Lebesgue测度

第二章测度论

引言

实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.

数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.

通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积. 所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进. Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积. 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数.

本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合

E}为一列互不相交的为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{

i

有测度的集合时， ∞

=1

i i E 的测度恰好为每个集的测度之和）.

§1 外测度

一、外测度的定义

记 n R 中的开区间{}n i b x a x x x x I i i i n ,,2,1,),,,(21 =<<==其中i i b a ≤为有限数.

若上述记号中等号可能出现，则称I 为区间，显然1R R n =时，I 即为1R 上的区间.

另外还规定∏=-=n

i i i a b I 1)(为区间I 的体积.

定义1 设E ?n

R ，{}i I 是n

R 中覆盖E 的任一列开区间，即 ∞

=?1

i i I E ，

记∑∞

==1

i i I μ（μ可以取+∞），显然所有这样的μ构成一个有下界的数集，则它

的下确界称为E 的Lebesgue 外测度，记为.,

inf **1

1

∞

=∞

=?=∑i i i i I E I E m E m 即

注 定义中覆盖E 的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意n R E ?，E m *均存在，且可以取+∞.

二、外测度的基本性质

定理 外测度具有如下性质：

（1）对任意n R E ?都有0*0*=≥φm E m 且 （非负性）,

（2）设n R A B ??，则A m B m **≤

（单调性）,

（3）设n

i R A ?，则∑∞

=∞

=≤1

1

*)(*i i i i A m A m （次可加性）,

（4）设n R B A ?,，若0),(>B A ρ，则B m A m B A m **)(*+= （隔离性）.

证明 （1）显然成立。下面只证（2）（3）（4）

（2）因为对任意覆盖A 的开区间列{} ∞

=?1,i i i I A I 即，由于A B ?

所以 ∞=?1

i i I B ，从而∑∞=≤1

*i i I B m ， ∞

=∞

=?=≤∑1

1

,

*inf *i i i i I A A m I B m .

(3)由外测度的定义知，对任意给定的正数ε，存在覆盖i A 的开区间列{}

)

(i m I 使

,2,1,2

*1

)

(=+<∑∞

=i A m I i i m i m ε

显然

∑∑∑∑∑∑∞

=∞

=∞

=∞

=∞=∞

=∞

=∞=∞

=+=+<=?1

111)

(11)(111

)(*)2*()()(i i i i i i m i m

i m i m

i i

i m i m

A m A m I I

A I

ε

ε

且 所以 ∑∑∑∞

=∞=∞

=∞

=+<≤1

1

)(1

1

*)(

*i i m i m

i i i A m I

A m ε .

（4）仅在1R 上证明. 对任意0>ε，存在开区间列{}n I ，使 ∞

=?

1

n n

I

B A

且

ε+<∑

∞

=)(*1

B A m I n n ，

因为0),(>=d B A ρ, 若n n I d I 则,<保留;若,d I n ≥则用分点将n I 分成有限个小的

开区间k J J J ,,21, 使)2,1(k i d J i =<, 并且各分点再用1-k 个长度小于d 的开区

间121,-k L L L 盖住, 使得

n

k i i L 2/1

1ε<∑-=，用上述得到的k J J ,1及11,-k L L 代替n I ， 显然

n k i n i k i i I L J 2

1

1

1

ε+

≤+∑∑-==, 把改造后的开区间列记为{}

m k ，则 ∞

=∞

=??

1

1

m m n n

k I

B A ,

且 εε

2)(*2

111+<+≤∑∑∑∞

=∞

=∞

=B A m I k n n n n m m .

由于{}m m k d k ,<中任何m k 不可能同时含有B A ,中的点，所以把{}m k 分为两类，

含有A 中点的m k 作为一类记为{}

'n k ，含有B 中点的m k 作为一类记为{}

"

n k ，则

'?n k A , "

?n k B

所以 ε∑∑∑∞

=+?<=+≤+1

*"'*

*

2)(m m n n B A m k k k B m A m ,

再让ε→0得

)(***B A m B m A m ?≤+ , 证毕.

