用“变量分离法”解几个含参问题

26上海中学数学2014年第4期

用“变量分离法"解几个含参问题

211700江苏省盱眙县实验中学姜登翠

211700江苏省盱眙中学李刚

l问题的提出

文[1]研究了几个有关函数不等式恒成立求参数值的范围问题，解决了“变量分离法”不易解决时的一般处理策略，笔者读后深受启发，并对文中涉及的三道例题作了进一步探究，在使用“变量分离法”之后，如果从高等数学角度来研究会更加方便．

7．如图10是一座建筑纪念物的底座(不能进入建筑物内)，工人师傅想测量一下在地面上形成的么A B C的度数，你能找到测量的办法吗?

B

图10

(五)小结反思

本节课你有什么收获?还有什么疑惑?

设计意图：通过对所学知识进行回顾和梳理，学生提升了归纳总结能力．

(六)作业布置

作业分为必做题和选做题．必做题是面向全体学生的题目，侧重于基础知识及其应用；选做题供学有余力的学生选做，侧重于拓展性和创新性．设计意图：布置习题分为必做题和选做题，为学生提供个性化发展的空间．通过动手做数学，学生开拓了思维空间，提高了自主探究能力，逐步养成反思总结的学习习惯．

三、思考与启示

(一)注重知识形成的“过程化”

通过创设合适的情境，学生经历了“具体一抽象一具体”的认知历程，感受到了知识的发生过程，体会了知识的形成过程，从中体悟了知识的“前世今生”，提高了学思维能力．本设计中，学生经历了对顶角的实际背景和形成过程，能够有效识别对顶角

文[1]的三道例题如下：

例1已知函数厂(z)一z2+2z+以l嗽，当￡≥1时，不等式厂(2f一1)≥2．厂(f)一3恒成立，求实数丑的取值范围．

例2设函数厂(z)一∥一1一z—nz2．(1)略；

(2)若当．r≥o时，厂(．r)≥o，求n的取值范围．

例3已知函数厂(z)一z一1n(z+口)的最小值

的关键特征．

(二)注重问题解决的“过程化”

学生经历了知识的发生发展过程后，需要进一步把新知识纳入自己的认知结构．本设计中，题组的有效创设为学生搭建了“观察一猜想一说理”的平台，这一过程深化了学生解决问题的过程．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化渗透于问题解决中，加深了学生对对顶角的概念及其性质的理解．假以时日，学生的问题解决能力一定能够从“简单模仿”的初级阶段逐步飞跃到“图式应用”的高级阶段．

(三)注重总结反思的“过程化”

一节课下来，学生的收获各有不同，但是优秀的教学设计下课程的目标达成应比较接近“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展”．探究发现数学理论(定义、性质、法则、定理等)的过程也是不断反思、不断提出问题的过程，这种反思应该始终伴随着教学活动的进行而开展．这样的教学设计帮助学生将反思孕于教学的始终，而不是课堂小结环节的五分钟．刘素梅老师在其编写的《教师反思与写作手册》中写道：“思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进．”因此，应把总结反思贯穿于整个课堂的学习过程，使数学学习过程成为学生在已有经验基础上的主动建构过程，做到生本课堂，从而大幅度地提升教学效能．

参考文献

[1]胡瑁。初中数学教学中创设问题情境的策略研究[J]。上

海中学数学，2013，4．

[2]姜晓翔．“问题串”引领下的“导学式生本课堂”——由一

堂“平行四边形性质与判定”复习课说起[J]．上海中学

学，2012，12．

上海中学数学2014年第4期27

为零，其中仅>o．(1)求盘的值；(2)若对任意的．T∈[o，+。。)，有，(．r)≤志．r2成立，求实数是的最小值．文中将例1中参数日分离后联想斜率的定义解

决问题，奇思妙想．笔者认为，可以将不等式厂(2f—

r，oJ一1、J_o 1)≥2．厂(f)一3稍作变形得，(f)≤坐竺_掣，事

，o——1、—L1

实上，厂(1)一3，不等式可化为厂f兰L{上尘1≤

＼厶，丛生二要地，笔者认为命题者的本意是要研究该函数的凹凸性．对于例2和例3的解决，都因为“分离变量后很难求解”而对函数直接求导，再讨论参数的取值解决问题．但是，从学生解答这类试题的角度看，为数不少的学生会选择分离变量而不能进行到底，而变量分离的方法又是解决含参问题的常规思路，不该就此打住，而是要进一步地研究这些问题，寻找解决问题的办法．

