【2014朝阳一模】北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 数学理试题 Word版含答案

（第6题图）

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（理工类）

2014．3

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合1{|(1}2

x A x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =

（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ? （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2?--a +b a b ，则a 与b 的夹角为

（A ）

6π （B ） 3

π

（C ）

32π （D ） 6

5π

（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内

随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为

（A ）

14

（B ）

1

3

（C ） 2

5 （D ） 27

（5）在ABC △中，π

4

A =，BC =“AC =”

是“π

3

B =”的

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图

,输出的S 值为

（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-

（7）已知函数2sin ()1

x

f x x =

+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=

时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1

y x

=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是

（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④

（8）直线y x m =+与圆2

2

16x y +=交于不同的两点M ，N ，

且M N O N ≥+

，

其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是

（A ）

(

- （B

）

(

?--?

（C ） [2,2]- （D ）

[-

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和

为 ．

（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段

AB 长度的最小值是 ．

（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积

为 ；表面积为 ．

（12）双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；

此双曲线的离心率为 ．

（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的

蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ．（用数字作答）

正视图

俯视图

（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，

2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=?的点E 的个数是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）

已知函数2

2

()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-?+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2

f π的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．

（16）（本小题满分13分）

某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为

25

． （I ）求a ，b 的值；

（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思

维能力优秀的学生的概率；

（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学

生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．

B

C

D

E

S

A

（17）（本小题满分14分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边

AB 和侧棱PC 的中点．

（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．

（18）（本小题满分13分）

已知函数2

1()ln 2

f x ax x =

-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

经过点

． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线

AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上

的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

（20）（本小题满分13分）

从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *

∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．

（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；

（Ⅲ）求证：()(1)

(,)2(1)

n m n f n m m -+>

-．

A E B

C

D

P

F

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数学答案（理工类） 2014.3

三、解答题

15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos2x x -

)4

x π

=-.

（Ⅰ）())12242

f πππ=

?-==.

显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π

2π22π242k x k +

-+≤≤得 37

ππππ88

k x k ++≤≤，k ∈Z .

又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ??

∈?

??

?. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88??

?

???

． …………… 13分 16. （本小题满分13分）

解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．

由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62

()205

a P A +=

=． 解得 2a =．

所以4b =． …………… 4分

（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．

由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．

则21222062

()1()195

C P B P B C =-=-=． …………… 7分

（III ）ξ的可能取值为0，1，2．

20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．

所以21222033

(0)95

C P C ξ===，

111282

2048

(1)95

C C P C ξ===， 2822014

(2)95

C P C ξ===．

所以ξ的分布列为

所以，0E ξ=?

33951+?48952+?

1495764

955

==． …………… 13分 17. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .

因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且1

2

FG CD =

． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，

所以11

22

AE AB CD =

=，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．

又EF ?平面PAD ，AG ?平面PAD ，

A

E B

C

D

P

F

G

所以EF 平面PAD ． ……………4分 （Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，

PA AD ⊥，

且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．

又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直.

以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则

(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ． 因为(0,11)EF = ，，(022)PD =- ，

，，(200)CD =- ，，， 且(0,11)(0,2,2)0EF PD ?=?-= ，，(0,11)(2,00)0EF CD ?=?-=

，，

所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．

又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． …………… 9分

（Ⅲ）易得(102)EP =- ，，，(0,22)PD =- ,．

设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则

0,0.

EP PD ??=???=??

n n 所以 20,220. x z y z -+=??-=?即2,

. x z y z =??

=?

令1z =，则(2,1,1)=n ．

由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =

，，

所以

cos ,EF EF EF

???===?

n n n .

由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，

所以二面角E PD C --． ……………14分 18. （本小题满分13分）

解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x

'=-21

ax x -=．

（Ⅰ）（1）当0a =时，1

()0f x x

'=-

<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．

（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =

①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．

②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，

当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，

所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得24

0e

a =>，舍去． （2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，

1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1

(1)12

f a =

=，解得2a =．

②当1e <

<，即21

1e

a <<时，函数()f x 在上单调递减，

在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11

ln 122

f a =+=， 解得e a =，舍去．

e ，即21

0e

a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112

f a =

-=，得24

e a =，舍去．

综上所述，2a =． ……………13分

19. （本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）由题意得22

1314c a a b ?????+=??，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2

214

x y +=． …………… 4分

（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.

由22

(1)14

y k x x y =-???+=??得2222

(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，2122

44

14k x x k -=+．

又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．

由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =

--，故点1

12(0,)2

y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =

--，故点2

22(0,)2

y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ?=

恒成

立．

又因为1012(,

)2y PN x x =- ，2

022(,)2

y QN x x =- ， 所以2

21212001212224022(2)(2)

y y y y PN QN x x x x x x ?=+

?=+=---- 恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++

22

22448241414k k k k -=-+++

2

2

414k k

=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++

22

2

22

448(1)1414k k k k k -=-+++

2

2

314k k

-=+， 所以2

2222120002122

12414304(2)(2)

14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．

解得0x =．

故以线段PQ 为直径的圆过x

轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.

所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *

∈N .

1019a a d =+，1011001

1199

a a d --=

=≤，d 的可能取值为1,2,,11 ． 对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d - 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11 ；2,3,4,,12 ； ；91,92,93,,100 ，其它同理）. 所以当d 取1,2,,11 时，可得符合要求的等差数列的个数为：

(100,10)100119(1211)1100966506f =?-?+++=-?= ．…………… 8分

（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，

1(1)m a a m d =+-，11

11

m a a n d m m --=

--≤

，

记

11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即1

11

n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，

对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d -- 时，可得递增等差数列(1)n m d --个.

所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数

2(1)121

(,)(1)222

t t m n m f n m nt m t t +--+=--?

=-+ 2

2121(21)()22(1)8(1)

m n m n m t m m --+-+=--+--

易证

211

12(1)1

n m n m n m m m --+-<---≤

． 又因为211|

|12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113

||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=

---， 所以21211

|

|||12(1)2(1)1

n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)

(,)(1)2

t t f n m nt m +=--?

(1)

()(1)11(1)122(1)

n m n m

n m n m n m m n m m m --+--+-->?--?=--． 即()(1)

(,)2(1)

n m n f n m m -+>-． …………… 13分