2.3 确定二次函数的表达式-朱翠香
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第二章 二次函数
《确定二次函数的表达式(第1课时）》
北师附校 朱翠香
一、教学目标
知识与技能：
体会确定二次函数表达式所需要的条件，会用待定系数法求二次函数的表达式。 过程与方法：
经历确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法. 在观察发现中体会数形结合的思想。 情感、态度与价值观：
逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。 教学重点：求二次函数的解析式
教学难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，求出函数解析式。
二、教学过程 第一环节 复习引入
1、二次函数的一般形式： ；
顶点式： 。 2、完成下表：
发现：以上函数表达式中顶点在原点的有 ，顶点在y 轴上的有 。 3、我们用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需
要 个独立的条件；确定反比例函数x
k
y =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.
如果要确定二次函数的关系式y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件?（请小组讨论交流）
第二环节 初步探究
引例：如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)的图象，其中（4,3）为图像的顶点，你能求出其表达式吗？
题后反思：
例1、二次函数y=ax 2
+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求二次函数的表达式.
巩固练习：1、二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1,3）和B （0,1 ）
，求函数表达式。
2、已知二次函数图像的顶点在原点，且过点（1,3），求该函数表达式。
变式训练：二次函数图像过点（2,4），且当x=1时，y 有最值是6。求函数解析式。
表达式
顶点坐标 ①y=ax 2 ②y=ax 2+c ③y=a(x-h)2+k
④y=ax 2+bx+c
2 / 2
1y x
3
40第三环节 深入探究
例2：已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想（请小组讨论交流）
（1）在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ （2）求二次函数的表达式的一般步骤是什么？ 题后反思：
1、用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数表达式，当知道 ，就可以确定这个二次函数的表达式.
2、用一般式y=ax 2+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道 ，也可以确定二次函数的表达式.
3、求二次函数的表达式的一般步骤是 。 巩固练习：已知，二次函数有最小值为－9，对称轴为直线x=3，且过点（4，-8），则函数关系式为 。 变式训练：二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为-2和1,且经过点（0,4），求二次函数的表达式。
第四环节：反馈练习
1、【A 】已知抛物线顶点在原点，且过点（-1，-1），则抛物线表达式为 。
2、【A 】如右图，求抛物线的表达式。
3、【B 】（2015?青岛中考）如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是
12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用
c bx x y ++-
=2
6
1表示，且抛
物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为2
17m 。 求抛物线的函数
关系式，并计算出拱顶
D 到地面OA 的距离；
第五环节 归纳小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
数学知识： 数学思想：
第六环节 课堂检测
1、【A 】已知二次函数的图象y=﹣x 2+bx+c 经过点A （3，0），B （﹣1，0）．此函数解析式为
2、【A 】已知一个二次函数的图象与y= -x 2-3的图象形状相同，开口方向也相同，图象顶点坐标为（2,6），则这个二次函数的解析式为 。
3、【B 】（2016?青岛中考）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax 2+bx （a≠0）表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为m ，到墙边的距离分别为m ，m ．求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
第七环节 作业布置
【必做题】课本习题2.6
【选做题】抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交C 点，
点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3）它的对称轴是 直线
x=
，求抛物线的解析式。
人教版中考数学压轴题型24道：二次函数专题含答案解析
人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位
置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式 学生： 时间： 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像； 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.） 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 ＋bx ＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围． 例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大． （4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习 1．已知函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－ a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+2 1
二次函数七大综合专题
二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y
考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7
二次函数表达式三种形式练习题