例1 设E 为[0，1]中的全体有理数，则0*=E m . 证明 因为E 为可数集 记为 ,...},...,,{21n r r r E =

对任意ε>0，取 ,2,1,2,211=??? ?

?

+-=++n r r I n n n n n εε

显然, ∑∑

∞

=∞

=∞

===≤≤?1

11

2

*0,n n n

n n n I E m I E εε

所以 ,

让ε→0得 0*=E m ，证毕.

思考题 若E 为n R 中的可数点集，则0*=E m .

注 外测度为零的集称为零测集，故n R 中的可数点集为零测集. 例2 若0*=A m ，则对任意n R E ?，总有E m A E m **)(=? . 证明 由外测度的性质（1）、（2）得

E m A m E m A E m E m ***)(**=+≤?≤，

所以 E m A E m **)(=? .

例3 （1）零测集的任意子集仍为零测集.

（2）至多可数个零测集的并集仍为零测集.

由零测集的定义及外测度的性质易证，证明留给读者. 例4 对任何区间n R I ?，总有I I m =*.

证明 对任意0>ε，存在开区间I*，使*I I ? 且 |*I |<|I |+ε 由外测度的定义知 ε+<≤I I I m **，再让0→ε，得I I m ≤*. 下证 I I m ≥*.

对任意0>ε，作闭区间0I ，使I I ?0且|I |<|0I |+

2

ε

. 又由外测度的定义知对上述0I 及ε，存在开区间列{}i I 使I 0 ∞

=?1

i i I ,且2

*||01

ε

+

<∑∞

=I m I i i ,由Borel 有

限覆盖定理,在{i I }中存在有限多个区间, 不妨设为k I I ,,1 使0I k

i i I 1

=?， 所

以∑=≤k

i i I I 1

0 从而

|I |<|0I |+

εεε

ε

ε

ε

ε

+≤+=+

+

<+≤+

≤∑∑=∞

=I m I m I m I I k

i i i i **2

2

*2

||2

||2

01

1

0,

让0→ε，得 I m I *≤ ，故I m I *=，证毕. 思考题 若I 为无穷区间，如何证明?

注 例4表明外测度是“面积或体积”的一种拓广.

§2 可测集

上节介绍的集合的外测度是区间“体积”的一种拓广，这种拓广是否为通常意义下“体积”的拓广呢? 在通常意义下，有体积的集合有这样一个性质:“对两个有体积的不交集合B A ,，总有B A ?的体积=A 的体积+B 的体积，即体积具有可加性”，对外测度而言，当0),(>B A ρ时，B m A m B A m ***)(+=?，但仅当

φ=?B A 且0),(=B A ρ时有例子可以说明 B m A m B A m ***)(+=?并不一定成

立，这说明对一般集合而言外测度并非通常意义下“体积”的拓广. 要想做到这一点，必须对所考虑的集合作一些限制（正如通常意义下并非每个集合都有体积

一样）. 本节要介绍的可测集就是这种限制下的集合。可测集的定义方法很多，本节采用一种在理论上运用很广泛的定义方法——德国数学家C ·Caratheodory 给出的定义.

一、可测集的定义及等价条件

定义1 设n n R T R E ??如果对任意, 总有

T m *=)(*)(*c E T m E T m ?+?,

则称E 为Lebesgue 可测集，或E 称是可测的，此时E 的外测度E m *称为E 的Lebesgue 测度，记为mE .

注 与外测度不同，并非每个集都是可测的即都有测度. 下面用一个定理给出可测集的几种等价条件. 定理1 设,n R E ?则下列三种说法是等价的 （1）E 是可测集, （2）c E 是可测集,

（3）对任意B m A m B A m E B E A c **)(*,,+=?? 总有, 证明 先证（1）与（2）的等价性 事实上，E 可测c n E T m E T m T m R T (*)(**+=??总有对任意）

）

（总有对任意c c c n E T m E T m T m R T )(*)(** +=??

c E ? 可测 .

