另外一种方法来求方程组（1）的解，首先我们记： 0135727352≠-=?-?== D （系数行列式） 325717 2511-=?-?== D 131222 3122=?-?== D 其中 31311=--== D D x 11 122-=-==D D x 再例如解线性方程组： ?? ?=+=+5 728 432121x x x x 解：利用消元法可解得：13 1,133621== x x 那么我们同样才用另外一种方法： 记： 01324737243≠=?-?== D 3654787 5481=?-?== D 182535 2832-=?-?== D
2 ) 提出问题： （1）为什么解决二元一次方程能用这样的方法来解决？ （2）如果是n 元一次方程能否用类似的方法来解决呢？ 那么为了回答上面的两个问题我们必须学习行列式的概念和性质。 2． 行列式的相关概念： 同样，设有含两个未知数21,x x 的二元一次线性方程组： ?? ?=+=+2 2221211 212111b x a x a b x a x a 其中)2,1,2,1(==j i a ij 是未知数)2,1(=j x j 的系数，)2,1(=i b i 是常数项。 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 当 时，求得方程组的解为 现在我们把方程组得系数提取出来，且保持原来的相对位置不变，排成2行2列的2阶行列式： 2112221122 21 1211a a a a a a a a -= 对角线法则： 我们已经知道了2阶行列式的计算： 2112221122 21 1211a a a a a a a a -= 注：（主对角线上的两个数的乘积-副对角线上的两个数的乘积） 其中数)2,1,2,1(==j i a ij 称为这个行列式的元素简称“元”； 第一个下标i 称为行标，表示该元位于行列式的第i 行。 第二个下标j 成为列标，表示该元位于行列式的第j 列。 那么对应的线性方程组的解为： 2221221122 21 1211a a a a a a a a D -== 122122 111221221 b a a b x a a a a -= -112121********* a b b a x a a a a -= -1122 1221 a a a a -≠22 21 121121122211a a a a a a a a 行列式，并记作称为数表所确定的二阶表达式-22211211a a a a
线性代数教案
《线性代数》 授课教案 代数几何教研室 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 1 / 205
2 / 205 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 1211221 1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -= 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 222 121212221a b a b b a a b = -，2 21 111211211b a b a a b b a = -， 如果记22 21 1211a a a a D = ，22 2 1211a b a b D = ，2 21 1112b a b a D = 则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
线性代数教案(2015)
线性代数教案(2015)
第一章行列式 1.1 行列式的概念 一、本次课主要内容 介绍行列式的起源，总结学习二阶行列式和三阶行列式，学习全排列和逆序数，归纳n阶行列式的定义。 二、教学目的与要求 掌握二阶、三阶及n阶行列式的概念，掌握逆序数的计算。 三、教学重点难点 1、二阶、三阶行列式的定义、计算； 2、逆序数的计算； 3、n阶行列式的定义。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P22 习题1（6）、2（3），3
§1. 1 行列式的概念 对于方程组1111221 2112222 a x a x b a x a x b +=+=?? ?用消元法，当112212210a a a a ≠－方程组有唯一解 122212*********b a b a x a a a a -= -和211121********* b a b a x a a a a -=-。观察上面链各个式子的分母，发现是一 样的。而且两个式子的分子和分母在型式上也是有相似之处的。 一、二阶行列式的概念 设有数表 11 12 2122 a a a a ，两边加上竖线变为 1112 2122 a a a a ，记 1112 112212212122 a a a a a a D a a =-= 注意：2阶的行列式一共能分成2=2!项相加相减（一项加一项减）。每一项里面有2个不同行，不同列的元素相乘。 简单介绍对角线法 其中ij a 表示的是第i 行，第j 列的元素。i 和j 分别称为行坐标和列坐标。D 称为行列式的值，是11221221a a a a -的计算结果。 11 12 2122 a a a a 有两行两列，所以称之为二阶行列式。 如同水有气体，液体，固体三种表现形式一样。一个行列式也可以表现为三种形式：行列式，组成行列式的元素的计算式，和行列式的值。例如： 121122321 =?-?=- 二元一次 方程组的求解公式
线性代数教案 第二章 矩阵及其运算
1 2 m m mn a a a 矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做 12m m mn a a a ? ?12 m m mn a a a a ??? 。切记不允许使用11 12121 22 212 n n m m mn a a a a a a a a a = A 。 矩阵的横向称行，纵向称列。矩阵中的每个数称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课中的矩阵除特殊说明外，都指12n n nn a a a ?? 不是方阵没有主对角线。在方阵中，
00nn a ?? 1121 2212000n n nn a a a a a a ?????? （主对角线以上均为零）1122 00000 0nn a a a ????? ???? （既}nn a . 对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ 或001???? ()11a ，此时矩阵退化为一个数矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。 a x +)1(+?n 矩阵： 12 m m mn m a b a a a b ?? 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方
1 22 m m m mn mn b a b a b ? +++? ? ? ? ???-=4012B ，计算 B A +。 122 m m m mn mn b a b a b ? ---? 与矩阵n m ij a A ?=}{的乘积（称之为数乘），
12 m m mn a a a λλ?? 以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：
《线性代数》教学大纲
《线性代数》教学大纲 一、课程概述 1. 课程研究对象和研究内容 《线性代数》是数学中的一个重要分支，是高等工科院校的重要基础理论课。其不仅在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，而且在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术中无不是理论和算法的基础内容。本课程教学内容主要有：行列式；矩阵；n维向量空间；线性方程组；特征值与特征向量；二次型。 通过本课程的学习，能够培养学生对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法，并且为其他后续课程打好基础。因此，本课程对学生今后专业的发展具有非常重要的意义。 2. 课程在整个课程体系中的地位 《线性代数》是计算机专业的基础课。《线性代数》的后续课是《离散数学》，《计算方法》等。 二、课程目标 1．知道《线性代数》这门学科的理论和方法及其在专业教育体系中的位置； 2．理解这门学科的基本概念、基本定理和基本方法； 3．熟练掌握行列式、矩阵的运算；会用行列式与矩阵的方法求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组的解；学会矩阵的特征值、特征向量及二次型的相关应用； 4．突出计算能力的培养，引导学生进行归纳、对比和思考，培养学生的创造性能力； 5．学会用线性代数的方法处理离散对象； 6．培养运用本学科的基本知识与基本技能分析问题、解决问题的能力；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力； 7．通过本课程的学习，协助学生逐步树立辩证唯物主义的观点。 三、课程内容和要求 这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。这四个层次的一般涵义表述如下： 知道———是指对这门学科和教学现象的认知。 理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所