7．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（ 0， 4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ A ．y=﹣6x 2+3x+4 B ．y=﹣2x 2+3x ﹣4 C ．y=x 2+2x ﹣4 D ．y=2x 2+3x ﹣4 8．若二次函数 y=x 2﹣2x+c 图象的顶点在 x 轴上，则 c 等于（ ）A ．﹣1 B ．1 C ． ） D ．2 9．如果抛物线经过点A （2，0）和B （﹣1，0），且与y 轴交于点C ，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ） A ． 10． A ． 11． A ． y=x 2﹣x ﹣2 B ．y=﹣x 2﹣x ﹣2 或 y=x 2+x+2 C ．y=﹣x 2+x+2 D ．y=x 2﹣x ﹣2 或 y=﹣x 2+x+2 如果抛物线 y=x 2 ﹣6x+c ﹣2 的顶点到 x 轴的距离是 3，那么 c 的值等于（ ） 8 B ．14 C ．8 或 14 D ．﹣8 或﹣14 二次函数 的图象如图所示，当﹣1≤x ≤0 时，该函数的最大值是（ ） 3.125 B ．4 C ．2 D ．0 当﹣2≤x ≤1 时，二次函数 y=﹣（x ﹣m ）2+m 2+1 有最大值 3，则实数 m 的值为（ ） A ． 或﹣ B ． 或﹣ C ．2 或﹣ D ． 或﹣ 13．如果一条抛物线经过平移后与抛物线 y=﹣ x 2 +2 重合，且顶点坐标为（4， 的解析式为 ． 14．二次函数的图象如图所示，则其解析式为 ． 15．若函数 y=（m 2﹣4）x 4+（m ﹣2）x 2的图象是顶点在原点，对称轴是 y 轴的抛物线，则 m= ． 16．二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x 轴的距离为 2， 则该二次函数的解析式为 ． 17．如图，已知抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，且与x 轴的一个交点为（3，0）， 那么它对应的函数解析式是 ． 18．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过 A （﹣1，0）、 B （0，﹣3）、 C （4，5）三点，求出 抛物线解析式 ． 19．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为 4，此函数关系式为 20．如图，一个二次函数的图象经过点A ，C ，B 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为 （4，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，且 AB=OC ．则这个二次函数的解析式是 ． 21．坐标平面内向上的抛物线y=a （x+2）（ x ﹣8）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若 1．把二次函数 y=x 2﹣4x+5 化成 y=a （x ﹣h ）2+k （a ≠0）的形式，结果正确的是（ ） A ．y=（x ﹣2）2+5 B ．y=（x ﹣2）2+1 C ．y=（x ﹣2）2+9 D ．y=（x ﹣1）2+1 2．将 y=（2x ﹣1）?（x+2）+1 化成 y=a （x+m ）2+n 的形式为（ ） D ． 3．与 y=2（x ﹣1）2+3 形状相同的抛物线为（ )A ．y=1+ x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 4．二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ A ．y=﹣2（x+2）2+4 B ．y=﹣2（x ﹣2）2+4 C ．y=2（x+2）2﹣4 D ．y=2（x ﹣2）2﹣4 5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y=﹣3（x ﹣1）2+3 B ．y=3（x ﹣1）2+3 C ．y=﹣3（x+1）2+3 D ．y=3（x+1）2+3 6．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数 y= x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ） A ．y= （x+6）2 B ．y= （x ﹣6）2 C ．y=﹣ （x+6）2 D ．y=﹣ （x ﹣6）2 A ． B ． C ． ） 2），则它
专题训练(二)确定二次函数的表达式五种方法
专题训练（二）确定二次函数的表达式五种方法?方法一利用一般式求二次函数表达式 1．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为() A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 2．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－4，0)，(2，6)，则这个二次函数的表达式为______________． 3．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为____________． 4．如图2－ZT－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0， 0)，B(2，0)三点． (1)求抛物线的表达式； (2)若M是该抛物线的对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值． 图2－ZT－1
?方法二利用顶点式求二次函数表达式 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是() A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4 C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6 6．已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数的表达式为() A.y＝x2 B．y＝－x2
C ．y ＝3 4(x －1)2＋2 D ．y ＝－3 4 (x －1)2＋2 7．[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m ．在如图2－ZT －2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________． 2－ZT －2 8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，4)，它与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2. (1)求抛物线的函数表达式； (2)在如图2－ZT －3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 及直线y 2＝x ＋1，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围． 图2－ZT －3
二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)
二次函数表达式、图象、性质 及计算（讲义） 一、知识点睛 1． 一般地，形如__________________（_______________）的 函数叫做x 的二次函数． 2． 表达式、图象及性质： ①由一般式通过______________可推导出顶点式． 顶点式：________________（其中h =______，k =_________）． ②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a_______时，函数有最_____值，是____________； 当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图 象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____． c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3． 二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________． 平移口诀主要针对二次函数_________________． 二、精讲精练 1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号） ①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21 32 y x =-+； ④2 22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252 y x x =-+； ⑦215s t t =++；⑧2 20x y -+=． 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数，则a =（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式（ ） A ．2 (3)5y x =-- B ．2 (3)5y x =+- C ．2 2(3)5y x =-+ D ．2 2(3)5y x =--