再证（1）与（3）的等价性

一方面 若E 可测，则B A T E B E A c =??记对任意,,

()()B m A m E B A m E B A m B A m c **))((**)(*+=+=

另一方面 c c n E E T B E E T A R T ?=?=? ,,记对任意

因

为

)(*)(***)(**,c E T m E T m B m A m B A m T m B A T +=+===所以, 从而E 为可测集，证毕.

注 由（3）立即可推出若E m *=0(即E 为零测集)，则E 可测，从而再由（2）可推出n R 是可测的.

二、可测集的基本性质

定理2 若21,E E 都可测，则2121,E E E E 也可测. 证明 n R T ??，如图示

T =

()()()D C B A E E T E E T E E T E E T =?

)(\)()\())\((21211221

因可测而111,,E E D B E C A c ?? , 由定理1 （3）得

)()(***D B C A m D C B A m T m ???=???=

)()(**D B m C A m ?+?=

同理 )()(***C A m B m B C A m ?+=?? 又因2E 可测，所以D m B m D B m ***)(+=?,

所以 D m C B A m D m B m C A m T m ******)()(+??=++?=

))(())(())(\())((21*21*21*21*c E E T m E E T m E E T m E E T m ??+??=?+??=,

所以 21E E ?可测. 又21E E ?=(

)c

c c

E E 2

1 由定理1及上述已证并集的可测性知，2

1

E E ?也可测.

推论1 若21,E E 可测，则21\E E 也可测. 证明 因c

E E E E 2121\?=.

推论2 若i E i =1,2,…,m ,都可测, 则 m

i m

i i i E E 1

1

,==都可测, 并且当i E 两两不

交时,

n

R T ?对任意 , ∑===???? ??m i i m

i i E T m E T m 1

*

1*

)()(

特别 当T = m i m

i i i m i i mE E m E 1

1

1

)(,===∑=时.

证明 反复利用定理2即得 m

i i m i i E E 1

1

==与的可测性. 下证当i E 两两不交时

n R T ??

)()(1*1*

∑===???? ??m i i m

i i E T m E T m )

只证两个集合21,E E 的情形，一般情形反复利用两个集合的情形立即可得. 因c

E E B E A B A E T E T E E T 1212121,,)()()(???==?

其中 而1E 可测，由定理1得

)()()())((2*1****21*E T m E T m B m A m B A m E E T m ?+?=+=?=?? . 定理3 若 ,2,1,=i E i ,都是可测的，则 ∞

=1i i E 也是可测的，并且当i E 两两不交

时，

总有n

R T ?对任意, ∑∞

=∞

==???? ??1

1*

)(*)(i i i i E T m E T m .

特别 取T = ∞=1

i i E ，有 ∞=∞

=∑=1

1

)(i i i i mE E m , (1)

证明 由于 1

1

2

1

31211

)\()\()\(-==∞

=?=i j j i j j i i E E E E E E E E

所以只须证明当i E 两两不交时, ∞

=1

i i E 可测即可.

不妨设i E 两两不交，记S = ∞

=1

i i E n R T ??

显然 )()(***c S T m S T m T m ?+?≤

且 )())(()(*1

1

*

*

n n n n E T m E T m S T m ?≤?=?∑∞

=∞=

而由推论2, ∑===i j i

ji j j E T m E T m i 1

1

*

*

))(()(, 对任意自然数

所以 i

j c j i j j E T m E T m T m 1

*

1

*

*

))(())((==?+?=

≥c

i i c

i j j i

j i c

i j E E E T m E T m ???? ??????

? ??+∞===∞

=∑ 1111**(,)(()(因为 让i ∞→得

)()()(()(**1

1

*

*

*

c i i c i i S T m S T m E T m E T m T m +≥+≥∑∞

=∞

= ………(

*)

所以 )()(*

*

*

c

S T m S T m T m +=，故 ∞

=1n n E 可测 .