2问题的解决

导数知识是微积分的基础，与导数有关的问题向来是各个省市高考的热点，因此，在各大市的模拟考试题中也常在此处压轴．有一些问题，如果能够站在高等数学的角度来看，弄清所研究问题的高等数学背景，就会更深刻、更全面地认识这些问题，充分利用高考在教学中的指挥棒作用．笔者利用二阶导数判断函数的凹凸性及利用洛必达法则来处理以上3题．例1解析：因为厂(1)一3，不等式，(2≠一1)≥

2厂(f)一3对任意的f≥1恒成立等价于厂f垡生弓上盟1≤丛至二罢地对任意的}≥1、厶，厶

恒成立，由函数的凹凸性的定义知，函数厂(z)在[1，+∞)上为凹函数(分析知．厂(z)不是常函数)，因此厂7(。r)一2T+2+竺，从而／(z)=2一与≥o对任意

．Z．Z

的T≥1恒成立，因此口≤2．r2对任意的z≥l恒成立，得a≤2．

评注：由函数凹凸性的定义及．厂(1)一3，再结合问题呈现的形式特征，将问题的本质充分暴露，充分理解命题者的本意．

侈02解析：(1)当T—o时，得口∈R；

。r一1一一(2)当T>o时，变量分离易得倪≤L—≯，

』

不妨设g(z)一生÷』(．T>o)，则有97(，T)=￡垒二呈掣，再令^(T)一矿(z一2)+T+2，得．Z’

灰7(．r)一P‘(．r一1)+1，再次对厶7(。，r)求导得是”(?)一zP‘>o对任意的．1r>o恒成立，因此^7(．r)在(o，+。。)上单调递增，则有^7(．r)>^7(o)一o，因此97(z)>o对任意的。r>o恒成立，得g(丁)在(o，+。。)上单调递增，故g(，r)在z—o处的极限值是函数g(z)的下界，由口≤字对任意的．r>o恒成立，得日≤l i m g(z)，由洛必达法则知l i m g(T)一!切字=嘞≤≠气切等一丢，因此口≤丢．r一()．r。r—o厶r l一0Z乙￡综上所述，口≤寺．

例3解析：先求得n一1，由题意对．r进行讨论：

(1)当T=0时，是∈R；

(2)当z≠o时，有是≥尝乒一羔二掣对v．r>o恒成立．令g(z)一!■掣，则有97(．r)

2l n(z+1)一z一三一1一——————．『——』—一，再令Jf2(．t r)=2l n(z+1)一一—————————丁——————一，f于。了，l L．(，一厶儿l＼-工l上，

z一土一1，则有五，(‘r)一—鲁+专一1，事实上，显然有^7(T)在(0，+。。)上单调递减，故J f27(．r)<，!(o)= o，因此97(．r)

1达法则知姆g(T)=粤[半一嘞=奎r—O r一0．C r—O n

1111—1i鼍!兰±!∑一专，故得是≥寺．综上所述，志≥寺．

。’”

2

-“u 评注：从解决含参范围问题的常规策略——“分离变量法”出发，利用多次求导的方式再结合洛必达法则将问题解决，让笔者充分地认识到“分离变量法”仍然是解决这类问题的“通法”．

在平时的练习中若遇到以下问题，可以利用拉格朗日中值定理及拐点知识解决．

例4已知函数．厂(z)一l n(T+1)+口T，当z=0

时，函数厂(T)取到极大值．

(1)求实数反的值；(2)已知．，r。，zz∈(一l，+。。)，且丑≠z：，构造函数g(T)一丛!兰掣(z—z1)+厂(z1)，求证：对任意．r∈(、r1，z2)都有厂(，r)>g(z)，

解析：(1)易得n一一1．

(2)令，l(．r)一厂(z)一g(z)，

即磊(．r)一f(z)一』鱼1L二』鱼尘(z—z，)一，(z。)，故^7(T)一厂(T)一丛三}掣，因，(．r)

