2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(12)
2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（12）
一试
1、已知函数)0(1
22
2<+++=b x c
bx x y 的值域为]3,1[，则=+c b 2、已知,R a ∈并且a x x a +>-222)0(>a ，则a 的取值范围是 3、设在x O y 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为
3
1
，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为
4、3322)(22+-+-=x x x x x f 的最小值为
5、已知复数ααsin cos i z +=，ββsin cos i u +=，且i u z 5
3
54+=+.则)
tan(βα+＝
6、过椭圆C ：12
32
2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范
围为
7、设][x 表示不超过x 的最大整数，则=++++]500[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333
8、设p 是给定的奇质数，正整数k 也是一个正整数，则k=____________
9、（本题16分） 在△ABC 中，A,B,C 所对边分别为c b a ,,，且3
4
cos cos ,
10===a b B A c ，P 为△ABC 的内切圆上的动点，求点P 到A,B,C 的距离的平方和的最大值和最小值
10、（本题20分）数列}{n a 中，2,841==a a 且满足)(212+++∈-=N n a a a n n n （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设)(,)
12(1
21+∈++=-=
N n b b b T a n b n n n n ，是否存在最
大的正整数m ，使得对于任意的+
∈N n ,均有32
m
T n >
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
11、（本题20分）给定圆P:222x y x +=及抛物线S:2
4y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,,,A B C D ,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.
2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（12）
（二试）
1、（本题40分）联结圆内接等腰梯形ABCD 的对角线,AC BD 相
交于E ，已知图中各条线段均为正整数，且
22120,7AED ABD ACD AD ∠=∠=∠== .(1)求证图中存在一个三
角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列. (2)若给点,,A E D 染上红色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数.
2、（本题40分）已知实函数(,)f x y 满足①(,0)1,f x = ②((,),)(,).f f x y z f z xy z =+ 求(,)f x y 的表达式.
3、（本题50分）求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．
4、（本题50分）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这5个整数和为正。若其中三个相连顶点相应的整数依次为,,x y z ，而中间的0y <，则要进行如下操作：整数,,x y z 分别换为,,x y y z y +-+，只要所得的5个整数中至少有一个负时，这种操作就继续进行，问：是否这样的操作进行有限次后必定终止。
2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（12）
一试 参考答案
一、填空题
1、0, 将)0(122
2<+++=b x c bx x y 代入31≤≤y 得不等式?????≥-+-≥-++030
122c bx x c bx x ∴?????≤--=?≤--=?0)3(40)1(42
12
1c b c b 又函数的值域为]3,1[，函数值能取到1和3，即 112,3122222=+++=+++x c bx x x c bx x 有解，故?????≥--=?≥--=?0
)3(40
)1(42
12
1c b c b 得c ＝2，b ＝2 2、???<+≥-002)1(22a x x a ??
???+>-≥+≥-2
222
2)(200
2)2(a x x a a x x a
]2
2
,22[,0,0),0,32(,0a a a a a a -<Φ=->解集为，解集为解集为（P596）
3、 N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-。因此N M 的图形面积为3
2
4、定义域为),2[]0,(+∞-∞ ,
332,222+--x x x x 在]0,(-∞上是减函数，
在),2[,+∞上是增函数，故3)}2(),0(min{)(==f f x f nin
5、解 （1）依题设，有()()ββααsin cos sin cos i i u z +++=+
())sin (sin cos cos βαβα+++=i i 5
3
54+=
. 根据复数相等的充要条件，知??
???
=+=+②
①.53
sin sin ,54cos cos βαβα
由①得54
2cos 2cos 2=-+βαβα. ③ 由②得5
3
2sin 2sin 2=-+βαβα. ④ ③④÷得4
3
2
tan
=
+β
α. 所以 ()7242
tan 12tan
2tan 2
=
+-+=+βαβ
αβα.