在（*）中取T 为 ∞=?1

i i E T ，即 ∞=?1

*

)(i i E T m =∑∞

=?1

*)(i i E T m ，证毕.

注 定理3中等式（1）称为测度的完全可加性，它表明测度确为通常意义下“体积的拓广.

推论3 若n E 可测,n =1,2,…, 则

（1） ∞

=1

n n E 也可测, （2）n n

E lim ，n n

E lim 也

.

证明 （1）因为 ∞

=∞=???

?

??=11n c

n c n n E E .

（2） ∞=∞

=∞=∞=∞

→∞

→==11lim ,lim n n

k k n n n

k n k n n E E E E .

综合以上定理及推论知，可测集对集合的至多可数并、交、差（余）及极限运算是封闭的. 若M 表示n R 中的可测集全体, 则显然M 是一个σ域. 下面，我们再给出单调可测集列的测度性质.

定理4 设 ,2,1,=n E n 为单调上升的可测集列， 记S =mS mE E E n n n n n n ==∞

→∞

→∞

=lim ,

lim 1

则 .

证明 因为n E 单调上升，记φ=0E ，所以

S = ∞=∞

=-=1

1

1)\(n n n n n E E E ，其中1\-n n E E 两两不交，由定理3得

∑∑==∞

→-∞

→-∞=∞

→-====n i n

i n n i i n i i n n n n mE E E m E E m E E m mS 1

1

111

1lim ))\((lim )\(lim )\( .

定理5 设n E , 2,1=n 为单调下降的可测集列, E =,lim 1

n n n n E E ∞

=∞

→=若存在某

个0n E ,

使∞<0n mE , 则n n mE mE ∞

→=lim .

证明 不妨设+∞<1mE , 则 n E E \1单调上升且

∞

=∞=∞

=∞

=∞

======1

111

11

11

11

1

\\)()()()\(n n c

n n n c

n n c

n n n E

E E E E E E E E E E E

由定理4 知，)\(lim )\(11n n E E m E E m ∞

→=，

又+∞<1mE ，mE E E m E E E m mE +==)\()\(111

n n n n mE E E m E E E m mE +==)\()\(111

所以 n n mE mE ∞

→=lim ，证毕.

注 定理5中存在某个0n E 使+∞<0n mE 不能去掉, 否则结论不一定成立,比如取),(+∞=n E n , ,2,1=n ,显然n E 单调下降，

φφm mE mE E

n n n n n

=≠+∞=+∞==∞

→∞

=0lim ,1

但 .

§3 可测集类及可测集的结构

一、可测集类

在§2中，我们曾指出零测集是可测集，即下面的定理成立. 定理1 （1）外测度为0的集为可测集. （2）零测集的任何子集为零测集，从而也为可测集.

（3）至多可数个零测集的并集仍为零测集，从而也为可测集.

除零测集外，还有哪些常见集合是可测集呢？下面先考查区间的可测性. 定理2 n R 中任何区间I 都是可测集，且I mI = .

证明 先证对任一开区间0I ，总有00*0*)()(I I I m I I m c =+ 仅就2R R n =的情形证明，一般情形证明方法类似.

因为c I I 0可以分解成至多四个互不相交的区间4,3,2,1,=i I i , 所以 ∑=≤4

10*

||)(i i c

I I I m

而 432100)(I I I I I I I = 从而∑=+=4

1

00||i i I I I I

所以 ∑=+≤+4

1

00*

0*

||)()(i i c

I I I I I m I I m

反向不等式显然成立，所以

00*0*)()(I I I m I I m c =+

再证I 的可测性

n R T ?对任意，由外测度的定义知0>ε对任意总存在一列开区间{i I }， 使得T ∞

=∞

=∑+

1

*

||,i i i i T m I I ε且，又 ∞

=∞

=??1

1

)(),(i i i c c

i I I I T I I I T

所以 ∑∞=≤?1

*

*

)()(i i I I m I T m ，∑∞

=≤1

**

)()(i c i c

I I m I T m

从而 ∑∑∞=∞

=+≤+1

1

**

*

*

)()()()(i i c i i c

I I m I I m I T m I T m

=[]

∑∞

=+1**)()(i c i i I I m I I m

=∑∞

=+<1

*||i i T m I ε

让T m I T m I T m c ***)()(,0≤+→ 得ε 反向不等式显然成立, 所以

T m I T m I T m c ***)()(=+ , 故I 可测, 证毕.