2017中考二次函数专题(含答案)
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，
若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y
对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为 （－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2 ）试探究抛物线上是 第25题图
专题训练(二)确定二次函数的表达式常见的五种方法.docx
专题训练（二）确定二次函数的表达式常见的五种方法 ＞方法一利用一般式求二次函数表达式 1?已知抛物线过点A（2，0），B（—l，0），与y轴交于点C，且OC=2.则这条抛物线的表达式为（） A? y = x2—x—2 B? y = —X2+X+2 C - y=x? —x—2 或y= —x?+x + 2 D? y=—x'—x—2 或y=x? + x+2 2?若二次函数y = x?+bx+c的图象经过点（一4，0），（2，6），则这个二次函数的表达式 为 _____________ ? 3?—个二次函数，当自变量x= —1时，函数值y = 2；当x=0时，y= —1；当x=l时， y=—2.那么这个二次函数的表达式为______________ . 4? [2016-安庆外国语学校月考]如图2-ZT-1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax? + bx+c 经过A（-2，-4）＞ 0（0，0），B（2，0）三点. ⑴求抛物线y=ax?+bx+c的表达式； （2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值. o V /\ 图2-ZT-1 ＞方法二利用顶点式求二次函数表达式 5?已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=l时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=—2x?相同，则这个二次函数的表达式是（） A? y=—2x2—x+3 B. y=—2x2+4 C?y= —2x?+4x + 8 D. y=-2x2+4x+6 6?已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数表达式为（）
A.y = x B. y=—x2
3 7.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为二米的喷水管喷水的最大高度为 4米，此时喷水的水平距离为+米，在如图2-ZT-2所示的坐标系屮，这支喷泉喷水轨迹的 函数表达式是____________ . 图2-ZT-2 8?已知抛物线y]=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+l的一个交点的横坐标为2. （1）求抛物线的函数表达式； （2）在如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系中画出抛物线yj=ax2+bx+c及直线y2 = x + 1，并根据图象，直接写出使得yi^y2成立的x的取值范闱. 图2-ZT-3 ＞方法三利用交点式求二次函数表达式 25 9?若抛物线的最高点的纵坐标是手，且过点（一1，0），（4，0），则该抛物线的表达 式为（）A? y=—X2+3X+4B. y=—X2—3X+4 C ? y = x‘一3x—4 D. y=x? —3x+4 10?抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（一1，0），（3，0），其形状及开口方向与抛物线y=—2/相同，则抛物线的函数表达式为（） A? y=—2x‘一x + 3 B. y=—2x2+4x + 5 C - y=—2X2+4X +8D. y = —2X2+4X+6
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式 学生：时间： 学习目标 1熟悉常见的二次函数的图像； 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、?二次函数的三种表达式 一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a老) 顶点式：y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线] 2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=axA2+bx+c (a, b, c为常数，a M),且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还可以决定开口大小，lal越大开口就越小，lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 2 例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2). (1)求这个函数的表达式； (2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； (3)当x > 0时，求使y》2的x的取值范围. 例题2、一次函数y=2x + 3，与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9. (1)求二次函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出两个函数的图象； (3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习 1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是( b b b b ——=1
确定二次函数的表达式
2.3 确定二次函数的表达式 学习目标: 经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究． 学习重点: 能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题． 学习难点: 用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误． 学习过程: 一、做一做： 已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规 律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式, 你能得出什么结论?与同伴交流. 二、试一试： 两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗? 表示方法优点缺点 解析法 表格法 图像法 三者关系 【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围． 【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大． （4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
二次函数的三种表达形式.