6、)1,3
3
[
,设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。 又∵HQ=λPH ，所以λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：?????=-+=y
y x x 11
)1(3λ
λ， 代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[2
2
2=++-y x λ
λ，所以离心率e=
)1,33
[32132232
2∈-
=-λ
λ
λ 7、解：设n x =][log 3，则1log 3+<≤n x n ，1
3
3+<≤n n
x
10330<≤=x n 时，，符合条件的整数x 有2个
21331<≤=x n 时，，符合条件的整数x 有6个 32332<≤=x n 时，，符合条件的整数x 有18个 43333<≤=x n 时，，符合条件的整数x 有54个 54334<≤=x n 时，，符合条件的整数x 有162个
65335<≤=x n 时，，结合500≤x ，符合条件的整数x 有258个
共258516245431826120?+?+?+?+?+?＝2142
8、解：
*
2
2
,,0,n n N k pk n k =∈--==则从而22
4p n +是
平方数，设为2*2,,(2)(2)m m N m n m n p ∈-+=则
222
12123,,21
4
p m m n p p m n p p n ?+=?-=??≥∴??+=-??=?? 是质数，且解得
22
2(1)(1),244
p m p p p k k ±±++∴===故。（负值舍去）
二、解答题
9、易证A+B ＝90°
，8,6==b a ，内切圆半径为2，用解析法建系，写出园方程，设P （x ，
y ）则点P 到A,B,C 的距离的平方和S=88-4y ，40≤≤y ，最大值为88，最小值为72 （P44） 10、数列}{n a 为等差数列，102+-=n a n ，)1
11(21+-=n b n ，存在最大正整数m ＝7 （P450）
11、解:圆P 的方程为()2
2
11x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设l 的
方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y
有???-==+4
42121y y k
y y ,则212212214)()(y y y y y y -+=- 故)4
()()()(||2
2212
212212212y y y y x x y y AD -+-=-+-= 222
21221)1(16])4
(1[)(+=++-=k y y y y ,
因此)1(4||2+=k AD
据等差,BC
AD CD AB BC -=+=2,
所以63==BC AD 即6)1(42=+k ,22±=k ,
则l 方程为122+=
y x 或12
2+-=y x . 2011年全国高中数学联赛模拟题1
（二试）
1、证明 (1)在AED 中，由120,7AED AD ∠== 知，AD 为最长边，且由余弦定
理得 ()
2
222
7A E D E A E D E A E
D E A E D E
=++?=
+-?. 把,AE DE 取{}1,2,3,4,5,6中的值验证，得,AE DE 只能取3，5.故存在AED ，其三边长3，5，7均为素数且组成一个等差
数列.
(2) 不妨设5,3AE DE ==，由
22120AED ABD ACD ∠=∠=∠= 知，ABE 是边长为5的
等边三角形，CDE 是边长为3的等边三角形.作边长为7的等边ADF ，等边BCG ，联结FG 交BD 于H .再联结,,BF FC DG ，由60DEC DBF ACF ∠=∠=∠=∠
得
//EC BF ，//EB CF ，四边形EBFC 为平行四边形，3BF CE ==，又
60DBF GFB ∠=∠=∠ ，得BFH 是边长为3的等边三角形.同理，GHD 是边长为5
的等边三角形.
当,,B F C 中有红点时，命题已成立. 当,,B F C 中无一为红点时，考虑H ，若H 为蓝
x
y
o
A
B C
D
P
点，则BFH 是同蓝色的等边三角形，其边长为素数3；若H 为红点，考虑点G ，若G 为红点，则GED 是同红色的等边三角形，其边长为素数5；若G 为蓝点，则GBC 是同蓝色的等边三角形，其边长为素数7.综上得，圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数. 2、解 把①代入②，有
()()()()1,,0,,01f y f f x y f y y y ==+=+， ③
进而 ()()()
,111,1f x f x =+-
()()()
1,1,1f f x =- （由③）
()()1,111f x =?-+()111x =+-+????
1x =+ ④
一方面由④有
()()(),,1,1,f f x y f x y =+ ⑤
另一方面由②、③有
()()(),,11,11 1.f f x y f xy xy =+=++ ⑥
由⑤⑥得 (),111f x y xy +=++， 即 (),1f x y xy =+. 检验知(),1f x y xy =+为所求.
3、解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ．先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．1,2,3≥≥≥z y x ，
123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z ．
当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为
)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ．
当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ． 所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为
)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x ．
又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为2
1x C -，方程
y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为11C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程
的正整数解的组数为
81693036C C C C C C C C 1124132312261129=+++=+++．
4、解：必定终止。变换前后三个数和虽然不变，但是平方和变小，若不终止，整数的平方和为0，即各整数均为零，还得终止。