由定理2再结合开集、闭集，Borel 集的结构以及可测集的运算性质知 定理3 n R 中的开集，闭集及Borel 集都是可测集.

显然Borel 集合全体构成一个σ域，而且还可证明并非每个可测集都是

Borel 集，那么可测集类除Borel 集外，究竟还包含一些怎样的集呢？这一些集合与Borel 集之间有何关系呢？

二、可测集与Borel 集的关系

定理4 设E 则存在,m R ?δG 型集G ，使E G ?，且E m mG *= . 证明 由外测度的定义知，对任意自然数n ，存在一列开区间{n i I }，使

E ∞

=∞

=+

*1

1||,i i n i n i n

E m I I 且 记 n G = ∞

=∞

==1

1

)

(,,i n n n i G G I 显然G 为δG 型集, 且E n G G ??

所以 ∑∞

=+

<≤≤=≤1

*)

(*

*

1||i n i

n n

E m I mG mG G m E m 让n ∞→得 E m mG *=, 证毕 . 定理5 设E m R ?，则 下列关系等价 （1）E 为可测集，

（2）.0>ε对任意存在开集G ，使E .G ?且)\(E G m <ε， （3）存在δG 型集G ，使E G ?，且E m mG *=，)\(E G m =0 .

证明 （1）?（2）

当+∞?ε,存在一列开区间{n I }, 使

E 且,1 ∞

=?n n I

∑∞

=+<1

||n n

mE I

ε，记G = ∞

=1

n n I ，显然G 为开集，E ?G ，

且 mE ∑∞

=+<≤≤1

||n n mE I mG ε

所以 mE mG -<ε, 而mE <+∞, 从而 mE mG E G m -=)\(<ε

当+∞=mE 时，E 必为无界集，但它总可表示成可数个互不相交的有界可测集的并

即E = ∞

=1n n E （n mE <∞）. 对每个n E 应用上面结果, 存在开集n G ，

使

∞

==<

?1

,2

)\(,n n

n

n n n n G G E G m G E 记且ε

, 显然G 为开集,

∞

=∞

==?=1

1

n n n n G G E E ,

且 ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞

=?===11

1

1

1

1

1

)())(()()(\\n n n n n n n c

n n c

n n c

n n n E G E G E G E G E G

= ∞

=1

)\(n n n E G

从而 )\(E G m ≤∑

∑∞

=∞

==<11

2

)\(n n

n n n E G m εε

（2）?（3）

取 ,2,1,1

==n n

ε,由(2)知, 存在开集n G 使

E ∞

==

,1

)\(,n n n n G G n E G m G 记且

显然E G ?, G 为δG 型集, 且

E G E G E G E G E G E G n n n n c

n c n c

n \)\()(\111?==???

? ??==∞

=∞=∞=

所以 n

E G m E G m n 1)\()\(<≤ 让n ∞→得, 0)\(=E G m

从而 E m E G E m mG *))\((=?= . （3）?（1）

由（3）知 存在δG 型集G ，使E G ?, 且E m mG *=, )\(E G m =0 而 )\(\E G G E =, 故E 是可测集.

注 此定理表明任意可测集总可表示成一个δG 与一个零测集的差集. 定理6 设E m R ?, 则下列关系等价 （1）E 为可测集，

（2）0>ε对任意, 存在闭集F , 使E F ?, 且)\(F E m <ε， （3）存在σF 型集F ，使E F ?，且E m mF *=，)\(F E m =0 . 证明 仅证明（1）?（3）

E 可测c

E ?可测5

定理?存在δG 型集G ，使c E G ?，且0)\(=c E G m ，记c G F =，

则F 为σF 型集，E F ?，c c c c E G E G G E F E F E \)(\==== 所以 0)\()\(==c E G m F E m

mF F F E m E m ==))\((** .