二次函数的三种表达形式： ①一般式： y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 ②顶点式： y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。 注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况： 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数 ∵x1+x2=-b/a，x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念： a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
二次函数表达式三种形式练习题
二次函数表达式三种形式 一．选择题（共12小题） 1．（2015?永春县校级质检）把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（） A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．（2014?XX模拟）将y=（2x﹣1）?（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（）A．B． C．D． 3．（2015秋?XX校级期中）与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（） A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2 4．（2015秋?XX校级月考）一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 5．（2015秋?禹城市校级月考）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
6．（2014秋?岳池县期末）顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（） A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2 7．（2014秋?招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4 8．（2013秋?青羊区校级期中）若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2 9．（2013秋?江北区期末）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（） A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．（2014?XX县校级模拟）如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的 值等于（） A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14 11．（2015?XX模拟）二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125B．4 C．2 D．0 12．（2015?宜城市模拟）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（） A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣
二次函数专题完整版
二次函数专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
专题训练(三) 与函数有关的最值问题 类型之一 由不等关系确定的最值问题 1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表： 行) (1)设其中粗加工x 吨，共获利y 元，求y 与x 的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围) (2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润最大利润是多少 类型之二 由一次函数确定的最值问题 2．某工厂计划为地震灾区生产A ，B 两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A 型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m 3，一套B 型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m 3，工厂现有库存木料302 m 3. (1)有多少种生产方案？ (2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A 型桌 椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元，运费为4元，求总费用y (元)与生产A 型桌椅x (套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费) 类型之三 由二次函数确定的最值问题 3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图Z －3－1)，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 图Z －3－1 4.[2015·青岛]如图Z －3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角 坐标系，抛物线可以用y ＝－x 2 ＋bx ＋c 表示，且抛物线的点C 到墙面OB 的水平距离为3 m 时，到地面OA 的距离为m . (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 图Z －3－2
确定二次函数的表达式习题
确定二次函数的表达式习 题 Final revision on November 26, 2020
5.5确定二次函数的表达式 一．选择题： 1．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－2 2．已知二次函数y ax bx c =++2的图象过点（1，－1），（2，－4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（） A ．x =-3 B ．x =-1 C ．x =1 D ．x =3 3．一个二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（） A ．y x x =--+222 B ．y x x =-+222 C ．y x x =-+221 D ．y x x =--222 4．已知：抛物线y x x c =-+26的最小值为1，那么c 的值是（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 二．填空题： 5．已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是 6．对称轴是x =-1的抛物线过点M （1，4），N （－2，1），这条抛物线的函数 关系式为________________. 7．已知二次函数y x bx c =++2的图象过点A （1，0），B （0，4），则其顶点坐 标是________________. 8．已知二次函数，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，它有最大值－1，则其函数 关系式为________________. 9．抛物线y x =-+382向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是___________. 三．解答题： 10．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（―1，―2），且过点（1，10） 11．根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).