在z∈(．rI，z：)可导，由拉格朗日中值定理知必j z。∈(T。，z：)，使得丛兰立二趔一．厂，(z。)，故^，(．r)

工l^Z

一厂7(z)一厂7(z。)2可了专赢，易知^(T)在

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对一道向量题的探究与反思

215151江苏省苏州市吴县中学李江华

向量是近代数学中重要而基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．它是高中数学的一个重要内容，是数形结合的载体，也是学好数学、提高能力的重要载体．在近几年的高考及各地的模拟试卷中，出现了很多精彩的考题．而学生在学习向量的过程中，往往有一种畏难情绪，碰到向量题，很多时候无从下手．这个时候就需要教师引导学生站在更高的

(z，，z。)上单调递增，在(z。，z。)上单调递减，而^ (z1)一^(z2)一0，故^(z)>0，即证．

评注：利用拉格朗日中值定理成功地将涉及两元变量的斜率式丛当上二型转化为一元变量的

■l t正2

式子．厂7(z。)，问题迎刃而解，妙不可言．

例5(2013宿迁三模一20)已知函数厂(z)一l r Lr一口z2一z，口∈R．

(1)若函数y=，(z)在其定义域内是单调增函数，求口的取值范围；

(2)设函数y=，(z)的图像被点P(2，厂(2))分成的两部分为C。，C：(点P除外)，该函数图像在点P处的切线为￡，且C。，C：分别完全位于直线z的两侧，试求所有满足条件的口的值．

解析：(1)易得口≤一丢．对于(2)，由题意可得函数3，一．厂(z)在点P的两侧凹凸性必相反，即点P 为函数y一厂(z)的拐点，从而由拐点的定义直接得厂(2)一o，即日一一丢．

、评注：此题的数学背景是拐点知识，其实在教学过程中也有涉及过，例如曲线y—z3的图像在原点处的切线方程为y—o，而该曲线被直线y=o分成两个部分，且这两个部分分别在该曲线的两侧，并且有．厂，(o)一o，这个教师曾经给学生介绍过．

3反思与困惑

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系，而高等数学中的某些概念和理论的原型在中学数学，中学数学中某些不易交待清楚的问题在高等数学背景下却较易理解．在教学过程中，笔者有几点困惑．

(1)从教材的角度来讲，苏教版教材不讲极限，层次去研究这些题目，通过对这些题目的研究，“去伪存真”，挖掘题目的背景及本质，并作一些适当的变形，这样不仅提升学生的学习兴趣，有时候还能得出一些有用的小结论．

一、问题呈现

在向量部分的练习中有这样一道题：

已知点0在△A B c内部，且蕊+2碚+3贺

洛必达法则是否应该介绍给学生?拉格朗日中值定理、拐点及凹凸性的判断作为常用结论，高中的学生在考试时是否能用?

(2)从阅卷的角度来讲，对于以上几类例题，如果学生在考试的过程中使用高等数学知识来处理，教师应不应该给分，到底应该给多少分?

(3)从命题者的角度来讲，教师在讲解试题时要把试题的高等数学背景分析给学生听，因此，必然会介绍相关知识，而不少学生在做例5时，直接利用拐点知识得到答案．教师既希望学生明白试题的本质，又希望学生能明白这些结论、定理的产生过程，教师应该怎么办?

4几点建议

(1)对于这些有着高等数学背景的问题，教师一定要将高等数学背景介绍给学生，让他们看清问题的本质．在介绍这些常用结论的时候，一定要让学生知道知识产生的背景与过程，最好让学生掌握这些知识的证明过程，以防在考试中只知结论，不知如何推导而失分．

(2)极限知识是微积分的基础，随着对导数知识的深入研究，极限知识的应用越来越广泛，建议苏教版及其他教材引入极限知识(其实导数的定义中就有极限)，并在小字部分介绍这些重要的高等数学知识的产生背景及推导方法，激发学生的探究欲望，为他们以后到高校进一步深造打下坚实的基础．

(3)如果涉及高等数学背景的问题，命题者不但应要求考生求出相应的结果，还应要求考生给出一般的推导过程．

参考文献

[1]马兆军．“变量分离法”不灵了，怎么办?[J]．中学学

教学，2013，2．