（1）?（2）的证明留给读者.

注 以上两个定理表明，只要有了全部的δG 型或σF 型集(它们都是Borel 集)和全部

零测集，一切可测集都可以通过δG 型集与零测集的差集或σF 型集与零测集的并集获得.

作为可测集与Borel 集之间关系的应用，我们再给出乘积空间测度的计算

公式.

定理7 设A 、B 分别为p R 和q R 中的可测集，记B A E ?=，则E 为q p R +中的可测集

且 mB mA mE ?= . 证明 证明分两步

（一） 先证当B A ,均有界时，结论成立.

（1）当B A ,都是区间时，由区间的体积公式知结论成立. （2）当B A ,都是开集时，由开集的结构知

i i I A ∞=?=1

，j j J B ∞

=?=1

，其中i I ，j J 分别为p R 和q R 中两两不交的区间。

于是

j i j i J I B A E ??=?=∞

=1,，其中j i J I ?为q p R +中两两不交的区间.

所以 E 是可测集，且

mB mA mJ mI mJ mI J I

m mE j j i i j i j i j j i i

?==?=?=

∑∑∑∑∞

=∞=∞=∞

=))(()(1

1

1

,)1(1

, .

（3）当B A ,都是δG 集时，则1

1

n

n G A ∞

=?=，2

1

n n G B ∞

=?= ，其中1n G 为有界开集，且

单调

减；2

n G 也为有界开集，且单调递减.

于是 211

n

n n G G B A E ??=?=∞

=为可测集，其中21n n G G ?也单调递减， 所以 mB mA mG mG mG mG G G m mE n n n n n n n n

n n ?=?=?=?=∞

→∞

→∞

→∞

→2121)

2(21

lim lim lim )(lim .

（4）当B A ,至少有一个为零测集集时，不妨设0=mA ，由定理5（3） 存在δG 集21,G G

使1D A ?，2D B ? 且 1mG mA =，2mG mB =，于是由（3）得 0)(2121=?=?=?mB mA mG mG G G m 而 21G G E ??，所以 mB mA B A m ?==?0)( .

（5）当B A ,均有界可测集时，由定理5（3） 存在δG 集21,G G 使1D A ?，

2D B ? 且 1mG mA =，2mG mB =，0)\(1=A G m ，0)\(2=A G m ，

记A G A \*1=，B G B \*2=，则 A A G ?=*1，B B G ?=*2，0*=mA ，0*=mB )(*)()*(*)*(21B A B A B A B A G G ???????=?

从而 *)(\)*(\*)*(\)(B A B A B A G G B A ????=?，再由（3）、（4）得 B A E ?=为可测集, 且

mB mA mG mG G G m B A m mE ?=?=?=?=2121)()( .

（二） 再证当B A ,至少有一个无界时，结论成立.

由于B A ,分别都可表示成一列互不相交的有界可测集的并集，即i i A A ∞

=?=1，

j j B B ∞

=?=1

，

其中i A ，j B 都是有界可测集，而j i j i B A B A E ??=?=∞

=1

,，其中j i B A ?互不相交，

故由（一）知E 为可测集，且

mB mA mB mA mB

mA B A m mE j j i i j i j

i

j i j

i

?==?=?=

∑∑∑∑∞

=∞=∞

=∞=1

1

1

,1

,))(()( .

§4 抽像测度简介

前面，我们介绍的Lebesgue 可测集与测度，实际上是从定义在n R 中开区间族上的集合函数(即开区间的体积)出发，通过对此函数的扩充引出n R 中一般集的外测度，然后再对具有外测度的集合进行适当限制(即卡氏条件)产生的，把这一过程一般化，我们可建立一般抽象空间上的测度.