二次函数表达式三种形式的联系与区别
二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。 一、一般式：)0(2≠++=a c bx a y x 优点：二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，三系数一目了然。 缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式：)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点：很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 三、交点式：))((2 1x x x x a y --= 优点：很容易看出图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）和（x 2 ，0） 缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 （2）当图像不与x 轴相交时，此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 （1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理） a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++（
（2）顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( （3）交点式转化为一般式 展开，利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点（x 1，0）和（x 2，0） 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得： a c a b x x x x =-=+2121 代入得： c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定； （1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示； （2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示； （3）如果知道图像与x 轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。
初中数学专题分类突破：二次函数的解析式及图象特征
初中数学专题分类突破：二次函数的解析式及图象特征 , 类型 1 由图象上的点确定解析式 ) 例1题图 【例1】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A,C分别在x轴、y轴 的正半轴上,抛物线y＝－1 2 x2＋bx＋c经过B,C两点,点D为抛物线的顶点,连结AC,BD,CD. (1)求此抛物线的解析式； (2)四边形ABDC的面积是__12__．解：(1)由已知,得C(0,4),B(4,4), 把B与C坐标代入y＝－1 2 x2＋bx＋c,得 ? ? ?4b＋c＝12， c＝4， 解得b＝2,c＝4,则解析式为y＝－1 2 x2＋2x＋4. (2)∵y＝－1 2 x2＋2x＋4＝－ 1 2 (x－2)2＋6,∴抛物线顶点坐标为(2,6),则S 四边形ABDC ＝S △ABC ＋S △BCD ＝ 1 2 ×4×4＋ 1 2 ×4×2＝8＋4＝12. 变式已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,且对称轴是直线x＝－1,求抛物线对应的函 数解析式．(用顶点式与交点式两种方法完成) 解：方法一：设y＝a(x＋1)2＋b, 将A(1,0),B(0,3)两点坐标代入,求得a＝－1,b＝4； 所求的函数解析式y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3. 方法二：由题意可得抛物线与x轴的另一个交点为(－3,0), 设y＝a(x－1)(x＋3),将B(0,3)的坐标代入,得a＝－1,
所求的函数解析式为 y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3. , 类型 2 由系数的特征确定二次函数图象 ) 【例2】在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中,y随x的增大而减小,则二次函数y＝k(x－1)2的图象大致是( B) A．B．C． D. 变式图 变式二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,那么下列关于此二次函数的四个结论中,正确的有( D) ①a＜0；②c＞0；③b2－4ac＞0；④ a 2b ＜0. A．1个B．2个C．3个D．4个 【解析】①∵图象开口向下,∴a＜0,故本选项正确； ②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴,∴c＞0,故本选项正确； ③∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不相同交点,∴根的判别式Δ＝b2－4ac ＞0,故本选项正确； ④∵对称轴x＝－ b 2a ＞0,∴ a 2b ＜0,故本选项正确． , 类型 2 由图象的平移变换确定解析式) 【例3】已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M′落在x轴上,点B平移后的对应点B′落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为( A) A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1 C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－1
05二次函数三种表达式
用待定系数法求二次函数的表达式 年级 九年级 学校 讲义编号 学生 老师 周老师 授课时间 2017..（：00——:00） 教学目标 用待定系数法求二次函数的表达式； 重 点 用待定系数法求二次函数的表达式； 难 点 用待定系数法求二次函数的表达式； 教学内容 【用待定系数法求二次函数表达式的方法】 （1）设：根据条件设函数表达式； （2）列：把已知点的坐标代入表达式，得到方程或方程组； （3）解：解方程或方程组，求出未知系数； （4）答：写出函数表达式，注意最后结果一般要化成一般式c bx ax y ++=2 二次函数解析式的表示方法 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：k m x a y +-=2 )(（a ，h ，k 为常数，0a ≠， 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k m x a y +-=2 的形式，其中a b a c k a b 442m 2 -=-=，. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k m x a y +-=2 )(的形式，得到顶点为(m,k )，对称轴是直线m x =. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
专题 二次函数的三种表示方式
专题05二次函数的三种表示方式 1：一般式 形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 典型考题 【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式． （2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由． 【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式) 【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线212 1x y = 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线2y . （1）求抛物线2y 的解析式（化为一般式）； （2）直接写出抛物线2y 的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积. y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )． 【典型例题】已知二次函数21322 y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．
【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式． 【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -， ，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标； （3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 3：交点式 y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点． （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标． 【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x ＝－2，此时抛物线与x 轴的两交点间距离为6. (1) 求抛物线与x 轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式． 【能力提升】已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3． （1）求该二次函数与x 轴的交点坐标和顶点； （2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y ＜0时，x 的取值范围．