一、集合环与环上的测度

定义1 设Ｒ是由非空集合X 的某些子集所成的集类，如果 (1) 当B A ,∈Ｒ时，B A ?∈Ｒ (2)

当B A ,∈Ｒ时，B A \∈Ｒ

则称Ｒ为X 的一个环.如果把(1)改为

(1)当n A ∈Ｒ, n =1,2,…时, ∈∞

= 1

n n A Ｒ, 则称Ｒ为X 的一个σ环.

显然，σ-域必为环. 若Ｒ是一个环或σ-环，则Φ∈Ｒ,且当B A ,∈Ｒ时还有

)|(\B A A B A =?∈Ｒ，

另外, 当X ∈Ｒ时, 环或σ-环Ｒ还是域或σ-域，即环与域的区别仅在于X 是否属于Ｒ.

定义2 设Ｒ是非空集合的某些子集所成的集类, 如当μ是集类Ｒ到^

R 的映射即以集为自变元，取值是实数或±∞的函数，则称μ是Ｒ上的集函数，记为μ:

Ｒ→∧

R .

定义3 设Ｒ是非空集合X 的一个环或σ-环， μ:Ｒ→∧

R 是Ｒ上的一个集函数，如果μ满足 (1) μ(Φ)=0

(2) 非负性：即0)(,≥∈?E R E μ

(3)完全可加性：即对Ｒ中任意一列互不相交的{n E }即n E ∈Ｒ,m n E E ?=Φ,

m n ≠,

只要 ∞

=∈1

n n E Ｒ，总有 ∞

=∞

=∑=1

1

)(n n n n E E μμ

则称μ是Ｒ上的测度.

例1 设X 是任意一个非空集合， Ｒ表示X 的有限子集全体，显然Ｒ是一个环，在Ｒ上定义集函数如下: E E R E =∈?)(,μ中元素的个数，则μ是环Ｒ上的测度，若补充定义, 当E 为X 的无限集时)(E μ=+∞，则μ是X 的全体子集所成的环(实际上还是σ-域) 上的测度.

下面给出环上测度的一些基本性质. 定理1 如果μ是环Ｒ上的测度，则μ具有

(1)有限可加性:即如果1E ,…,k E 是Ｒ上有限个两两不交的集，

则 ∑===???? ??k

i i k i i E E 1

1)(μμ

(2)单调性：即如果21,E E ∈Ｒ,且21E E ?，则)()(21E E μμ≥

(3)可减性:即如果21,E E ∈Ｒ,且21E E ?,+∞<1E μ, 则

1212)\(E E E E μμμ-=

(4)次可列可加性:即如果n E ∈Ｒ,n =1,2,…,E ∈Ｒ,且

)()(,1

1

∑∞

=∞

=≤??n n n n E E E E μμ则

(5)如果n E ∈Ｒ,n =1,2,…,且n E )(lim ,,111n n n n n n n E E R E E μμ∞

→∞=∞

=+=????

??∈? 则. (6)如果n E ∈Ｒ,n =1,2,…, n E ∞

=+∈?11,n n n E E Ｒ,且存在k E 使

)(lim ,)(1n n n n k E E E μμμ∞

→∞==????

??+∞< 则. 如果Ｒ本身是σ—环，则μ还具有

(7)如果n E ∈Ｒ,n =1,2,…, 则)(lim )lim (n n n n E E μμ∞

→∞

→≤.

(8)如果n E ∈Ｒ，n =1,2,…,且存在自然数,k 使

()

)(lim lim ,n n n n k n n E E E μμμ∞→∞→∞=≥+∞

? ??则 . (9)如果n E ∈Ｒ,n =1,2,…,且存在自然数k ，使

()

0lim ,)(=+∞<∞

→∞

=∑

n n n k

n E E μμ则 .

注 显然由(7),(8)知, 如果n E ∈Ｒ,n =1,2,…,n n E ∞

→lim 存在,且存在自然数k ,

使

,+∞

?

??∞= k n n E μ则()

)(lim lim n n n n E E μμ∞

→∞→= 二、外测度与测度的延拓

定义4 设Ｒ是集X 的一个环，μ*是Ｒ上定义的一个集函数，如果μ*满足

（1） 非负性：即0)(*,≥∈?E R E μ

（2） 单调性：即如果21,E E ∈Ｒ,且21E E ?,)(*)(*21E E μμ≤则 （3） 次可列可加性：即对任一列n E ,n =1,2,…, ∈n E Ｒ

只要∈?∞

=n n E 1

Ｒ, ∑∞

=∞=≤???? ??1

1)(**n n n n E E μμ 则. 则称μ*为Ｒ上的外测度.

显然，由定理1知，环Ｒ上的测度也是Ｒ上的外测度. 另外定义4中的环Ｒ

可为一般集类.

设Ｒ是X 的一个环, 记H (Ｒ)={E E X ?}，存在一列n E ∈Ｒ,n =1,2,…, 使 ∞

=?1n n E E .可以证明H (Ｒ)是一个σ环，且R )(R H ?. 又设μ为环Ｒ上的测

度，在H (Ｒ)上定义集函数μ*如下：)(R H E ∈?

},,2,1,|)(inf{)(*1

1

∞

=∞=?=∈=∑n n n n n E E n R E E E 且μμ……（I ）

定理2 设Ｒ是X 的一个环，μ是Ｒ上的一个测度，μ*是按（I ）定义的H (Ｒ)上的集函数，则μ*具有如下性质

(1)非负性：0)(*,0)(*),(=≥∈?φμμ且E R H E ,

(2)单调性：如果21,E E ∈H (Ｒ),且21E E ?, 则)(*)(*21E E μμ≤, (3)次可列可加性:对任何一列∈n E H (Ｒ),n =1,2,…,总有

)(*)(*1

1

n n n n E E μμ∑∞

=∞=≤

(4)当E ∈Ｒ时，)()(*E E μμ=. 证明略.

注 显然定理2中的*μ是H (Ｒ)上的外测度——称为Ｒ上测度的一个延拓. 由于*μ在H (Ｒ)一般不一定具有可列可加性（完全可加性）,因此*μ不一定为

H (Ｒ)上的测度.

定义5 设∈E H (Ｒ)，如果),(R H T ∈?总有

)(*)(*)(*c E T E T T μμμ+=

则称E 为*μ—可测集.

记R*={E |∈E H (Ｒ),且E 是*μ——可测集}，可以证明Ｒ? R*?H (Ｒ) 定理3 （1）R*仍为一个σ—环

（2）*μ为R*上的测度，且当∈E Ｒ时*μ(E )=μ(E )（即*μ是μ从Ｒ到R*上的延拓） 证明略.

三、Hausdorff 测度与维数

作为抽象测度的一个具体例子，本段简要介绍，近年来有着广泛应用的

Hausdorff 测度与维数.

设U 为n R 中的非空点集，记|U |=sup{),(y x ρ|U y x ∈,}(其中),(y x ρ为n

R 中两点间的距离)——称为U 的直径。如果{i U }为n R 中可数或有限个直径还超过0>σ的集构成的覆盖F 的集类，即F ∞

=?1i i U ，且σ<

为F 的一个σ覆盖.

定义6 设E 为n R 中的任意子集,0>s ,0>?σ定义

}{||inf )(1

n n S n s

U U E H ???=∑∞=σ为E 的σ开区间覆盖}, 显然当σ减小时, )

(E H s

σ增大即)(E H s

σ随σ减小而单调增加，从而)(lim 0E H S σ

σ+

→存在（可为+∞）记为=)(E H s )(lim 0E H S

σ

σ+

→——称为E 的s 维Hausdorff 测度. 定理4 s 维Hausdorff 测度具有如下性质： (1) 0)(,0)(,=≥??φs s n H E H R E ,

(2)如果1E n R E ??2，则)()(21E H E H s s ≤,